几何图形部分
第一部分:重点中学招生考试题
1
1. （06年清华附中考题）如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=3AB, 已知四边形EDCA
的面积是35，求三角形ABC 的面积. 解答：根据定理：
∆BED 1⨯11
==，所以四边形ACDE 的面积就是6-1=5份，这样三角形35÷5×6=42
。
∆ABC 2⨯36
2. （06年西城实验考题）四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图) 如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是______米.
解答：小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，所以外边四个面积和是5-1=4，所以每个三角形的面积是1，这个图形是“玄形”，所以长直角边和短直角边差就是中间正方形的边长，所以求出短边长就是1。
3. （05年101中学考题）一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪．一看到小灵通，王师傅热情地招呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北四部分(如图) ．修剪西部、东部、南部各需10分钟，16分钟，20
解答：如下所示：将北部分成两个三角形，并标上字母
x ⎧，解得⎨⎩
S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ； 有时把这种比例关系称之为燕尾定理．
4. （05年三帆中学考题）右图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米. 四边形ABDE 的面积是( ) 平方厘米．
11111×FE ×AF+×ED ×AF ）+（×AB ×CD+ ×BC ×CD ）-22222
11111
×FE ×AF-×BC ×CD=×ED ×AF+×AB ×CD=×8×7+×3×12=28+18=46。
22222
解：阴影面积=四边形AFDC-三角形AFE —三角形BCD=（
5.(06年北大附中考题) 三角形ABC 中，C 是直角，已知AC ＝2，CD ＝2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN （阴影部分）的面积为多少？ 解答:因为缺少尾巴，所以连接BN 如下，
∆ABC 的面积为3×2÷2=3
这样我们可以根据燕尾定理很容易发现∆ACN ：∆ANB =CD：BD=2：1；同理∆CBN ：∆ACN =BM：AM=1：1；
设∆AMN 面积为1份，则∆MNB 的面积也是1份，所以∆ANB 得面积就是1+1=2份，而∆ACN ：∆ANB =CD：BD=2：1，所以∆ACN 得面积就是4份；∆CBN ：∆ACN =BM：AM=1：1，所以∆CBN 也是4份，这样∆ABC 的面积总共分成4+4+1+1=10份，所以阴影面积为3×
13=。 1010
6. （四中培训班考试题）如右图所示，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD=AB；延长BC 至E ，使CE=2BC；延长CA 至F ，使AF=3AC，求三角形DEF 的面积。
【提示】连A 、E 两点，在三角形ABE 中，三角形ABC 占三分之一，所以三角形 ACE 面积为2，而三角形ACE 又占三角形CEF 的三分之一，所以三角形CEF 面积为 6. 按照同样的方法连F 、B 和C 、D 。
7. （101中学考题）右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？
解：设定阴影部分面积为X, 则不难由长方形面积公式看出比例关系为：X/30=15/18，则X=25。
8. 正方形ABFD 的面积为100平方厘米，直角三角形ABC 的面积，比直角三角形（CDE 的面积大30平方厘米，求DE 的长是多少？
解：公共部分的运用，三角形ABC 面积-三角形CDE 的面积=30， 两部分都加上公共部分（四边形BCDF ），正方形ABFD-三角形BFE=30， 所以三角形BFE 的面积为70，所以FE 的长为70×2÷10=14，所以DE=4。
9. （★★★）如下图，已知D 是BC 的中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点，且∆ADG 的面积比∆EFG 的面积大6
A
F G
? 平方厘米。∆ABC 的面积是多少平方厘米
B
D E
C
解：因为S ∆AD G =S ∆EFG +6, 所以S ∆AD E =S ∆D EF +6。 根据已知条件：S ∆AD E =S ∆AEC =2S ∆ECF =2S ∆D EF 。
所以三角形DEF 的面积为6。因此三角形ABC 的面积为48平方厘米。
10. （★★）长方形ABCD 的面积为36平方厘米，E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，H 为AD 边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？
【提示】极限考虑，若H 点动到D 点，那么阴影面积为四边形BEFH ， 所以面积占总共的一半为18。
11. （★★）如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。 解：我们要得到阴影部分，只要两个正方形的面积和扣除三个三角形的面积即可。那么正方形面积和为：10×10＋12×12＝244。
三角形ABG 面积为50；三角形ABD 面积为1/2×22×12＝132；三角形AFG 面积为1/2×2×12＝12。则阴影部分面积为244－50－132－12＝50。
12. 如图，已知每个小正方形格的面积是1平方厘米，则不规则图形的面积是______．
解答：基本的格点面积的求解，可以用解答种这样的方法求解，当然也可以用格点面积公式来做，内部点有16个，周边点有8个，所以面积=16+8÷2-1=19
13. 求出图中梯形ABCD 的面积，其中BC=56厘米。（单位：厘米）
解答：根据梯形面积公式，有：S 梯ABCD =
1
⨯(AB +CD )⨯BC ，又因为∆ABE 和2
∆CDE 都是等腰直角三角形，所以AB=BE，CD=CE，也就是：
11
S 梯ABCD =⨯(BE +EC )⨯BC=⨯BC ⨯BC ，知道BC=56cm，所以有：
221
S 梯ABCD =⨯56⨯56=1568cm 2
2
()
14. （第十三届“华罗庚金杯”少年组数学邀请赛决赛试卷（小学组）
图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交与H ，已知CH 等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积。
解答：连接AC ，FG ，可以发现新连接的这两条线是这两个正方形的对角线，互相平行，所以
F
E
A
H
B
D C
G
1CH 1CF ，所以=，所以梯形中的4个小三3HF 2
角形的面积比为1：2：2：4，而已知的CHG 就是2份，所以我们有：S ∆AHC =3cm 2，S ∆AHF =6cm 2，
ACGF 是梯形，H 是其对角线的交点，而CH =
S ∆HFG =12cm 2，所以大正方形的一半S ∆FCG =18cm 2，大正方形面积就是36cm 2，边长就为
6cm ，所以CH=2cm，又因为S ∆AHC =3cm 2，所以CH 上的高，即AD=3cm，小正方形边长为3cm ，总面积为3+6+
2
2
1
⨯3⨯(6-3)=49.5cm 2 2
1
15. （清华附中考题）如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=3AB ，已知四边形EDCA
的面积是35，求三角形ABC 的面积 解答：
S ∆ABC AB ⨯BC 6
==，所以如果BED 是1份，那么整个ABC 就是6份，EDCA 就是6-1=5份，所以1份就是S ∆BDE BE ⨯BD 1
35÷5=7，S ∆ABC =
42
16. （101中学考题）求图中阴影部分面积： （π≈3.14）
解答：可以把图形做这样的操作，把中间的纺锤形面积补到边上：
这样的话，阴影部分就变成了一个弓形，面积即为扇形减去三角形面积：
11
π⨯42-⨯4⨯4=4.56 42
17. （第十三届“华罗庚金杯”少年组数学邀请赛决赛试卷（小学组））图1是小明用一些半径为1厘米，2厘米，4厘米，和8厘米的圆，半圆，圆弧和一个正方形组成的一个鼠头图案，图中阴影部分的总面积为_______平方厘米。（π≈3.14）
解答：首先看最小的阴影部分，是4个小半圆，加上两边的两个小圆一共能组成4个小圆，它们的半径都是1cm ，面积有：4⨯π⨯1=4π cm；然后还剩的就是耳朵处的两个半圆环以及嘴处的一个角，
2
2
它们可以拼成一个完整的圆环，而环的外径是4cm ，内径是2cm ，面积是：4⨯π-2⨯π=12π cm；
2
22
还剩一个尖嘴部分，是正方形减掉了四分之一圆所得，面积为：8-
2
2
12
⨯8⨯π=64-16π cm2，相4
加所得总共阴影面积为64cm
18. （三帆中学考试题）有一个棱长为1米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为60个小长方体，这60个小长方体的表面积总和为_____平方米。
解答：每切一刀会多出2个面来，一共切了9刀，所以多了18个面，加上原来的6个，总面积就是24平方米。
19. （第四届《小学生数学报》邀请赛决赛试题）有9个同样大小的小长方形，拼成一个大长方形（如图5.54）的面积是45厘米2，求这个大长方形的周长。
解析：设每个小长方形的长是a 厘米，宽是b 厘米。于是有a ×b=45÷9＝5；又有：4a=5b。可求得b=2，a=2.5。所以大长方形的周长为6a ＋7b=29（厘米）。
20. （全国第四届“华杯赛”决赛试题）图5.55中图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个如图（3）所示的小长方形，斜线区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中画斜线的区域的周长哪个大？大多少？
解析：图5.55（1）中画斜线区域的周长恰好等于大长方形的周长，图5.55（2）中画斜线区域的周长明显比大长方形周长小。二者相差2·AB 。
从图5.55（2）的竖直方向看，AB ＝a －CD 图5.55（2）中大长方形的长是a ＋2b ，宽是2b ＋CD ，所以，（a+2b）-（2b ＋CD ）=a-CD=6（厘米）故：图5.55（1）中画斜线区域的周长比图5.55（2）中画斜线区域的周长大，大12厘米。 21.(北京市第十届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
如图5.56，长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是______。
解析：连结AE （如图5.57），则三角形AEC 的面积是16÷2-4=4。因为△ACF 与△AEC 等高，且面积相等。所以，CF=CE
。
同理，△ABE 的面积是16÷2-3=5，则BD ∶BE=3∶5。即BE=
从而，△ABC 的面积是16-（3＋4+2.5）=6.5。
22. （1992年武汉市小学数学竞赛试题）
如图5．58，在等边三角形ABC 中，AF=3FB，FH 垂直于BC ，已知阴影部分的面积为1平方厘米，这个等边三角形的面积是多少平方厘米？
解析：如图5.59，连接△ABC 各边中点，则△ABC 被分成了大小相等的四个小三角形。
在△DBG 中，再连接各边中点，得出将△DBG 又分成了四个很小的三角形。经观察，容易得出△ABC 的面积为（1×2）×4×4=32（平方厘米）。
23. （1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）三条边长分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形如图5.60（1），将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合如图5.60（2）。那么，图5.60（2）中阴影部分（即未被盖住部分）的面积是______平方厘米。
解析：如图5.60（2），设EC 等于a 厘米，那么DE 也为a 厘米。
△ABC 的面积等于△ABE 的面积加上△AEC 的面积。
24. （广州市小学数学竞赛试题）如图5.61，ABCD 是一个梯形，已知三角形ABD 的面积是12平方厘米，三角形AOD 的面积比三角形BOC 的面积少12平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是______平方厘米。
几何图形部分
第一部分:重点中学招生考试题
1
1. （06年清华附中考题）如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=3AB, 已知四边形EDCA
的面积是35，求三角形ABC 的面积. 解答：根据定理：
∆BED 1⨯11
==，所以四边形ACDE 的面积就是6-1=5份，这样三角形35÷5×6=42
。
∆ABC 2⨯36
2. （06年西城实验考题）四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图) 如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是______米.
解答：小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，所以外边四个面积和是5-1=4，所以每个三角形的面积是1，这个图形是“玄形”，所以长直角边和短直角边差就是中间正方形的边长，所以求出短边长就是1。
3. （05年101中学考题）一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪．一看到小灵通，王师傅热情地招呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北四部分(如图) ．修剪西部、东部、南部各需10分钟，16分钟，20
解答：如下所示：将北部分成两个三角形，并标上字母
x ⎧，解得⎨⎩
S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ； 有时把这种比例关系称之为燕尾定理．
4. （05年三帆中学考题）右图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米. 四边形ABDE 的面积是( ) 平方厘米．
11111×FE ×AF+×ED ×AF ）+（×AB ×CD+ ×BC ×CD ）-22222
11111
×FE ×AF-×BC ×CD=×ED ×AF+×AB ×CD=×8×7+×3×12=28+18=46。
22222
解：阴影面积=四边形AFDC-三角形AFE —三角形BCD=（
5.(06年北大附中考题) 三角形ABC 中，C 是直角，已知AC ＝2，CD ＝2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN （阴影部分）的面积为多少？ 解答:因为缺少尾巴，所以连接BN 如下，
∆ABC 的面积为3×2÷2=3
这样我们可以根据燕尾定理很容易发现∆ACN ：∆ANB =CD：BD=2：1；同理∆CBN ：∆ACN =BM：AM=1：1；
设∆AMN 面积为1份，则∆MNB 的面积也是1份，所以∆ANB 得面积就是1+1=2份，而∆ACN ：∆ANB =CD：BD=2：1，所以∆ACN 得面积就是4份；∆CBN ：∆ACN =BM：AM=1：1，所以∆CBN 也是4份，这样∆ABC 的面积总共分成4+4+1+1=10份，所以阴影面积为3×
13=。 1010
6. （四中培训班考试题）如右图所示，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD=AB；延长BC 至E ，使CE=2BC；延长CA 至F ，使AF=3AC，求三角形DEF 的面积。
【提示】连A 、E 两点，在三角形ABE 中，三角形ABC 占三分之一，所以三角形 ACE 面积为2，而三角形ACE 又占三角形CEF 的三分之一，所以三角形CEF 面积为 6. 按照同样的方法连F 、B 和C 、D 。
7. （101中学考题）右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？
解：设定阴影部分面积为X, 则不难由长方形面积公式看出比例关系为：X/30=15/18，则X=25。
8. 正方形ABFD 的面积为100平方厘米，直角三角形ABC 的面积，比直角三角形（CDE 的面积大30平方厘米，求DE 的长是多少？
解：公共部分的运用，三角形ABC 面积-三角形CDE 的面积=30， 两部分都加上公共部分（四边形BCDF ），正方形ABFD-三角形BFE=30， 所以三角形BFE 的面积为70，所以FE 的长为70×2÷10=14，所以DE=4。
9. （★★★）如下图，已知D 是BC 的中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点，且∆ADG 的面积比∆EFG 的面积大6
A
F G
? 平方厘米。∆ABC 的面积是多少平方厘米
B
D E
C
解：因为S ∆AD G =S ∆EFG +6, 所以S ∆AD E =S ∆D EF +6。 根据已知条件：S ∆AD E =S ∆AEC =2S ∆ECF =2S ∆D EF 。
所以三角形DEF 的面积为6。因此三角形ABC 的面积为48平方厘米。
10. （★★）长方形ABCD 的面积为36平方厘米，E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，H 为AD 边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？
【提示】极限考虑，若H 点动到D 点，那么阴影面积为四边形BEFH ， 所以面积占总共的一半为18。
11. （★★）如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。 解：我们要得到阴影部分，只要两个正方形的面积和扣除三个三角形的面积即可。那么正方形面积和为：10×10＋12×12＝244。
三角形ABG 面积为50；三角形ABD 面积为1/2×22×12＝132；三角形AFG 面积为1/2×2×12＝12。则阴影部分面积为244－50－132－12＝50。
12. 如图，已知每个小正方形格的面积是1平方厘米，则不规则图形的面积是______．
解答：基本的格点面积的求解，可以用解答种这样的方法求解，当然也可以用格点面积公式来做，内部点有16个，周边点有8个，所以面积=16+8÷2-1=19
13. 求出图中梯形ABCD 的面积，其中BC=56厘米。（单位：厘米）
解答：根据梯形面积公式，有：S 梯ABCD =
1
⨯(AB +CD )⨯BC ，又因为∆ABE 和2
∆CDE 都是等腰直角三角形，所以AB=BE，CD=CE，也就是：
11
S 梯ABCD =⨯(BE +EC )⨯BC=⨯BC ⨯BC ，知道BC=56cm，所以有：
221
S 梯ABCD =⨯56⨯56=1568cm 2
2
()
14. （第十三届“华罗庚金杯”少年组数学邀请赛决赛试卷（小学组）
图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交与H ，已知CH 等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积。
解答：连接AC ，FG ，可以发现新连接的这两条线是这两个正方形的对角线，互相平行，所以
F
E
A
H
B
D C
G
1CH 1CF ，所以=，所以梯形中的4个小三3HF 2
角形的面积比为1：2：2：4，而已知的CHG 就是2份，所以我们有：S ∆AHC =3cm 2，S ∆AHF =6cm 2，
ACGF 是梯形，H 是其对角线的交点，而CH =
S ∆HFG =12cm 2，所以大正方形的一半S ∆FCG =18cm 2，大正方形面积就是36cm 2，边长就为
6cm ，所以CH=2cm，又因为S ∆AHC =3cm 2，所以CH 上的高，即AD=3cm，小正方形边长为3cm ，总面积为3+6+
2
2
1
⨯3⨯(6-3)=49.5cm 2 2
1
15. （清华附中考题）如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=3AB ，已知四边形EDCA
的面积是35，求三角形ABC 的面积 解答：
S ∆ABC AB ⨯BC 6
==，所以如果BED 是1份，那么整个ABC 就是6份，EDCA 就是6-1=5份，所以1份就是S ∆BDE BE ⨯BD 1
35÷5=7，S ∆ABC =
42
16. （101中学考题）求图中阴影部分面积： （π≈3.14）
解答：可以把图形做这样的操作，把中间的纺锤形面积补到边上：
这样的话，阴影部分就变成了一个弓形，面积即为扇形减去三角形面积：
11
π⨯42-⨯4⨯4=4.56 42
17. （第十三届“华罗庚金杯”少年组数学邀请赛决赛试卷（小学组））图1是小明用一些半径为1厘米，2厘米，4厘米，和8厘米的圆，半圆，圆弧和一个正方形组成的一个鼠头图案，图中阴影部分的总面积为_______平方厘米。（π≈3.14）
解答：首先看最小的阴影部分，是4个小半圆，加上两边的两个小圆一共能组成4个小圆，它们的半径都是1cm ，面积有：4⨯π⨯1=4π cm；然后还剩的就是耳朵处的两个半圆环以及嘴处的一个角，
2
2
它们可以拼成一个完整的圆环，而环的外径是4cm ，内径是2cm ，面积是：4⨯π-2⨯π=12π cm；
2
22
还剩一个尖嘴部分，是正方形减掉了四分之一圆所得，面积为：8-
2
2
12
⨯8⨯π=64-16π cm2，相4
加所得总共阴影面积为64cm
18. （三帆中学考试题）有一个棱长为1米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为60个小长方体，这60个小长方体的表面积总和为_____平方米。
解答：每切一刀会多出2个面来，一共切了9刀，所以多了18个面，加上原来的6个，总面积就是24平方米。
19. （第四届《小学生数学报》邀请赛决赛试题）有9个同样大小的小长方形，拼成一个大长方形（如图5.54）的面积是45厘米2，求这个大长方形的周长。
解析：设每个小长方形的长是a 厘米，宽是b 厘米。于是有a ×b=45÷9＝5；又有：4a=5b。可求得b=2，a=2.5。所以大长方形的周长为6a ＋7b=29（厘米）。
20. （全国第四届“华杯赛”决赛试题）图5.55中图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个如图（3）所示的小长方形，斜线区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中画斜线的区域的周长哪个大？大多少？
解析：图5.55（1）中画斜线区域的周长恰好等于大长方形的周长，图5.55（2）中画斜线区域的周长明显比大长方形周长小。二者相差2·AB 。
从图5.55（2）的竖直方向看，AB ＝a －CD 图5.55（2）中大长方形的长是a ＋2b ，宽是2b ＋CD ，所以，（a+2b）-（2b ＋CD ）=a-CD=6（厘米）故：图5.55（1）中画斜线区域的周长比图5.55（2）中画斜线区域的周长大，大12厘米。 21.(北京市第十届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
如图5.56，长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是______。
解析：连结AE （如图5.57），则三角形AEC 的面积是16÷2-4=4。因为△ACF 与△AEC 等高，且面积相等。所以，CF=CE
。
同理，△ABE 的面积是16÷2-3=5，则BD ∶BE=3∶5。即BE=
从而，△ABC 的面积是16-（3＋4+2.5）=6.5。
22. （1992年武汉市小学数学竞赛试题）
如图5．58，在等边三角形ABC 中，AF=3FB，FH 垂直于BC ，已知阴影部分的面积为1平方厘米，这个等边三角形的面积是多少平方厘米？
解析：如图5.59，连接△ABC 各边中点，则△ABC 被分成了大小相等的四个小三角形。
在△DBG 中，再连接各边中点，得出将△DBG 又分成了四个很小的三角形。经观察，容易得出△ABC 的面积为（1×2）×4×4=32（平方厘米）。
23. （1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）三条边长分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形如图5.60（1），将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合如图5.60（2）。那么，图5.60（2）中阴影部分（即未被盖住部分）的面积是______平方厘米。
解析：如图5.60（2），设EC 等于a 厘米，那么DE 也为a 厘米。
△ABC 的面积等于△ABE 的面积加上△AEC 的面积。
24. （广州市小学数学竞赛试题）如图5.61，ABCD 是一个梯形，已知三角形ABD 的面积是12平方厘米，三角形AOD 的面积比三角形BOC 的面积少12平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是______平方厘米。