第37卷第11期2007年6月数学的实践与认识V o l. 37 No. 11
June, 2007
社会福利函数独裁的特征
姚海祥, 易建新, 李仲飞123
(1. 广东外语外贸大学信息科学技术学院, 广州 510006)
(2. 华南师范大学数学科学学院, 广州 510631)
(3. 中山大学岭南学院, 广州 510275)
摘要: 在这篇短文中, 给出了关于社会福利函数F 的半严格正向响应的概念, 并且证明了如果备选对象至少有三个, 则弱帕累托性质与半严格正向响应性质是独裁的充分必要条件. 作为应用, 我们给出了社会选择函数防止策略性操纵的一个等价描述, 并对社会福利函数引进了防止局部策略性操纵的概念, 得到了一个类似于Gibbard —Satterthw aite 定理的结论.
关键词: 社会选择; 社会福利函数; 独裁; 防止策略性操纵
1 引 言
在民主制度下, 社会选择有两种基本的方法:一种是投票, 通常用于“政治”决策; 一种是市场机制. 但是, 投票和市场机制这两种方法在作出社会选择时, 都是综合了许多个人的嗜好. 当每个人在他的选择中都具有理性时, 在形式上能否综合每个人的嗜好得到一个社会的嗜好, 经济学中通常称之为社会福利函数, 使得这样的社会福利函数满足一定的合理的条件? 上个世纪50年代, 阿罗证明了著名的阿罗不可能性定理[1]. 这一定理告诉我们, 如果我们希望每个人的排序可任意选择, 即他可以对所有的备选对象进行任意的排序, 而社会福利函数满足弱帕累托性质, 并且社会对任意两个备选对象的排序仅依赖于每个人对这两个对象的排序(无关备选对象的独立性) , 那么我们就面临一个两难选择:要么放弃社会排序在某种意义上是理性的希望, 要么我们接受独裁.
当我们限制个人的排序为线性偏好, 即对任意两个不同的备选对象, 每个人对它们的排序都必须是有差异的, 如果备选对象的集合至少有三个成员, 那么帕累托性质和无关备选对象的独立性是社会福利函数独裁的充分必要条件.
但是, 当我们面对个人的排序为任意的偏好, 并且备选对象的集合至少有三个成员, 这时弱帕累托性质和无关备选对象的独立性是社会福利函数独裁的充分条件, 但不是必要的条件. 1998年, Denicolo 在[2]中引入了一个新的条件RID (Relatio nal independent decisiveness ) , 并证明了当个人的排序为任意的偏好, 并且备选对象的集合至少有三个成员时, 帕累托性质和RID 是社会福利函数独裁的充分必要条件. 虽然Denicolo 给出了一般情况下独裁的充分必要条件, 但这个条件却较难被用于其它问题中.
本文我们首先对社会福利函数引入了半严格正向响应性质, 然后证明了社会福利函数独裁当且仅当它满足弱帕累托性质与半严格正向响应性质.
收稿日期:2005-05-16
基金项目:高等学校全国优秀博士学位论文作者专项资金资助项目(200267) ; 广东外语外贸大学校级重点项目(gw
158数 学 的 实 践 与 认 识37卷Gibbar d —Satter thw aite 定理是社会选择理论的最重要的结论之一. 这时, 我们考虑的问题是如何根据每个人的嗜好得到一个社会的结果, 而不是社会对所有结果的排序, 这样的一个机制我们称之为社会选择函数. Gibbard —Satterthw aite 定理[3—4]告诉我们:当每个人的排序可任意选择, 如果我们希望社会选择函数是防止策略性操纵的, 即决定选择结果时每个人能够真实地报告他的排序, 虚假的报告并不能给他带来更好的结果. 那么我们不得不接受独裁. 为了推广Gibbard —Satterthw aite 定理到更一般的社会选择规则的情形, 许多作者对社会选择规则引进了多种防止策略性操纵的概念. 本文我们给出了社会选择函数是防止策略性操纵的一个等价条件, 这有助于推广Gibbard —Satterthw aite 定理到一般情形.
由于Gibbard —Satterthw aite 定理在机制设计中的重要性, 许多文章致力于把它推广到更一般的情形, 即推广到社会选择规则的情形, 例如[5—6].在本文的最后, 我们直接对社会福利函数引进了防止局部策略性操纵的概念, 防止局部策略性操纵的社会福利函数意味着每个人都没有动机去假报自己的偏好. 对这样的社会福利函数证明了一个类似于Gibbard —Satterthw aite 定理的结论. 即当备选对象至少有三个时, 防止局部策略性操纵的社会福利函数只能是独裁的.
2 定义与符号
设I ={1, 2, …, n }为选民的集合. C 为一有限集合, 通常称之为候选对象集.
ü
n n R 是C ü上全部偏好(完备的、传递的二元关系) 的集合, P R ∈R , 记R 为由R 诱导的关系, 即aR b 当且仅当aRb , 但bRa 不成立. R =R ×R ×…×R . 一个映射F :R →R 叫做一个社
会福利函数(Social Welfare Function ). 为了方便, 记R =F (R 1, R 2, …, R n ) , P =F (P 1, P 2, …, P n ) , Q =F (Q 1, Q 2, …, Q n ) 等等. 社会福利函数F 叫做具有弱Pareto 性质:P a ,
n b ∈C , P (R 1, R 2, …, R n ) ∈R , 若P i ∈I , 都有aR i b , 则aR b . 社会福利函数F 叫做独
n 裁的:若v j ∈I , 对P (R 1, R 2, …, R n ) ∈R , P a , b ∈C , 只要aR j b , 就有aR b . 这时称j üüüü
∈I 为独裁者.
定义1 社会福利函数F :R →R 叫做半严格正向响应的, 对P (R 1, R 2, …, R n ) ∈n n R , (P 1, P 2, …, P n ) ∈R , a ∈C , 如果P i ∈I 都有{x ∈C ûaR i x , x ≠a }
定义2 社会福利函数F 叫做可被i ∈I 在(R 1, R 2, …, R n ) 通过P i ∈R 所操纵, 如果存在a , b ∈C , 使得aR i b , bRa , 但aF (R 1, …, P i , …, R n ) b .
定义3 一个社会福利函数F 叫做防止局部策略性操纵的, 如果不存在i ∈I , (R 1, R 2,
n …, R n ) ∈R , P i ∈R , 使得F 可被i ∈I 在(R 1, R 2, …, R n ) 通过P i 所操纵.
n 定义4 设F :R →R , S
üüüü1) S 是a 优于b 的决定集, 如果对任意(R 1, R 2, …, R n ) ∈R , P j ∈S , aR j b , P j |n
S , bR j a , 则aR b ;
2) S 是决定集, 如果任给{a , b }
üüü3) S 是a 优于b 的完全决定集, 如果P (R 1, R 2, …, R n ) ∈R , P j ∈S , aR j b 包含n üaR
11期姚海祥, 等:社会福利函数独裁的特征159
显然, 若S 是a 优于b 的完全决定集, 则S 是a 优于b 的决定集.
3 主要结果
社会福利函数独裁的等价条件, 即定理1的证明方法是传统的.
Pareto 性质. n 命题1 若社会福利函数F 是半严格正向响应的, 且F (R ) =, 则它一定满足弱R
ün 证明 任给a , b ∈C , 任给(R 1, R 2, …, R n ) ∈R , 若对所有的i ∈I , 都有aR i b . 如果
bR a , 注意存在(P , P , …, P ) ∈12n
üüR , n 使得aP b . 构造(Q 1, Q 2, …, Q n ) ∈R , 使得n üüüaQ i bQ i x (P x ≠a , b ). 由半严格单调性, aPb 推出aQ b , bRa 推出bQ a , 矛盾.
命题2 若F 满足弱Pareto 性质且C 至少包含两个备选对象, I 非空, 则空集5不是决定集.
证明 用反证法, 假设空集5是决定集, 则对任意(R 1, R 2, …, R n ) ∈R , 只要P j ∈n
I , 都有bR j a , 那么aR b . 但这与弱Pareto 性质矛盾. 所以空集5不是决定集.
命题3 假设社会福利函数F 满足半严格正向响应性质, 如果存在(R 1, R 2, …, R n ) ∈üüR , n 使得P j ∈S , aR b , P j |j üS , bR a 包含aR b , 则S 是a 优于b 的决定集. j
n üüü证明 对任意(P 1, P 2, …, P n ) ∈R , 假设P j ∈S , aP j b , P j |
P j |
üüüüS , bP j a , 如果aP b 不üüüüün 成立, 则有bP a . 构造(Q 1, Q 2, …, Q n ) ∈R , 使得P x ∈C ～{a , b }, P j ∈S , aQ j bQ j x , S , bQ j aQ j x , 由F 满足半严格正向响应性质, 所以aR b 可推出aQ b ; 同样bP a 可推出
命题4 设社会福利函数F 满足半严格正向响应性质与弱Pareto 性质, S
证明 当a ≠c , 构造(R , R , …, R ) ∈R 如下:对所有的i ∈S , 令aR bR cR i x (P x 12n n i i üüü
üüü∈C -{a , b , c ) , 对所有的i |
üS , bR i cR i aR i x (P x ∈C -{a , b , c ). 由弱Pareto 性质有üübR c , 又S 是a 优于b 的决定集, 所以aR b . 从而有aR c , 由命题3, S 是a 优于c 的决定集. 当b ≠c 时, 同理可证.
命题5 设社会福利函数F 满足半严格正向响应性质与弱Pareto 性质, C 至少包含三个备选对象, S
证明 任给x ≠y , 需要证明S 是x 优于y 的决定集. 若{x , y }={a , b }, 只需考虑x =b , y =a 的情形. 取c ≠a , b , 反复应用命题4, 首先S 是a 优于c 的决定集. 因为b ≠c , 所以S 是b 优于c 的决定集. 又因为a ≠b , 所以S 是b 优于a 的决定集. 若{x , y }≠{a , b }, 不妨设x |
y 的决定集.
个备选对象. {a , b }, 根据命题3, S 是x 优于b 的决定集, 因为y ≠x , 所以S 是x 优于命题6 设社会福利函数F 满足半严格正向响应性质与弱Pareto 性质, C 至少包含三
160数 学 的 实 践 与 认 识37卷
2) 对任意的S
3) 如果S 是决定集, 且S 至少包含两个备选对象, 则存在S 的真子集T 也是关于F 的决定集;
证明 1) 取三个不同的备选对象a , b , c , 构造(R 1, R 2, …, R n ) ∈R 如下:当i ∈S ∩n
T , 令aR i bR i cR i x , 当i ∈S ～T , cR i aR i bR i x , 当i ∈T ～S , 令bR i cR i aR i x , 当i |üüüü
üüüüüüüüüüüS ∪T , cR i bR i aR i x , 这里x ∈C -{a , b , c }.因为S 是决定集, 所以aR b ; 又因为T 是决定集, 所以bR i c , 于是必有aR i c . 根据命题3, S ∩T 是a 优于c 的决定集. 再根据命题5, S ∩T 是关于F 的决定集.
n 2) 设S 非空, 取三个不同的备选对象a , b , c , 构造(R 1, R 2, …, R n ) ∈R 如下:当i ∈
S , 令aR i bR i cR i x , 当i ∈I ～S , bR i cR i aR i x (P x ∈C -{a , b , c ) . 因为bR c , 所以aR b 、bR a 、aR c 、cR a 必有一个成立. 若aR b , 由命题3, S 是在F 下a 优于b 的决定集. 若bR a , 由命题3, I ～S 是b 优于a 的决定集. 若aR c , 由命题3, S 是a 优于c 的决定集; 若cR a , I ～S 是c 优于a 的决定集. 因此无论哪种情况, S 与I ～S 中总有一个是关于F 的决定集.
3) 任取j ∈S , 若j 是关于F 的决定集, 则结论显然成立; 若j 不是决定集, 则由以上的
2) 结论有I -{j }是关于F 的决定集, 又由1) 有T =S ∩(I -{j }) 也是关于F 的决定集, 显然T 是S 的真子集, 从而命题得证.
命题7 设社会选择规则F 满足半严格正向响应性质, 如果S 是F 的决定集, 则对任意两个不同的a , b , S 是a 优于b 的完全决定集.
证明 对P (R , R , …, R ) ∈R , 满足aR i b (P i ∈S ) , 如果bRa . 构造(Q 1, Q 2, …, 12n n ü
üüüüüüüüüüüüüüüüüüüQ n ) 如下:P x ∈C ～{a , b }, 当i ∈S 时, aQ i bQ i x ; 当i ∈I ～S 时, bQ i aQ i x . 因为S 是
决定集, 所以aQ b . 又由半严格正向响应性质, 得bQ a . 矛盾. 所以aR b .
定理1 假设C 包含至少三个备选对象, 则社会福利函数F 是独裁的充要条件是F 满足弱Pareto 性质与半严格正向响应性质.
证明 充分性:由命题6, 存在j ∈I , 使得{j }是关于F 的决定集. 从而由命题7, 对任意的(R 1, R 2, …, R n ) ∈R , a , b ∈C , 若aR j b , 则必有aR b . 即F 是独裁的. n üüüüü
必要性:若F 是独裁的, F 显然满足弱Par eto 性质. 设j ∈I 为独裁者. 对P (R 1, R 2,
n n …, R n ) ∈R , (P 1, P 2, …, P n ) ∈R , 若a ∈C 满足对每个i ∈I , 都有
{x ∈C ûaR i x , x ≠a }
假如{x ∈C ûaRx , x ≠a }
4 社会选择函数防止策略性操纵的等价描述
任一映射f :R →C 叫做一个社会选择函数. 一个社会选择函数f 叫做被i ∈I 在n
(R 1R i f i , i (1R
11期姚海祥, 等:社会福利函数独裁的特征161…, R n ) . 一个社会选择函数f 叫做防止策略性操纵的, 如果不存在i ∈I , (R 1, R 2, …, R n )
n ∈R , 使得f 被i ∈I 在(R 1, R 2, …, R n ) 所操纵.
n n 定理2 社会选择函数f 是防止策略性操纵的当且仅当对任意两个不同的偏好组合
ü(R 1, R 2, …, R n ) ∈R , (P 1, P 2, …, P n ) ∈R , 若a =f (R 1, R 2, …, R n ) 对每个使得R i ≠P i 的i 都满足{x ∈C ûaR i x , x ≠a }
证明 必要性. 对任意两个不同的偏好组合(R 1, R 2, …, R n ) ∈R , (P 1, P 2, …, P n ) n
n ∈R , 若a =f (R 1, R 2, …, R n ) 满足对每个使得R i ≠P i 的i ∈I , 都有
{x ∈C ûaR i x , x ≠a }
令a i =f (P 1, …, P i , R i +1, …, R n ) , a =a 0. 下面证明:a 0=a 1=…=a n . 若存在一个j , 使得a j ≠a j +1. 这时R j +1≠P j +1. 因为f 是防止策略性操纵的, 所以有a j +1P j +1a j , a j R j +1a j +1. 于是由a j R j +1a j +1, a j ≠a j +1立即得到a j P j +1a j +1. 与a j +1P j +1a 矛盾. 因此对任意的i ∈I , 都有a j =a j +1. 从而a =f (P 1, P 2, …, P n ) .
充分性. 若f 不是防止策略性操纵的, 则存在j ∈I , (R 1, R 2, …, R n ) ∈R , P j ∈R , n ü
使得f (R 1, …, P j , …, R n ) R j f (R 1, …, R j , …, R n ) . 令Q j ∈R 满足对任意的x ∈C ～{a , p }, p Q j aQ j x , 这里a =f (R 1, …, R j , …, R n ) , p =f (R 1, …, P j , …, R n ) . 则由假设, 有a =f (R 1, …, Q j , …, R n ) =p , 与a ≠p 矛盾. 因此f 是防止策略性操纵的. üüü5 社会福利函数的不能操纵性质与独裁
定理3 若社会福利函数F 是防止局部策略性操纵的, 则它一定满足半严格正向响应性质.
证明 对任意两个偏好组合(R 1, R 2, …, R n ) ∈R , (P 1, P 2, …, P n ) ∈R , 若a 满足对每个i ∈I , 都有n n
{x ∈C ûaR i x , x ≠a }
我们需要证明{x ∈C ûaRx , x ≠a }
对每个i ∈I , 令Q i -1=F (P 1, …, P i -1, R i , …, R n ). 显然Q 0=R , Q n =P . 下面我
üüü
们证明{x ∈C ûaQ i -1x , x ≠a }
{x ∈C ûaQ i -1x , x ≠a }
从而得{x ∈C ûaR x , x ≠a }
推论 假设C 包含至少三个备选对象, 社会福利函数F 满足弱Pareto 性质并且是防止, üüüüüü
162
参考文献:数 学 的 实 践 与 认 识37卷
[1] 阿罗. 社会选择:个性与多准则[M ]. 北京:首都经济贸易大学出版社, 2003.
[2] Denicolo V. Idenpendent decis iveness and th e Arrow theorem [J]. S oc Choice Welfare, 1998, 15:563—566.
[3] Gibbar d A. M anipulation of voting s chemes:A general result[J]. Econometrica, 1973, 41:587—601.
[4] S atter th waite M . Strategy -proofnes s and Arrow ′s conditions :Exis tence and correspond ence theorems for votin g
procedures and social w elfare fun ctions[J ]. J Econ T heory, 1975, 10:187—217.
[5] Barbera S , Dutta B, Sen A. Strategyproof social choice correspondences [J]. J Econ Theory, 2001, 101:374—
394.
[6] Ching S , Zhou L. M ulti-valued s trategy-pr oof social ch oice rules [J]. S oc Choice W elfare, 2002, 19:569—580.
The Equivalent Conditions of Dictatorship for
Social Welfare Functions
123YA O Hai -x iang , YI Jian -x in , LI Zhong -f ei
(1. Faculty o f Infor matio n Science and T echno lo g y , G uangdong U niver sity of F or eign Studies ,
G uangzhou 510006, China)
(2. Scho ol of M athematical Sciences, South China N or mal U niver sity , G uang zho u 510631, China ) (3. L ingnan Colleg e , Z hiong shan U niv ersit y , Guangzhou 510275, China )
Abstract : W e intr oduce the semi -st rict m onoto nicity for social w elfar e functions . T hen w e pro ve t hat for any social w elfare functio n F , w hose r ange co ntains mo re than tw o alt er nativ es and w hose domain co nsists o f all prefer ence pr ofiles, the sem i-str ict mo noto nicity and w eak Par eto pro per ty are the sufficient and necessar y co ndit ions o f dictato rship. As a application o f our result , w e gener alized the Gibbar d -Sa ttert hwaite ′s T heor em to social w elfar e functio ns and given a equivalent co nditio n o f strat egy -pro ofness for so cial cho ice.
Keywords : so cial cho ice ; so cial welfare functio ns ; dict ator ship ; local -str ategy -pr oofness
第37卷第11期2007年6月数学的实践与认识V o l. 37 No. 11
June, 2007
社会福利函数独裁的特征
姚海祥, 易建新, 李仲飞123
(1. 广东外语外贸大学信息科学技术学院, 广州 510006)
(2. 华南师范大学数学科学学院, 广州 510631)
(3. 中山大学岭南学院, 广州 510275)
摘要: 在这篇短文中, 给出了关于社会福利函数F 的半严格正向响应的概念, 并且证明了如果备选对象至少有三个, 则弱帕累托性质与半严格正向响应性质是独裁的充分必要条件. 作为应用, 我们给出了社会选择函数防止策略性操纵的一个等价描述, 并对社会福利函数引进了防止局部策略性操纵的概念, 得到了一个类似于Gibbard —Satterthw aite 定理的结论.
关键词: 社会选择; 社会福利函数; 独裁; 防止策略性操纵
1 引 言
在民主制度下, 社会选择有两种基本的方法:一种是投票, 通常用于“政治”决策; 一种是市场机制. 但是, 投票和市场机制这两种方法在作出社会选择时, 都是综合了许多个人的嗜好. 当每个人在他的选择中都具有理性时, 在形式上能否综合每个人的嗜好得到一个社会的嗜好, 经济学中通常称之为社会福利函数, 使得这样的社会福利函数满足一定的合理的条件? 上个世纪50年代, 阿罗证明了著名的阿罗不可能性定理[1]. 这一定理告诉我们, 如果我们希望每个人的排序可任意选择, 即他可以对所有的备选对象进行任意的排序, 而社会福利函数满足弱帕累托性质, 并且社会对任意两个备选对象的排序仅依赖于每个人对这两个对象的排序(无关备选对象的独立性) , 那么我们就面临一个两难选择:要么放弃社会排序在某种意义上是理性的希望, 要么我们接受独裁.
当我们限制个人的排序为线性偏好, 即对任意两个不同的备选对象, 每个人对它们的排序都必须是有差异的, 如果备选对象的集合至少有三个成员, 那么帕累托性质和无关备选对象的独立性是社会福利函数独裁的充分必要条件.
但是, 当我们面对个人的排序为任意的偏好, 并且备选对象的集合至少有三个成员, 这时弱帕累托性质和无关备选对象的独立性是社会福利函数独裁的充分条件, 但不是必要的条件. 1998年, Denicolo 在[2]中引入了一个新的条件RID (Relatio nal independent decisiveness ) , 并证明了当个人的排序为任意的偏好, 并且备选对象的集合至少有三个成员时, 帕累托性质和RID 是社会福利函数独裁的充分必要条件. 虽然Denicolo 给出了一般情况下独裁的充分必要条件, 但这个条件却较难被用于其它问题中.
本文我们首先对社会福利函数引入了半严格正向响应性质, 然后证明了社会福利函数独裁当且仅当它满足弱帕累托性质与半严格正向响应性质.
收稿日期:2005-05-16
基金项目:高等学校全国优秀博士学位论文作者专项资金资助项目(200267) ; 广东外语外贸大学校级重点项目(gw
158数 学 的 实 践 与 认 识37卷Gibbar d —Satter thw aite 定理是社会选择理论的最重要的结论之一. 这时, 我们考虑的问题是如何根据每个人的嗜好得到一个社会的结果, 而不是社会对所有结果的排序, 这样的一个机制我们称之为社会选择函数. Gibbard —Satterthw aite 定理[3—4]告诉我们:当每个人的排序可任意选择, 如果我们希望社会选择函数是防止策略性操纵的, 即决定选择结果时每个人能够真实地报告他的排序, 虚假的报告并不能给他带来更好的结果. 那么我们不得不接受独裁. 为了推广Gibbard —Satterthw aite 定理到更一般的社会选择规则的情形, 许多作者对社会选择规则引进了多种防止策略性操纵的概念. 本文我们给出了社会选择函数是防止策略性操纵的一个等价条件, 这有助于推广Gibbard —Satterthw aite 定理到一般情形.
由于Gibbard —Satterthw aite 定理在机制设计中的重要性, 许多文章致力于把它推广到更一般的情形, 即推广到社会选择规则的情形, 例如[5—6].在本文的最后, 我们直接对社会福利函数引进了防止局部策略性操纵的概念, 防止局部策略性操纵的社会福利函数意味着每个人都没有动机去假报自己的偏好. 对这样的社会福利函数证明了一个类似于Gibbard —Satterthw aite 定理的结论. 即当备选对象至少有三个时, 防止局部策略性操纵的社会福利函数只能是独裁的.
2 定义与符号
设I ={1, 2, …, n }为选民的集合. C 为一有限集合, 通常称之为候选对象集.
ü
n n R 是C ü上全部偏好(完备的、传递的二元关系) 的集合, P R ∈R , 记R 为由R 诱导的关系, 即aR b 当且仅当aRb , 但bRa 不成立. R =R ×R ×…×R . 一个映射F :R →R 叫做一个社
会福利函数(Social Welfare Function ). 为了方便, 记R =F (R 1, R 2, …, R n ) , P =F (P 1, P 2, …, P n ) , Q =F (Q 1, Q 2, …, Q n ) 等等. 社会福利函数F 叫做具有弱Pareto 性质:P a ,
n b ∈C , P (R 1, R 2, …, R n ) ∈R , 若P i ∈I , 都有aR i b , 则aR b . 社会福利函数F 叫做独
n 裁的:若v j ∈I , 对P (R 1, R 2, …, R n ) ∈R , P a , b ∈C , 只要aR j b , 就有aR b . 这时称j üüüü
∈I 为独裁者.
定义1 社会福利函数F :R →R 叫做半严格正向响应的, 对P (R 1, R 2, …, R n ) ∈n n R , (P 1, P 2, …, P n ) ∈R , a ∈C , 如果P i ∈I 都有{x ∈C ûaR i x , x ≠a }
定义2 社会福利函数F 叫做可被i ∈I 在(R 1, R 2, …, R n ) 通过P i ∈R 所操纵, 如果存在a , b ∈C , 使得aR i b , bRa , 但aF (R 1, …, P i , …, R n ) b .
定义3 一个社会福利函数F 叫做防止局部策略性操纵的, 如果不存在i ∈I , (R 1, R 2,
n …, R n ) ∈R , P i ∈R , 使得F 可被i ∈I 在(R 1, R 2, …, R n ) 通过P i 所操纵.
n 定义4 设F :R →R , S
üüüü1) S 是a 优于b 的决定集, 如果对任意(R 1, R 2, …, R n ) ∈R , P j ∈S , aR j b , P j |n
S , bR j a , 则aR b ;
2) S 是决定集, 如果任给{a , b }
üüü3) S 是a 优于b 的完全决定集, 如果P (R 1, R 2, …, R n ) ∈R , P j ∈S , aR j b 包含n üaR
11期姚海祥, 等:社会福利函数独裁的特征159
显然, 若S 是a 优于b 的完全决定集, 则S 是a 优于b 的决定集.
3 主要结果
社会福利函数独裁的等价条件, 即定理1的证明方法是传统的.
Pareto 性质. n 命题1 若社会福利函数F 是半严格正向响应的, 且F (R ) =, 则它一定满足弱R
ün 证明 任给a , b ∈C , 任给(R 1, R 2, …, R n ) ∈R , 若对所有的i ∈I , 都有aR i b . 如果
bR a , 注意存在(P , P , …, P ) ∈12n
üüR , n 使得aP b . 构造(Q 1, Q 2, …, Q n ) ∈R , 使得n üüüaQ i bQ i x (P x ≠a , b ). 由半严格单调性, aPb 推出aQ b , bRa 推出bQ a , 矛盾.
命题2 若F 满足弱Pareto 性质且C 至少包含两个备选对象, I 非空, 则空集5不是决定集.
证明 用反证法, 假设空集5是决定集, 则对任意(R 1, R 2, …, R n ) ∈R , 只要P j ∈n
I , 都有bR j a , 那么aR b . 但这与弱Pareto 性质矛盾. 所以空集5不是决定集.
命题3 假设社会福利函数F 满足半严格正向响应性质, 如果存在(R 1, R 2, …, R n ) ∈üüR , n 使得P j ∈S , aR b , P j |j üS , bR a 包含aR b , 则S 是a 优于b 的决定集. j
n üüü证明 对任意(P 1, P 2, …, P n ) ∈R , 假设P j ∈S , aP j b , P j |
P j |
üüüüS , bP j a , 如果aP b 不üüüüün 成立, 则有bP a . 构造(Q 1, Q 2, …, Q n ) ∈R , 使得P x ∈C ～{a , b }, P j ∈S , aQ j bQ j x , S , bQ j aQ j x , 由F 满足半严格正向响应性质, 所以aR b 可推出aQ b ; 同样bP a 可推出
命题4 设社会福利函数F 满足半严格正向响应性质与弱Pareto 性质, S
证明 当a ≠c , 构造(R , R , …, R ) ∈R 如下:对所有的i ∈S , 令aR bR cR i x (P x 12n n i i üüü
üüü∈C -{a , b , c ) , 对所有的i |
üS , bR i cR i aR i x (P x ∈C -{a , b , c ). 由弱Pareto 性质有üübR c , 又S 是a 优于b 的决定集, 所以aR b . 从而有aR c , 由命题3, S 是a 优于c 的决定集. 当b ≠c 时, 同理可证.
命题5 设社会福利函数F 满足半严格正向响应性质与弱Pareto 性质, C 至少包含三个备选对象, S
证明 任给x ≠y , 需要证明S 是x 优于y 的决定集. 若{x , y }={a , b }, 只需考虑x =b , y =a 的情形. 取c ≠a , b , 反复应用命题4, 首先S 是a 优于c 的决定集. 因为b ≠c , 所以S 是b 优于c 的决定集. 又因为a ≠b , 所以S 是b 优于a 的决定集. 若{x , y }≠{a , b }, 不妨设x |
y 的决定集.
个备选对象. {a , b }, 根据命题3, S 是x 优于b 的决定集, 因为y ≠x , 所以S 是x 优于命题6 设社会福利函数F 满足半严格正向响应性质与弱Pareto 性质, C 至少包含三
160数 学 的 实 践 与 认 识37卷
2) 对任意的S
3) 如果S 是决定集, 且S 至少包含两个备选对象, 则存在S 的真子集T 也是关于F 的决定集;
证明 1) 取三个不同的备选对象a , b , c , 构造(R 1, R 2, …, R n ) ∈R 如下:当i ∈S ∩n
T , 令aR i bR i cR i x , 当i ∈S ～T , cR i aR i bR i x , 当i ∈T ～S , 令bR i cR i aR i x , 当i |üüüü
üüüüüüüüüüüS ∪T , cR i bR i aR i x , 这里x ∈C -{a , b , c }.因为S 是决定集, 所以aR b ; 又因为T 是决定集, 所以bR i c , 于是必有aR i c . 根据命题3, S ∩T 是a 优于c 的决定集. 再根据命题5, S ∩T 是关于F 的决定集.
n 2) 设S 非空, 取三个不同的备选对象a , b , c , 构造(R 1, R 2, …, R n ) ∈R 如下:当i ∈
S , 令aR i bR i cR i x , 当i ∈I ～S , bR i cR i aR i x (P x ∈C -{a , b , c ) . 因为bR c , 所以aR b 、bR a 、aR c 、cR a 必有一个成立. 若aR b , 由命题3, S 是在F 下a 优于b 的决定集. 若bR a , 由命题3, I ～S 是b 优于a 的决定集. 若aR c , 由命题3, S 是a 优于c 的决定集; 若cR a , I ～S 是c 优于a 的决定集. 因此无论哪种情况, S 与I ～S 中总有一个是关于F 的决定集.
3) 任取j ∈S , 若j 是关于F 的决定集, 则结论显然成立; 若j 不是决定集, 则由以上的
2) 结论有I -{j }是关于F 的决定集, 又由1) 有T =S ∩(I -{j }) 也是关于F 的决定集, 显然T 是S 的真子集, 从而命题得证.
命题7 设社会选择规则F 满足半严格正向响应性质, 如果S 是F 的决定集, 则对任意两个不同的a , b , S 是a 优于b 的完全决定集.
证明 对P (R , R , …, R ) ∈R , 满足aR i b (P i ∈S ) , 如果bRa . 构造(Q 1, Q 2, …, 12n n ü
üüüüüüüüüüüüüüüüüüüQ n ) 如下:P x ∈C ～{a , b }, 当i ∈S 时, aQ i bQ i x ; 当i ∈I ～S 时, bQ i aQ i x . 因为S 是
决定集, 所以aQ b . 又由半严格正向响应性质, 得bQ a . 矛盾. 所以aR b .
定理1 假设C 包含至少三个备选对象, 则社会福利函数F 是独裁的充要条件是F 满足弱Pareto 性质与半严格正向响应性质.
证明 充分性:由命题6, 存在j ∈I , 使得{j }是关于F 的决定集. 从而由命题7, 对任意的(R 1, R 2, …, R n ) ∈R , a , b ∈C , 若aR j b , 则必有aR b . 即F 是独裁的. n üüüüü
必要性:若F 是独裁的, F 显然满足弱Par eto 性质. 设j ∈I 为独裁者. 对P (R 1, R 2,
n n …, R n ) ∈R , (P 1, P 2, …, P n ) ∈R , 若a ∈C 满足对每个i ∈I , 都有
{x ∈C ûaR i x , x ≠a }
假如{x ∈C ûaRx , x ≠a }
4 社会选择函数防止策略性操纵的等价描述
任一映射f :R →C 叫做一个社会选择函数. 一个社会选择函数f 叫做被i ∈I 在n
(R 1R i f i , i (1R
11期姚海祥, 等:社会福利函数独裁的特征161…, R n ) . 一个社会选择函数f 叫做防止策略性操纵的, 如果不存在i ∈I , (R 1, R 2, …, R n )
n ∈R , 使得f 被i ∈I 在(R 1, R 2, …, R n ) 所操纵.
n n 定理2 社会选择函数f 是防止策略性操纵的当且仅当对任意两个不同的偏好组合
ü(R 1, R 2, …, R n ) ∈R , (P 1, P 2, …, P n ) ∈R , 若a =f (R 1, R 2, …, R n ) 对每个使得R i ≠P i 的i 都满足{x ∈C ûaR i x , x ≠a }
证明 必要性. 对任意两个不同的偏好组合(R 1, R 2, …, R n ) ∈R , (P 1, P 2, …, P n ) n
n ∈R , 若a =f (R 1, R 2, …, R n ) 满足对每个使得R i ≠P i 的i ∈I , 都有
{x ∈C ûaR i x , x ≠a }
令a i =f (P 1, …, P i , R i +1, …, R n ) , a =a 0. 下面证明:a 0=a 1=…=a n . 若存在一个j , 使得a j ≠a j +1. 这时R j +1≠P j +1. 因为f 是防止策略性操纵的, 所以有a j +1P j +1a j , a j R j +1a j +1. 于是由a j R j +1a j +1, a j ≠a j +1立即得到a j P j +1a j +1. 与a j +1P j +1a 矛盾. 因此对任意的i ∈I , 都有a j =a j +1. 从而a =f (P 1, P 2, …, P n ) .
充分性. 若f 不是防止策略性操纵的, 则存在j ∈I , (R 1, R 2, …, R n ) ∈R , P j ∈R , n ü
使得f (R 1, …, P j , …, R n ) R j f (R 1, …, R j , …, R n ) . 令Q j ∈R 满足对任意的x ∈C ～{a , p }, p Q j aQ j x , 这里a =f (R 1, …, R j , …, R n ) , p =f (R 1, …, P j , …, R n ) . 则由假设, 有a =f (R 1, …, Q j , …, R n ) =p , 与a ≠p 矛盾. 因此f 是防止策略性操纵的. üüü5 社会福利函数的不能操纵性质与独裁
定理3 若社会福利函数F 是防止局部策略性操纵的, 则它一定满足半严格正向响应性质.
证明 对任意两个偏好组合(R 1, R 2, …, R n ) ∈R , (P 1, P 2, …, P n ) ∈R , 若a 满足对每个i ∈I , 都有n n
{x ∈C ûaR i x , x ≠a }
我们需要证明{x ∈C ûaRx , x ≠a }
对每个i ∈I , 令Q i -1=F (P 1, …, P i -1, R i , …, R n ). 显然Q 0=R , Q n =P . 下面我
üüü
们证明{x ∈C ûaQ i -1x , x ≠a }
{x ∈C ûaQ i -1x , x ≠a }
从而得{x ∈C ûaR x , x ≠a }
推论 假设C 包含至少三个备选对象, 社会福利函数F 满足弱Pareto 性质并且是防止, üüüüüü
162
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The Equivalent Conditions of Dictatorship for
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123YA O Hai -x iang , YI Jian -x in , LI Zhong -f ei
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Abstract : W e intr oduce the semi -st rict m onoto nicity for social w elfar e functions . T hen w e pro ve t hat for any social w elfare functio n F , w hose r ange co ntains mo re than tw o alt er nativ es and w hose domain co nsists o f all prefer ence pr ofiles, the sem i-str ict mo noto nicity and w eak Par eto pro per ty are the sufficient and necessar y co ndit ions o f dictato rship. As a application o f our result , w e gener alized the Gibbar d -Sa ttert hwaite ′s T heor em to social w elfar e functio ns and given a equivalent co nditio n o f strat egy -pro ofness for so cial cho ice.
Keywords : so cial cho ice ; so cial welfare functio ns ; dict ator ship ; local -str ategy -pr oofness