排列组合常见题型及解题策略
排列组合问题是高考的必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握,实践证明,掌握题型和解题方法,识别模式,熟练运用,是解决排列组合应用题的有效途径;下面就谈一谈排列组合应用题的几种常见题型以及解题策略. 一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数
【例1】 (1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种
不同的报名方法?
(2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结
果?
(3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法?
【解析】:(1)34(2)43 (3)43
【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?
【解析】:由分步计数原理知共有76种不同方案.
【例3】 8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有( )A 、83 B、38 C、A 8 D 、C 8
【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8名学生看作8家“店”,
3项冠军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有8
种可能,因此共有83种不同的结果。所以选A
二.相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参
与排列. 【例1】A , B , C , D , E 五人并排站成一排,如果A , B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的排法种数有
4
【解析】:把A , B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,A 4 24
3
3
种
【例2】(2009四川卷理)3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两
端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( ) A. 360 B. 188 C. 216 D. 96
【解析】: 间接法 6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,
2222
C 3A 2A 4A 2=432 种
2222
其中男生甲站两端的有A 1,符合条件的排法故共有2C 3A 2A 3A 2=144
288
三.相离问题插空法 :元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全
排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
【例1】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是
52
【解析】:除甲乙外,其余5个排列数为A 5种,再用甲乙去插6个空位有A 6种,不同
52的排法种数是A 5A 6 3600种
【例2】 书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有 种不同的插法(具体数字作答)
11【解析】: A 17A 8A 9=504
【例3】 高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节
目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是
52
【解析】:不同排法的种数为A 5A 6=3600
【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 【解析】:依题意,只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中,可得有A 52=20种不同排法。
【例5】某市春节晚会原定10个节目,导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节
目,但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个,并且已经排好的10个节目的相对顺序不变,则该晚会的节目单的编排总数为 种.
11
【解析】:A 19A 10A 11=990
【例6】. 马路上有编号为1,2,3„,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉
相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?【解析】:把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3
3
盏不亮的灯C 5种方法, 所以满足条件的关灯方案有10种.
说明:一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,
装盒模型可使问题容易解决.
【例7】 3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种数有
多少种?
【解析】: 解法1、先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有A 33,○*○*○*○,在
四个空中分别放一把椅子,还剩一把椅子再去插空有A 14种,所以每个
3
人左右两边都空位的排法有A 14A 3=24种.
解法2:先拿出5个椅子排成一排,在5个椅子中间出现4个空,*○*○*
○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空,于是有A 34=24种.
【例8】 停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放. 要求空车位置连在一
起,不同的停车方法有多少种?
【解析】:先排好8辆车有A 88种方法,要求空车位置连在一起,则在每2辆之间及其
8
两端的9个空档中任选一个,将空车位置插入有C 1所以共有C 19种方法,9A 8种
方法. 注:题中*表示元素,○表示空.
四.元素分析法(位置分析法):某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个
元素;再排其它的元素。 【例1】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中
选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案
共有( ) A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
【例2】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?
41
【解析】:老师在中间三个位置上选一个有A 3种,4名同学在其余4个位置上有A 4种方
14法;所以共有A 3A 4 72种。.
【例3】 有七名学生站成一排,某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种?
625766
【解析】 法一:A 1 法二: 法三:A =3600A A =3600A -A -A 766=3600 5665
五.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。 【例1】(1) 6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是( )
A 、36种 B、120种 C、720种 D、1440种 (2)把15人分成前后三排,每排5人,不同的排法种数为
55
(A )A 15A 10
1555535553
(B )A 15 (D )A 15 A 10A 5A 3 (C )A 15A 10A 5÷A 3
(3)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前
排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?
【解析】:(1)前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排
6
成一排,共A 6=720种,选C .
(2)答案:C
2
(3)看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有A 4种,某11
个元素排在后半段的四个位置中选一个有A 4种,其余5个元素任排5个位5125置上有A 5种,故共有A 4A 4A 5=5760种排法.
五.定序问题缩倍法(等几率法):在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.
【例1】. A , B , C , D , E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边(A , B 可以不相邻)那么不同的排法种数是( )
【解析】:B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即
15
A 5=60种 2
【例2】 书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有多少种不同的插法?
3
【解析】:法一:A 9 法二:
19
A 9 6A 6
【例3】将A 、B 、C 、D 、E 、F 这6个字母排成一排,若A 、B 、C 必须按A 在前,B 居中,
C 在后的原则(A 、B 、C 允许不相邻),有多少种不同的排法? 【解析】:
3法一:A 6 法二:
16
A 6 3A 3
六.标号排位问题(不配对问题) 把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排
入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.
【例1】 将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则
每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( )A 、6种 B、9种 C、11种 D、23种
【解析】:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对
应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,选B .
【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位,
其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是( ) A 10种 B 20种 C 30种 D 60种 【解析】 答案:B
【例3】:同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺
年卡,则4张贺年卡不同的分配方式共有( ) (A )6种 (B )9种 (C )11种 (D )23种
【解析】:设四个人分别为甲、乙、丙、丁,各自写的贺年卡分别为a 、b 、c 、d 。 第一步,甲取其中一张,有3种等同的方式; 第二步,假设甲取b ,则乙的取法可分两类:
(1)乙取a ,则接下来丙、丁取法都是唯一的,
(2)乙取c 或d (2种方式),不管哪一种情况,接下来丙、丁的取
法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理,一共有3⨯(1+2) =9种分配方式。 故选(B )
【例4】:五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有( ) (A )60种 (B )44种 (C )36种 (D )24种 【解析】 答案:B
六.不同元素的分配问题(先分堆再分配):注意平均分堆的算法
【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式? (1) 分成1本、2本、3本三组;
(2) 分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本;
(3) 分成每组都是2本的三个组; (4) 分给甲、乙、丙三人,每个人2本; (5) 分给5人每人至少1本。
222C 6C 4C 2222
【解析】:(1)C C C (2)C C C A (3) (4)C 6C 4C 2 (5)3
A 3
[1**********]333
211111C 5C 5C 4C 3C 2C 15
A 5 4
A 4
【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 种(用数字作答).
211C 4⋅C 2⋅C 1
【解析】:第一步将4名大学生按,2,1,1分成三组,其分法有; 2
A 2
3
第二步将分好的三组分配到3个乡镇,其分法有A 3所以满足条件得分配的方211C 4⋅C 2⋅C 13
案有⋅A 3=362
A 2
说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
【例3】 5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方
法共有
(A )150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种
311
C 5C 2C 13
⨯A 3【解析】:人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式,若是1,2,2,则有=602
A 2
种,若是1,1,3,
122C 5C 4C 23
⨯A 则有=90种,所以共有150种,选A 32
A 2
【例4】 将9个(含甲、乙)平均分成三组,甲、乙分在同一组,则不同分组方法的种数为( ) A.70 B .140 C .280 D .840 【解
析】:( A )
【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有( )
(A )30种 (B )90种 (C )180种 (D )27
0种
【解析】:将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,
12C 5⋅C 4
则将5名教师分成三组,一组1人,另两组都是2人,有=15种方法,2
A 23
再将3组分到3个班,共有15⋅A 3=90种不同的分配方案,选B.
【例6】 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目
不超过2个, 则该外商不同的投资方案有( )种 A.16种 B .36种 C.42种 D .60种
33
【解析】:按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构,∴C 42C 32A 22+C 4A 3=36+24=60 故
选D ;
【例7】(1)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为( )
A 、480种 B、240种 C、120种 D、96种 【解析】:答
案:B .
(2)12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,
则不同的分配方案有多少种?
44
C 12C 84C 43
【解析】:答案:A 3 3
A 3
【例8】 有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4
人承担这三项任务,不同的选法种数是( ) A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
【解析】:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任
务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有
211C 10C 8C 7=2520种,选C .
【例9】. 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经
济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?
【解析】:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:
①若甲乙都不参加,则有派遣方案A 84种;
3
②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有A 8方法,
所以共有3A 83;
③若乙参加而甲不参加同理也有3A 83种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7
种方法,然后再安排其余8人到另
两个城市有A 82种,共有7A 82方法. 所以共有不同的派遣方法总数为
4332A 8+3A 8+3A 8+7A 8=4088种
【例10】 四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?
2
【解析】:先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有C 4种,再排:在四个3盒中每次排3个有A 4种,
23
故共有C 4A 4=144种.
七.相同元素的分配问题隔板法:
【例1】:把20个相同的球全放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于其编号数,则有多少种不同的放法?
【解析】:向1,2,3号三个盒子中分别放入0,1,2个球后还余下17个球,然后再
把这17个球分成3份,每份至少一球,运用隔板法,共有C 16=120种。
【例2】 10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?
【解析】:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,
每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对
6
应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为C 9=84种.
2
变式1:7个相同的小球,任意放入四个不同的盒子,问每个盒子都不空的放法有 种
变式2:马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盏路灯,为节约用电,可以
把其中的三盏路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,满足条件的关灯办法有 种
【例3】:将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中
的3个中,使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种?
3
【解析】: 1、先从4个盒子中选三个放置小球有C 4种方法。
2、注意到小球都是相同的,我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球
的颜色齐全,可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球
所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有C 32、C 42、C 52种方法。
3
C 32C 42C 52=720种 3、由分步计数原理可得C 4
八.多面手问题( 分类法---选定标准)
【例1】: 有11名外语翻译人员,其中5名是英语译员,4名是日语译员,另外两名
是英、日语均精通,从中找出8人,使他们可以组成翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,这两个小组能同时工作,问这样的8人名单可
以
开
出
几
张
?
[**************]3
C 5C 4+C 5C 2C 4+C 5C 2C 4+C 5C 4+C 5C 4+C 5C 2C 1C 4
变式:. 有11名外语翻译人员, 其中有5名会英语,4名会日语, 另外两名英, 日语都精通, 从中选出8人, 组成两个翻译小组, 其中4人翻译英语, 另4人翻译日语, 问共有多少不同的选派方式?
答案 :185
九.走楼梯问题 (分类法与插空法相结合)
【例1】 小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼
层之间有16级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法? 【解析】 :插空法解题:考虑走3级台阶的次数: 1)有0次走3级台阶(即全走2级),那么有1种走法; 2)有1次走三级台阶。(不可能完成任务); 3)有两次走3级台阶,则有5次走2级台阶:
(a )两次三级台阶挨着时:相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成
1
的空中,有 C 6=6种
(b )两次三级不挨着时:相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成
2的空中,有C 6=15种走法。
4)有3次(不可能)
5)有4次走3级台阶,则有2次走两级台阶,互换角色,想成把两个2级台阶放到3
12
级台阶形成得空中,同(3)考虑挨着和不挨着两种情况有种C 5+C 5=15走法;
6)有5次(不可能)
故总共有:1+6+15+15=37种。
变式:欲登上第10级楼梯,如果规定每步只能跨上一级或两级,则不同的走法共有( )
(A )34种 (B )55种 (C )89种 (D )144种 答案: (C ) 十.排数问题(注意数字“0”)
【例1】(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( )
A 、210种 B、300种 C、464种 D、600种
5
【解析】 :按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有A 5个,
[1**********]
A 4A 3A 3, A 3A 3A 3, A 2A 3A 3, A 3A 3个,合并总计300个, 选B .
(2)从1,2,3,„,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种? 【解析】 :将I ={1, 2, 3
, 1}0分0成四个不相交的子集,能被4整除的数集
97},能被4除余2的99},易见这四个集
A ={4,8,12, 100};能被4除余1的数集B ={1,5,9, 数集C ={2,6,
,98},能被4除余3的数集D ={3,7,11,
合中每一个有25个元素;从A 中任取两个数符合要;从B , D 中各取一个数也符合要求;从C 中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所
2112以符合要求的取法共有C 25种. +C 25C 25+C 25
十一.染色问题:涂色问题的常用方法有:(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论;
(2)根据相对区域是否同色分类讨论;
(3)将空间问题平面化,转化成平面区域
涂色问题。
【例1】 将一个四棱锥S -ABCD 的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异
色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是_______.
【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
(1)若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点S ,再从余下的四种颜色中
12
任选两种涂A 、B 、C 、D 四点,此时只能A 与C 、B 与D 分别同色,故有C 5A 4=60
种方法。
(2)若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S ,再从余下的
2
四种颜色中任选两种染A 与B ,由于A 、B 颜色可以交换,故有A 4种染法;再从
余下的两种颜色中任选一种染D 或C ,而D 与C ,而D 与C 中另一个只需染与其相
1211对顶点同色即可,故有C 5A 4C 2C 2=240种方法。
5(3)若恰用五种颜色染色,有A 5=120种染色法
综上所知,满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】420.
【解析二】设想染色按S —A —B —C —D 的顺序进行,对S 、A 、B 染色,有5⨯4⨯3=60种染色方法。
由于C 点的颜色可能与A 同色或不同色,这影响到D 点颜色的选取方法数,故分类讨论:
C与A 同色时(此时C 对颜色的选取方法唯一),D 应与A (C )、S 不同色,有3种
选择;
C 与A 不同色时,C 有2种选择的颜色,D 也有2种颜色可供选择,从而对C 、D 染色有1⨯3+2⨯2=7种染色方法。
由乘法原理,总的染色方法是60⨯7=420
【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题:如图,
对这五个区域用5种颜色涂色,有多少种不同的涂色方法?
总体实施分步完成, 可分为四大步:
①给S 涂色有5种方法;
②给A 涂色有4种方法(与S 不同色);
③给B 涂色有3种方法(与A,S 不同色);
④给C,D 涂色. 当C 与A 异色时,C,D 都有2种涂色方法; 当C 与A 同色时,C 有一种
涂色方法(与A 同色),D 有3种涂色方法. 给C,D 涂色共有2×2+3=7种方法.
由分步计数原理共有5×4×3×7=420种方法
[规律小结] 涂色问题的常用方法有:(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论; (2)根
据相对区域是否同色分类讨论; (3)将空间问
题平面化,转化成平面区域涂色问题。
十二.“至多”“至少”问题用间接法或分类:
十三. 几何中的排列组合问题:
x y 【例1】 已知直线+=1(a ,b 是非零常数)与圆x 2+y 2=100有公共点,且公共点a b
的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有 条
【解析】: 圆上的整点有:(±6, ±8) ,(±8, ±6),(±10,0),(0±10) 12 个
2 C 12 =66 其中关于原点对称的有4 条 不满则条件 切线有C 1
12=12 ,
其中平行于坐标轴的有14条 不满则条件 66-4+12-14=60
答案:60
11
排列组合常见题型及解题策略
排列组合问题是高考的必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握,实践证明,掌握题型和解题方法,识别模式,熟练运用,是解决排列组合应用题的有效途径;下面就谈一谈排列组合应用题的几种常见题型以及解题策略. 一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数
【例1】 (1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种
不同的报名方法?
(2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结
果?
(3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法?
【解析】:(1)34(2)43 (3)43
【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?
【解析】:由分步计数原理知共有76种不同方案.
【例3】 8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有( )A 、83 B、38 C、A 8 D 、C 8
【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8名学生看作8家“店”,
3项冠军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有8
种可能,因此共有83种不同的结果。所以选A
二.相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参
与排列. 【例1】A , B , C , D , E 五人并排站成一排,如果A , B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的排法种数有
4
【解析】:把A , B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,A 4 24
3
3
种
【例2】(2009四川卷理)3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两
端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( ) A. 360 B. 188 C. 216 D. 96
【解析】: 间接法 6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,
2222
C 3A 2A 4A 2=432 种
2222
其中男生甲站两端的有A 1,符合条件的排法故共有2C 3A 2A 3A 2=144
288
三.相离问题插空法 :元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全
排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
【例1】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是
52
【解析】:除甲乙外,其余5个排列数为A 5种,再用甲乙去插6个空位有A 6种,不同
52的排法种数是A 5A 6 3600种
【例2】 书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有 种不同的插法(具体数字作答)
11【解析】: A 17A 8A 9=504
【例3】 高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节
目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是
52
【解析】:不同排法的种数为A 5A 6=3600
【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 【解析】:依题意,只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中,可得有A 52=20种不同排法。
【例5】某市春节晚会原定10个节目,导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节
目,但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个,并且已经排好的10个节目的相对顺序不变,则该晚会的节目单的编排总数为 种.
11
【解析】:A 19A 10A 11=990
【例6】. 马路上有编号为1,2,3„,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉
相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?【解析】:把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3
3
盏不亮的灯C 5种方法, 所以满足条件的关灯方案有10种.
说明:一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,
装盒模型可使问题容易解决.
【例7】 3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种数有
多少种?
【解析】: 解法1、先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有A 33,○*○*○*○,在
四个空中分别放一把椅子,还剩一把椅子再去插空有A 14种,所以每个
3
人左右两边都空位的排法有A 14A 3=24种.
解法2:先拿出5个椅子排成一排,在5个椅子中间出现4个空,*○*○*
○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空,于是有A 34=24种.
【例8】 停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放. 要求空车位置连在一
起,不同的停车方法有多少种?
【解析】:先排好8辆车有A 88种方法,要求空车位置连在一起,则在每2辆之间及其
8
两端的9个空档中任选一个,将空车位置插入有C 1所以共有C 19种方法,9A 8种
方法. 注:题中*表示元素,○表示空.
四.元素分析法(位置分析法):某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个
元素;再排其它的元素。 【例1】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中
选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案
共有( ) A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
【例2】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?
41
【解析】:老师在中间三个位置上选一个有A 3种,4名同学在其余4个位置上有A 4种方
14法;所以共有A 3A 4 72种。.
【例3】 有七名学生站成一排,某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种?
625766
【解析】 法一:A 1 法二: 法三:A =3600A A =3600A -A -A 766=3600 5665
五.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。 【例1】(1) 6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是( )
A 、36种 B、120种 C、720种 D、1440种 (2)把15人分成前后三排,每排5人,不同的排法种数为
55
(A )A 15A 10
1555535553
(B )A 15 (D )A 15 A 10A 5A 3 (C )A 15A 10A 5÷A 3
(3)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前
排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?
【解析】:(1)前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排
6
成一排,共A 6=720种,选C .
(2)答案:C
2
(3)看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有A 4种,某11
个元素排在后半段的四个位置中选一个有A 4种,其余5个元素任排5个位5125置上有A 5种,故共有A 4A 4A 5=5760种排法.
五.定序问题缩倍法(等几率法):在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.
【例1】. A , B , C , D , E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边(A , B 可以不相邻)那么不同的排法种数是( )
【解析】:B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即
15
A 5=60种 2
【例2】 书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有多少种不同的插法?
3
【解析】:法一:A 9 法二:
19
A 9 6A 6
【例3】将A 、B 、C 、D 、E 、F 这6个字母排成一排,若A 、B 、C 必须按A 在前,B 居中,
C 在后的原则(A 、B 、C 允许不相邻),有多少种不同的排法? 【解析】:
3法一:A 6 法二:
16
A 6 3A 3
六.标号排位问题(不配对问题) 把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排
入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.
【例1】 将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则
每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( )A 、6种 B、9种 C、11种 D、23种
【解析】:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对
应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,选B .
【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位,
其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是( ) A 10种 B 20种 C 30种 D 60种 【解析】 答案:B
【例3】:同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺
年卡,则4张贺年卡不同的分配方式共有( ) (A )6种 (B )9种 (C )11种 (D )23种
【解析】:设四个人分别为甲、乙、丙、丁,各自写的贺年卡分别为a 、b 、c 、d 。 第一步,甲取其中一张,有3种等同的方式; 第二步,假设甲取b ,则乙的取法可分两类:
(1)乙取a ,则接下来丙、丁取法都是唯一的,
(2)乙取c 或d (2种方式),不管哪一种情况,接下来丙、丁的取
法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理,一共有3⨯(1+2) =9种分配方式。 故选(B )
【例4】:五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有( ) (A )60种 (B )44种 (C )36种 (D )24种 【解析】 答案:B
六.不同元素的分配问题(先分堆再分配):注意平均分堆的算法
【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式? (1) 分成1本、2本、3本三组;
(2) 分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本;
(3) 分成每组都是2本的三个组; (4) 分给甲、乙、丙三人,每个人2本; (5) 分给5人每人至少1本。
222C 6C 4C 2222
【解析】:(1)C C C (2)C C C A (3) (4)C 6C 4C 2 (5)3
A 3
[1**********]333
211111C 5C 5C 4C 3C 2C 15
A 5 4
A 4
【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 种(用数字作答).
211C 4⋅C 2⋅C 1
【解析】:第一步将4名大学生按,2,1,1分成三组,其分法有; 2
A 2
3
第二步将分好的三组分配到3个乡镇,其分法有A 3所以满足条件得分配的方211C 4⋅C 2⋅C 13
案有⋅A 3=362
A 2
说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
【例3】 5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方
法共有
(A )150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种
311
C 5C 2C 13
⨯A 3【解析】:人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式,若是1,2,2,则有=602
A 2
种,若是1,1,3,
122C 5C 4C 23
⨯A 则有=90种,所以共有150种,选A 32
A 2
【例4】 将9个(含甲、乙)平均分成三组,甲、乙分在同一组,则不同分组方法的种数为( ) A.70 B .140 C .280 D .840 【解
析】:( A )
【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有( )
(A )30种 (B )90种 (C )180种 (D )27
0种
【解析】:将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,
12C 5⋅C 4
则将5名教师分成三组,一组1人,另两组都是2人,有=15种方法,2
A 23
再将3组分到3个班,共有15⋅A 3=90种不同的分配方案,选B.
【例6】 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目
不超过2个, 则该外商不同的投资方案有( )种 A.16种 B .36种 C.42种 D .60种
33
【解析】:按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构,∴C 42C 32A 22+C 4A 3=36+24=60 故
选D ;
【例7】(1)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为( )
A 、480种 B、240种 C、120种 D、96种 【解析】:答
案:B .
(2)12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,
则不同的分配方案有多少种?
44
C 12C 84C 43
【解析】:答案:A 3 3
A 3
【例8】 有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4
人承担这三项任务,不同的选法种数是( ) A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
【解析】:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任
务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有
211C 10C 8C 7=2520种,选C .
【例9】. 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经
济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?
【解析】:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:
①若甲乙都不参加,则有派遣方案A 84种;
3
②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有A 8方法,
所以共有3A 83;
③若乙参加而甲不参加同理也有3A 83种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7
种方法,然后再安排其余8人到另
两个城市有A 82种,共有7A 82方法. 所以共有不同的派遣方法总数为
4332A 8+3A 8+3A 8+7A 8=4088种
【例10】 四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?
2
【解析】:先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有C 4种,再排:在四个3盒中每次排3个有A 4种,
23
故共有C 4A 4=144种.
七.相同元素的分配问题隔板法:
【例1】:把20个相同的球全放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于其编号数,则有多少种不同的放法?
【解析】:向1,2,3号三个盒子中分别放入0,1,2个球后还余下17个球,然后再
把这17个球分成3份,每份至少一球,运用隔板法,共有C 16=120种。
【例2】 10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?
【解析】:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,
每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对
6
应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为C 9=84种.
2
变式1:7个相同的小球,任意放入四个不同的盒子,问每个盒子都不空的放法有 种
变式2:马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盏路灯,为节约用电,可以
把其中的三盏路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,满足条件的关灯办法有 种
【例3】:将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中
的3个中,使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种?
3
【解析】: 1、先从4个盒子中选三个放置小球有C 4种方法。
2、注意到小球都是相同的,我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球
的颜色齐全,可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球
所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有C 32、C 42、C 52种方法。
3
C 32C 42C 52=720种 3、由分步计数原理可得C 4
八.多面手问题( 分类法---选定标准)
【例1】: 有11名外语翻译人员,其中5名是英语译员,4名是日语译员,另外两名
是英、日语均精通,从中找出8人,使他们可以组成翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,这两个小组能同时工作,问这样的8人名单可
以
开
出
几
张
?
[**************]3
C 5C 4+C 5C 2C 4+C 5C 2C 4+C 5C 4+C 5C 4+C 5C 2C 1C 4
变式:. 有11名外语翻译人员, 其中有5名会英语,4名会日语, 另外两名英, 日语都精通, 从中选出8人, 组成两个翻译小组, 其中4人翻译英语, 另4人翻译日语, 问共有多少不同的选派方式?
答案 :185
九.走楼梯问题 (分类法与插空法相结合)
【例1】 小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼
层之间有16级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法? 【解析】 :插空法解题:考虑走3级台阶的次数: 1)有0次走3级台阶(即全走2级),那么有1种走法; 2)有1次走三级台阶。(不可能完成任务); 3)有两次走3级台阶,则有5次走2级台阶:
(a )两次三级台阶挨着时:相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成
1
的空中,有 C 6=6种
(b )两次三级不挨着时:相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成
2的空中,有C 6=15种走法。
4)有3次(不可能)
5)有4次走3级台阶,则有2次走两级台阶,互换角色,想成把两个2级台阶放到3
12
级台阶形成得空中,同(3)考虑挨着和不挨着两种情况有种C 5+C 5=15走法;
6)有5次(不可能)
故总共有:1+6+15+15=37种。
变式:欲登上第10级楼梯,如果规定每步只能跨上一级或两级,则不同的走法共有( )
(A )34种 (B )55种 (C )89种 (D )144种 答案: (C ) 十.排数问题(注意数字“0”)
【例1】(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( )
A 、210种 B、300种 C、464种 D、600种
5
【解析】 :按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有A 5个,
[1**********]
A 4A 3A 3, A 3A 3A 3, A 2A 3A 3, A 3A 3个,合并总计300个, 选B .
(2)从1,2,3,„,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种? 【解析】 :将I ={1, 2, 3
, 1}0分0成四个不相交的子集,能被4整除的数集
97},能被4除余2的99},易见这四个集
A ={4,8,12, 100};能被4除余1的数集B ={1,5,9, 数集C ={2,6,
,98},能被4除余3的数集D ={3,7,11,
合中每一个有25个元素;从A 中任取两个数符合要;从B , D 中各取一个数也符合要求;从C 中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所
2112以符合要求的取法共有C 25种. +C 25C 25+C 25
十一.染色问题:涂色问题的常用方法有:(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论;
(2)根据相对区域是否同色分类讨论;
(3)将空间问题平面化,转化成平面区域
涂色问题。
【例1】 将一个四棱锥S -ABCD 的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异
色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是_______.
【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
(1)若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点S ,再从余下的四种颜色中
12
任选两种涂A 、B 、C 、D 四点,此时只能A 与C 、B 与D 分别同色,故有C 5A 4=60
种方法。
(2)若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S ,再从余下的
2
四种颜色中任选两种染A 与B ,由于A 、B 颜色可以交换,故有A 4种染法;再从
余下的两种颜色中任选一种染D 或C ,而D 与C ,而D 与C 中另一个只需染与其相
1211对顶点同色即可,故有C 5A 4C 2C 2=240种方法。
5(3)若恰用五种颜色染色,有A 5=120种染色法
综上所知,满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】420.
【解析二】设想染色按S —A —B —C —D 的顺序进行,对S 、A 、B 染色,有5⨯4⨯3=60种染色方法。
由于C 点的颜色可能与A 同色或不同色,这影响到D 点颜色的选取方法数,故分类讨论:
C与A 同色时(此时C 对颜色的选取方法唯一),D 应与A (C )、S 不同色,有3种
选择;
C 与A 不同色时,C 有2种选择的颜色,D 也有2种颜色可供选择,从而对C 、D 染色有1⨯3+2⨯2=7种染色方法。
由乘法原理,总的染色方法是60⨯7=420
【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题:如图,
对这五个区域用5种颜色涂色,有多少种不同的涂色方法?
总体实施分步完成, 可分为四大步:
①给S 涂色有5种方法;
②给A 涂色有4种方法(与S 不同色);
③给B 涂色有3种方法(与A,S 不同色);
④给C,D 涂色. 当C 与A 异色时,C,D 都有2种涂色方法; 当C 与A 同色时,C 有一种
涂色方法(与A 同色),D 有3种涂色方法. 给C,D 涂色共有2×2+3=7种方法.
由分步计数原理共有5×4×3×7=420种方法
[规律小结] 涂色问题的常用方法有:(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论; (2)根
据相对区域是否同色分类讨论; (3)将空间问
题平面化,转化成平面区域涂色问题。
十二.“至多”“至少”问题用间接法或分类:
十三. 几何中的排列组合问题:
x y 【例1】 已知直线+=1(a ,b 是非零常数)与圆x 2+y 2=100有公共点,且公共点a b
的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有 条
【解析】: 圆上的整点有:(±6, ±8) ,(±8, ±6),(±10,0),(0±10) 12 个
2 C 12 =66 其中关于原点对称的有4 条 不满则条件 切线有C 1
12=12 ,
其中平行于坐标轴的有14条 不满则条件 66-4+12-14=60
答案:60
11