方程与不等式

方程与不等式

一、 知识梳理

知识点一：一元二次方程概念

1.定义：方程的两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次,我们把这样的方程叫做一元二次方程。

2.一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c为常数且a≠0)。一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式。其中ax2、bx、 c分别称为二次项、一次项、常数项，a、b分别称为二次项系数，一次项系数。(b和c可以为0,但a不能为0,因为一元二次方程必须有二次项,一次项和常数项没有的时候就是b和c为0的情况)

注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。

3.一元二次方程的解：使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根)。  判别式：Δ=b2-4ac

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况：

(1)当Δ＞0时,方程有两个不相等的实数根；

(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根；

(3)当Δ＜0时,方程无实数根。

根据根的情况,也可以逆推出Δ的情况,这方面的知识主要用来求取值范围等问题。

知识点二：一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)

1.一元二次方程的求根公式

:

2.一元二次方程根与系数的关系:

若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1、x2,则x1＋x2=－b/a,x1x2=c/a

补充规律:

两根均为负的条件:x1＋x2＜0,x1x2＞0

两根均为正的条件:x1＋x2＞0,x1x2＞0

两根一正负的条件:x1x2＜0

当然,以上还必须满足一元二次方程有根的条件:b-4ac≥0

知识点三：一元二次方程的解法

1.直接开平方法

2.配方法:通过配方,将方程的左边化成一个含未知数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直接开平方求出方程的解的方法,即转化成(x+b)2=a(a≥0)的形式,再利用开平方

步骤:（一移，二化，三配，四开）

(1)把方程化成一元二次方程的一般形式；

2

(2)把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)；

(3)把含有未知数的项放在方程的左边,不含未知数的项放在方程的右边；

(4)方程的两边同加上一次项系数一半的平方(这是关键)；

(5)方程的左边化成完全平方的形式,方程的右边化成非负数；

(6)利用直接开平方的方法去解。

如果整理后左边是完全平方式,如果右边是个负数,则指出原方程无实根。

3.公式法

步骤:

(1)把方程化成一元二次方程的一般形式；

(2)写出方程各项的系数；

(3)计算出b2-4ac的值，看b2-4ac的值与0的关系,若b2-4ac

(4)当b2-4ac≥0时,代入求根公式计算出方程的值。

注意:用公式法解一元二次方程的前提是:

①必须是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0)；

②b-4ac≥0。

4.因式分解法

当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式时,可用分解因式法来解 AB=0〈=〉A=0或B=0(A、B表示两个因式)

步骤:

(1)移项,使方程的右边为0(用该方法方程右边一定要为0)；

(2)利用提取公因式法,平方差公式,完全平方公式,十字相乘法对左边进行因式分解；

(3)令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程；

(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。

简记歌诀:右化零,左分解；两因式,各求解

经典例题解析：

例1：解下列方程：

（1）x24x40

（3）(x1)23(x1)20

2 （2）(x1)(x4)6 （4）3x(2x1)4x2

例2：关于x

的一元二次方程kx210有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

例3：已知一元二次方程x23x10的两根分别为x1,x2，请利用根与系数的关系。

2求（1）x12x2；（2）11 x1x2

变式：已知关于x的方程k2x22(k1)x10有两个实数根。

（1） 求k的取值范围；

（2） 当k1时，设所给方程的两个实数根为x1,x2，求

xx10,23例4：试确定实数a的取值范围，使不等式组恰有两个整数解. 5a44x(x1)a33x2x1的值。 x1x2

知识点四：一元二次方程的应用

应用一元二次方程解决实际问题（新情景综合问题）是重点，也是难点，更是必考的重点，应十分关注。常见问题有：

（1）增长率问题；

（2）利润问题；

（3）工程问题；

（4）面积问题。

定义与解：一元一次方程解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.应用：确定类型、找出关键量、数量关系定义与解：解法：代入消元法、加减消元法二元一次方程（组）方程简单的三元一次方程组：简单的二元二次方程组：定义与判别式(△=b2-4ac)一元二次方程解法：直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法.定义与根（增根）：分式方程解法：去分母化为整式方程，解整式方程，验根.1.行程问题：2.工程（效）问题：3.增长率问题：（增长率与负增长率）4.数字问题：（数位变化）类型5.图形问题：（周长与面积（等积变换））方程与不等式6.销售问题：（利润与利率）方程的应用7.储蓄问题：（利息、本息和、利息税）8.分配与方案问题：1.线段图示法：常用方法2.列表法：3.直观模型法：一般不等式解法一元一次不等式条件不等式解法解法：（借助数轴）1.不等式与不等式不等式（组）2.不等式与方程一元一次不等式组应用3.不等式与函数4.最佳方案问题 5.最后一个分配问题

二、 真题讲解

1、（2014A•重庆23）为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．

（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？

（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150

元的基础上减少了

a%，求a的值．

2、（2014B•重庆23）某生态农业园种植的青椒除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去生态农业园购买。已知今年5月份该青椒在市区、园区的销售价格分别为6元/千克、4元/千克，今年5月份一共销售了3000千克，总销售额为16000元。

（1）今年5月份该青椒在市区、园区各销售了多少千克？

（2）6月份是青椒产出旺季，为了促销，生态农业园决定6月份将该青椒在市区、园区的销售价格均在今年5月份的基础上降低a%，预计这种青椒在市区、园区的销量将在今年5月份的基础上分别增长30%、20%，要使得6月份该青椒的总销售额不低于18360元，则a的最大值是多少？

3、（2013A•重庆23）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．

（1）求甲乙两队单独完成这项工程各需几个月？

（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元。在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲乙两队分工合作完成这项工程。在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲乙两队的施工时间按月取整数）．

4、（2013B•重庆23）“4•20”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完．

（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？

（2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆小

1货车每次比原计划少运300m顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑m次，2

小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值．

方程与不等式

一、 知识梳理

知识点一：一元二次方程概念

1.定义：方程的两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次,我们把这样的方程叫做一元二次方程。

2.一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c为常数且a≠0)。一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式。其中ax2、bx、 c分别称为二次项、一次项、常数项，a、b分别称为二次项系数，一次项系数。(b和c可以为0,但a不能为0,因为一元二次方程必须有二次项,一次项和常数项没有的时候就是b和c为0的情况)

注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。

3.一元二次方程的解：使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根)。  判别式：Δ=b2-4ac

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况：

(1)当Δ＞0时,方程有两个不相等的实数根；

(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根；

(3)当Δ＜0时,方程无实数根。

根据根的情况,也可以逆推出Δ的情况,这方面的知识主要用来求取值范围等问题。

知识点二：一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)

1.一元二次方程的求根公式

:

2.一元二次方程根与系数的关系:

若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1、x2,则x1＋x2=－b/a,x1x2=c/a

补充规律:

两根均为负的条件:x1＋x2＜0,x1x2＞0

两根均为正的条件:x1＋x2＞0,x1x2＞0

两根一正负的条件:x1x2＜0

当然,以上还必须满足一元二次方程有根的条件:b-4ac≥0

知识点三：一元二次方程的解法

1.直接开平方法

2.配方法:通过配方,将方程的左边化成一个含未知数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直接开平方求出方程的解的方法,即转化成(x+b)2=a(a≥0)的形式,再利用开平方

步骤:（一移，二化，三配，四开）

(1)把方程化成一元二次方程的一般形式；

2

(2)把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)；

(3)把含有未知数的项放在方程的左边,不含未知数的项放在方程的右边；

(4)方程的两边同加上一次项系数一半的平方(这是关键)；

(5)方程的左边化成完全平方的形式,方程的右边化成非负数；

(6)利用直接开平方的方法去解。

如果整理后左边是完全平方式,如果右边是个负数,则指出原方程无实根。

3.公式法

步骤:

(1)把方程化成一元二次方程的一般形式；

(2)写出方程各项的系数；

(3)计算出b2-4ac的值，看b2-4ac的值与0的关系,若b2-4ac

(4)当b2-4ac≥0时,代入求根公式计算出方程的值。

注意:用公式法解一元二次方程的前提是:

①必须是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0)；

②b-4ac≥0。

4.因式分解法

当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式时,可用分解因式法来解 AB=0〈=〉A=0或B=0(A、B表示两个因式)

步骤:

(1)移项,使方程的右边为0(用该方法方程右边一定要为0)；

(2)利用提取公因式法,平方差公式,完全平方公式,十字相乘法对左边进行因式分解；

(3)令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程；

(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。

简记歌诀:右化零,左分解；两因式,各求解

经典例题解析：

例1：解下列方程：

（1）x24x40

（3）(x1)23(x1)20

2 （2）(x1)(x4)6 （4）3x(2x1)4x2

例2：关于x

的一元二次方程kx210有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

例3：已知一元二次方程x23x10的两根分别为x1,x2，请利用根与系数的关系。

2求（1）x12x2；（2）11 x1x2

变式：已知关于x的方程k2x22(k1)x10有两个实数根。

（1） 求k的取值范围；

（2） 当k1时，设所给方程的两个实数根为x1,x2，求

xx10,23例4：试确定实数a的取值范围，使不等式组恰有两个整数解. 5a44x(x1)a33x2x1的值。 x1x2

知识点四：一元二次方程的应用

应用一元二次方程解决实际问题（新情景综合问题）是重点，也是难点，更是必考的重点，应十分关注。常见问题有：

（1）增长率问题；

（2）利润问题；

（3）工程问题；

（4）面积问题。

定义与解：一元一次方程解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.应用：确定类型、找出关键量、数量关系定义与解：解法：代入消元法、加减消元法二元一次方程（组）方程简单的三元一次方程组：简单的二元二次方程组：定义与判别式(△=b2-4ac)一元二次方程解法：直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法.定义与根（增根）：分式方程解法：去分母化为整式方程，解整式方程，验根.1.行程问题：2.工程（效）问题：3.增长率问题：（增长率与负增长率）4.数字问题：（数位变化）类型5.图形问题：（周长与面积（等积变换））方程与不等式6.销售问题：（利润与利率）方程的应用7.储蓄问题：（利息、本息和、利息税）8.分配与方案问题：1.线段图示法：常用方法2.列表法：3.直观模型法：一般不等式解法一元一次不等式条件不等式解法解法：（借助数轴）1.不等式与不等式不等式（组）2.不等式与方程一元一次不等式组应用3.不等式与函数4.最佳方案问题 5.最后一个分配问题

二、 真题讲解

1、（2014A•重庆23）为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．

（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？

（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150

元的基础上减少了

a%，求a的值．

2、（2014B•重庆23）某生态农业园种植的青椒除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去生态农业园购买。已知今年5月份该青椒在市区、园区的销售价格分别为6元/千克、4元/千克，今年5月份一共销售了3000千克，总销售额为16000元。

（1）今年5月份该青椒在市区、园区各销售了多少千克？

（2）6月份是青椒产出旺季，为了促销，生态农业园决定6月份将该青椒在市区、园区的销售价格均在今年5月份的基础上降低a%，预计这种青椒在市区、园区的销量将在今年5月份的基础上分别增长30%、20%，要使得6月份该青椒的总销售额不低于18360元，则a的最大值是多少？

3、（2013A•重庆23）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．

（1）求甲乙两队单独完成这项工程各需几个月？

（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元。在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲乙两队分工合作完成这项工程。在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲乙两队的施工时间按月取整数）．

4、（2013B•重庆23）“4•20”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完．

（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？

（2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆小

1货车每次比原计划少运300m顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑m次，2

小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值．