高考考点:《不等关系、线性规划与基本不等式》的案例分析
一、高考要求
1.不等关系
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式组的实际背景。
2.一元二次不等式
（1）会从实际背景中抽象出一元二次不等式模型。
（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。
（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。
3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题 （1）会从实际情境中抽象出二元二次不等式组。
（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。
（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
4.基本不等式：
（1）了解基本不等式的证明过程。
（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。 二、规律分析
【规律总结】
全面分析这六年来的试题，可以看出，山东卷全面落实考纲对这一部分的规定，考查不等式的解法、线性规划和基本不等式的应用，每年的考查形式稍有变化，但总体上考点不变。具体来说，有这样的规律：
（1）文科几乎每年涉及一元二次不等式的解法。理科涉及绝对值不等式的解法较多，一般与集合、函数的定义域求解结合较多，以选择题为主。
（2）几乎每年都考查线性规划问题，并且基本上都是以填空题和选择题的形式出现，只有2010年在填空题中考查了基本不等式，分析发现2010年以前山东高考是填空题的形式进行考查，2011年之后，则改为以选择题的形式考查。
（2）从2011年开始，山东高考考查线性规划的比重和难度在逐渐增加，2011年只是考查求线性规划的最大值问题，2012年的高考既考查求最大值又增加了求最小值，这两年都设计一个小题，2013则是设计了两个小题，并且与解析几何相结合，难度教以往有所增加。2014年将线性规划问题文科放在了第10，理科在9，难度再次增大。
（3）高考对基本不等式的考查，通常是与函数的最值、解析几何相结合，一般出现在文科试卷的最后一题的最后一问，理科试卷则是出现在倒数第二题的最后一问，难度很大。
三、历年文理高考真题
2010（理）（1）已知全集U=R，集合M={x||x-1|≤2}，则CUM=
（A）{x|-13}
（B）{x|-1≤x≤3} （D）{x|x≤-1或x≥3}
⎧x-y+2≥0,
⎪
（10）设变量x,y满足约束条件⎨x-5y+10≤10,则目标函数z=3x-4y的最大值和最小
⎪x+y-8≤0,⎩
值分别为 （A）3，-11
（B）-3，-11
（C）11，-3
（D）11，3
（14）若对任意x>0,
x
≤a恒成立， 2
x+3x+1
2
则a的取值范围是 。
2011（理）1．设集合 M ={x|x+x-6
A．[1,2）
B．[1,2]
C．[2,3]
B．[-4，6]
D．[2,3]
4．不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是
A．[-5，7]
C．(-∞,-5] [7,+∞) D．(-∞,-4] [6,+∞)
⎧x+2y≥2⎪
2012（理）5.设变量x,y满足约束条件⎨2x+y≤4，则目标函数z=3x-y
⎪4x-y≥-1⎩
的取值范围是 A.⎢-
⎡3⎤⎡3⎤
,6⎥ B.⎢-,-1⎥ ⎣2⎦⎣2⎦
⎡
⎣
3⎤⎦
C. [-1,6] D. ⎢-6,⎥
2
（13）若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k= .
⎧2x-y-2≥0⎪
2013（理）6、在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组⎨x+2y-1≥0，所表示的区域
⎪3x+y-8≤0⎩
上一动点，则直线OM斜率的最小值为
(A)2 (B)1 (C)-
11 (D)- 32
212xy+-22
12、设正实数x,y,z满足x-3xy+4y-z=0，则当z取最大值时，xyz的最大
值为
9
（A）0 （B）1 （C）4 （D）3
x-≥1成立的概率为______________. 14、在区间[-3,3]上随机取一个数x，使得x+ B= 2014 （2）设集合A，B，则A={y|y=2,x∈[0,2]}={xx||-1|
（A）[0,2]（B）(1,3)（C）[1,3)（D）(1,4) （3
）函数f(x)x
（A）(0,
111
)（B）(2,+∞)（D）(0,] [2,+∞) )（C）(0,) (2,+∞222
1（5）已知实数x,y满足ax
（A）
112222
（B）l （C）s（D）x>y n(x+>1)ln(y+1)>inx>siny22
x+1y+1
⎧x-y-1≤0,
（9）已知x,y满足约束条件⎨当目标函数za在该约束
=x+by(a>0,b>0)
2x-y-3≥0,⎩
条件下取到最小值时，a2+b2的最小值为 （A）5 （B）4 （C
（D）2 2008（文）7．不等式
x+5
≥2的解集是（ ） 2
(x-1)
A．⎢-3⎥
⎡⎣1⎤2⎦
B．⎢-，3⎥
⎡1⎤
⎣2⎦
C．⎢，1⎪ (1，3]
⎡1⎫
⎣2⎭
D．⎢-，1⎪ (1，3]
⎡1⎫
⎣2⎭
⎧x-y+2≥0，⎪
⎪5x-y-10≤0，
16．设x，y满足约束条件⎨
⎪x≥0，⎪y≥0，⎩
则z=2x+y的最大值为 ．
2009 5.在R上定义运算⊙: a⊙b=ab+2a+b,则满足x⊙(x-2)
A.(0,2) B.(-2,1) C.(-∞,-2) (1,+∞) D.(-1,2)
16.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元.
2
2010 （1）已知全集U=R，集合M=xx-4≤0，则CUM=
{}
A. x-22 D. xx≤-2或x≥2 （14）已知x,y∈R+，且满足
{}{}
{}{}
xy
+=1，则xy的最大值为. 34
2
2011 1、设集合M=x|x+x-6
{}
(A) [1,2) (B) [1,2] (C) (2,3] (D) [2,3]
⎧x+2y-5≤0⎪
7、设变量x,y满足约束条件⎨x-y-2≤0，则目标函数z=2x+3y+1的最大值
⎪x≥0⎩
为
(A) 11 (B) 10 (C) 9 (D) 8.5
1
+ 2012 (3)
函数f(x)=
ln(x+1) (A)[-2,0) (0,2] (B)(-1,0) (0,2] (C)[-2,2] (D)(-1,2] ⎧x+2y≥2,⎪
(6)设变量x,y满足约束条件⎨2x+y≤4,则目标函数z=3x-y的取值范围是
⎪4x-y≥-1,⎩
333
(A)[-,6] (B)[-,-1] (C)[-1,6] (D)[-6,]
2222013 (5)
、函数f(x)=(A)(-3，0] (B) (-3，1]
(C) (-∞,-3) (-3,0] (D) (-∞,-3) (-3,1] (12)、设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0，则当最大值为
(A)0 (B)
的定义域为 z
取得最大值时，x+2y-z的xy
99 (C)2 (D) 84
⎧2x+3y-6≤0
⎪
(14)、在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组⎨x+y-2≥0所表示的区域上一动点，
⎪y≥0⎩
则直线OM的最小值为_______ (21)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=ax2+bx-lnx(a,b∈R) (Ⅰ)设a≥0，求f(x)的单调区间
(Ⅱ) 设a>0，且对于任意x>0，f(x)≥f(1)。试比较lna与-2b的大小
2
B= 2014 (2) 设集合A，则A={x|x-2x
(A) (0,2]
(B) (1,2)
(C) [1,2)
(D) (1,4)
(3)
函数f(x)
x
(A) (0,2) (B) (0,2]
y
(C) (2,+∞)
(D) [2,+∞)
(5) 已知实数x,y满足a(A) x>y
3
3
(B) s inx>siny
⎧x-y-1≤0,
(10) 已知x,y满足约束条件⎨当目标函数z=在该约ax+by(a>0,b>0)
2x-y-3≥0,⎩
束条件下取到最小值a+b的最小值为
(A) 5
(B) 4
(C)
22
(D)
(D) 2
22
(C) l n(x+>1)ln(y+1)
11
>
x2+1y2+1
高考考点:《不等关系、线性规划与基本不等式》的案例分析
一、高考要求
1.不等关系
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式组的实际背景。
2.一元二次不等式
（1）会从实际背景中抽象出一元二次不等式模型。
（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。
（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。
3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题 （1）会从实际情境中抽象出二元二次不等式组。
（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。
（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
4.基本不等式：
（1）了解基本不等式的证明过程。
（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。 二、规律分析
【规律总结】
全面分析这六年来的试题，可以看出，山东卷全面落实考纲对这一部分的规定，考查不等式的解法、线性规划和基本不等式的应用，每年的考查形式稍有变化，但总体上考点不变。具体来说，有这样的规律：
（1）文科几乎每年涉及一元二次不等式的解法。理科涉及绝对值不等式的解法较多，一般与集合、函数的定义域求解结合较多，以选择题为主。
（2）几乎每年都考查线性规划问题，并且基本上都是以填空题和选择题的形式出现，只有2010年在填空题中考查了基本不等式，分析发现2010年以前山东高考是填空题的形式进行考查，2011年之后，则改为以选择题的形式考查。
（2）从2011年开始，山东高考考查线性规划的比重和难度在逐渐增加，2011年只是考查求线性规划的最大值问题，2012年的高考既考查求最大值又增加了求最小值，这两年都设计一个小题，2013则是设计了两个小题，并且与解析几何相结合，难度教以往有所增加。2014年将线性规划问题文科放在了第10，理科在9，难度再次增大。
（3）高考对基本不等式的考查，通常是与函数的最值、解析几何相结合，一般出现在文科试卷的最后一题的最后一问，理科试卷则是出现在倒数第二题的最后一问，难度很大。
三、历年文理高考真题
2010（理）（1）已知全集U=R，集合M={x||x-1|≤2}，则CUM=
（A）{x|-13}
（B）{x|-1≤x≤3} （D）{x|x≤-1或x≥3}
⎧x-y+2≥0,
⎪
（10）设变量x,y满足约束条件⎨x-5y+10≤10,则目标函数z=3x-4y的最大值和最小
⎪x+y-8≤0,⎩
值分别为 （A）3，-11
（B）-3，-11
（C）11，-3
（D）11，3
（14）若对任意x>0,
x
≤a恒成立， 2
x+3x+1
2
则a的取值范围是 。
2011（理）1．设集合 M ={x|x+x-6
A．[1,2）
B．[1,2]
C．[2,3]
B．[-4，6]
D．[2,3]
4．不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是
A．[-5，7]
C．(-∞,-5] [7,+∞) D．(-∞,-4] [6,+∞)
⎧x+2y≥2⎪
2012（理）5.设变量x,y满足约束条件⎨2x+y≤4，则目标函数z=3x-y
⎪4x-y≥-1⎩
的取值范围是 A.⎢-
⎡3⎤⎡3⎤
,6⎥ B.⎢-,-1⎥ ⎣2⎦⎣2⎦
⎡
⎣
3⎤⎦
C. [-1,6] D. ⎢-6,⎥
2
（13）若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k= .
⎧2x-y-2≥0⎪
2013（理）6、在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组⎨x+2y-1≥0，所表示的区域
⎪3x+y-8≤0⎩
上一动点，则直线OM斜率的最小值为
(A)2 (B)1 (C)-
11 (D)- 32
212xy+-22
12、设正实数x,y,z满足x-3xy+4y-z=0，则当z取最大值时，xyz的最大
值为
9
（A）0 （B）1 （C）4 （D）3
x-≥1成立的概率为______________. 14、在区间[-3,3]上随机取一个数x，使得x+ B= 2014 （2）设集合A，B，则A={y|y=2,x∈[0,2]}={xx||-1|
（A）[0,2]（B）(1,3)（C）[1,3)（D）(1,4) （3
）函数f(x)x
（A）(0,
111
)（B）(2,+∞)（D）(0,] [2,+∞) )（C）(0,) (2,+∞222
1（5）已知实数x,y满足ax
（A）
112222
（B）l （C）s（D）x>y n(x+>1)ln(y+1)>inx>siny22
x+1y+1
⎧x-y-1≤0,
（9）已知x,y满足约束条件⎨当目标函数za在该约束
=x+by(a>0,b>0)
2x-y-3≥0,⎩
条件下取到最小值时，a2+b2的最小值为 （A）5 （B）4 （C
（D）2 2008（文）7．不等式
x+5
≥2的解集是（ ） 2
(x-1)
A．⎢-3⎥
⎡⎣1⎤2⎦
B．⎢-，3⎥
⎡1⎤
⎣2⎦
C．⎢，1⎪ (1，3]
⎡1⎫
⎣2⎭
D．⎢-，1⎪ (1，3]
⎡1⎫
⎣2⎭
⎧x-y+2≥0，⎪
⎪5x-y-10≤0，
16．设x，y满足约束条件⎨
⎪x≥0，⎪y≥0，⎩
则z=2x+y的最大值为 ．
2009 5.在R上定义运算⊙: a⊙b=ab+2a+b,则满足x⊙(x-2)
A.(0,2) B.(-2,1) C.(-∞,-2) (1,+∞) D.(-1,2)
16.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元.
2
2010 （1）已知全集U=R，集合M=xx-4≤0，则CUM=
{}
A. x-22 D. xx≤-2或x≥2 （14）已知x,y∈R+，且满足
{}{}
{}{}
xy
+=1，则xy的最大值为. 34
2
2011 1、设集合M=x|x+x-6
{}
(A) [1,2) (B) [1,2] (C) (2,3] (D) [2,3]
⎧x+2y-5≤0⎪
7、设变量x,y满足约束条件⎨x-y-2≤0，则目标函数z=2x+3y+1的最大值
⎪x≥0⎩
为
(A) 11 (B) 10 (C) 9 (D) 8.5
1
+ 2012 (3)
函数f(x)=
ln(x+1) (A)[-2,0) (0,2] (B)(-1,0) (0,2] (C)[-2,2] (D)(-1,2] ⎧x+2y≥2,⎪
(6)设变量x,y满足约束条件⎨2x+y≤4,则目标函数z=3x-y的取值范围是
⎪4x-y≥-1,⎩
333
(A)[-,6] (B)[-,-1] (C)[-1,6] (D)[-6,]
2222013 (5)
、函数f(x)=(A)(-3，0] (B) (-3，1]
(C) (-∞,-3) (-3,0] (D) (-∞,-3) (-3,1] (12)、设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0，则当最大值为
(A)0 (B)
的定义域为 z
取得最大值时，x+2y-z的xy
99 (C)2 (D) 84
⎧2x+3y-6≤0
⎪
(14)、在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组⎨x+y-2≥0所表示的区域上一动点，
⎪y≥0⎩
则直线OM的最小值为_______ (21)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=ax2+bx-lnx(a,b∈R) (Ⅰ)设a≥0，求f(x)的单调区间
(Ⅱ) 设a>0，且对于任意x>0，f(x)≥f(1)。试比较lna与-2b的大小
2
B= 2014 (2) 设集合A，则A={x|x-2x
(A) (0,2]
(B) (1,2)
(C) [1,2)
(D) (1,4)
(3)
函数f(x)
x
(A) (0,2) (B) (0,2]
y
(C) (2,+∞)
(D) [2,+∞)
(5) 已知实数x,y满足a(A) x>y
3
3
(B) s inx>siny
⎧x-y-1≤0,
(10) 已知x,y满足约束条件⎨当目标函数z=在该约ax+by(a>0,b>0)
2x-y-3≥0,⎩
束条件下取到最小值a+b的最小值为
(A) 5
(B) 4
(C)
22
(D)
(D) 2
22
(C) l n(x+>1)ln(y+1)
11
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x2+1y2+1