初一数学上册寒假作业答案
一、选择题
1. （2012辽宁本溪3分）如图 在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为【 】
A、16 B、15 C、14 D、13
【答案】A。
【考点】线段垂直平分线的性质，勾股定理。
【分析】连接AE，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴ 。
∵DE是AB边的垂直平分线，∴AE=BE。
∴△ACE的周长为：AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16。故选A。
2. （2012辽宁营口3分）在Rt△ABC中，若∠C= ，BC=6，AC=8，则 A的值为【 】
(A) (B) (C) (D)
【答案】C。
【考点】勾股定理，锐角三角函数定义。
【分析】∵在Rt△ABC中，∠C= ，BC=6，AC=8，
∴根据勾股定理，得AB=10。
∴ A＝ 。故选C。
二、填空题
1. （2012辽宁鞍山3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去…则第n个三角形的面积等于 ▲ ．
2. （2012辽宁大连3分）如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，DE=3cm，则BC＝
▲ cm。
【答案】6。
【考点】三角形中位线定理。
【分析】由D、E分别是AB、AC的中点，得DE是△ABC的中位线。
由DE=3cm，根据三角形的中位线等于第三边一半的性质，得BC＝6cm。
3. （2012辽宁大连3分）如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测角仪放在与电线杆的水平距离为9m的D处。若测角仪CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为 36°，则电线杆AB的高度约为 ▲ m（精确到0.1m）。（参考数据：sin36°≈0. 59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
【答案】8.1。
【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），矩形的判定和性质，锐角三角函数定义。
【分析】如图，由DB=9m，CD=1.5m，根据矩形的判定和性质，得CE=9m，BE=1.5m。 在Rt△ACE中，AE=CE•tan∠ACE=9 tan360≈9×0.73=6.57。
∴AB=AE＋BE≈6.57＋1.5=8.07≈8.1（m）。
4. （2012辽宁阜新3分） 如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中
心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是 ▲ ．
【答案】12。
【考点】位似变换的性质。12。
【分析】∵△ABC与△A1B1C1为位似图形，∴△ABC∽△A1B1C1。
∵位似比是1：2，∴相似比是1：2。∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：1：4。 ∵△ABC的面积为3，∴△A1B1C1的面积是：3×4=12。
5. （2012辽宁阜新3分）如图，△ABC的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成的第3个三角形，…，则第n个三角形的周长为 ▲ ．
【答案】 。
【考点】分类归纳（图形的变化类），三角形中位线定理，负整指数幂，同底数幂的乘法和幂的乘方。
【分析】寻找规律：由已知△ABC的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，根据三角形中位线定理，第2个三角形的周长为32× ；
同理，第3个三角形的周长为32× × =32× ；
第4个三角形的周长为32× × =32× ；
…
∴第n个三角形的周长为=32× 。
6. （2012辽宁沈阳4分）已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为 ▲ _.
【答案】8。
【考点】相似三角形的性质。
【分析】根据相似三角形的周长等于相似比的性质，得△ABC的周长∶△A′B′C′的周长=3∶4，
由△ABC的周长为6，得△A′B′C′的周长为8。
7. （2012辽宁铁岭3分）如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°
的方向以4海里／小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货
船每小时航行 ▲ 海里.
【答案】 。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】作PC⊥AB于点C，
∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，
∴∠PAC=30°，AP=4×2=8。∴PC=AP×sin30°=8× =4。
∵乙货船从B港沿西北方向出发，∴∠PBC=45°
∴PB=PC÷ 。
∴乙货船的速度为 （海里/小时）。
三、解答题
1. （2012辽宁鞍山10分）如图，某河的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上的点A处和点B处各有一棵大树，AB=30米，某人在河岸MN上选一点C，AC⊥MN，在直线MN上
从点C前进一段路程到达点D，测得∠ADC=30°，∠BDC=60°，求这条河的宽度．（ ≈
1.732，结果保留三个有效数字）．
【答案】解：过点B作BE⊥MN于点E，则CE=AB=30米，CD=CE+ED，AC=BE。 设河的宽度为x，
在Rt△ACD中，∵AC⊥MN，CE=AB=30米，∠ADC=30°，
∴ =tan∠ADC，即 ，即 。
在Rt△BED中， =tan∠BDC，即 ，即， 。
∴ ，解得 。
答：这条河的宽度为26.0米。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】过点B作BE⊥MN于点E，则CE=AB=30米，CD=CE+ED，AC=BE，在Rt△ACD中，由锐角三角函数的定义可知， =tan∠ADC，在Rt△BED中， =tan∠BDC，两式联立即可得出AC的值，即这条河的宽度。
2. （2012辽宁本溪22分）如图，△ABC是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图，为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB、BC、CA跑步（小路的宽度不计）.观测得点B在点A的南偏东30°方向上，点C在点A的南偏东60°的方向上，点B在点C的北偏西75°方向上，AC间距离为400米.问小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？（参考数据： ）
【答案】解：延长AB至D点，作CD⊥AD于D。
根据题意得∠BAC=30°，∠BCA=15°，∴∠DBC=∠DCB=45°。
在Rt△ADC中，∵AC=400米，∠BAC=30°，
∴CD=BD=200米。∴BC=200 米，AD=200 米。
∴AB=AD－BD=（200 －200）米。
∴三角形ABC的周长为
400＋200 ＋200 －200≈829（米）。
∴小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了829米。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。
【分析】延长AB至D点，作CD⊥AD于D，根据题意得∠BAC=30°，∠BCA=15°，利用三角形的外角的性质得到∠DBC=∠DCB=45°，然后在Rt△ADC中，求得CD=BD=200米后即可求得三角形ABC的周长。
3. （2012辽宁朝阳12分）一轮船在P处测得灯塔A在正北方向，灯塔B在南偏东24.50方向，轮船向正东航行了2400m，到达Q处，测得A位于北偏西490方向，B位于南偏西410方向。
（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；
（2）求A、B间的距离（参考数据cos410=0.75）。
4. （2012辽宁丹东10分）南中国海是中国固有领海，我渔政船经常在此海域执勤巡察．一天我渔政船
停在小岛A北偏西37°方向的B处，观察A岛周边海域．据测算,渔政船距A岛的距离AB长为10海里．此
时位于A岛正西方向C处的我渔船遭到某国军舰的袭扰，船长发现在其北偏东50°的方向上有我方渔政
船，便发出紧急求救信号．渔政船接警后，立即沿BC航线以每小时30海里的速度前往救助，问渔政船
大约需多少分钟能到达渔船所在的C处？
(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，
sin53°≈0.80，cos53°≈0. 60，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77)
【答案】解：过B点作BD⊥AC，垂足为D。
根据题意，得：∠ABD=∠BAM=37°，∠CBD=∠BCN=50°。
在Rt△ABD中，∵cos∠ABD= ，∴cos37○= ≈0.80。
∴BD≈10×0.8=8（海里）。
在Rt△CBD中，∵cos∠CBD= ，∴cos50○= ≈0.64。
∴BC≈8÷0.64=12.5（海里）。
∴12.5÷30= （小时）。∴ ×60=25（分钟）。
答：渔政船约25分钟到达渔船所在的C处。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义。
【分析】过B点作BD⊥AC，垂足为D，根据题意，得：∠ABD=∠BAM=37°，∠CBD=∠BCN=50°，然后分别在Rt△ABD与Rt△CBD中，利用余弦函数求得BD与BC的长，从而求得答案，
5. （2012辽宁锦州10分）如图，大楼AB高16米，远处有一塔CD，某人在楼底B处测得塔顶的仰角
为38.5°，爬到楼顶A处测得塔顶的仰角为22°，求塔高CD及大楼与塔之间的距离BD的长.
(参考数据：sin22°≈0.37， cos22°≈0.93, tan22°≈0.40， sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78, tan38.5°≈0.80 )
【答案】解：过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知：∠CAE=22°，∠CBD=38.5°，ED=AB=16米，
设大楼与塔之间的距离BD的长为 米，则AE=BD= ， ∵在Rt△BCD中,tan ∠CBD= ，
∴CD=BD tan 38.5°≈0.8 。
∵在Rt△ACE中,tan ∠CAE= 。
∴CE=AE tan 22°≈0.4 。
∵CD-CE=DE，∴0.8 -0.4 =16 。∴ =40，
∴BD=40米，CD=0.8×40=32(米)。
答：塔高CD是32米，大楼与塔之间的距离BD的长为40米。
【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义。
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，设AE=BD= ，在Rt△BCD和Rt△ACE应用锐角三角函数定义，得到 CD=0.8 ，CE= 0.4 ，根据CD-CE=DE列方程求解即可。
初一数学上册寒假作业答案
一、选择题
1. （2012辽宁本溪3分）如图 在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为【 】
A、16 B、15 C、14 D、13
【答案】A。
【考点】线段垂直平分线的性质，勾股定理。
【分析】连接AE，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴ 。
∵DE是AB边的垂直平分线，∴AE=BE。
∴△ACE的周长为：AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16。故选A。
2. （2012辽宁营口3分）在Rt△ABC中，若∠C= ，BC=6，AC=8，则 A的值为【 】
(A) (B) (C) (D)
【答案】C。
【考点】勾股定理，锐角三角函数定义。
【分析】∵在Rt△ABC中，∠C= ，BC=6，AC=8，
∴根据勾股定理，得AB=10。
∴ A＝ 。故选C。
二、填空题
1. （2012辽宁鞍山3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去…则第n个三角形的面积等于 ▲ ．
2. （2012辽宁大连3分）如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，DE=3cm，则BC＝
▲ cm。
【答案】6。
【考点】三角形中位线定理。
【分析】由D、E分别是AB、AC的中点，得DE是△ABC的中位线。
由DE=3cm，根据三角形的中位线等于第三边一半的性质，得BC＝6cm。
3. （2012辽宁大连3分）如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测角仪放在与电线杆的水平距离为9m的D处。若测角仪CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为 36°，则电线杆AB的高度约为 ▲ m（精确到0.1m）。（参考数据：sin36°≈0. 59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
【答案】8.1。
【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），矩形的判定和性质，锐角三角函数定义。
【分析】如图，由DB=9m，CD=1.5m，根据矩形的判定和性质，得CE=9m，BE=1.5m。 在Rt△ACE中，AE=CE•tan∠ACE=9 tan360≈9×0.73=6.57。
∴AB=AE＋BE≈6.57＋1.5=8.07≈8.1（m）。
4. （2012辽宁阜新3分） 如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中
心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是 ▲ ．
【答案】12。
【考点】位似变换的性质。12。
【分析】∵△ABC与△A1B1C1为位似图形，∴△ABC∽△A1B1C1。
∵位似比是1：2，∴相似比是1：2。∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：1：4。 ∵△ABC的面积为3，∴△A1B1C1的面积是：3×4=12。
5. （2012辽宁阜新3分）如图，△ABC的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成的第3个三角形，…，则第n个三角形的周长为 ▲ ．
【答案】 。
【考点】分类归纳（图形的变化类），三角形中位线定理，负整指数幂，同底数幂的乘法和幂的乘方。
【分析】寻找规律：由已知△ABC的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，根据三角形中位线定理，第2个三角形的周长为32× ；
同理，第3个三角形的周长为32× × =32× ；
第4个三角形的周长为32× × =32× ；
…
∴第n个三角形的周长为=32× 。
6. （2012辽宁沈阳4分）已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为 ▲ _.
【答案】8。
【考点】相似三角形的性质。
【分析】根据相似三角形的周长等于相似比的性质，得△ABC的周长∶△A′B′C′的周长=3∶4，
由△ABC的周长为6，得△A′B′C′的周长为8。
7. （2012辽宁铁岭3分）如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°
的方向以4海里／小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货
船每小时航行 ▲ 海里.
【答案】 。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】作PC⊥AB于点C，
∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，
∴∠PAC=30°，AP=4×2=8。∴PC=AP×sin30°=8× =4。
∵乙货船从B港沿西北方向出发，∴∠PBC=45°
∴PB=PC÷ 。
∴乙货船的速度为 （海里/小时）。
三、解答题
1. （2012辽宁鞍山10分）如图，某河的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上的点A处和点B处各有一棵大树，AB=30米，某人在河岸MN上选一点C，AC⊥MN，在直线MN上
从点C前进一段路程到达点D，测得∠ADC=30°，∠BDC=60°，求这条河的宽度．（ ≈
1.732，结果保留三个有效数字）．
【答案】解：过点B作BE⊥MN于点E，则CE=AB=30米，CD=CE+ED，AC=BE。 设河的宽度为x，
在Rt△ACD中，∵AC⊥MN，CE=AB=30米，∠ADC=30°，
∴ =tan∠ADC，即 ，即 。
在Rt△BED中， =tan∠BDC，即 ，即， 。
∴ ，解得 。
答：这条河的宽度为26.0米。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】过点B作BE⊥MN于点E，则CE=AB=30米，CD=CE+ED，AC=BE，在Rt△ACD中，由锐角三角函数的定义可知， =tan∠ADC，在Rt△BED中， =tan∠BDC，两式联立即可得出AC的值，即这条河的宽度。
2. （2012辽宁本溪22分）如图，△ABC是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图，为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB、BC、CA跑步（小路的宽度不计）.观测得点B在点A的南偏东30°方向上，点C在点A的南偏东60°的方向上，点B在点C的北偏西75°方向上，AC间距离为400米.问小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？（参考数据： ）
【答案】解：延长AB至D点，作CD⊥AD于D。
根据题意得∠BAC=30°，∠BCA=15°，∴∠DBC=∠DCB=45°。
在Rt△ADC中，∵AC=400米，∠BAC=30°，
∴CD=BD=200米。∴BC=200 米，AD=200 米。
∴AB=AD－BD=（200 －200）米。
∴三角形ABC的周长为
400＋200 ＋200 －200≈829（米）。
∴小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了829米。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。
【分析】延长AB至D点，作CD⊥AD于D，根据题意得∠BAC=30°，∠BCA=15°，利用三角形的外角的性质得到∠DBC=∠DCB=45°，然后在Rt△ADC中，求得CD=BD=200米后即可求得三角形ABC的周长。
3. （2012辽宁朝阳12分）一轮船在P处测得灯塔A在正北方向，灯塔B在南偏东24.50方向，轮船向正东航行了2400m，到达Q处，测得A位于北偏西490方向，B位于南偏西410方向。
（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；
（2）求A、B间的距离（参考数据cos410=0.75）。
4. （2012辽宁丹东10分）南中国海是中国固有领海，我渔政船经常在此海域执勤巡察．一天我渔政船
停在小岛A北偏西37°方向的B处，观察A岛周边海域．据测算,渔政船距A岛的距离AB长为10海里．此
时位于A岛正西方向C处的我渔船遭到某国军舰的袭扰，船长发现在其北偏东50°的方向上有我方渔政
船，便发出紧急求救信号．渔政船接警后，立即沿BC航线以每小时30海里的速度前往救助，问渔政船
大约需多少分钟能到达渔船所在的C处？
(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，
sin53°≈0.80，cos53°≈0. 60，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77)
【答案】解：过B点作BD⊥AC，垂足为D。
根据题意，得：∠ABD=∠BAM=37°，∠CBD=∠BCN=50°。
在Rt△ABD中，∵cos∠ABD= ，∴cos37○= ≈0.80。
∴BD≈10×0.8=8（海里）。
在Rt△CBD中，∵cos∠CBD= ，∴cos50○= ≈0.64。
∴BC≈8÷0.64=12.5（海里）。
∴12.5÷30= （小时）。∴ ×60=25（分钟）。
答：渔政船约25分钟到达渔船所在的C处。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义。
【分析】过B点作BD⊥AC，垂足为D，根据题意，得：∠ABD=∠BAM=37°，∠CBD=∠BCN=50°，然后分别在Rt△ABD与Rt△CBD中，利用余弦函数求得BD与BC的长，从而求得答案，
5. （2012辽宁锦州10分）如图，大楼AB高16米，远处有一塔CD，某人在楼底B处测得塔顶的仰角
为38.5°，爬到楼顶A处测得塔顶的仰角为22°，求塔高CD及大楼与塔之间的距离BD的长.
(参考数据：sin22°≈0.37， cos22°≈0.93, tan22°≈0.40， sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78, tan38.5°≈0.80 )
【答案】解：过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知：∠CAE=22°，∠CBD=38.5°，ED=AB=16米，
设大楼与塔之间的距离BD的长为 米，则AE=BD= ， ∵在Rt△BCD中,tan ∠CBD= ，
∴CD=BD tan 38.5°≈0.8 。
∵在Rt△ACE中,tan ∠CAE= 。
∴CE=AE tan 22°≈0.4 。
∵CD-CE=DE，∴0.8 -0.4 =16 。∴ =40，
∴BD=40米，CD=0.8×40=32(米)。
答：塔高CD是32米，大楼与塔之间的距离BD的长为40米。
【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义。
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，设AE=BD= ，在Rt△BCD和Rt△ACE应用锐角三角函数定义，得到 CD=0.8 ，CE= 0.4 ，根据CD-CE=DE列方程求解即可。