RUIJIAN LIU
目录
引言 ............................................................................................................................................................................. 2 3.1 平均场近似（中心场近似）——多粒子体系的哈密顿量 ...................................................................... 2
1. 非相对论近似下的哈密顿量 ..................................................................................................................... 2 2. 对于原子核体系，大量采用平均场近似.................................................................................................. 3 3.2 全同多粒子体系的态函数（零级近似）.................................................................................................. 3
3.3 3.4
3.5
3.6 1. 设有N个全同玻色子占据了m个单粒子态 .................................................................................. 13 2. 利用归一化条件来确定产生算符和消灭算符的对易关系，同时定出归一化因子C. ................ 14 3. .......................................... 15 二、 ........................................................................................ 16
1. 单体算符的平均值 ........................................................................................................................... 16 2. 二体算符的平均值 ........................................................................................................................... 16
1
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引言
1. 波动力学，用波函数描述体系的状态，但若处理全同多粒子体系，态函数具有交换对称性，此时用波动
力学的方法则过于繁琐甚至不可行，由此人们发展了二次量子化方法。要点：用单粒子态上填充的粒子数来刻划（粒子数表象）。采用此方法，交换对称性自动满足。
2. 基本的算符是粒子的产生算符和消灭算符，任意态函数和力学量都可用产生和消灭算符表示。并建立了
3. 1.
其中ℎi可视为微扰，
2
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取零级近似，HΨ=EΨ可分离变量，此时构成平均场近似 单粒子能量的本征方程 体系总波函数：
2. 3.2
个对象的全排列算符.
{
−1 奇排列（奇数次交换）
3
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1 偶排列（偶数次交换）
重排两种方式：{
①单粒子态次序不变，重排粒子编号{
奇数次重排取负号
偶数次重排取正号两种方式等价
②粒子编号不变，重排单粒子态例：N=3三、讨论.
1. 从波函数的形式上可以看出，交换对称性（反对称性）得到满足； 2. 对费米子体系，交换反对称性确保泡利原理成立.
①哪些单粒子态被占据
启示：我们知道{
②每个单粒子态上有多少粒子.3.3 粒子数表象
4
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引入粒子数表象
在此表象下
1. 归一化 ⟨0|0⟩=1 αi态上的粒子
3.45
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=
即
6
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B.
=
二、力学量的表示
1. 单粒子算符（单位算符） 单体算符.例：动能算符
总动能算符
7
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在粒子数表象下
:
αβ取遍所有单粒子态.
称为单体矩阵元.
8
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如果i≠1,
不一定为0,其中，
2> 二体算符矩阵元
9
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∴
3.5 Wick定理
一、正规积
一组产生、消灭算符交叉乘积的正规积，是把所有的产生算符交换到消灭算符的左侧。正规积用N表示。
举例：
††
⟨0|aα1aα2aα3aα4|0⟩=δα1α2δα3α4
⟨0|
aα2 aα1 × × × ×
O O O O
†
aα
†
aβ
aδ √ √ √ √
aγ ∆ ∆ ∆ ∆
††
aα1 aα2
|0⟩
−δα2αδα1βδδα2δγα1 δδδδ
10
O O × ×
× × O O
∆ √ ∆ √
√ ∆ √ ∆
δα2βδα1αδδα2δγα1 −δα2βδα1αδδα1δγα2
因此上式的结果为：
††††
⟨0|aα2aα1aαaβaδaγaα1aα2|0
=δα2βδα1αδδα2δγα1−δα2βδα1αδδα1δγα2−δα2αδα1βδδα2δγα1+δα2αδα1βδδα1δγα2
1. 单体算符
|α⟩:α⟩=εα|α⟩，⟨α|β⟩=δαβ
2、 N个全同费米子体系零级哈密顿量的解 本征态 零级近似能量：
11
{
五、空穴算符
1.
2. 此时，考虑费米子体系，消灭算符作用于基态可能不为零
2> 二体算符的平均值
12
3.6
利用交换对称性：=0,=0
13
，取厄米共轭有：
2.
利用归一化条件来确定产生算符和消灭算符的对易关系，同时定出归一化因子C. 1> 考虑N=1,占据α态
取内积：
一般情况，有
14
更一般地，有
3.
3>
15
粒子数算符
引入总粒子数算符
16
17
鸣谢
本笔记的编写旨在给那些笔记不全或者没有笔记的同学提供一份参考，希望大家喜欢。感谢曾国模老师的细心讲解，也非常感谢张春鹏同学对于笔记的无私奉献。
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1. 非相对论近似下的哈密顿量 ..................................................................................................................... 2 2. 对于原子核体系，大量采用平均场近似.................................................................................................. 3 3.2 全同多粒子体系的态函数（零级近似）.................................................................................................. 3
3.3 3.4
3.5
3.6 1. 设有N个全同玻色子占据了m个单粒子态 .................................................................................. 13 2. 利用归一化条件来确定产生算符和消灭算符的对易关系，同时定出归一化因子C. ................ 14 3. .......................................... 15 二、 ........................................................................................ 16
1. 单体算符的平均值 ........................................................................................................................... 16 2. 二体算符的平均值 ........................................................................................................................... 16
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引言
1. 波动力学，用波函数描述体系的状态，但若处理全同多粒子体系，态函数具有交换对称性，此时用波动
力学的方法则过于繁琐甚至不可行，由此人们发展了二次量子化方法。要点：用单粒子态上填充的粒子数来刻划（粒子数表象）。采用此方法，交换对称性自动满足。
2. 基本的算符是粒子的产生算符和消灭算符，任意态函数和力学量都可用产生和消灭算符表示。并建立了
3. 1.
其中ℎi可视为微扰，
2
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取零级近似，HΨ=EΨ可分离变量，此时构成平均场近似 单粒子能量的本征方程 体系总波函数：
2. 3.2
个对象的全排列算符.
{
−1 奇排列（奇数次交换）
3
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1 偶排列（偶数次交换）
重排两种方式：{
①单粒子态次序不变，重排粒子编号{
奇数次重排取负号
偶数次重排取正号两种方式等价
②粒子编号不变，重排单粒子态例：N=3三、讨论.
1. 从波函数的形式上可以看出，交换对称性（反对称性）得到满足； 2. 对费米子体系，交换反对称性确保泡利原理成立.
①哪些单粒子态被占据
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②每个单粒子态上有多少粒子.3.3 粒子数表象
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在此表象下
1. 归一化 ⟨0|0⟩=1 αi态上的粒子
3.45
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=
即
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B.
=
二、力学量的表示
1. 单粒子算符（单位算符） 单体算符.例：动能算符
总动能算符
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:
αβ取遍所有单粒子态.
称为单体矩阵元.
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不一定为0,其中，
2> 二体算符矩阵元
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3.5 Wick定理
一、正规积
一组产生、消灭算符交叉乘积的正规积，是把所有的产生算符交换到消灭算符的左侧。正规积用N表示。
举例：
††
⟨0|aα1aα2aα3aα4|0⟩=δα1α2δα3α4
⟨0|
aα2 aα1 × × × ×
O O O O
†
aα
†
aβ
aδ √ √ √ √
aγ ∆ ∆ ∆ ∆
††
aα1 aα2
|0⟩
−δα2αδα1βδδα2δγα1 δδδδ
10
O O × ×
× × O O
∆ √ ∆ √
√ ∆ √ ∆
δα2βδα1αδδα2δγα1 −δα2βδα1αδδα1δγα2
因此上式的结果为：
††††
⟨0|aα2aα1aαaβaδaγaα1aα2|0
=δα2βδα1αδδα2δγα1−δα2βδα1αδδα1δγα2−δα2αδα1βδδα2δγα1+δα2αδα1βδδα1δγα2
1. 单体算符
|α⟩:α⟩=εα|α⟩，⟨α|β⟩=δαβ
2、 N个全同费米子体系零级哈密顿量的解 本征态 零级近似能量：
11
{
五、空穴算符
1.
2. 此时，考虑费米子体系，消灭算符作用于基态可能不为零
2> 二体算符的平均值
12
3.6
利用交换对称性：=0,=0
13
，取厄米共轭有：
2.
利用归一化条件来确定产生算符和消灭算符的对易关系，同时定出归一化因子C. 1> 考虑N=1,占据α态
取内积：
一般情况，有
14
更一般地，有
3.
3>
15
粒子数算符
引入总粒子数算符
16
17
鸣谢
本笔记的编写旨在给那些笔记不全或者没有笔记的同学提供一份参考，希望大家喜欢。感谢曾国模老师的细心讲解，也非常感谢张春鹏同学对于笔记的无私奉献。
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