麻省理工学院
电气工程与计算机科学系
6.243j （2003秋季）非线性系统动力学
A.Megretski
讲座1：输入/输出和状态空间模型1
本章介绍非线性动力系统建模的一些基本定义和简单例子。
1.1动态模型
描述一个系统，最普遍的方法是采用动态输入/输出模型（尽管不一定是最方便的方法）。
1.1.1什么是信号？
在这一章中，信号是指局部可微的函数z :R +→R k ，其中R +表示非负实数。“局部可微”的概念来自于Lebesque 测度原理，是指在有限区间内的微分有意义。广义函数，例如δ(t ) ，就不是局部可微的。在信号函数中，一般将自变量t ∈R +看作“时间”（通常是这样）。
例1.1函数z =z (·) 由
t −0. 9sgn(cos(1/t)) t >0, z (t ) =0t =0
定义，当
z (t ) = 1/t
0for t >0, for t =0
˙(t ) 时不是。时是一个有效信号，当z (t ) =δ
上面的定义形式包含了所谓的连续时间（CT ）信号。离散时间（DT ）信号可以作为特殊CT 信号由上面的形式表示。准确地说，如果信号z :R +→R k 在每个时间间隔[k, k +1) (k =0, 1, 2,... ) 内都是常数，那么它就是一个DT 信号。
1.1.2什么是系统？
系统是产生信号（称为输出信号）的，通常依赖于其它信号（输入）和一些参数（初始条件）。在大部分应用中，系统的数学模型由行为集决定（通常绝对如此）。对于自治系统（也就是没有输入的系统），行为集B ={z }，其中信号z :R +→R k （对于所有B 中的信号，k 必须是一致的）。对于输入为v 、输出为w 的系统，行为集包含所有的输入/输出对，即z =(v (·) , w (·)) 。这12003年9月3日版
1
两种定义并没有实质性差别，可以认为信号对z =(v (·) , w (·)) 就是包含依次排列的输入和输出的单向量信号z (t ) =[(v (t ); w (t )]。
在这种定义中，一个确定的输入v (·) 可以出现在(v, w ) ∈B 的很多输入/输出对中，也可以不出现在任何一对中，所以行为集不一定能把系统输出定义为任意一个系统输入的函数。典型例子就是唯一确定一个输出，除了要知道输入外，还需要知道一些其它信息（初始条件和不确定参数）。例1.2由包含所有标量信号对(v, w ) 的行为集确定常见的理想积分系统（传递函数为G (s ) =1/s）如下：
w (t 2) −w (t 1) =
t 1t 2v (τ) dτ,∀t 1, t 2∈[0, ∞]
在这个例子中，只要知道v 和w (0)，就可以唯一确定输出。
在例1.1.2中，系统由一个积分方程描述。对于相同的系统，描述方法很多（例如传递函数和微分方程等）。
1.1.3什么是线性/非线性系统？
当一个系统的行为集满足叠加原理时，这个系统称为线性系统。也就是说，对于任何z 1, z 2∈B 和c ∈R ，有z 1+Z 2∈B 和cz 1∈B 。
除去一些没有意义的例子2，由关于v 和w 呈线性的方程定义的系统是线性系统。特殊地，例1.1.2涉及的理想积分系统是线性的。
1.2系统状态
任意行为模型B ={z (·) }都可以定义系统状态，认识到这一点是很重要的。
1.2.1在t 时刻，定义同一状态的两个信号
给定时间t 0，假设系统状态包含所有过去（t t 0）行为的相关信息，我们得到以下定义。
定义假设B 是一个行为集，信号z 1, z 2∈B ，如果信号
z 1(t ) for t ≤t 0, z 12(t ) =z 2(t ) for t >t 0
和
z 21(t ) = z 2(t )
z 1(t ) for t ≤t 0, for t >t 0
也属于行为集，那么我们称t 0时刻，z 1, z 2可交换。
定义假设B 是一个行为集，信号z 1, z 2, z ∈B ，如果t 0时刻，z 和z 1交换与z 和z 2交换是一样的，我们称z 1, z 2在B 上定义了相同的状态。2例如由非线性方程(v (t ) −w (t )) 2=0∀t 定义的（线性）系统
2
定义假设B 是一个行为集，X 是一个任意集合，如果只要x (t, z 1(·)) =x (t, z 2(·)) ，z 1和z 2在t 时刻就定义B 中的相同状态，那么我们称函数x :R ×B →X 是系统B 的一个状态。
例1.3假设系统输入v 和输出w 是二进制信号，也就是取值集合为{0, 1}的DT 信号。输入/输出关系为：仅当v (t ) =1时，w (t ) =1; 当t 1, t 2∈Z +时， w (t 1) =w (t 2) =1；当t ∈(t 1, t 2) Z 时，w (t ) =0；当区间(t 1, t 2) 内刚好有两个整数t 时，v (t ) =1。
也就是说，系统在输入的时候记数一，记到三时，系统计数器清零，输出1（否则输出0）。
很容易得出，当且仅当N (t 0, z 1) =N (t 0, z 2) 时，输入/输出对z 1=(v 1, w 1) 和z 2=(v 2, w 2) 在（离散）时间t 0可交换，其中N (t 0, z ) 是v (t ) 中的数字一，z =(v, w ) ∈B ，t ∈(t 0, t 1) Z ，t 1是下一次（t 0之后）w (t ) =1时对应的整数时间t 。因此，系统状态可以由函数x :R +×B →{0, 1, 2}, x (t, z ) =N (t, z ) 来定义。
在这个例子中，已知系统状态可以写出系统的状态空间方程
x (t +1) =f (x (t ) , v (t )) , w (t ) =g (x (t ) , v (t )) (1.1)
其中
f (x, v ) =(x +v )mod3,
并且当且仅当x =2和v =1时g (x, v ) =1。
3
麻省理工学院
电气工程与计算机科学系
6.243j （2003秋季）非线性系统动力学
A.Megretski
讲座1：输入/输出和状态空间模型1
本章介绍非线性动力系统建模的一些基本定义和简单例子。
1.1动态模型
描述一个系统，最普遍的方法是采用动态输入/输出模型（尽管不一定是最方便的方法）。
1.1.1什么是信号？
在这一章中，信号是指局部可微的函数z :R +→R k ，其中R +表示非负实数。“局部可微”的概念来自于Lebesque 测度原理，是指在有限区间内的微分有意义。广义函数，例如δ(t ) ，就不是局部可微的。在信号函数中，一般将自变量t ∈R +看作“时间”（通常是这样）。
例1.1函数z =z (·) 由
t −0. 9sgn(cos(1/t)) t >0, z (t ) =0t =0
定义，当
z (t ) = 1/t
0for t >0, for t =0
˙(t ) 时不是。时是一个有效信号，当z (t ) =δ
上面的定义形式包含了所谓的连续时间（CT ）信号。离散时间（DT ）信号可以作为特殊CT 信号由上面的形式表示。准确地说，如果信号z :R +→R k 在每个时间间隔[k, k +1) (k =0, 1, 2,... ) 内都是常数，那么它就是一个DT 信号。
1.1.2什么是系统？
系统是产生信号（称为输出信号）的，通常依赖于其它信号（输入）和一些参数（初始条件）。在大部分应用中，系统的数学模型由行为集决定（通常绝对如此）。对于自治系统（也就是没有输入的系统），行为集B ={z }，其中信号z :R +→R k （对于所有B 中的信号，k 必须是一致的）。对于输入为v 、输出为w 的系统，行为集包含所有的输入/输出对，即z =(v (·) , w (·)) 。这12003年9月3日版
1
两种定义并没有实质性差别，可以认为信号对z =(v (·) , w (·)) 就是包含依次排列的输入和输出的单向量信号z (t ) =[(v (t ); w (t )]。
在这种定义中，一个确定的输入v (·) 可以出现在(v, w ) ∈B 的很多输入/输出对中，也可以不出现在任何一对中，所以行为集不一定能把系统输出定义为任意一个系统输入的函数。典型例子就是唯一确定一个输出，除了要知道输入外，还需要知道一些其它信息（初始条件和不确定参数）。例1.2由包含所有标量信号对(v, w ) 的行为集确定常见的理想积分系统（传递函数为G (s ) =1/s）如下：
w (t 2) −w (t 1) =
t 1t 2v (τ) dτ,∀t 1, t 2∈[0, ∞]
在这个例子中，只要知道v 和w (0)，就可以唯一确定输出。
在例1.1.2中，系统由一个积分方程描述。对于相同的系统，描述方法很多（例如传递函数和微分方程等）。
1.1.3什么是线性/非线性系统？
当一个系统的行为集满足叠加原理时，这个系统称为线性系统。也就是说，对于任何z 1, z 2∈B 和c ∈R ，有z 1+Z 2∈B 和cz 1∈B 。
除去一些没有意义的例子2，由关于v 和w 呈线性的方程定义的系统是线性系统。特殊地，例1.1.2涉及的理想积分系统是线性的。
1.2系统状态
任意行为模型B ={z (·) }都可以定义系统状态，认识到这一点是很重要的。
1.2.1在t 时刻，定义同一状态的两个信号
给定时间t 0，假设系统状态包含所有过去（t t 0）行为的相关信息，我们得到以下定义。
定义假设B 是一个行为集，信号z 1, z 2∈B ，如果信号
z 1(t ) for t ≤t 0, z 12(t ) =z 2(t ) for t >t 0
和
z 21(t ) = z 2(t )
z 1(t ) for t ≤t 0, for t >t 0
也属于行为集，那么我们称t 0时刻，z 1, z 2可交换。
定义假设B 是一个行为集，信号z 1, z 2, z ∈B ，如果t 0时刻，z 和z 1交换与z 和z 2交换是一样的，我们称z 1, z 2在B 上定义了相同的状态。2例如由非线性方程(v (t ) −w (t )) 2=0∀t 定义的（线性）系统
2
定义假设B 是一个行为集，X 是一个任意集合，如果只要x (t, z 1(·)) =x (t, z 2(·)) ，z 1和z 2在t 时刻就定义B 中的相同状态，那么我们称函数x :R ×B →X 是系统B 的一个状态。
例1.3假设系统输入v 和输出w 是二进制信号，也就是取值集合为{0, 1}的DT 信号。输入/输出关系为：仅当v (t ) =1时，w (t ) =1; 当t 1, t 2∈Z +时， w (t 1) =w (t 2) =1；当t ∈(t 1, t 2) Z 时，w (t ) =0；当区间(t 1, t 2) 内刚好有两个整数t 时，v (t ) =1。
也就是说，系统在输入的时候记数一，记到三时，系统计数器清零，输出1（否则输出0）。
很容易得出，当且仅当N (t 0, z 1) =N (t 0, z 2) 时，输入/输出对z 1=(v 1, w 1) 和z 2=(v 2, w 2) 在（离散）时间t 0可交换，其中N (t 0, z ) 是v (t ) 中的数字一，z =(v, w ) ∈B ，t ∈(t 0, t 1) Z ，t 1是下一次（t 0之后）w (t ) =1时对应的整数时间t 。因此，系统状态可以由函数x :R +×B →{0, 1, 2}, x (t, z ) =N (t, z ) 来定义。
在这个例子中，已知系统状态可以写出系统的状态空间方程
x (t +1) =f (x (t ) , v (t )) , w (t ) =g (x (t ) , v (t )) (1.1)
其中
f (x, v ) =(x +v )mod3,
并且当且仅当x =2和v =1时g (x, v ) =1。
3