2006年6月阴山学刊
Jun.2006逆矩阵的求法
高 明
Ξ
(包头师范学院数学科学学院,内蒙古包头014030)
摘 要:矩阵的逆问题是矩阵论的重要问题,本文给出了逆矩阵的几种求法。
关键词:初等变换;伴随矩阵;分块矩阵;特征多项式中图分类号:151121 文献标识码:A 文章编号:1004-1869(2006)02-0014-03
1 伴随矩阵法
detA
A
-1
+A
-1
B(D-CA
-1
B)
-1
-A
-1
B(D-CA
-1
B)
-1
定理:n阶矩阵A可逆ΖdetA≠0且在A可逆时A-1=・A3,其中A3是A的伴随矩阵。例1:A=
ac
bac
,ad-bc=1,求Abd
-1
-1-1-1
-(D-CAB)CA(D-CA-1B)-1
证:设A、D分别是γ阶,S阶的方阵,则:
ACAO
-ba
ErBDB-CErOB
O→
Er
O
-1
解:∵|A|==ad-bc=1≠0-CA-1B(D-CA-1B)--1-1
(D-CAB)
∴A可逆,且A-1=
|A|
・A3=
d-c
-1A-1BD-1-1-1
-1-()C注:此方法适合于二、三阶方阵。
2如果A可逆,则E,E1、E2……ES使
-1
ES…E2E1A=E (1)用A右乘上式两端,得
C
B1
=
-A-1B(D-CA-1B)-1
(D-CA-1B)-1
A-1+A-1B(D-CA-1B)-1CA-1
-1-1-1
-(D-CAB)CA
ES…E2E1E=A
-1
(2)
(2)两式,可知当A通过行初等变换化为E的比较(1)、
但是,直接运用该方法求分块矩阵的逆,由于这个公式
很难记忆,所以使用起来也不很方便,下面给出另一种分块矩阵求逆法,本文暂且称之为化上(下)三角分块求逆法。
同时,对单位矩阵E作同样的行初等变换,就化为A的逆矩阵A-1。同样,只用列的初等变换也可以求逆矩阵。
4 化上()O分块矩阵),当D。
COCB
BO-1-1
由法3知
CB
(上三角分块矩阵),
CB
O(下三角
3 分块矩阵求逆法
有些阶数较多的矩阵,用分块矩阵求逆较方便,在一般的高等代数教材上,都给出了用待定法或利用分块初等矩阵来求一个可逆分块阵的逆矩阵的方法,但这些方法都比较复杂,文[3]给出了较简便的方法,即(1)对(A,En)中的子块
En必须进行分块,使En是一个分块单位矩阵;(2)把“子块
=
C
-1
-CC
-1
-1
BD
-1
OD
-1
作为元素”处理时,必须遵守“左行右列”的规则,即变行必须从左乘,变列必须从右乘。
例3:设下列各方阵的逆矩阵都存在,证明:
AC
B-1
-D-1BA-1D-1
若将一可逆矩阵A经过行(列)初等变换化为分块后形
=
O
如
BO
C的矩阵后再求逆则方便许多,即:
BO
C(1)
Es…E2E1AQ1…Qt=
=
将(1)左右两边求逆,Ξ
收稿日期:2006-03-21
作者简介:高明(1971-),女,蒙古族,山东莱阳人,研究方向:代数。
14
QtA
-1
…Q1A
-1-1
E1B
-1
…ES
-
1
=
-1
B-1-1
-B-1CA
-1
D
-1
-1
-1
=Q1…Qt
-BCD
O-1
Es…E2E1
然后再求其逆。
定理:设A为n阶可逆矩阵,且A=B+XCY其中B-1已知,C是r×r可逆阵,r≤n又设C-1+YB-1X可逆,则
A
-1
24051405
13
13-3
210212
130040C
BO
C-1
=B
-1
-B
-1
X(C
-1
+YB
-1
X)
-1
YB
-1
(1)
例4:A=
1-1
,求A
-1
12
3233
44344
55545
666602
例5:A=22
解:A=
1-1
-3
→
23-1
0232
51
3(1)
21-1
13-3
[1**********]
-1
4050解:A=-1
-1
-+
→
021
33333
44444-55555
66=6令B= C=
BO
D=
2222
E(2(1),3)AE(2,3)=
将(1)两边求逆得
E
-1
-1
-1
-1
-+
(2,3)A-1・E-1(2(1),3)=
BOB
-1
∴A-1=E(2,3)由
5=
BO
C-1
C-1
E(2(1),3)--1
=
-1
-1
11111
111-7
-550050
-3577-5-
35-35-
11
12
13
14
1=
-500
7
A
-1
B+XE2Y由公式得:
3-16
44-15
555-14
6666
7-357357-35--
357
=
19
222
33
4
050-
∴A-1=
-5050
-35735-7-
・E(2(1),3)
2345-特别地,当X是n×l,Y是1×n,且C=(1)时,公式(1)
就变成了
X
此公式为Sherman-Morrvson公式。
-1
A-1=B-1-
1+YB
11
-1
B-1XYB-1
357
2
0,求A-1
=
-
735-
例6:A=02
50
-
357
357
1
10010
0,解:设B=
1X=
00
7
5 分解矩阵求逆法
分解矩阵求逆法,即将已知矩阵分解成两个矩阵之和,
0,Y=(-212)15
10100031
00310=-3
于是由Sheman-Morrison定理可求得A的逆为:
A-1=(b-a)
E-e,
b+n-1)a
则:A=B+XY,B-1=
1
YB
-1
00010
X=(-212)
00
1
B
-1
010-2
0030031-3
3
XYB
-1
=
00
0・(-212)309-2
…1
11…1
其中e=
………11…A,只要将a、b的值代入上述公式,即可求得。这比用初等变换、分块矩阵和伴随矩阵法要简单的多。
1
1
100
0101
0001031=
-
定理:设A是n×n矩阵,则A可逆Ζ存在常数项不为O的多项式g(x),使g(A)=0。
证:必要性,设A的特征多项式为:
nn-1
)=λf(λ+an-1λ+…a1λ+a0
003
306 特征多项式法
0320-
∴A-1=
00
0-3
其中a0=(-1)n・|A|≠0,而f(A)=0,故f(x)是适合条件的g(x)。
m
)=bmλ充分性,设g(λ+…+b1λ+b0,b0≠0,
则0=g(A)=bmAm+…+b1A+b0E-b0E
=A(bMAm-1+…+b1E)
-5=
0-2
所以A-1=-
b(mm-11)
1而且,-Morrison如:
…a
A=abaa例7:b≠a且b≠(1-n)a时,
求证:A-1=E-E
-ab+(n-1)a
b
a
b-a
,,具体到一个题目用什么。
〔参考文献〕
[1]张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出版社,19991
[2]北京大学数学力学系几何与代数教研宣代数小组,高等
+
证明:∵A=
b-a
…
aa
…
b-代数第3版[M].北京:人民教育出版社,19781
[3]汪小林.可逆分块矩阵的逆矩阵的简便求法.西北师范大学学报[J],1997,3:103～1051
aa
aa
…
a
…
a
…………
a
=(b-a)E+
a(111…1)a
TheSolutionofInverseMatrix
GAOMing
(FacultyofMathematics,BaotouTeachersCollege;Baotou014030)
Abstract:Theproblemaboutinversematrixisveryimportantinthetheoryofmatrix.Thispaperprovidessolutionstoinversematrix.Keywords:elementarytransformation;adjaiontmatrix;partitionedmartrix;latentpolynmial
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2006年6月阴山学刊
Jun.2006逆矩阵的求法
高 明
Ξ
(包头师范学院数学科学学院,内蒙古包头014030)
摘 要:矩阵的逆问题是矩阵论的重要问题,本文给出了逆矩阵的几种求法。
关键词:初等变换;伴随矩阵;分块矩阵;特征多项式中图分类号:151121 文献标识码:A 文章编号:1004-1869(2006)02-0014-03
1 伴随矩阵法
detA
A
-1
+A
-1
B(D-CA
-1
B)
-1
-A
-1
B(D-CA
-1
B)
-1
定理:n阶矩阵A可逆ΖdetA≠0且在A可逆时A-1=・A3,其中A3是A的伴随矩阵。例1:A=
ac
bac
,ad-bc=1,求Abd
-1
-1-1-1
-(D-CAB)CA(D-CA-1B)-1
证:设A、D分别是γ阶,S阶的方阵,则:
ACAO
-ba
ErBDB-CErOB
O→
Er
O
-1
解:∵|A|==ad-bc=1≠0-CA-1B(D-CA-1B)--1-1
(D-CAB)
∴A可逆,且A-1=
|A|
・A3=
d-c
-1A-1BD-1-1-1
-1-()C注:此方法适合于二、三阶方阵。
2如果A可逆,则E,E1、E2……ES使
-1
ES…E2E1A=E (1)用A右乘上式两端,得
C
B1
=
-A-1B(D-CA-1B)-1
(D-CA-1B)-1
A-1+A-1B(D-CA-1B)-1CA-1
-1-1-1
-(D-CAB)CA
ES…E2E1E=A
-1
(2)
(2)两式,可知当A通过行初等变换化为E的比较(1)、
但是,直接运用该方法求分块矩阵的逆,由于这个公式
很难记忆,所以使用起来也不很方便,下面给出另一种分块矩阵求逆法,本文暂且称之为化上(下)三角分块求逆法。
同时,对单位矩阵E作同样的行初等变换,就化为A的逆矩阵A-1。同样,只用列的初等变换也可以求逆矩阵。
4 化上()O分块矩阵),当D。
COCB
BO-1-1
由法3知
CB
(上三角分块矩阵),
CB
O(下三角
3 分块矩阵求逆法
有些阶数较多的矩阵,用分块矩阵求逆较方便,在一般的高等代数教材上,都给出了用待定法或利用分块初等矩阵来求一个可逆分块阵的逆矩阵的方法,但这些方法都比较复杂,文[3]给出了较简便的方法,即(1)对(A,En)中的子块
En必须进行分块,使En是一个分块单位矩阵;(2)把“子块
=
C
-1
-CC
-1
-1
BD
-1
OD
-1
作为元素”处理时,必须遵守“左行右列”的规则,即变行必须从左乘,变列必须从右乘。
例3:设下列各方阵的逆矩阵都存在,证明:
AC
B-1
-D-1BA-1D-1
若将一可逆矩阵A经过行(列)初等变换化为分块后形
=
O
如
BO
C的矩阵后再求逆则方便许多,即:
BO
C(1)
Es…E2E1AQ1…Qt=
=
将(1)左右两边求逆,Ξ
收稿日期:2006-03-21
作者简介:高明(1971-),女,蒙古族,山东莱阳人,研究方向:代数。
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QtA
-1
…Q1A
-1-1
E1B
-1
…ES
-
1
=
-1
B-1-1
-B-1CA
-1
D
-1
-1
-1
=Q1…Qt
-BCD
O-1
Es…E2E1
然后再求其逆。
定理:设A为n阶可逆矩阵,且A=B+XCY其中B-1已知,C是r×r可逆阵,r≤n又设C-1+YB-1X可逆,则
A
-1
24051405
13
13-3
210212
130040C
BO
C-1
=B
-1
-B
-1
X(C
-1
+YB
-1
X)
-1
YB
-1
(1)
例4:A=
1-1
,求A
-1
12
3233
44344
55545
666602
例5:A=22
解:A=
1-1
-3
→
23-1
0232
51
3(1)
21-1
13-3
[1**********]
-1
4050解:A=-1
-1
-+
→
021
33333
44444-55555
66=6令B= C=
BO
D=
2222
E(2(1),3)AE(2,3)=
将(1)两边求逆得
E
-1
-1
-1
-1
-+
(2,3)A-1・E-1(2(1),3)=
BOB
-1
∴A-1=E(2,3)由
5=
BO
C-1
C-1
E(2(1),3)--1
=
-1
-1
11111
111-7
-550050
-3577-5-
35-35-
11
12
13
14
1=
-500
7
A
-1
B+XE2Y由公式得:
3-16
44-15
555-14
6666
7-357357-35--
357
=
19
222
33
4
050-
∴A-1=
-5050
-35735-7-
・E(2(1),3)
2345-特别地,当X是n×l,Y是1×n,且C=(1)时,公式(1)
就变成了
X
此公式为Sherman-Morrvson公式。
-1
A-1=B-1-
1+YB
11
-1
B-1XYB-1
357
2
0,求A-1
=
-
735-
例6:A=02
50
-
357
357
1
10010
0,解:设B=
1X=
00
7
5 分解矩阵求逆法
分解矩阵求逆法,即将已知矩阵分解成两个矩阵之和,
0,Y=(-212)15
10100031
00310=-3
于是由Sheman-Morrison定理可求得A的逆为:
A-1=(b-a)
E-e,
b+n-1)a
则:A=B+XY,B-1=
1
YB
-1
00010
X=(-212)
00
1
B
-1
010-2
0030031-3
3
XYB
-1
=
00
0・(-212)309-2
…1
11…1
其中e=
………11…A,只要将a、b的值代入上述公式,即可求得。这比用初等变换、分块矩阵和伴随矩阵法要简单的多。
1
1
100
0101
0001031=
-
定理:设A是n×n矩阵,则A可逆Ζ存在常数项不为O的多项式g(x),使g(A)=0。
证:必要性,设A的特征多项式为:
nn-1
)=λf(λ+an-1λ+…a1λ+a0
003
306 特征多项式法
0320-
∴A-1=
00
0-3
其中a0=(-1)n・|A|≠0,而f(A)=0,故f(x)是适合条件的g(x)。
m
)=bmλ充分性,设g(λ+…+b1λ+b0,b0≠0,
则0=g(A)=bmAm+…+b1A+b0E-b0E
=A(bMAm-1+…+b1E)
-5=
0-2
所以A-1=-
b(mm-11)
1而且,-Morrison如:
…a
A=abaa例7:b≠a且b≠(1-n)a时,
求证:A-1=E-E
-ab+(n-1)a
b
a
b-a
,,具体到一个题目用什么。
〔参考文献〕
[1]张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出版社,19991
[2]北京大学数学力学系几何与代数教研宣代数小组,高等
+
证明:∵A=
b-a
…
aa
…
b-代数第3版[M].北京:人民教育出版社,19781
[3]汪小林.可逆分块矩阵的逆矩阵的简便求法.西北师范大学学报[J],1997,3:103～1051
aa
aa
…
a
…
a
…………
a
=(b-a)E+
a(111…1)a
TheSolutionofInverseMatrix
GAOMing
(FacultyofMathematics,BaotouTeachersCollege;Baotou014030)
Abstract:Theproblemaboutinversematrixisveryimportantinthetheoryofmatrix.Thispaperprovidessolutionstoinversematrix.Keywords:elementarytransformation;adjaiontmatrix;partitionedmartrix;latentpolynmial
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