第7章 光的衍射
7.1平行单色光垂直入射在缝宽为a =0. 15mm 的单缝上。缝后有焦距为f =400mm 的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕。现测得屏幕上中央明条纹两侧的两个第三级暗纹之间的距离为8mm ，则入射光的波长为λ=? 解：单缝衍射的暗条纹分布规律是y =±f k `λ，(k` = 1,2,3,…)， a
测得屏幕上中央明条纹两侧的两个第三级暗纹之间的距离为8mm ，
y 3 – y-3` = 6fλ/a =8mm
λ=0. 8a 8⨯0. 15==5⨯10-4mm =500nm 6f 6⨯400
7.2一单色平行光束垂直照射在宽度为1.0mm 的单缝上，在缝后放一焦距为2.0 m的会聚透镜。已知位于透镜焦平面处的屏幕上的中央明条纹宽度为2.0 m，则入射光波长约为多少？ 解：单缝衍射的暗条纹分布规律是y =±f k `λ，(k` = 1,2,3,…)， a
中央明纹的宽度为Δy = y1 – y-1` = 2fλ/a =2.0mm
λ=a 1. 0mm =mm =500nm f 2000
7．3 在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长λ1和λ2，并垂直入射于单缝上．假如λ1的第一级衍射极小与λ2的第三级衍射极小相重合，试问：
（1）这两种波长之间有什么关系；
（2）在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？
[解答]（1）单缝衍射的暗条纹形成条件是
δ = asin θ = ±k`λ，(k` = 1,2,3,…)，
k 1` = 1和k 2` = 3的条纹重合时，它们对应同一衍射角，由于因此
λ1 = 3λ2．
（2）当其他极小重合时，必有
k 1`λ1 = k 2`λ2，
所以 k 2` = 3k 1`，
当k 1` = 2时k 2` = 6，可见：还有其他极小重合．
7.4 单缝的宽度a = 0.40mm ，以波长λ = 589nm 的单色光垂直照射，设透镜的焦距f = 1.0m ．求：
（1）第一暗纹距中心的距离；
（2）第二明纹的宽度；
（3）如单色光以入射角i = 30º斜射到单缝上，则上述结果有何变动？
解：（1）单缝衍射的暗条纹分布规律是y =±f k `λ，(k` = 1,2,3,…)， a
当k` = 1时，y 1 = f λ/a = 1.4725(mm)．
（2）除中央明纹外，第二级明纹和其他明纹的宽度为
Δy = yk`+1 - yk` = fλ/a = 1.4725(mm)．
（3）当入射光斜射时，光程差为δ = asin θ – asin φ = ±k`λ，(k` = 1,2,3,…)．
当k` = 1时，可得sin θ1 = sin φ ± λ/a = 0.5015和0.4985，
cos θ1 = (1 – sin2θ1) 1/2 = 0.8652和0.8669．
两条一级暗纹到中心的距离分别为y 1 = ftan θ1 = 579.6(mm)和575.1(mm)．
当k` = 2时，可得sin θ2 =asin φ ± 2λ/a = 0.5029和0.4971，
cos θ2 = (1 – sin2θ2) 1/2 = 0.8642和0.8677．
两条二级暗纹距中心的距离分别为 y 2 = ftan θ2 = 581.9(mm)和572.8(mm)． 第二明纹的宽度都为 Δy = y2 – y1 = 2.3(mm)，
比原来的条纹加宽了．
7.5 一单色平行光垂直入射于一单缝，若其第三级衍射明纹位置正好和波长为600 nm 的单色光垂直入射该缝时的第二级衍射明纹位置一样，求该单色光的波长．
解：除了中央明纹之外，单缝衍射的条纹形成的条件是
，(k = 1,2,3,…)． 2
当条纹重合时，它们对应同一衍射角，因此(2k 1 + 1)λ1 = (2k 2 + 1)λ2， 2k +1解得此单色光的波长为λ2=λ11= 428.6(nm)． 2k 2+1
7.6 一双缝，缝距d =0. 4mm ，两缝宽度都是a =0. 080mm ，用波长为λ=4800A 的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f =2. 0m 的透镜。求：
（1）在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距∆x ；
（2）在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目N 。 δ=a sin θ=±(2k +1) λ
解：双缝干涉条纹：
（1）第k 级亮纹条件： d sinθ =k λ
第k 级亮条纹位置：x k = f tgθ ≈f sinθ ≈kf λ / d
-相邻两亮纹的间距：∆x = x k +1－x k =(k ＋1) f λ / d －kf λ / d =f λ / d =2.4×103 m=2.4 mm
（2） 单缝衍射第一暗纹： a sinθ1 = λ
单缝衍射中央亮纹半宽度：∆x 0 = f tgθ1≈f sinθ1 ≈f λ / a ＝12 mm
∆x 0 / ∆x =5 ∴ 双缝干涉第±5极主级大缺级．
∴ 在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目N = 9
分别为 k = 0，±1，±2，±3，±4级亮纹
或根据d / a = 5指出双缝干涉缺第±5级主大，同样得该结论．
7.7 一衍射光栅，每厘米有400条刻痕，刻痕宽为1.5×10-5m ，光栅后放一焦距为1m 的的凸透镜，现以λ = 500nm的单色光垂直照射光栅，求：
（1）透光缝宽为多少？透光缝的单缝衍射中央明纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几条光栅衍射主极大明纹？
解：（1）光栅常数为a + b = 0.01/400 = 2.5×10-5(m)，
由于刻痕宽为b = 1.5×10-5m ，所以透光缝宽为a = (a + b) – b = 1.0×10-5(m)．
对于宽度为a 的单缝来说，暗纹形成的条件是a sin θ = ±2k`(λ/2) = ±k`λ，
当θ很小时，θ = sin θ = tan θ = y/f ，因此暗纹的位置是y =±f k `λ，(k ` = 1,2,3,…)， a
取k ` = 1，得一级暗纹的位置 y ±1 = fλ/a = 50(mm)．
因此中央明纹的宽度为Δy 0 = 2y 1 = 2fλ/a = 100(mm)．
（2）对于光珊来说，形成明纹的必要条件是 (a + b)sin θ = kλ，
在衍射的中央明纹范围内，光珊衍射的最高级数为
k max =(a +b )sin θ
λ=(a +b ) y 1a +b ==2.5， a λf
取整数2，可知光珊衍射在单缝衍射中央有k = 0, ±1, ±2，共5条主极大明纹．
另外，根据缺级条件k /k` = (a + b)/a = 2.5 = 5/2，
可知：光栅干涉的第5级明纹出现在单缝衍射的第2级暗纹处，因而缺级；其他4根条纹近似等角度分布，各有两根在单缝衍射的中央明纹和一级明纹中．根据对称性，一级干涉明纹有两条，二级干涉明纹也有两条，包括中央明纹，共有5条干涉主极大明纹在单缝衍射的中央明纹宽度内．
7.8波长为600 nm的单色光垂直入射在一光栅上，第二、第三级主极大明纹分别出现在sin θ = 0.2及sin θ = 0.3处，第四级缺级，求：
（1）光栅常数；
（2）光栅上狭缝的宽度；
（3）屏上一共能观察到多少根主极大明纹
解：（1）（2）根据缺级条件(a + b)/a = k/k`，
由题意得k` = 1，k = 4．解得b = 3a ．
再根据光栅方程(a + b)sin θ = kλ，
可得狭缝的宽度为a = kλ/4sin θ，
将k = 2，sin θ = 0.2或将k = 3，sin θ = 0.3代入上式，可得a = 1500(nm)．
刻痕的宽度为b = 3a = 4500(nm)，
光栅常数为a + b = 6000(nm)．
（3）在光栅方程中 (a + b)sin θ = kλ，
令sin θ =1，得k =(a + b)/λ = 10．
由于θ = 90°的条纹是观察不到的，所以明条纹的最高级数为9．又由于缺了4和8级明条纹，所以在屏上能够观察到2×7+1 = 15条明纹．
7.9 以氢放电管发出的光垂直照射在某光栅上，在衍射角θ = 41º的方向上看到λ1 = 656.2nm和λ2 = 410.1nm的谱线重合，求光栅常数的最小值是多少？
400~507nm 解：根据光栅方程得
(a + b)sin θ = k1λ1， 和 (a + b)sin θ= k2λ2， 因此k 2/k1 = λ1/λ2 = 1.6 = 16/10 = 8/5，
可见：k 1最小取5，k 2最小取8．因此最小光栅常数为
a + b = k1λ1/sinθ = 5000(nm)．
此题与第四题的解法相同．
7.10两光谱线波长分别为λ和λ+∆λ，其中∆λ
证：据光栅方程有d sin θ=k λ-------- ①
d sin (θ+∆θ)=k (λ+∆λ)---------- ②
d (sin θ)⋅∆θ=cos θ⋅∆θ d θ
②－①，得 d ⋅cos θ⋅∆θ≈k ∆λ
k ∆λθ =∴ ∆θ≈k ∆λ/d c o s 2d -sin θ
∆λ= ∆θ≈ 22222d -d sin θd /k )-λ∵ sin (θ+∆θ)-sin θ≈
7.11 白光中包含了波长从400nm 到760nm 之间的所有可见光谱，用白光垂直照射一光栅，每一级衍射光谱是否仍只有一条谱线？第一级衍射光谱和第二级衍射光谱是否有重叠？第二级和第三级情况如何？
解：由于白光是连续光谱，经过光栅衍射之后仍然是连续光谱，所以每一级衍射光谱都是一条光谱带，而不是一条光谱线．根据光栅方程(a + b)sin θ = kλ，如果两种不同级的单色光重叠，它们的衍射角应该相同．
假设某波长可见光的2级衍射谱线与波长最长的可见光的一级谱线重叠，即2λ = 1×760， 可得λ = 380nm，由于该波长比波长最短的可见光的波长400nm 还要短，可知：第一级衍射光谱和第二级衍射光谱没有重叠．
假设某波长可见光的3级衍射谱线与波长最长的可见光的二级谱线重叠，即3λ = 2×760， 可得λ = 507nm，该波长在可见光的波长之内，可知：第二级衍射光谱和第三级衍射光谱有重叠．反过来，假设波长最短的可见光的3级衍射谱线与某波长的可见光的二级谱线重叠，即3×400 = 2λ`，可得λ` = 600nm，
可知：第二级衍射光谱在600~760nm的波长范围与第三级衍射光谱在400~507nm波长范围有重叠．
7.12 一雷达的圆形发射天线的直径D=5 m，发射的无线电波的频率为v=300GHz ，计算雷达发射的无线电波束的角宽度。
解：雷达天线发射出去的无线电波，相当于通过天线圆孔后的衍射波，除衍射的中央主极大外，其他各级衍射次级大对接收都没有实际效果。 所以雷达发射的无线电波束的角宽度，就是圆孔衍射所形成的爱利斑的直径对应的角宽度，它等于爱利斑半径对应的角宽度θ0 的2倍。故所求为
3⨯108c 2. 44⨯2. 4492. 44λ-3θ=2θ0=== =4. 88⨯10rad D D 0. 5
7.13 迎面开来的汽车，其两车灯相距为1m ，汽车离人多远时，两灯刚能为人眼所分辨？（假定人眼瞳孔直径d 为3 mm，光在空气中的有效波长为λ = 500nm）
解：人眼的最小分辨角为θ0 = 1.22λ/D = 2.033×10-4(rad)，
当车很远时θ0 = w/l，所以距离为l = w /θ0 = 4918(m)．
7.14 在X 射线衍射实验中，用波长从0.095nm 到0.130nm 连续的X 射线以30º角入射到晶体表面．若晶体的晶格常数d = 0.275nm，则在反射方向上有哪些波长的X 射线形成衍射极大？
解：30º是入射角，因此掠射角为θ = 90º - 30º = 60º．
根据布喇格公式2d sin θ = kλ， 得X 射线形成衍射极大的波长为 λ = 2d sin θ/k，(k = 1,2,3,…)．
第7章 光的衍射
7.1平行单色光垂直入射在缝宽为a =0. 15mm 的单缝上。缝后有焦距为f =400mm 的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕。现测得屏幕上中央明条纹两侧的两个第三级暗纹之间的距离为8mm ，则入射光的波长为λ=? 解：单缝衍射的暗条纹分布规律是y =±f k `λ，(k` = 1,2,3,…)， a
测得屏幕上中央明条纹两侧的两个第三级暗纹之间的距离为8mm ，
y 3 – y-3` = 6fλ/a =8mm
λ=0. 8a 8⨯0. 15==5⨯10-4mm =500nm 6f 6⨯400
7.2一单色平行光束垂直照射在宽度为1.0mm 的单缝上，在缝后放一焦距为2.0 m的会聚透镜。已知位于透镜焦平面处的屏幕上的中央明条纹宽度为2.0 m，则入射光波长约为多少？ 解：单缝衍射的暗条纹分布规律是y =±f k `λ，(k` = 1,2,3,…)， a
中央明纹的宽度为Δy = y1 – y-1` = 2fλ/a =2.0mm
λ=a 1. 0mm =mm =500nm f 2000
7．3 在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长λ1和λ2，并垂直入射于单缝上．假如λ1的第一级衍射极小与λ2的第三级衍射极小相重合，试问：
（1）这两种波长之间有什么关系；
（2）在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？
[解答]（1）单缝衍射的暗条纹形成条件是
δ = asin θ = ±k`λ，(k` = 1,2,3,…)，
k 1` = 1和k 2` = 3的条纹重合时，它们对应同一衍射角，由于因此
λ1 = 3λ2．
（2）当其他极小重合时，必有
k 1`λ1 = k 2`λ2，
所以 k 2` = 3k 1`，
当k 1` = 2时k 2` = 6，可见：还有其他极小重合．
7.4 单缝的宽度a = 0.40mm ，以波长λ = 589nm 的单色光垂直照射，设透镜的焦距f = 1.0m ．求：
（1）第一暗纹距中心的距离；
（2）第二明纹的宽度；
（3）如单色光以入射角i = 30º斜射到单缝上，则上述结果有何变动？
解：（1）单缝衍射的暗条纹分布规律是y =±f k `λ，(k` = 1,2,3,…)， a
当k` = 1时，y 1 = f λ/a = 1.4725(mm)．
（2）除中央明纹外，第二级明纹和其他明纹的宽度为
Δy = yk`+1 - yk` = fλ/a = 1.4725(mm)．
（3）当入射光斜射时，光程差为δ = asin θ – asin φ = ±k`λ，(k` = 1,2,3,…)．
当k` = 1时，可得sin θ1 = sin φ ± λ/a = 0.5015和0.4985，
cos θ1 = (1 – sin2θ1) 1/2 = 0.8652和0.8669．
两条一级暗纹到中心的距离分别为y 1 = ftan θ1 = 579.6(mm)和575.1(mm)．
当k` = 2时，可得sin θ2 =asin φ ± 2λ/a = 0.5029和0.4971，
cos θ2 = (1 – sin2θ2) 1/2 = 0.8642和0.8677．
两条二级暗纹距中心的距离分别为 y 2 = ftan θ2 = 581.9(mm)和572.8(mm)． 第二明纹的宽度都为 Δy = y2 – y1 = 2.3(mm)，
比原来的条纹加宽了．
7.5 一单色平行光垂直入射于一单缝，若其第三级衍射明纹位置正好和波长为600 nm 的单色光垂直入射该缝时的第二级衍射明纹位置一样，求该单色光的波长．
解：除了中央明纹之外，单缝衍射的条纹形成的条件是
，(k = 1,2,3,…)． 2
当条纹重合时，它们对应同一衍射角，因此(2k 1 + 1)λ1 = (2k 2 + 1)λ2， 2k +1解得此单色光的波长为λ2=λ11= 428.6(nm)． 2k 2+1
7.6 一双缝，缝距d =0. 4mm ，两缝宽度都是a =0. 080mm ，用波长为λ=4800A 的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f =2. 0m 的透镜。求：
（1）在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距∆x ；
（2）在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目N 。 δ=a sin θ=±(2k +1) λ
解：双缝干涉条纹：
（1）第k 级亮纹条件： d sinθ =k λ
第k 级亮条纹位置：x k = f tgθ ≈f sinθ ≈kf λ / d
-相邻两亮纹的间距：∆x = x k +1－x k =(k ＋1) f λ / d －kf λ / d =f λ / d =2.4×103 m=2.4 mm
（2） 单缝衍射第一暗纹： a sinθ1 = λ
单缝衍射中央亮纹半宽度：∆x 0 = f tgθ1≈f sinθ1 ≈f λ / a ＝12 mm
∆x 0 / ∆x =5 ∴ 双缝干涉第±5极主级大缺级．
∴ 在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目N = 9
分别为 k = 0，±1，±2，±3，±4级亮纹
或根据d / a = 5指出双缝干涉缺第±5级主大，同样得该结论．
7.7 一衍射光栅，每厘米有400条刻痕，刻痕宽为1.5×10-5m ，光栅后放一焦距为1m 的的凸透镜，现以λ = 500nm的单色光垂直照射光栅，求：
（1）透光缝宽为多少？透光缝的单缝衍射中央明纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几条光栅衍射主极大明纹？
解：（1）光栅常数为a + b = 0.01/400 = 2.5×10-5(m)，
由于刻痕宽为b = 1.5×10-5m ，所以透光缝宽为a = (a + b) – b = 1.0×10-5(m)．
对于宽度为a 的单缝来说，暗纹形成的条件是a sin θ = ±2k`(λ/2) = ±k`λ，
当θ很小时，θ = sin θ = tan θ = y/f ，因此暗纹的位置是y =±f k `λ，(k ` = 1,2,3,…)， a
取k ` = 1，得一级暗纹的位置 y ±1 = fλ/a = 50(mm)．
因此中央明纹的宽度为Δy 0 = 2y 1 = 2fλ/a = 100(mm)．
（2）对于光珊来说，形成明纹的必要条件是 (a + b)sin θ = kλ，
在衍射的中央明纹范围内，光珊衍射的最高级数为
k max =(a +b )sin θ
λ=(a +b ) y 1a +b ==2.5， a λf
取整数2，可知光珊衍射在单缝衍射中央有k = 0, ±1, ±2，共5条主极大明纹．
另外，根据缺级条件k /k` = (a + b)/a = 2.5 = 5/2，
可知：光栅干涉的第5级明纹出现在单缝衍射的第2级暗纹处，因而缺级；其他4根条纹近似等角度分布，各有两根在单缝衍射的中央明纹和一级明纹中．根据对称性，一级干涉明纹有两条，二级干涉明纹也有两条，包括中央明纹，共有5条干涉主极大明纹在单缝衍射的中央明纹宽度内．
7.8波长为600 nm的单色光垂直入射在一光栅上，第二、第三级主极大明纹分别出现在sin θ = 0.2及sin θ = 0.3处，第四级缺级，求：
（1）光栅常数；
（2）光栅上狭缝的宽度；
（3）屏上一共能观察到多少根主极大明纹
解：（1）（2）根据缺级条件(a + b)/a = k/k`，
由题意得k` = 1，k = 4．解得b = 3a ．
再根据光栅方程(a + b)sin θ = kλ，
可得狭缝的宽度为a = kλ/4sin θ，
将k = 2，sin θ = 0.2或将k = 3，sin θ = 0.3代入上式，可得a = 1500(nm)．
刻痕的宽度为b = 3a = 4500(nm)，
光栅常数为a + b = 6000(nm)．
（3）在光栅方程中 (a + b)sin θ = kλ，
令sin θ =1，得k =(a + b)/λ = 10．
由于θ = 90°的条纹是观察不到的，所以明条纹的最高级数为9．又由于缺了4和8级明条纹，所以在屏上能够观察到2×7+1 = 15条明纹．
7.9 以氢放电管发出的光垂直照射在某光栅上，在衍射角θ = 41º的方向上看到λ1 = 656.2nm和λ2 = 410.1nm的谱线重合，求光栅常数的最小值是多少？
400~507nm 解：根据光栅方程得
(a + b)sin θ = k1λ1， 和 (a + b)sin θ= k2λ2， 因此k 2/k1 = λ1/λ2 = 1.6 = 16/10 = 8/5，
可见：k 1最小取5，k 2最小取8．因此最小光栅常数为
a + b = k1λ1/sinθ = 5000(nm)．
此题与第四题的解法相同．
7.10两光谱线波长分别为λ和λ+∆λ，其中∆λ
证：据光栅方程有d sin θ=k λ-------- ①
d sin (θ+∆θ)=k (λ+∆λ)---------- ②
d (sin θ)⋅∆θ=cos θ⋅∆θ d θ
②－①，得 d ⋅cos θ⋅∆θ≈k ∆λ
k ∆λθ =∴ ∆θ≈k ∆λ/d c o s 2d -sin θ
∆λ= ∆θ≈ 22222d -d sin θd /k )-λ∵ sin (θ+∆θ)-sin θ≈
7.11 白光中包含了波长从400nm 到760nm 之间的所有可见光谱，用白光垂直照射一光栅，每一级衍射光谱是否仍只有一条谱线？第一级衍射光谱和第二级衍射光谱是否有重叠？第二级和第三级情况如何？
解：由于白光是连续光谱，经过光栅衍射之后仍然是连续光谱，所以每一级衍射光谱都是一条光谱带，而不是一条光谱线．根据光栅方程(a + b)sin θ = kλ，如果两种不同级的单色光重叠，它们的衍射角应该相同．
假设某波长可见光的2级衍射谱线与波长最长的可见光的一级谱线重叠，即2λ = 1×760， 可得λ = 380nm，由于该波长比波长最短的可见光的波长400nm 还要短，可知：第一级衍射光谱和第二级衍射光谱没有重叠．
假设某波长可见光的3级衍射谱线与波长最长的可见光的二级谱线重叠，即3λ = 2×760， 可得λ = 507nm，该波长在可见光的波长之内，可知：第二级衍射光谱和第三级衍射光谱有重叠．反过来，假设波长最短的可见光的3级衍射谱线与某波长的可见光的二级谱线重叠，即3×400 = 2λ`，可得λ` = 600nm，
可知：第二级衍射光谱在600~760nm的波长范围与第三级衍射光谱在400~507nm波长范围有重叠．
7.12 一雷达的圆形发射天线的直径D=5 m，发射的无线电波的频率为v=300GHz ，计算雷达发射的无线电波束的角宽度。
解：雷达天线发射出去的无线电波，相当于通过天线圆孔后的衍射波，除衍射的中央主极大外，其他各级衍射次级大对接收都没有实际效果。 所以雷达发射的无线电波束的角宽度，就是圆孔衍射所形成的爱利斑的直径对应的角宽度，它等于爱利斑半径对应的角宽度θ0 的2倍。故所求为
3⨯108c 2. 44⨯2. 4492. 44λ-3θ=2θ0=== =4. 88⨯10rad D D 0. 5
7.13 迎面开来的汽车，其两车灯相距为1m ，汽车离人多远时，两灯刚能为人眼所分辨？（假定人眼瞳孔直径d 为3 mm，光在空气中的有效波长为λ = 500nm）
解：人眼的最小分辨角为θ0 = 1.22λ/D = 2.033×10-4(rad)，
当车很远时θ0 = w/l，所以距离为l = w /θ0 = 4918(m)．
7.14 在X 射线衍射实验中，用波长从0.095nm 到0.130nm 连续的X 射线以30º角入射到晶体表面．若晶体的晶格常数d = 0.275nm，则在反射方向上有哪些波长的X 射线形成衍射极大？
解：30º是入射角，因此掠射角为θ = 90º - 30º = 60º．
根据布喇格公式2d sin θ = kλ， 得X 射线形成衍射极大的波长为 λ = 2d sin θ/k，(k = 1,2,3,…)．