利率风险管理的重要免疫工具：持续期模型
王志强 张姣
内容提要：利率市场化进程的加快凸现利率风险管理的重要性和迫切性。作为一种利率风险管理的重要免疫工具，持续期配比策略在近些年来有了较大发展。本文在深入探讨Macaulay 持续期的三种重要含义的基础上，详细地分析和比较了近期提出的几种主要持续期，包括方向持续期、部分持续期和近似持续期，最后简单讨论了将这些持续期模型及其免疫策略用于中国市场应注意的问题。
关键词：利率风险管理；免疫策略；持续期模型
中图分类号：F830.9
The Most Important Immunizing Tools against Interest Rate Risk:
Duration Models
Wang Zhiqiang and Zhang Jiao
(School of Finance, Dongbei University of Finance & Economics, Dalian, 116025)
Abstract: The importance and urgency of the interest rate risk management is projected in the accelerated process of interest rate marketization. As an important immunizing tool against interest rate risk management, duration-matched strategy has received the rapidly development recently. Based on discussions of three significative implications of Macaulay duration, this paper analyzes and compares several important duration models published recently, including directional duration, partial duration and approximate duration. At last, the paper briefly discusses the problems when applying these models to Chinese market.
Keywords: Interest Rate Risk Management, Immunization Strategy, Duration Model JEL Classification: E43; G11
*作者简介：
王志强（1965.3-），男，蒙古族，内蒙乌海人，东北财经大学金融学院教授，科研处副处长，博士生，主要从事金融学、数量经济学等方面的研究。通信地址：东北财经大学科研处（116025）；电话：0411-84738311(O)，[1**********]；电子邮件地址：[email protected]。
张姣（1980.8-），女，汉族，辽宁沈阳人，东北财经大学金融学院硕士研究生。电话：0411-84814386, [1**********]；电子邮件地址：[email protected]。
利率风险管理的重要免疫工具：持续期模型1
内容提要：利率市场化进程的加快凸现利率风险管理的重要性和迫切性。作为一种利率风险管理的重要免疫工具，持续期配比策略在近些年来有了较大发展。本文在深入探讨Macaulay 持续期的三种重要含义的基础上，详细地分析和比较了近期提出的几种主要持续期，包括方向持续期、部分持续期和近似持续期，最后简单讨论了将这些持续期模型及其免疫策略用于中国市场应注意的问题。
关键词：利率风险管理；免疫策略；持续期模型
一、利率风险管理的重要性和迫切性
1、利率风险管理没有受到应有的足够重视
国债市场中利率风险管理是投资者面临的最主要问题，尤其应受到机构投资者的高度重视。然而，面对着利率市场化进程的加快，中国机构投资者并没有给予其应有的足够重视，利率风险管理问题成为中国国债市场中的亟待解决的重要问题。
利率风险在利率处于由升转降或由降转升的阶段表现得尤为突出，期间发生的投资行为往往会隐藏着巨大风险。下面以几个具体事例加以说明。
事例之一：财政部高成本发行国债，致使国家财政负担大大增加。高成本发行国债主要表现在两个方面：第一，国债利率基本上显著高于银行同期储蓄存款利率。依据收益与风险相匹配原则，国债利率一般应低于银行同期存款利率，在成熟市场中这是正常现象。然而，在我国情况却正相反，国债利率常常高于银行同期储蓄存款利率，我们将这种现象称为利率错配。在上世纪九十年代中期高利率水平阶段，我国国债发行利率基本上高于银行同期存款利率2个百分点，这大大抬高了我国债券的发行（筹资）成本。第二，国债发行利率和期限的确定无视预期通胀率和未来利率的走势变化。譬如，在物价水平和利率开始从高水平回落的1996年至1997年期间，我国发行的国债大部分是7—10年期的中长期国债，且利息率随期限增加而上升。特别地，1996年6月14日财政部发行了250亿元的10年期国债，年复利率竟然高达11.83%。
事例之二：保险公司低价出售保险产品，导致中国保险业目前面临巨额利差损。在1996年上半年之前，由于国债收益率水平很高，各家寿险公司在精算保费时确定的预定利息率非常高, 有的达到年复利8%以上。正是基于这种预定利息率, 保险公司以较低的定价出售其保险产品。然而，到九十年代末利率处于低水平以来，保险公司无法找到高收益的投资品种，从而出现了严重的收支问题，导致巨额利差损。据经济观察报报道（张宏和高凡，2003），高盛公司通过以准备金为基准，类比国债的测算方式，估计中国人寿、平安人寿和太平洋人寿三大寿险公司的潜在利差损约为320-760亿元人民币。笔者预计，随着利率市场化进程加快，以及国债收益率趋于合理，在没有其他高收益投资渠道的情况下，中国保险业的利差损有进一步扩大的可能。
事例之三：金融机构对中长期国债的过度需求使得长短期国债利差过小、利率期限结构扭曲，导致金融机构目前持有的国债资产大幅缩水、流动性严重不足。首先，中国债券市场1 本研究得到国家自然科学基金项目（70171019）的资助。作者衷心感谢匿名审稿人对本文提出的非常中肯的修改建议。
整体规模相对较小、品种结构失衡2。由于没有更多的投资渠道，金融机构迫不得已将大量资金投资于中长期国债，造成金融机构对中长期国债的过度需求。其次，利率管制为国有金融机构推脱责任和不作为提供了借口，大多数金融机构对利率风险认识不足，其利率风险管理水平落后，盲目的过度投资使得长短期国债利差过小、利率期限结构扭曲，导致中长期国债中蕴含着较大的利率风险。这种过度需求带来的结果是，自2004年以来随着对通货膨胀上升的预期，中国债券市场大幅下跌，使得众多机构投资者的债券资产严重缩水、损失惨重。央行不得不在债券市场中频繁操作，以维护市场的稳定。不幸的是，市场的症结在于众多投资面临的是系统性风险，而不是非系统性风险。面对着债券市场中的系统性风险，央行的公开市场操作显得力不从心。
2、债券市场存在缺陷凸现利率风险管理的重要性
目前，中国债券市场中主要存在以下几方面的问题：第一，债券市场规模较小、品种结构不合理。据国家统计局数据显示，2003年国民生产总值GDP 达到人民币11.6694万亿元3，2003年的债券余额占GDP 的比例为31%（不包括央行票据），而企业债券余额所占比例仅为1.46%4。与发达国家的成熟债券市场规模相比，中国债券市场的总体规模相对较小，企业债券市场规模更小，这与中国经济发展很不相配。以美国为例，2003年末美国的各种债券余额与GDP 之比超过170%（不包括货币市场工具），其中公司债券余额与GDP 之比超过40%5。第二，债券期限结构不合理、集中于中期债券。就国债市场而言，短期国债发行量较小，而中期国债发行量较大。截至到2004年底，在上海证券交易所上市的29只国债中，到期期限小于1年的国债只有一只，到期期限大于10年的国债只有3只，其余25只国债中到期期限在1-3年的有7只，到期期限在4-7年的有14只6。第三，利率期限结构扭曲，中长期国债的利率水平偏低，市场流动性较差。第四，投资主体行为趋同，容易形成单边行情。我国债券市场特别是银行间债券市场中，绝大部分投资主体是商业银行，80%以上的投资和交易是商业银行创造的。由于商业银行资金来源变化规律呈趋同性，资金运用渠道单一，经营风格雷同，表现在投资行为上也呈趋同性。资金宽松时竞相购买债券，资金紧张时纷纷抛售债券，使市场经常处于非均衡状态。第五，投资者风险意识差、投资行为表现为非理性。由于我国债券市场发展还不完善，流动性不足，中长期债券的风险未得到充分认识，风险量化技术不成熟，投资者在权衡长期债券和短期债券时难以作出科学决策。而且，由于近几年债券价格总体上呈持续上扬趋势，激发了债券投资热情。一些投资者为增加收益，忽视了自身资产负债期限的匹配关系，造成期限结构失衡。对央行货币政策意图未及时采取有效措施，存在侥幸心理。一旦行情发生较大变化，投资者较难及时调整其期限结构，因而隐含着较大的利率风险。
3、利率市场化进程的加快迫切要求加强利率风险管理
中国利率市场化改革的总体思路是：先放开货币市场利率和债券市场利率，再逐步推进存、贷款利率的市场化。而存、贷款利率市场化则按照“先外币、后本币；先贷款、后存款；先长期、大额，后短期、小额”的顺序进行。
1996年6月，人民银行明确规定，银行间同业拆借市场利率由拆借双方根据市场资金供求自主确定，从而正式放开了银行间同业拆借利率，为利率市场化迈出了具有开创意义的一步。其后，1997年6月，银行间债券市场正式启动，同时放开了债券市场债券回购和现券交易利率，债券市场利率和银行间市场国债、政策性金融债的发行利率也分别放开。 2
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6 详细内容参见下一小节。 2003年GDP 数据来自于国家统计局（2004）。 计算中所用的2003年债券余额数据来自于贾飙（2004）。 计算中所用的2003年美国数据引自蔡国喜（2004）。 根据上海证券交易所(http://www.sse.com.cn/)公布的国债资料数据整理而得。
在贷款利率市场化方面，1998年和1999年两次扩大贷款利率浮动幅度，2000年放开了外币存贷款利率。2002年开始在八家农村信用社进行存贷款利率市场化的试点，赋予它们更大幅度地调整利率的权利。2004年10月29日起上调金融机构存贷款基准利率0.27个百分点，同时进一步放宽金融机构贷款利率浮动区间，允许存款利率下浮。中国金融机构人民币贷款利率已经基本过渡到上限放开，实行下限管理的阶段。在存款利率市场化方面，1999年对保险公司大额定期存款实行协议利率。2002年将境内外资金融机构对中国居民的小额外币存款纳入中国人民银行现行小额外币存款利率管理范围，实现中外资金融机构在外币利率政策上的公平待遇。
随着利率市场化进程的加快，各金融机构自主协定利率的空间加大，竞争加剧使得金融机构面临着更大的利率风险。特别是，对于仍以利息收入为主要收入来源的国有商业银行，既要处理呆坏账、进行体制改革，又要应对外资银行的冲击，在内外交困的时候，利率市场化改革增加了利息收入的不确定性。考虑到目前国债收益率与银行储蓄存款利率之
7间的错配问题将会逐步消除，以及银行间同业竞争的加剧，笔者认为利率市场化改革很有
可能造成银行的利息收入减少。因此，如果不进行适当的利率风险管理，国有商业银行将难以生存。
4、免疫策略与持续期模型是利率风险管理的重要手段和工具
利率风险表现在两个方面：价格风险和再投资风险。价格风险是由于市场利率上升引起债券价格下跌给债券投资者带来的资产损失；再投资风险是由于市场利率下降引起利息的再投资收入减少给债券投资者带来的收入损失。当市场利率上升时，债券投资者面临着资产损失和再投资收入增加；而当市场利率下降时，债券投资者面临着资产增加和再投资收入损失。因此，债券的价格风险和再投资风险有相互抵消的特性。正是基于这一抵消特性，产生了免疫的想法，并提出免疫策略（immunization strategy），用以规避利率变动给投资者带来的价格风险或再投资风险。
在诸多免疫策略中，被学术界重点关注和被投资界广泛应用的一类免疫策略是持续期配比策略（duration-matched strategy）。考虑一个每年付息一次的中长期附息债券，如果持有期小于一年，投资者面临的风险只有价格风险，没有再投资风险。随着持有期的增加，价格风险减少而再投资风险增加。如果持有到期，则投资者面临的风险只有再投资风险，没有价格风险。如图1所示，价格风险是持有期的减函数，再投资风险是持有期的增函数8。由于价格风险和再投资风险具有相互抵消的特性，于是存在一个适当的持有期，使得在该持有期下投资者的利率风险为零，我们将它称之为持续期（duration ）。因此，持续期配比策略就是持有期等于持续期的投资策略。
持续期概念是由麦考利（Macaulay ，1938）首次提出来的，因此持续期的最基本形式被称为Macaulay 持续期。鉴于持续期概念及其免疫策略在债券组合投资中的重要性，许多学者在麦考利的工作基础上作了大量的进一步研究，针对Macaulay 持续期中隐含的一些不符合实际情况的假设，提出了许多不同的改进的持续期模型，对持续期概念有了进一步的发展。譬如，Fisher-Weil 持续期、方向持续期（directional duration）、部分持续期（partial duration）和近似持续期（approximate duration）等。本文以下内容将在讨论Macaulay 持续期的重要含义的基础上，介绍和评价持续期概念及其模型的最新发展，并分析基于这些概念和模型的持续期配比免疫策略。 7 事实上，已有迹象表明这种错配问题正在逐步消除。譬如，2005年06月13日财政部发行的一年期国债 需要说明的是，在利率变化时，价格风险和再投资风险的符号是相反的。为了简便，图1中我们忽略了的收益率只有1.4196%，远远低于银行同期存款利率2.25%及其税后收益率2%。 8
价格风险和再投资风险的符号，只表示它们的绝对值，以便说明在某一持有期时两者正好相等的情形。
二、Macaulay 持续期的三种重要含义
1、Macaulay 持续期是债券本息支付时间的加权平均
在Macaulay 持续期的定义式中，债券现值PV 由下式计算：
PV =∑t =1n C t （1） (1+r ) t
其中，C t 表示债券在第t 期的本息（现金流）支付，r 表示贴现率，n 表示债券的剩余到期期限。
Macaulay 持续期D 被定义为：
n PV t C t (1+r ) -t
（2） D =∑t =∑t PV t =1PV t =1n
其中，PV t =C t (1+r ) -t 表示债券在第t 期本息（现金流）支付的现值。
从（2）式我们可以看出，Macaulay 持续期是债券本息支付时间的加权平均，其权重等于债券本息支付现值占债券总现值的比例。这是由持续期定义直接得出的Macaulay 持续期的基本含义，也是人们最初对Macaulay 持续期概念的基本理解。直观上讲，这一含义并没有给投资者管理利率风险带来太多启示，而且还往往容易被错误理解。譬如，有相当一部分人根据Macaulay 持续期表示为时间加权平均的特性，将它解释为债券投资的平均回收期。
2、Macaulay 持续期反映债券价格对到期收益率变化的敏感度
对（1）式两边求导数后除以债券现值，我们可以得到
tC t 1dPV 1n D （3） =-=-∑PV dr PV t =1(1+r ) 1+t 1+r
整理（3）式后得
D =-dPV /PV （4） dr /(1+r )
分析（4）式，我们发现Macaulay 持续期表现为债券现值的折现因子弹性9。如果将（1）式中的现值视为价格，则式中的贴现率就是到期收益率，因此我们也可以说，Macaulay 持续期是债券价格的折现因子弹性（用到期收益率作为折现率），它可以被用来度量债券价格对到期收益率变化的敏感程度。由于债券的价格与其到期收益率呈相反方向变化，因此Macaulay 持续期表示，当市场利率上升（或下降）时，贴现因子上升（或下降）一个百分点，债券价格下降（或上升）的百分比。
基于Macaulay 持续期的这一含义，可以定义一个常用的修正持续期（modified duration）： D M =D （5） 1+r
其中，D M 表示债券的修正持续期。
比较（3）式和（5）式，容易得到
D M =-1dPV （6） PV dr
由（6）式我们看到，与Macaulay 持续期相比，修正持续期所表示的含义更为直观，即修正持续期表示到期收益率上升或下降一个百分点时债券价格下降或上升的百分数。由于修正持续期的这一直观含义反映了持续期的本质特征，因此（6）式经常被用于直接定义其他持续期概念，如下一节“持续期模型的改进”中介绍的Fisher-Weil 持续期和方向持续期。
3、Macaulay 持续期被解释为具有相同价格敏感度的零息债券的到期期限
如上所述，从单位角度来看，Macaulay 持续期被解释为债券本息支付时间的加权平均；从利率风险角度来看，Macaulay 持续期被解释为债券价格对到期收益率变化的敏感度。尽管有了两种含义，但是我们仍然很难单独从这两个角度给Macaulay 持续期一个清晰解释，特别是无法说明Macaulay 持续期与利率风险免疫之间的关系。实际上，将Macaulay 持续期的这两种含义结合起来，我们可以得到另一种更直观的解释，即一个附息债券的Macaulay 持续期可以表示成与其具有相同价格和相同价格敏感度的零息债券的到期期限。
考虑一个到期期限为D 0、到期支付额为M 的零息债券10，则该零息债券的现值等于 PV 0=M (1+r ) -D 0 （7） 假设一个附息债券与该零息债券有相同的现值和相同的现值敏感度，即满足如下两式： PV =PV 0 （8） 和
dPV /dr =dPV 0/dr （9） 将（7）式、（8）式和（9）式带入（4）式，很容易得出
D =D 0 （10） 由此看出，一个附息债券的Macaulay 持续期可以被认为是一个零息债券的到期期限。由于这两种债券具有相同的现值和相同的现值敏感度，因此当利率有微小变化时这两种债券的价格有相同的反映。
Macaulay 持续期的这个含义非常重要，其原因在于：首先，对于持续期配比策略为什么能够实现免疫的问题，它可以给出一个直观、清晰的解释。我们知道，由于零息债券在到9 注意，这里所说的贴现因子是指1+r。
注意：一个零息债券的Macaulay 持续期等于它的到期期限。
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期前不会支付利息，因此只要将它持有到期，投资者就不会遭遇价格风险和再投资风险。所以，只要投资者保持债券（或债券组合）的Macaulay 持续期与其持有期限相同，就相当于投资者持有一个具有相同的现值敏感度的零息债券到期，也就能够实现对利率变化的免疫。其次，利用Macaulay 持续期的这一含义可以扩展持续期概念，如下一节要介绍的近似持续期。下一节中，我们将会看到Macaulay 持续期中隐含有两个与实际情况不相符的假设，因此将Macaulay 持续期用于实践存在一定的局限性。幸运的是，我们可以运用Macaulay 持续期的这一含义定义一个近似持续期，以增加利率风险管理的精确性。
综上所述，Macaulay 持续期具有三种含义：第一种，表示债券本息支付时间的加权平均，其中权重等于债券本息支付现值占其总现值的比例；第二种，被认为是债券价格的折现因子弹性，反映债券价格对到期收益率变化的敏感度；第三种，表示与附息债券具有相同价格和相同价格敏感度的零息债券的到期期限。
Macaulay 持续期在债券组合投资分析与管理活动中是一个非常重要的基础概念。首先，它是衡量债券组合利率风险的一个重要手段，持续期的大小反映债券价格随利率变化而变化的敏感程度。其次，它还是免疫策略的中心环节，利用持续期配比策略可以在利率发生未知变动时保护投资者利益。从理论上讲，通过保持债券组合的持续期与投资者的持有期相同能够实现对利率风险的免疫。
三、持续期模型的改进
由于Macaulay 持续期的基础是债券现值公式（1），所以Macaulay 持续期配比策略得以具有免疫功能是建立在两个隐含假设的基础上：一是水平收益率曲线（flat yield curve）；二是收益率曲线平行移动（parallel shift）。但通常情况下，收益率曲线既非水平，其变化也不是平行移动。因此，在两个隐含假设不满足的情况下，Macaulay 持续期配比策略不能保证对利率变化实现免疫。有鉴于此，对持续期模型的改进基本上都是从去掉这两个隐含假设开始的。
1、Fisher-Weil 持续期
考虑到初始收益率曲线不是水平的，Fisher 和Weil （1971）提出了对Macaulay 持续期进行改进的持续期，即Fisher-Weil 持续期。首先，假设债券现值由一系列即期利率决定：
PV =∑t =1n C t （11） t (1+S t )
其中，S t 表示第t 期即期利率，其它符号含义同上。
然后，假设即期利率曲线水平移动，即
dS t =d λt =1, , n （12） 其中，d λ表示即期利率的变化。
于是，定义Fisher-Weil 持续期为：
D FW tC t 1dPV 1n （13） =-=∑1+t PV d λPV t =1(1+S t )
与Macaulay 持续期相比，Fisher-Weil 持续期考虑了未来即期利率的变化，它对利率风险的估计更精确。当即期利率曲线向上倾斜时，表明未来即期利率上升，再投资收益增加，
将会更多地弥补价格风险，因此利率风险相对较小，Fisher-Weil 持续期小于Macaulay 持续期；当即期利率曲线向下倾斜时，表明未来即期利率下降，再投资收益减少，因此利率风险相对较大，Fisher-Weil 持续期大于Macaulay 持续期。
从理论上讲，在即期利率曲线水平的情况下，应该采用Macaulay 持续期配比策略来免疫；在即期利率曲线非水平的情况下，应该采用Fisher-Weil 持续期配比策略来免疫。然而，部分经验结果显示，采用Fisher-Weil 持续期配比策略并不能产生显著的更好结果（La Grandville ，2001）。对于出现这种经验结果的一般解释是：第一，在大多数情况下即期利率曲线是水平的，特别是对于长期期限的一段，即期利率曲线总是保持相对水平；第二，平均来讲，即期利率曲线的非平行移动所产生的利率风险效果在长期内互相抵消。
2、方向持续期
考虑到即期利率曲线平行移动的假设通常也不成立，La Grandville（2001）对Fisher-Weil 持续期进行了改进，提出了方向持续期（directional duration ）。假设即期利率曲线在每一期节点的变化可以用下式表示：
dS t =a t d λ （14） 其中，a t 被称为即期利率的边际变化，表示第t 期即期利率变化的方向和大小。
对（11）式两边求微分，然后将（14）式代入，我们可到
n -tC t ta t C t dPV =∑dS =-d λ （15） ∑t 1+t 1+t (1+S ) (1+S ) t =1t =1t t n
由此，可以定义方向持续期：
n n C t /PV 1dPV D d =-=∑ta t =∑ta t w t （16） 1+t PV d λ(1+S t ) t =1t =1
其中，w t =C t 1表示第t 期债券本息支付现值的边际与债券现值的比率，a t w t 被1+t PV (1+S t )
称为第t 期的方向权重（directional weight），它们组合起来的向量被称为方向权重向量。
如果令a t =1(t =1, 2, , n ) ，则方向持续期D d 就等于Fisher-Weil 持续期D FW 。因此，方向持续期是Fisher-Weil 持续期的扩展。
需要注意的是，由于各期方向权重之和一般情况下不等于1，所以方向持续期通常不是债券本息支付时间的用方向权重加权的平均值。但是，考虑到（14）式中即期利率的边际变化值可以被标准化而不影响问题的讨论，我们可以找到某一个方向权重向量，使得方向持续期表示为债券本息支付时间的加权平均。
根据方向持续期的定义式（16），方向持续期考察的是债券价格对各期即期利率变化的综合反映。如果我们能准确地预测出每一期即期利率的边际变化，就可以用方向持续期来度量债券价格对即期利率曲线变化的敏感度，进而用方向持续期配比策略进行利率风险管理。
3、部分持续期
与La Grandville（2001）的方向持续期不同，Cooper （1977）从拟合即期利率曲线入手，提出了部分持续期（partial duration）的概念。假设即期利率曲线可以由一组参数表示：
S t =S t (a 1, a 2, , a k ) （17）
则债券现值公式（11）改写成：
PV (a 1, a 2, , a k ) =∑t =1n C t （18） t (1+S t (a 1, a 2, , a k ))
于是，可以定义第i 个部分持续期为
D i =-∂PV (a 1, a 2, , a k ) 1
PV (a 1, a 2, , a k ) ∂a i i =1, 2, , k （19）
基于部分持续期的定义式（18），我们可以看到，部分持续期考察的是债券价格对影响即期利率曲线变动的某一参数或某一因素变化的敏感程度。因此，与方向持续期对多个参数或因素变化影响债券价格的整体考察不同，部分持续期是对多个参数或因素变化影响债券价格的单独考察。
通常，利率期限结构可以用两类方法来拟合：一类是用参数估计方法拟合某一种特殊形式的即期利率曲线；另一类是采用因素模型方法拟合即期利率曲线。譬如，Haugen （1997）建议采用如下形式的即期利率曲线：
S t =(a 1+a 2t ) e -a 4t +a 3 （20） 其中，a 1=S 0-S ∞表示短期利率与长期利率之差，a 2=S '+a 4(S 0-S ∞) 表示与短期利
''/S ∞'表示长期率的斜率和利率的整个结构有关的参数，a 3=S ∞表示长期利率，a 4=-S ∞
利率的曲率与斜率之比。
如果假设短期利率、短期利率斜率和长期利率是相互独立的三个因素，我们将上述四个参数代入（20）式，然后用（19）式可以计算出三个部分持续期：
⎧D 1=∑t (1+a 4t ) e -a 4t C t t ⎪2-a t （21） ⎨D 2=∑t t e 4C t
-a 4t ⎪D =t (1-(1+a t ) e ) C t 4⎩3∑t
其中，D 1, D 2, D 3分别表示关于短期利率、短期利率斜率和长期利率的部分持续期。
Ho （1992）认为，即期利率曲线变化主要是由部分关键利率（key rate）的变化决定的。譬如，1年期、5年期和25年期的即期利率可以作为关键利率，它们的变化决定整个利率期限结构的变化。因此，Ho （1992）建议采用如下形式的即期利率曲线：
⎧1t ≤5⎪4((5-t ) a 1+(t -1) a 2)
⎪⎪1S t =S 0+⎨((25-t ) a 2+(t -5) a 3) 5≤t ≤25 （22）
⎪20
⎪a t ≥253⎪⎩
其中，S 0表示初始即期利率，a 1, a 2, a 3分别表示1年期、5年期和25年期的即期利率。
由于即期利率曲线变化取决于三个关键利率a 1, a 2, a 3的变化，因此关于这三个参数的部分持续期又被称为关键利率持续期（key rate duration ）。用（19）式和（22）式，我们可
以计算出这三个关键利率持续期分别是：
1⎧D =⎪1∑t ≤54(5-t ) tC t
⎪11⎪D =(t -1) tC +⎨2∑t ≤5∑5≤t ≤2520(25-t ) tC t （23） t 4⎪1⎪D =∑(t -5) tC t +∑t ≥25tC t 35≤t ≤25⎪20⎩
其中，D 1, D 2, D 3分别表示1年、5年和25年的关键利率持续期。
4、近似持续期
基于Macaulay 持续期的第三种含义，即被解释为具有相同价格敏感度的零息债券的到期期限，Zheng, Thomas 和Allen （2003）去掉了Macaulay 持续期中隐含的两个假设，将Macaulay 持续期扩展到近似持续期（approximate duration ）。他们的具体思路是，对于一个给定的附息债券，要找一个到期期限为D 的零息债券，使得这两个债券具有相同现值，且它们的价格对即期利率曲线的各参数变化的总体敏感度“近似”。参考Macaulay 持续期的第三含义，他们将找到的零息债券的到期期限D 定义为附息债券的近似持续期。
在非水平即期利率曲线假设下，附息债券现值PV 由（11）决定，零息债券现值为 PV 0=M (1+S D ) -D （24） 根据Zheng, Thomas和Allen （2003）的思路，满足附息债券现值和零息债券现值相等，即
PV =PV 0 （25） 并且使得附息债券现值和零息债券现值对即期利率曲线的各参数变化的总体敏感度的误差加权平均最小化，即
Min ∑w i |
i =1k ∂PV (a 1, a k ) ∂PV 0(a 1, a k ) -| （26） ∂a i ∂a i
其中，w i 表示第i 个参数a i 变化引起两债券现值变化之差的权重。
于是，问题变为一个求解满足条件（11）式、（24）式和（25）式的最小化（26）式的最优化问题。Zheng, Thomas和Allen （2003）将求解该最优化问题得出的零息债券的到期期限定义为附息债券的近似持续期。直观地讲，附息债券的近似持续期是一个零息债券的到期期限，该零息债券价格对即期利率曲线的各参数变化的总体敏感度“近似”于附息债券的敏感度，即它们的误差加权平均最小。
附息债券的近似持续期模型是对水平利率期限结构假设下Macaulay 持续期模型的扩展。在水平利率期限结构假设下，贴现率r 为收益率曲线的唯一决定因素，附息债券现值和零息债券现值分别是PV (r ) =∑C (1+r ) t
t =1n -t 和PV 0(r ) =M (1+r ) -D 。很容易证明，满足
现值相等条件PV =PV 0，并且使得误差加权平均w |
n ∂PV (r ) ∂PV 0(r ) -|达到最小的充分∂r ∂r C t (1+r ) -t
必要条件是D =∑t ，即近似持续期等于Macaulay 持续期。 PV t =1
与Macaulay 持续期相比，近似持续期具有以下优点：第一，近似持续期没有假设任何形式的即期利率曲线或特殊的利率变化机制。近似持续期的具体计算可以利用任意一种利率模型，包括参数即期利率曲线和因素即期利率曲线。例如，可以将远期利率作为参数，估计即期利率曲线的形式。第二，采用近似持续期配比策略构造的债券组合不要求具有债券短期卖空的假设。第三，近似持续期容易计算，并且用线性规划方法就可以调整到最优的投资组合。第四，近似持续期表示的是债券本息支付的中值，而不是均值。如果远期利率的变动是相互独立的，那么用债券本息支付的中值来衡量持续期比用均值更恰当。此外，线性组合的中值不需要对组合中各变量中值进行线性组合，因此债券组合的近似持续期只需要考虑组合的整体本息支付，而不需要对单个债券的近似持续期进行组合。
四、应用于中国市场应注意的问题
1、收益率曲线是否具有预测能力
在金融市场运行高效的成熟市场中，市场主体会根据经济周期的运行特点、宏观经济走势等有关变量形成对利率变动的预期，并不断地进行调整。因此，收益率曲线反映了市场对经济走势和利率走势的预期。若收益率曲线变得向上倾斜，则预期出现通货膨胀压力，投资者对长期投资要求更高的风险溢价；若收益率曲线变得平缓或向下倾斜，则预期通货膨胀的压力减轻，投资者对风险补偿的要求降低。
在我国，收益率曲线并不具有反映通货膨胀预期的能力。首先，我们国家缺乏足够的能够确定收益率曲线形状的数据。从数理统计的角度上看，至少要有20年的样本数据才能有代表性。而在我国充其量只有从1997到2004年这7年的数据。不仅如此，此期间的数据又受太多政府管制和经济制度等因素的影响。其次，在经济不景气时，我国长期国债的利率水平偏低，长短期国债收益率差别不大，不能充分反映出收益曲线对风险溢价的预测能力。
中国收益率曲线不具有预测能力已被一些经验分析结果所证实。譬如，范龙振和何华（2003）利用Nelson-Siegel 参数估计模型求出上交所债券市场中债券价格隐含的利率期限结构，并检验了预期假设对上交所国债市场的解释能力，结果发现预期假设不成立。朱世武和陈健恒（2004）利用银行间债券回购数据对期限结构理论进行了经验分析，结果也否定了合理预期理论。
2、央行对基准利率的调整是否反映通胀预期
在经济体系成熟的市场经济国家中，中央银行根据经济形势的变化及时地调整基准利率水平，同时中央银行也会通过宏观调控来协调和引导市场预期。市场上的中长期利率则是在基准利率水平基础上，由市场主体根据其对经济周期的运行特点、宏观经济走势的判断形成的。在成熟的市场经济中，中央银行或货币当局大多都有很强的独立性。中央银行独立于政府，不受政府的控制和干预，能够独立地确定货币政策目标，并根据经济形势自主地运用货币政策工具来引导经济走势。此外，货币当局大多采取预调的利率调整方式。当经济出现过热或萧条的苗头时，央行会及时地采取行动，例如调整基准利率或银行的再融资利率，来影响公众预期。美联储的行动有很大的透明性，如美联储在每次议息会议前后，都提前向市场传递了有关信息。这些政策在很大程度上起到一个指示信号的作用，以便给市场以充分地反映和消化时间。
在我国，1995年3月颁布的《中华人民共和国中国人民银行法》第2条规定：“中国人民银行在国务院领导下，制定和实施货币政策，对金融业实施监督和管理”。可以看出，我国中央银行只具有相对的独立性。以2004年10月28日央行突然决定加息为例。在此之前，面对物价上涨率已连续数月超警戒线的经济数据，在大多数专家和学者的加息呼吁下，国务
院和中央银行的高层官员一再表示保持当前利率稳定。然而，当通货膨胀率有所缓和，人们对加息预期有所减弱的情况下，中央银行突然决定加息。显然，中央银行的加息决策明显滞后于物价走势，而且是在公众已充分消化了加息预期的情况下做出的。在这种情况下，央行政策的信号作用已经大大减弱。
3、中国国债市场缺陷产生的风险
中国国债市场缺陷产生的风险主要表现在：第一，长短期利差较小蕴含着较高的利率风险。利率期限结构扭曲造成长短期利差较小，在整体利率水平处于较低水平时中长期利率较低。一旦市场预期通货膨胀上升，中长期债券将面临着较大的价格风险。第二，市场流动性较差蕴含着较大的流动性风险。债券市场规模小造成市场流动性较低，在预期利率期限结构发生变动时投资者很难实现结构调整。第三，债券价格短期波动大蕴含着较大的价格风险，容易引起市场产生错觉。投资主体的非理性造成债券价格短期波动较大，在不利于合理预期形成的同时潜藏着价格风险。
上述任何一种问题都会对使用持续期配比策略进行利率风险管理所具有的免疫性提出挑战。具体而言，首先，以不具有预测能力的收益率曲线作为定价基础的持续期配比策略会丧失其对利率风险的免疫性。回顾本文第二和第三部分，我们看到，每一种持续期模型的建立都是从某一种债券定价（债券现值）形式开始的，其基础是收益率曲线（或利率期限结构）。如果收益率曲线不具有反映通货膨胀预期的能力，将会使债券定价错误，从而导致相应的持续期配比策略失去其应有的免疫性。其次，央行对基准利率的调整影响收益率曲线的变动，从而影响持续期配比策略的免疫性。如果央行对基准利率的调整不能准确、及时地反映物价走势和通胀预期，债券市场会出现大幅波动，收益率曲线变化无规律，不能反映其应有的变化趋势，从而导致基于收益率曲线变化的持续期配比策略丧失免疫能力。其中，基于因素模型方法的部分持续期配比策略受到的影响最大。最后，债券市场缺陷对持续期配比策略的免疫性有重要影响。譬如，中国国债市场中长短期利差较小的情况有可能随着利率市场化进程加快而逐渐消失，将会使长期债券面临着巨大的潜在风险。由于这种结构性变化并没有在持续期模型中得到反映，所以会导致持续期配比策略的免疫性难以实现。再譬如，中国债券市场蕴含着较大的流动性风险，也会导致持续期配比策略的免疫性难以实现。各种持续期模型及其配比策略都需要债券的买入或卖出没有障碍，如果市场存在流动性问题，债券组合的期初建立或期末变现会产生较大成本，这会严重影响持续期配比策略的免疫能力。
因此，能否将上述持续期模型及其持续期配比策略成功地用于中国债券投资实践有待于经验检验。这也是我们下一步需要研究的内容。
参考文献：
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利率风险管理的重要免疫工具：持续期模型
王志强 张姣
内容提要：利率市场化进程的加快凸现利率风险管理的重要性和迫切性。作为一种利率风险管理的重要免疫工具，持续期配比策略在近些年来有了较大发展。本文在深入探讨Macaulay 持续期的三种重要含义的基础上，详细地分析和比较了近期提出的几种主要持续期，包括方向持续期、部分持续期和近似持续期，最后简单讨论了将这些持续期模型及其免疫策略用于中国市场应注意的问题。
关键词：利率风险管理；免疫策略；持续期模型
中图分类号：F830.9
The Most Important Immunizing Tools against Interest Rate Risk:
Duration Models
Wang Zhiqiang and Zhang Jiao
(School of Finance, Dongbei University of Finance & Economics, Dalian, 116025)
Abstract: The importance and urgency of the interest rate risk management is projected in the accelerated process of interest rate marketization. As an important immunizing tool against interest rate risk management, duration-matched strategy has received the rapidly development recently. Based on discussions of three significative implications of Macaulay duration, this paper analyzes and compares several important duration models published recently, including directional duration, partial duration and approximate duration. At last, the paper briefly discusses the problems when applying these models to Chinese market.
Keywords: Interest Rate Risk Management, Immunization Strategy, Duration Model JEL Classification: E43; G11
*作者简介：
王志强（1965.3-），男，蒙古族，内蒙乌海人，东北财经大学金融学院教授，科研处副处长，博士生，主要从事金融学、数量经济学等方面的研究。通信地址：东北财经大学科研处（116025）；电话：0411-84738311(O)，[1**********]；电子邮件地址：[email protected]。
张姣（1980.8-），女，汉族，辽宁沈阳人，东北财经大学金融学院硕士研究生。电话：0411-84814386, [1**********]；电子邮件地址：[email protected]。
利率风险管理的重要免疫工具：持续期模型1
内容提要：利率市场化进程的加快凸现利率风险管理的重要性和迫切性。作为一种利率风险管理的重要免疫工具，持续期配比策略在近些年来有了较大发展。本文在深入探讨Macaulay 持续期的三种重要含义的基础上，详细地分析和比较了近期提出的几种主要持续期，包括方向持续期、部分持续期和近似持续期，最后简单讨论了将这些持续期模型及其免疫策略用于中国市场应注意的问题。
关键词：利率风险管理；免疫策略；持续期模型
一、利率风险管理的重要性和迫切性
1、利率风险管理没有受到应有的足够重视
国债市场中利率风险管理是投资者面临的最主要问题，尤其应受到机构投资者的高度重视。然而，面对着利率市场化进程的加快，中国机构投资者并没有给予其应有的足够重视，利率风险管理问题成为中国国债市场中的亟待解决的重要问题。
利率风险在利率处于由升转降或由降转升的阶段表现得尤为突出，期间发生的投资行为往往会隐藏着巨大风险。下面以几个具体事例加以说明。
事例之一：财政部高成本发行国债，致使国家财政负担大大增加。高成本发行国债主要表现在两个方面：第一，国债利率基本上显著高于银行同期储蓄存款利率。依据收益与风险相匹配原则，国债利率一般应低于银行同期存款利率，在成熟市场中这是正常现象。然而，在我国情况却正相反，国债利率常常高于银行同期储蓄存款利率，我们将这种现象称为利率错配。在上世纪九十年代中期高利率水平阶段，我国国债发行利率基本上高于银行同期存款利率2个百分点，这大大抬高了我国债券的发行（筹资）成本。第二，国债发行利率和期限的确定无视预期通胀率和未来利率的走势变化。譬如，在物价水平和利率开始从高水平回落的1996年至1997年期间，我国发行的国债大部分是7—10年期的中长期国债，且利息率随期限增加而上升。特别地，1996年6月14日财政部发行了250亿元的10年期国债，年复利率竟然高达11.83%。
事例之二：保险公司低价出售保险产品，导致中国保险业目前面临巨额利差损。在1996年上半年之前，由于国债收益率水平很高，各家寿险公司在精算保费时确定的预定利息率非常高, 有的达到年复利8%以上。正是基于这种预定利息率, 保险公司以较低的定价出售其保险产品。然而，到九十年代末利率处于低水平以来，保险公司无法找到高收益的投资品种，从而出现了严重的收支问题，导致巨额利差损。据经济观察报报道（张宏和高凡，2003），高盛公司通过以准备金为基准，类比国债的测算方式，估计中国人寿、平安人寿和太平洋人寿三大寿险公司的潜在利差损约为320-760亿元人民币。笔者预计，随着利率市场化进程加快，以及国债收益率趋于合理，在没有其他高收益投资渠道的情况下，中国保险业的利差损有进一步扩大的可能。
事例之三：金融机构对中长期国债的过度需求使得长短期国债利差过小、利率期限结构扭曲，导致金融机构目前持有的国债资产大幅缩水、流动性严重不足。首先，中国债券市场1 本研究得到国家自然科学基金项目（70171019）的资助。作者衷心感谢匿名审稿人对本文提出的非常中肯的修改建议。
整体规模相对较小、品种结构失衡2。由于没有更多的投资渠道，金融机构迫不得已将大量资金投资于中长期国债，造成金融机构对中长期国债的过度需求。其次，利率管制为国有金融机构推脱责任和不作为提供了借口，大多数金融机构对利率风险认识不足，其利率风险管理水平落后，盲目的过度投资使得长短期国债利差过小、利率期限结构扭曲，导致中长期国债中蕴含着较大的利率风险。这种过度需求带来的结果是，自2004年以来随着对通货膨胀上升的预期，中国债券市场大幅下跌，使得众多机构投资者的债券资产严重缩水、损失惨重。央行不得不在债券市场中频繁操作，以维护市场的稳定。不幸的是，市场的症结在于众多投资面临的是系统性风险，而不是非系统性风险。面对着债券市场中的系统性风险，央行的公开市场操作显得力不从心。
2、债券市场存在缺陷凸现利率风险管理的重要性
目前，中国债券市场中主要存在以下几方面的问题：第一，债券市场规模较小、品种结构不合理。据国家统计局数据显示，2003年国民生产总值GDP 达到人民币11.6694万亿元3，2003年的债券余额占GDP 的比例为31%（不包括央行票据），而企业债券余额所占比例仅为1.46%4。与发达国家的成熟债券市场规模相比，中国债券市场的总体规模相对较小，企业债券市场规模更小，这与中国经济发展很不相配。以美国为例，2003年末美国的各种债券余额与GDP 之比超过170%（不包括货币市场工具），其中公司债券余额与GDP 之比超过40%5。第二，债券期限结构不合理、集中于中期债券。就国债市场而言，短期国债发行量较小，而中期国债发行量较大。截至到2004年底，在上海证券交易所上市的29只国债中，到期期限小于1年的国债只有一只，到期期限大于10年的国债只有3只，其余25只国债中到期期限在1-3年的有7只，到期期限在4-7年的有14只6。第三，利率期限结构扭曲，中长期国债的利率水平偏低，市场流动性较差。第四，投资主体行为趋同，容易形成单边行情。我国债券市场特别是银行间债券市场中，绝大部分投资主体是商业银行，80%以上的投资和交易是商业银行创造的。由于商业银行资金来源变化规律呈趋同性，资金运用渠道单一，经营风格雷同，表现在投资行为上也呈趋同性。资金宽松时竞相购买债券，资金紧张时纷纷抛售债券，使市场经常处于非均衡状态。第五，投资者风险意识差、投资行为表现为非理性。由于我国债券市场发展还不完善，流动性不足，中长期债券的风险未得到充分认识，风险量化技术不成熟，投资者在权衡长期债券和短期债券时难以作出科学决策。而且，由于近几年债券价格总体上呈持续上扬趋势，激发了债券投资热情。一些投资者为增加收益，忽视了自身资产负债期限的匹配关系，造成期限结构失衡。对央行货币政策意图未及时采取有效措施，存在侥幸心理。一旦行情发生较大变化，投资者较难及时调整其期限结构，因而隐含着较大的利率风险。
3、利率市场化进程的加快迫切要求加强利率风险管理
中国利率市场化改革的总体思路是：先放开货币市场利率和债券市场利率，再逐步推进存、贷款利率的市场化。而存、贷款利率市场化则按照“先外币、后本币；先贷款、后存款；先长期、大额，后短期、小额”的顺序进行。
1996年6月，人民银行明确规定，银行间同业拆借市场利率由拆借双方根据市场资金供求自主确定，从而正式放开了银行间同业拆借利率，为利率市场化迈出了具有开创意义的一步。其后，1997年6月，银行间债券市场正式启动，同时放开了债券市场债券回购和现券交易利率，债券市场利率和银行间市场国债、政策性金融债的发行利率也分别放开。 2
3
4
5
6 详细内容参见下一小节。 2003年GDP 数据来自于国家统计局（2004）。 计算中所用的2003年债券余额数据来自于贾飙（2004）。 计算中所用的2003年美国数据引自蔡国喜（2004）。 根据上海证券交易所(http://www.sse.com.cn/)公布的国债资料数据整理而得。
在贷款利率市场化方面，1998年和1999年两次扩大贷款利率浮动幅度，2000年放开了外币存贷款利率。2002年开始在八家农村信用社进行存贷款利率市场化的试点，赋予它们更大幅度地调整利率的权利。2004年10月29日起上调金融机构存贷款基准利率0.27个百分点，同时进一步放宽金融机构贷款利率浮动区间，允许存款利率下浮。中国金融机构人民币贷款利率已经基本过渡到上限放开，实行下限管理的阶段。在存款利率市场化方面，1999年对保险公司大额定期存款实行协议利率。2002年将境内外资金融机构对中国居民的小额外币存款纳入中国人民银行现行小额外币存款利率管理范围，实现中外资金融机构在外币利率政策上的公平待遇。
随着利率市场化进程的加快，各金融机构自主协定利率的空间加大，竞争加剧使得金融机构面临着更大的利率风险。特别是，对于仍以利息收入为主要收入来源的国有商业银行，既要处理呆坏账、进行体制改革，又要应对外资银行的冲击，在内外交困的时候，利率市场化改革增加了利息收入的不确定性。考虑到目前国债收益率与银行储蓄存款利率之
7间的错配问题将会逐步消除，以及银行间同业竞争的加剧，笔者认为利率市场化改革很有
可能造成银行的利息收入减少。因此，如果不进行适当的利率风险管理，国有商业银行将难以生存。
4、免疫策略与持续期模型是利率风险管理的重要手段和工具
利率风险表现在两个方面：价格风险和再投资风险。价格风险是由于市场利率上升引起债券价格下跌给债券投资者带来的资产损失；再投资风险是由于市场利率下降引起利息的再投资收入减少给债券投资者带来的收入损失。当市场利率上升时，债券投资者面临着资产损失和再投资收入增加；而当市场利率下降时，债券投资者面临着资产增加和再投资收入损失。因此，债券的价格风险和再投资风险有相互抵消的特性。正是基于这一抵消特性，产生了免疫的想法，并提出免疫策略（immunization strategy），用以规避利率变动给投资者带来的价格风险或再投资风险。
在诸多免疫策略中，被学术界重点关注和被投资界广泛应用的一类免疫策略是持续期配比策略（duration-matched strategy）。考虑一个每年付息一次的中长期附息债券，如果持有期小于一年，投资者面临的风险只有价格风险，没有再投资风险。随着持有期的增加，价格风险减少而再投资风险增加。如果持有到期，则投资者面临的风险只有再投资风险，没有价格风险。如图1所示，价格风险是持有期的减函数，再投资风险是持有期的增函数8。由于价格风险和再投资风险具有相互抵消的特性，于是存在一个适当的持有期，使得在该持有期下投资者的利率风险为零，我们将它称之为持续期（duration ）。因此，持续期配比策略就是持有期等于持续期的投资策略。
持续期概念是由麦考利（Macaulay ，1938）首次提出来的，因此持续期的最基本形式被称为Macaulay 持续期。鉴于持续期概念及其免疫策略在债券组合投资中的重要性，许多学者在麦考利的工作基础上作了大量的进一步研究，针对Macaulay 持续期中隐含的一些不符合实际情况的假设，提出了许多不同的改进的持续期模型，对持续期概念有了进一步的发展。譬如，Fisher-Weil 持续期、方向持续期（directional duration）、部分持续期（partial duration）和近似持续期（approximate duration）等。本文以下内容将在讨论Macaulay 持续期的重要含义的基础上，介绍和评价持续期概念及其模型的最新发展，并分析基于这些概念和模型的持续期配比免疫策略。 7 事实上，已有迹象表明这种错配问题正在逐步消除。譬如，2005年06月13日财政部发行的一年期国债 需要说明的是，在利率变化时，价格风险和再投资风险的符号是相反的。为了简便，图1中我们忽略了的收益率只有1.4196%，远远低于银行同期存款利率2.25%及其税后收益率2%。 8
价格风险和再投资风险的符号，只表示它们的绝对值，以便说明在某一持有期时两者正好相等的情形。
二、Macaulay 持续期的三种重要含义
1、Macaulay 持续期是债券本息支付时间的加权平均
在Macaulay 持续期的定义式中，债券现值PV 由下式计算：
PV =∑t =1n C t （1） (1+r ) t
其中，C t 表示债券在第t 期的本息（现金流）支付，r 表示贴现率，n 表示债券的剩余到期期限。
Macaulay 持续期D 被定义为：
n PV t C t (1+r ) -t
（2） D =∑t =∑t PV t =1PV t =1n
其中，PV t =C t (1+r ) -t 表示债券在第t 期本息（现金流）支付的现值。
从（2）式我们可以看出，Macaulay 持续期是债券本息支付时间的加权平均，其权重等于债券本息支付现值占债券总现值的比例。这是由持续期定义直接得出的Macaulay 持续期的基本含义，也是人们最初对Macaulay 持续期概念的基本理解。直观上讲，这一含义并没有给投资者管理利率风险带来太多启示，而且还往往容易被错误理解。譬如，有相当一部分人根据Macaulay 持续期表示为时间加权平均的特性，将它解释为债券投资的平均回收期。
2、Macaulay 持续期反映债券价格对到期收益率变化的敏感度
对（1）式两边求导数后除以债券现值，我们可以得到
tC t 1dPV 1n D （3） =-=-∑PV dr PV t =1(1+r ) 1+t 1+r
整理（3）式后得
D =-dPV /PV （4） dr /(1+r )
分析（4）式，我们发现Macaulay 持续期表现为债券现值的折现因子弹性9。如果将（1）式中的现值视为价格，则式中的贴现率就是到期收益率，因此我们也可以说，Macaulay 持续期是债券价格的折现因子弹性（用到期收益率作为折现率），它可以被用来度量债券价格对到期收益率变化的敏感程度。由于债券的价格与其到期收益率呈相反方向变化，因此Macaulay 持续期表示，当市场利率上升（或下降）时，贴现因子上升（或下降）一个百分点，债券价格下降（或上升）的百分比。
基于Macaulay 持续期的这一含义，可以定义一个常用的修正持续期（modified duration）： D M =D （5） 1+r
其中，D M 表示债券的修正持续期。
比较（3）式和（5）式，容易得到
D M =-1dPV （6） PV dr
由（6）式我们看到，与Macaulay 持续期相比，修正持续期所表示的含义更为直观，即修正持续期表示到期收益率上升或下降一个百分点时债券价格下降或上升的百分数。由于修正持续期的这一直观含义反映了持续期的本质特征，因此（6）式经常被用于直接定义其他持续期概念，如下一节“持续期模型的改进”中介绍的Fisher-Weil 持续期和方向持续期。
3、Macaulay 持续期被解释为具有相同价格敏感度的零息债券的到期期限
如上所述，从单位角度来看，Macaulay 持续期被解释为债券本息支付时间的加权平均；从利率风险角度来看，Macaulay 持续期被解释为债券价格对到期收益率变化的敏感度。尽管有了两种含义，但是我们仍然很难单独从这两个角度给Macaulay 持续期一个清晰解释，特别是无法说明Macaulay 持续期与利率风险免疫之间的关系。实际上，将Macaulay 持续期的这两种含义结合起来，我们可以得到另一种更直观的解释，即一个附息债券的Macaulay 持续期可以表示成与其具有相同价格和相同价格敏感度的零息债券的到期期限。
考虑一个到期期限为D 0、到期支付额为M 的零息债券10，则该零息债券的现值等于 PV 0=M (1+r ) -D 0 （7） 假设一个附息债券与该零息债券有相同的现值和相同的现值敏感度，即满足如下两式： PV =PV 0 （8） 和
dPV /dr =dPV 0/dr （9） 将（7）式、（8）式和（9）式带入（4）式，很容易得出
D =D 0 （10） 由此看出，一个附息债券的Macaulay 持续期可以被认为是一个零息债券的到期期限。由于这两种债券具有相同的现值和相同的现值敏感度，因此当利率有微小变化时这两种债券的价格有相同的反映。
Macaulay 持续期的这个含义非常重要，其原因在于：首先，对于持续期配比策略为什么能够实现免疫的问题，它可以给出一个直观、清晰的解释。我们知道，由于零息债券在到9 注意，这里所说的贴现因子是指1+r。
注意：一个零息债券的Macaulay 持续期等于它的到期期限。
10
期前不会支付利息，因此只要将它持有到期，投资者就不会遭遇价格风险和再投资风险。所以，只要投资者保持债券（或债券组合）的Macaulay 持续期与其持有期限相同，就相当于投资者持有一个具有相同的现值敏感度的零息债券到期，也就能够实现对利率变化的免疫。其次，利用Macaulay 持续期的这一含义可以扩展持续期概念，如下一节要介绍的近似持续期。下一节中，我们将会看到Macaulay 持续期中隐含有两个与实际情况不相符的假设，因此将Macaulay 持续期用于实践存在一定的局限性。幸运的是，我们可以运用Macaulay 持续期的这一含义定义一个近似持续期，以增加利率风险管理的精确性。
综上所述，Macaulay 持续期具有三种含义：第一种，表示债券本息支付时间的加权平均，其中权重等于债券本息支付现值占其总现值的比例；第二种，被认为是债券价格的折现因子弹性，反映债券价格对到期收益率变化的敏感度；第三种，表示与附息债券具有相同价格和相同价格敏感度的零息债券的到期期限。
Macaulay 持续期在债券组合投资分析与管理活动中是一个非常重要的基础概念。首先，它是衡量债券组合利率风险的一个重要手段，持续期的大小反映债券价格随利率变化而变化的敏感程度。其次，它还是免疫策略的中心环节，利用持续期配比策略可以在利率发生未知变动时保护投资者利益。从理论上讲，通过保持债券组合的持续期与投资者的持有期相同能够实现对利率风险的免疫。
三、持续期模型的改进
由于Macaulay 持续期的基础是债券现值公式（1），所以Macaulay 持续期配比策略得以具有免疫功能是建立在两个隐含假设的基础上：一是水平收益率曲线（flat yield curve）；二是收益率曲线平行移动（parallel shift）。但通常情况下，收益率曲线既非水平，其变化也不是平行移动。因此，在两个隐含假设不满足的情况下，Macaulay 持续期配比策略不能保证对利率变化实现免疫。有鉴于此，对持续期模型的改进基本上都是从去掉这两个隐含假设开始的。
1、Fisher-Weil 持续期
考虑到初始收益率曲线不是水平的，Fisher 和Weil （1971）提出了对Macaulay 持续期进行改进的持续期，即Fisher-Weil 持续期。首先，假设债券现值由一系列即期利率决定：
PV =∑t =1n C t （11） t (1+S t )
其中，S t 表示第t 期即期利率，其它符号含义同上。
然后，假设即期利率曲线水平移动，即
dS t =d λt =1, , n （12） 其中，d λ表示即期利率的变化。
于是，定义Fisher-Weil 持续期为：
D FW tC t 1dPV 1n （13） =-=∑1+t PV d λPV t =1(1+S t )
与Macaulay 持续期相比，Fisher-Weil 持续期考虑了未来即期利率的变化，它对利率风险的估计更精确。当即期利率曲线向上倾斜时，表明未来即期利率上升，再投资收益增加，
将会更多地弥补价格风险，因此利率风险相对较小，Fisher-Weil 持续期小于Macaulay 持续期；当即期利率曲线向下倾斜时，表明未来即期利率下降，再投资收益减少，因此利率风险相对较大，Fisher-Weil 持续期大于Macaulay 持续期。
从理论上讲，在即期利率曲线水平的情况下，应该采用Macaulay 持续期配比策略来免疫；在即期利率曲线非水平的情况下，应该采用Fisher-Weil 持续期配比策略来免疫。然而，部分经验结果显示，采用Fisher-Weil 持续期配比策略并不能产生显著的更好结果（La Grandville ，2001）。对于出现这种经验结果的一般解释是：第一，在大多数情况下即期利率曲线是水平的，特别是对于长期期限的一段，即期利率曲线总是保持相对水平；第二，平均来讲，即期利率曲线的非平行移动所产生的利率风险效果在长期内互相抵消。
2、方向持续期
考虑到即期利率曲线平行移动的假设通常也不成立，La Grandville（2001）对Fisher-Weil 持续期进行了改进，提出了方向持续期（directional duration ）。假设即期利率曲线在每一期节点的变化可以用下式表示：
dS t =a t d λ （14） 其中，a t 被称为即期利率的边际变化，表示第t 期即期利率变化的方向和大小。
对（11）式两边求微分，然后将（14）式代入，我们可到
n -tC t ta t C t dPV =∑dS =-d λ （15） ∑t 1+t 1+t (1+S ) (1+S ) t =1t =1t t n
由此，可以定义方向持续期：
n n C t /PV 1dPV D d =-=∑ta t =∑ta t w t （16） 1+t PV d λ(1+S t ) t =1t =1
其中，w t =C t 1表示第t 期债券本息支付现值的边际与债券现值的比率，a t w t 被1+t PV (1+S t )
称为第t 期的方向权重（directional weight），它们组合起来的向量被称为方向权重向量。
如果令a t =1(t =1, 2, , n ) ，则方向持续期D d 就等于Fisher-Weil 持续期D FW 。因此，方向持续期是Fisher-Weil 持续期的扩展。
需要注意的是，由于各期方向权重之和一般情况下不等于1，所以方向持续期通常不是债券本息支付时间的用方向权重加权的平均值。但是，考虑到（14）式中即期利率的边际变化值可以被标准化而不影响问题的讨论，我们可以找到某一个方向权重向量，使得方向持续期表示为债券本息支付时间的加权平均。
根据方向持续期的定义式（16），方向持续期考察的是债券价格对各期即期利率变化的综合反映。如果我们能准确地预测出每一期即期利率的边际变化，就可以用方向持续期来度量债券价格对即期利率曲线变化的敏感度，进而用方向持续期配比策略进行利率风险管理。
3、部分持续期
与La Grandville（2001）的方向持续期不同，Cooper （1977）从拟合即期利率曲线入手，提出了部分持续期（partial duration）的概念。假设即期利率曲线可以由一组参数表示：
S t =S t (a 1, a 2, , a k ) （17）
则债券现值公式（11）改写成：
PV (a 1, a 2, , a k ) =∑t =1n C t （18） t (1+S t (a 1, a 2, , a k ))
于是，可以定义第i 个部分持续期为
D i =-∂PV (a 1, a 2, , a k ) 1
PV (a 1, a 2, , a k ) ∂a i i =1, 2, , k （19）
基于部分持续期的定义式（18），我们可以看到，部分持续期考察的是债券价格对影响即期利率曲线变动的某一参数或某一因素变化的敏感程度。因此，与方向持续期对多个参数或因素变化影响债券价格的整体考察不同，部分持续期是对多个参数或因素变化影响债券价格的单独考察。
通常，利率期限结构可以用两类方法来拟合：一类是用参数估计方法拟合某一种特殊形式的即期利率曲线；另一类是采用因素模型方法拟合即期利率曲线。譬如，Haugen （1997）建议采用如下形式的即期利率曲线：
S t =(a 1+a 2t ) e -a 4t +a 3 （20） 其中，a 1=S 0-S ∞表示短期利率与长期利率之差，a 2=S '+a 4(S 0-S ∞) 表示与短期利
''/S ∞'表示长期率的斜率和利率的整个结构有关的参数，a 3=S ∞表示长期利率，a 4=-S ∞
利率的曲率与斜率之比。
如果假设短期利率、短期利率斜率和长期利率是相互独立的三个因素，我们将上述四个参数代入（20）式，然后用（19）式可以计算出三个部分持续期：
⎧D 1=∑t (1+a 4t ) e -a 4t C t t ⎪2-a t （21） ⎨D 2=∑t t e 4C t
-a 4t ⎪D =t (1-(1+a t ) e ) C t 4⎩3∑t
其中，D 1, D 2, D 3分别表示关于短期利率、短期利率斜率和长期利率的部分持续期。
Ho （1992）认为，即期利率曲线变化主要是由部分关键利率（key rate）的变化决定的。譬如，1年期、5年期和25年期的即期利率可以作为关键利率，它们的变化决定整个利率期限结构的变化。因此，Ho （1992）建议采用如下形式的即期利率曲线：
⎧1t ≤5⎪4((5-t ) a 1+(t -1) a 2)
⎪⎪1S t =S 0+⎨((25-t ) a 2+(t -5) a 3) 5≤t ≤25 （22）
⎪20
⎪a t ≥253⎪⎩
其中，S 0表示初始即期利率，a 1, a 2, a 3分别表示1年期、5年期和25年期的即期利率。
由于即期利率曲线变化取决于三个关键利率a 1, a 2, a 3的变化，因此关于这三个参数的部分持续期又被称为关键利率持续期（key rate duration ）。用（19）式和（22）式，我们可
以计算出这三个关键利率持续期分别是：
1⎧D =⎪1∑t ≤54(5-t ) tC t
⎪11⎪D =(t -1) tC +⎨2∑t ≤5∑5≤t ≤2520(25-t ) tC t （23） t 4⎪1⎪D =∑(t -5) tC t +∑t ≥25tC t 35≤t ≤25⎪20⎩
其中，D 1, D 2, D 3分别表示1年、5年和25年的关键利率持续期。
4、近似持续期
基于Macaulay 持续期的第三种含义，即被解释为具有相同价格敏感度的零息债券的到期期限，Zheng, Thomas 和Allen （2003）去掉了Macaulay 持续期中隐含的两个假设，将Macaulay 持续期扩展到近似持续期（approximate duration ）。他们的具体思路是，对于一个给定的附息债券，要找一个到期期限为D 的零息债券，使得这两个债券具有相同现值，且它们的价格对即期利率曲线的各参数变化的总体敏感度“近似”。参考Macaulay 持续期的第三含义，他们将找到的零息债券的到期期限D 定义为附息债券的近似持续期。
在非水平即期利率曲线假设下，附息债券现值PV 由（11）决定，零息债券现值为 PV 0=M (1+S D ) -D （24） 根据Zheng, Thomas和Allen （2003）的思路，满足附息债券现值和零息债券现值相等，即
PV =PV 0 （25） 并且使得附息债券现值和零息债券现值对即期利率曲线的各参数变化的总体敏感度的误差加权平均最小化，即
Min ∑w i |
i =1k ∂PV (a 1, a k ) ∂PV 0(a 1, a k ) -| （26） ∂a i ∂a i
其中，w i 表示第i 个参数a i 变化引起两债券现值变化之差的权重。
于是，问题变为一个求解满足条件（11）式、（24）式和（25）式的最小化（26）式的最优化问题。Zheng, Thomas和Allen （2003）将求解该最优化问题得出的零息债券的到期期限定义为附息债券的近似持续期。直观地讲，附息债券的近似持续期是一个零息债券的到期期限，该零息债券价格对即期利率曲线的各参数变化的总体敏感度“近似”于附息债券的敏感度，即它们的误差加权平均最小。
附息债券的近似持续期模型是对水平利率期限结构假设下Macaulay 持续期模型的扩展。在水平利率期限结构假设下，贴现率r 为收益率曲线的唯一决定因素，附息债券现值和零息债券现值分别是PV (r ) =∑C (1+r ) t
t =1n -t 和PV 0(r ) =M (1+r ) -D 。很容易证明，满足
现值相等条件PV =PV 0，并且使得误差加权平均w |
n ∂PV (r ) ∂PV 0(r ) -|达到最小的充分∂r ∂r C t (1+r ) -t
必要条件是D =∑t ，即近似持续期等于Macaulay 持续期。 PV t =1
与Macaulay 持续期相比，近似持续期具有以下优点：第一，近似持续期没有假设任何形式的即期利率曲线或特殊的利率变化机制。近似持续期的具体计算可以利用任意一种利率模型，包括参数即期利率曲线和因素即期利率曲线。例如，可以将远期利率作为参数，估计即期利率曲线的形式。第二，采用近似持续期配比策略构造的债券组合不要求具有债券短期卖空的假设。第三，近似持续期容易计算，并且用线性规划方法就可以调整到最优的投资组合。第四，近似持续期表示的是债券本息支付的中值，而不是均值。如果远期利率的变动是相互独立的，那么用债券本息支付的中值来衡量持续期比用均值更恰当。此外，线性组合的中值不需要对组合中各变量中值进行线性组合，因此债券组合的近似持续期只需要考虑组合的整体本息支付，而不需要对单个债券的近似持续期进行组合。
四、应用于中国市场应注意的问题
1、收益率曲线是否具有预测能力
在金融市场运行高效的成熟市场中，市场主体会根据经济周期的运行特点、宏观经济走势等有关变量形成对利率变动的预期，并不断地进行调整。因此，收益率曲线反映了市场对经济走势和利率走势的预期。若收益率曲线变得向上倾斜，则预期出现通货膨胀压力，投资者对长期投资要求更高的风险溢价；若收益率曲线变得平缓或向下倾斜，则预期通货膨胀的压力减轻，投资者对风险补偿的要求降低。
在我国，收益率曲线并不具有反映通货膨胀预期的能力。首先，我们国家缺乏足够的能够确定收益率曲线形状的数据。从数理统计的角度上看，至少要有20年的样本数据才能有代表性。而在我国充其量只有从1997到2004年这7年的数据。不仅如此，此期间的数据又受太多政府管制和经济制度等因素的影响。其次，在经济不景气时，我国长期国债的利率水平偏低，长短期国债收益率差别不大，不能充分反映出收益曲线对风险溢价的预测能力。
中国收益率曲线不具有预测能力已被一些经验分析结果所证实。譬如，范龙振和何华（2003）利用Nelson-Siegel 参数估计模型求出上交所债券市场中债券价格隐含的利率期限结构，并检验了预期假设对上交所国债市场的解释能力，结果发现预期假设不成立。朱世武和陈健恒（2004）利用银行间债券回购数据对期限结构理论进行了经验分析，结果也否定了合理预期理论。
2、央行对基准利率的调整是否反映通胀预期
在经济体系成熟的市场经济国家中，中央银行根据经济形势的变化及时地调整基准利率水平，同时中央银行也会通过宏观调控来协调和引导市场预期。市场上的中长期利率则是在基准利率水平基础上，由市场主体根据其对经济周期的运行特点、宏观经济走势的判断形成的。在成熟的市场经济中，中央银行或货币当局大多都有很强的独立性。中央银行独立于政府，不受政府的控制和干预，能够独立地确定货币政策目标，并根据经济形势自主地运用货币政策工具来引导经济走势。此外，货币当局大多采取预调的利率调整方式。当经济出现过热或萧条的苗头时，央行会及时地采取行动，例如调整基准利率或银行的再融资利率，来影响公众预期。美联储的行动有很大的透明性，如美联储在每次议息会议前后，都提前向市场传递了有关信息。这些政策在很大程度上起到一个指示信号的作用，以便给市场以充分地反映和消化时间。
在我国，1995年3月颁布的《中华人民共和国中国人民银行法》第2条规定：“中国人民银行在国务院领导下，制定和实施货币政策，对金融业实施监督和管理”。可以看出，我国中央银行只具有相对的独立性。以2004年10月28日央行突然决定加息为例。在此之前，面对物价上涨率已连续数月超警戒线的经济数据，在大多数专家和学者的加息呼吁下，国务
院和中央银行的高层官员一再表示保持当前利率稳定。然而，当通货膨胀率有所缓和，人们对加息预期有所减弱的情况下，中央银行突然决定加息。显然，中央银行的加息决策明显滞后于物价走势，而且是在公众已充分消化了加息预期的情况下做出的。在这种情况下，央行政策的信号作用已经大大减弱。
3、中国国债市场缺陷产生的风险
中国国债市场缺陷产生的风险主要表现在：第一，长短期利差较小蕴含着较高的利率风险。利率期限结构扭曲造成长短期利差较小，在整体利率水平处于较低水平时中长期利率较低。一旦市场预期通货膨胀上升，中长期债券将面临着较大的价格风险。第二，市场流动性较差蕴含着较大的流动性风险。债券市场规模小造成市场流动性较低，在预期利率期限结构发生变动时投资者很难实现结构调整。第三，债券价格短期波动大蕴含着较大的价格风险，容易引起市场产生错觉。投资主体的非理性造成债券价格短期波动较大，在不利于合理预期形成的同时潜藏着价格风险。
上述任何一种问题都会对使用持续期配比策略进行利率风险管理所具有的免疫性提出挑战。具体而言，首先，以不具有预测能力的收益率曲线作为定价基础的持续期配比策略会丧失其对利率风险的免疫性。回顾本文第二和第三部分，我们看到，每一种持续期模型的建立都是从某一种债券定价（债券现值）形式开始的，其基础是收益率曲线（或利率期限结构）。如果收益率曲线不具有反映通货膨胀预期的能力，将会使债券定价错误，从而导致相应的持续期配比策略失去其应有的免疫性。其次，央行对基准利率的调整影响收益率曲线的变动，从而影响持续期配比策略的免疫性。如果央行对基准利率的调整不能准确、及时地反映物价走势和通胀预期，债券市场会出现大幅波动，收益率曲线变化无规律，不能反映其应有的变化趋势，从而导致基于收益率曲线变化的持续期配比策略丧失免疫能力。其中，基于因素模型方法的部分持续期配比策略受到的影响最大。最后，债券市场缺陷对持续期配比策略的免疫性有重要影响。譬如，中国国债市场中长短期利差较小的情况有可能随着利率市场化进程加快而逐渐消失，将会使长期债券面临着巨大的潜在风险。由于这种结构性变化并没有在持续期模型中得到反映，所以会导致持续期配比策略的免疫性难以实现。再譬如，中国债券市场蕴含着较大的流动性风险，也会导致持续期配比策略的免疫性难以实现。各种持续期模型及其配比策略都需要债券的买入或卖出没有障碍，如果市场存在流动性问题，债券组合的期初建立或期末变现会产生较大成本，这会严重影响持续期配比策略的免疫能力。
因此，能否将上述持续期模型及其持续期配比策略成功地用于中国债券投资实践有待于经验检验。这也是我们下一步需要研究的内容。
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