2010年4月第10卷第2期廊坊师范学院学报(自然科学版)
JournalofLangfangTeachersCollege(NaturnalScienceEdition)Apr.2010Vol.10No.2
泰勒公式的证明及应用
潘劲松
(湖南机电职业技术学院,湖南长沙410151)
摘 要 泰勒公式集中体现了微积分 逼近法 的精髓,在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。在现行教材对泰勒公式证明基础上,介绍泰勒公式的一种新的更为简单的证明方法,并归纳了其在求极限与导数、判定级数与广义积分敛散性、不等式证明、定积分证明,行列式计算与中值公式、导数的中值估计、界的估计等方面的应用。 关键词 泰勒公式;证明;应用
TheProofofTaylorFormulaandItsApplication
PANJin-song
Abstract Taylorformulaistheembodimentof approximatioss ofcalculousandhasimportantapplicationsinvariousaspects
ofcalculus.ThispaperintroducesasimplernewmethodofproofofTaylorformulaonthebasisoftheorems,whichhavebeenstatedincurrentgeneraltextbooks,anditsproofs.InviewofextensiveuseofTaylorformulainanalysisandstudyofproblemsinmath-ematicalanalysisandsolutionsofpracticalapplications,thepaperhavegeneralizedapplicationsinnineaspectswhichincludelimitanddifferentialcoefficientcalculation,judgementofconvergenceanddivergenceofprogressionandimproperintegral,proofofine-quality,proofofdefiniteintegral,determinantcalculationandmean-valueformula,mean-valueestimateofderivative,boundaryes-timate,andillustratedrelevanttechniquesofapplications. Keywords TaylorFormula;prove;application
中图分类号 O172 文献标识码 A 文章编号 1674-3229(2010)02-0016-06
1 预备知识
1.1 带有Peano型余项的泰勒公式
函数f(x)在[a,b]上具有n阶导数,则 x [a,b]有
(2)
f(a)
f(x)=f(a)+f (a)(x-a)+(x-2!
(n)
2na)+ +(x-a)+Rn(x)(1)
n!
n
其中 Rn(x)=o((x-a)),
即 xlim x
Rn(x)=
f
(n+1)
(x0+ (x-x0))n+1
(x-x0),n!
(0
(n+1)f(x0+ (x-x0))
形如Rn(x)=(x-n!x0)
n+1
的余项称为Lagrange型余项。
在式中,令x0=0,得到f(x)在x=0点的泰勒公式
f(x)=f(0)+f (x)(x)+ +
n
(x)+Rn(x)n!
称之为麦克劳林公式(Maclaurin公式)。1.3 常见的Maclaurin公式
35xxn-1
( )sinx=x-+- +(-1)3!5!
2n+12n+2
+o(x);
(2n+1)!
246n
( )cosx=1-+-+ +(-1)2!4!6!
2n2n
+o(x);(2n)!
(n)
Rn(x)
=0。
(x-x0)
1.2 带有Lagrange型余项的泰勒公式
函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到n+1阶导数,则对 x (a,b)有
(2)
f(x0)2
f(x)=f(x0)+f (x0)(x-x0)+(x-x0)
2!
(n)
f(x0)n
+ +(x-x0)+Rn(x)(2)
n!其中
[收稿日期] 2010-02-06
[作者简介] 潘劲松(1968-),男,湖南机电职业技术学院副教授,硕士,研究方向:高等数学教学、高职教育管理。
第10卷 第2期
2
3
潘劲松:泰勒公式的证明及应用2010年4月
n
( )ln(1+x)=x-+- +(-1)23n+1
+o(x);n+1
2nn
( )=1+x+x+ +x+o(x);
1-x
mm(m-1)2
( )(1+x)=1+mx+x+ +
2!
nn
x+o(x)。
n!
n
上述展开式中的符号o(x)表示当x 0时,它是一个较x高阶的无穷小,即有lim=0。x 0x
n
n
n+1
+ +
(x0)n
(x-x0)+Rn(x),n!
n+1n+1
A(x-x0)B(x-x0)
其中Rn(x)介于和之
(n+1)!(n+1)!间。
特别地,若记M=max{A,B},则
n+1
x-x0
Rn(x) 。
(n+1)!
(n+1)(n+1)
证明 由于f(x)连续,必有A f(x) B,
令Rn(x)=f(x)-[f(x0)+f (x0)(x-x0)+f
(2)
f
(n)
2 泰勒公式的证明
两种余项的泰勒公式所表达的根本思想就是怎样用多项式来逼近函数。公式(1)非普通的等式,而是反映了极限性质的渐进等式,因此公式(1)在求极限时很有用处,对余项可以提供充分小量的估计。公式(2)的余项有确定表达式,当然也有不确定因素,即有中值,但不妨碍定理的使用,为近似计算的误差估计提供了理论依据。
引理2.1 f(x)在[a,b]上可导,且f (x) 0,则f(x) f(a),x [a,b]。
推论2.2 f(x)和g(x)在[a,b]上可导,且f (x) g (x),则f(x)-f(a) g(x)-g(a),x [a,b]。
特别的f(a)=g(a)=0,则有f(x) f(a),x [a,b]。
引理2.3 f(x)在[a,b]上可导,且有
(k)
( )f(a)=0,k=0,1, ,n-1;
( )m f(a) M,x [a,b],
nn
则有 f(x) 。
n!n!
证明 对n用数学归纳法证明,当n=0时,显然成立。若已有
n
f (x) n!
n!
n
(n)
(x0)2f
(x-x0)+ +2!
(k)
(n)
(x0)n
(x-x0)],n!
(x) B,
n+1
则有( )Rn(x0)=0,k=0,1, ,n;( )A Rn
(n+1)
(x)=f
(n+1)
Mx-x0
由引理2.3,有Rn(x) ,M=
(n+1)!
max{A,B}。
n+1
x-x0
注:由Rn(x) ,有Rn(x)=
(n+1)!o((x-x0)),x x0,
因此,(2)式可以看成定理2.4的一个推论。
n
3 泰勒公式的应用
3.1 在极限和导数方面的应用
洛比达法则所肯定的结论可以在特殊的条件下,用泰勒公式展开式推导出来,所以可以利用已知函数的泰勒公式求未定式的极限。
例1 计算lim。x 0tanx-sinx
解 此题是 型,但用洛比达法则很难求
出,不难验证tan(tanx)和sin(sinx)都在o(0, )内三阶可微。
33
因为 sinx=x-3!x+o(x),
,
tanx=x+tanx-sinx=
33
x+o(x),3!
由推论2.2得
nn
f(x) 。
n!n!
定理2.4 若函数f(x)在[a,b]上n+1阶连续可导,则存在A和B,使得[a,b]中任意x0和x,有下式成立
f(x)=f(x0)+f (x0)(x-x0)+
f
(2)
3333
+x+o(x)=x+o(x),3!3!3
从而可见分母tanx-sinx是3的3阶无穷小,故
3
写出的分子上各函数三阶泰勒展开式,关于x较高阶的无穷小可省略去。又
33
sin(sinx)=sinx-x+o(x)3!33
=x-x-x-x
3!3!3!
(x0)2
(x-x0)2!
3
+o(x)3
2010年4月廊坊师范学院学报(自然科学版)第10卷 第2期
33x+o(x),3
33
tan(tanx)=tanx+x+o(x)
3!33
=x+x+o(x),
3
33
所以tan(tanx)-sin(sinx)=x+o(x),
33x+o(x)
从而原式lim=3。x 033
x+o(x)3
(n)
例2 设y=arccotx,求y(0)。
2
解 y =(arccotx) =-=-(1-x+1+x
46n2n
x-+ +(-1)x),x
=x-y=-131517n12n+1
x-x+x-x+ +(-1)x3572n+1
考虑以下情况:
+
( )若p=2,此时=+ 。
n=1
收敛,但是liman
n + n
nan收敛,但是nlim= + n
n的敛散性,为了有效的
+
( )若p=1,此时
n
n=1
0。这里我们无法判定
n
n=1
a
n
中的p的值,可以应用泰勒公式研究选n=1n
项an 0(n + )的阶,据此选取恰当的p的值,选取
an
使nlim + 1=l,并且保证0
n别法(极限形式)就可以判定举例说明。
+
n=1
=-x+
357n+1x-x+x- +(-1)
357
2n+1x,x
又f(x)在x=0处的麦克劳林展开式为y= (n)
n
f(x)= n!x,n=0从而可得f(0)=0,f(0)=(2k+1)!
k+1
(-1)k+1
=(-1)(2k)!。
2k+1
注:因为对于函数多项式或有理分式的极限问题的计算是十分简单的,因此,对一些较复杂的函数可以根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或有理分式的极限问题,因此满足下列情况时可考虑用泰勒公式来求极限:
( )用洛比达法则时,次数较多,且求导及化简过程较繁。
( )分子或分母中有无穷小的差,且此差不容易转化为等价无穷小替代形式。
( )所遇到的函数展开为泰勒公式不难。当确定了要用泰勒公式求极限时,关键是确定展开的阶数。如果分母(或分子)是n阶,就将分子(或分母)展开为n阶麦克劳林公式。如果分子,分母都需要展开,可分别展开到其同阶无穷小的阶数,即合并后的首个非零项的幂次的次数。3.2 在判定级数敛散性方面的应用
在级数敛散性理论中,要判断一个正项级数nn
bn= (p>0),可由比较判别法来判定,那n=1n=1n
么在实际应用中较困难的问题是如何选取恰当的
(p>0)中p的值?n=1n(2k)
(2k+1)
a
n
的敛散性,下面
例3 判定级数
+
n=1
an=
1n
-1+
1n
n=1
的敛散性。
解 利用泰勒公式展开有
an==
1-n
-+onn2n
1
-1-+o2nnnn
=-1-+o
4n2nnn
3
-3-=n+on,
4
=,即a 0(n + )时是故有nlimn- + 4n+ +
阶,与 an=同敛散性,所以 an收敛。24n=1n=1n
注:利用泰勒公式研究序列无穷小量an的阶,,p>0)去比较,有的放矢的求n
出p值,再求出极限值,则可顺利解决问题。3.3 在判定广义积分敛散性方面的应用然后与恰当bn(如
在判定广义积分选取广义积分
+ a
1
a
+
f(x)dx敛散性时,通常
dx(p>0)进行比较,在此通常ax
研究无穷小量f(x)(x + )的阶来有效地选择
+
f(x)dx中的p的值,从而判定敛散性。(注
第10卷 第2期潘劲松:泰勒公式的证明及应用2010年4月
意到:如果
a
+
f(x)dx收敛,则
a
+
f(x)dx收敛。)
F(b)-F(a)=bf(b)-af(a)--f (a)a]+
2
2
[f (b)b2!
例4 广义积分
1
dx是否收敛?
arctanx-x
34
解 因为sinx=x-x+o(x),
3!
33[bf ( 2)-af ( 1)],3!
3
令m=min{f ( 1),f ( 2)},并且-a>0,则
f(x)=
arctan-x
有
333333
m(b-a) bf ( 2)-af ( 1) M(b-a)。因为f(x)在[a,b]上连续。据介值定理知存在 ,使得,
bf ( 2)-af ( 1)
=f ( ),
b-a所以
3
3
34
xx-x+o(x)
=
356
x-x+x+o(x)-x3!5!2=x+o(x),
+
由于lim=1,故f(x)是(x 0)的一+3xx 0
-x11
阶无穷大量,而dx发散,故dx也
0x0arctanx-x
a
b
f(x)dx=bf(b)-af(a)-
2
[bf (b)-2!
233
af (a)]+[b-a]f ( )。
3!
注:在定积分证明方面,泰勒公式特别适用于被
发散。
3.4 在定积分证明方面的应用
例5 设f(x)在[a,b]上二阶连续可微,其中a
证明 令F(x)=
f(t)dt,将F(x)在x=
ax
3
b
积函数具有二阶或二阶以上连续导数的命题,主要通过作辅助函数,在所需点处进行泰勒展开并对余项作适当处理。
3.5 在不等式证明方面的应用
如果函数f(x)的二阶及二阶以上导数存在且有界,利用泰勒公式去证明这些不等式。一般的证明思路:( )写出比最高阶导数低一阶的泰勒展开式。( )恰当选择等式两边的x与x0。( )根据最高阶导数的大小对展开式进行放缩。
例6 设f(x)在[a,b]上具有二阶导数,且f (a)=f (b)=0,试证:在(a,b)内至少存在一点
4f(b)-f(a)
,使f ( ) 。(b-a)
证明 因为f(x)在[a,b]上具有二阶导数,所以f(x)在x0处一阶泰勒公式成立:
f(x)=f(x0)+f (x0)(x-x0)+
(x-x0)
2
223[bf (b)-af (a)]+(b2!3!
t(a t b)处展成二阶泰勒公式,
2F(x)=F(t)+F (x-t)+2!F (x-t)+
3F(3)( )(x-t),
3!
其中 在x,t之间,
即F(x)=F(t)+f(t)(x-t)+2!f (t)(x-t)+3!f ( )(x-t)
2
3
( )2!
(6)
(3)
其中 在x与x0之间,x0 [a,b]。在(6)中令x0=a,x=f2
,有2
=f(a)+f (a)-a+
2
f ( 1)-a,2!2=0,所以
2
=f(a)+ ( 1),
2!2
a 1 (7)
2
令x=0,t=a则由(3)可得,
2
F(0)=F(a)+f(a)(-a)+2!f (a)a+
3 ( 1)(-a)3!
令x=0,t=b则由(3)可得,F(0)=F(b)+f(b)(-b)+
3f ( 2)(-b)3!
由(4)-(5)得,
2
f (b)b+2!
(5)(4)
又f (a)f
2
2010年4月廊坊师范学院学报(自然科学版)第10卷 第2期
(n)
在(6)中令x0=b,x=,又f (b)=0,
2
2
所以f=f(a)+f ( ,2)22!2
(8)2 b2
(8)-(7)并取绝对值,则
2
f(b)-f(a)=(b-a)f ( 2)-f ( 1)
8
Dn(b)n
(x-b)+ +(x-b),
n!
bbb bcbb b
2
这里Dn=
ccb b=b(b-c) ccc b
下面求行列式函数Dn(x)的各阶导数,
1c c
b00x c
0b c
0b+ xxbbcxb 0
(n)
n-1
。
2
8(b-a)(f ( 2)+b,则
f ( )
f ( 1)),
D n(x)=
取f ( )=max{f ( 1),f ( 2)},a
。
(b-a)
x0
b1b0
注:泰勒公式有时要结合其它知识一起使用,如要证明的不等式中含有积分符号时,一般利用定积分的性质综合使用泰勒公式进行证明。当所要证明的不等式含有多项式和初等函数的混合式时,不妨做一个辅助函数并利用泰勒公式代替,往往能使证明更加简洁。对泰勒公式巧妙,合理的运用,可以解决一些其它方法较难解决的问题。
3.6 在行列式计算方面的应用
在代数学中,有关利用代数知识计算行列式的方法很多,但应用微积分学的方法计算行列式的极为少见。下面介绍利用泰勒展开式计算行列式。利用泰勒公式计算行列式的一般思路:( )根据所求行列式的特点,构造相应的行列式函数。( )把这个行列式函数按泰勒公式在某点展开。( )求出行列式函数的各阶导数值。
例7 求n阶行列式的值
acc c
bac cx
bba cb
bbx c
bbb。 a
bbb, x
ccc x=nDn-1(x),
(n-1)
+ +
bb 1
类似地D n(x)=D n-1(x), ,Dn(x)=Dn-1(x),递推关系还可推出D n-1(x)=(n-1)Dn-2(x), ,D 2(x)=2D1(x),D1(x)=1(因Dn(x)=x),则有
D n(b)=nDn-1(b)=nb(b-c)
n-3
n-2
,
D n(b)=nD n-1(b)=n(n-1)Dn-2(b)=n(n-1)b(b-c),
D n(b)=nD n-1(b)=n(n-1)D n-2(b)
=n(n-2)Dn-3(b)=n(n-1)(n-2)b(b-c)
DnD
(n-1)
n-4
,
(b)=n(n-1) 2D1(b)
(n)
n
=n(n-1) 2b,(b)=n!。
n-1
Dn=
代入Dn(x)在x=b的泰勒展开式:Dn(x)=b(b-c)
n-3
+
1!
n-2
(x-b)+
解 把行列式Dn看作x的函数,cx
Dn(x)=cc
cc
则Dn=Dn(a)。
2(x-b)+ +
2!(n-1)!n-1n
(x-b)+(x-b)。
若b=c则
n-1n
Dn(x)=0+0+ +nb(x-b)+(x-b)=(x-b)[x+(n-1)b],
若b c则
nn-1
Dn(x)=(b-c)+(b-c)(x-b)
b-c1!n-22+(b-c)(x-b)+
2!
n-1
将Dn(x)在x=b按泰勒公式展开Dn(x)=Dn(b)+D n(x)D n(x)
(x-b)+1!2!
第10卷 第2期
n
潘劲松:泰勒公式的证明及应用2010年4月
n
(b-c)b-c
bncn
=[(b-c)+(x-b)]-(x-b)b-cb-c
nn
=。
(b-c)令x=a得
+(x-b)
-(a-b)
Dn=
[a+(n-1)b],b=c
n
。,b cb-c
nn-1
注:只要行列式函数的各阶导数较易计算,则应
用泰勒公式计算行列式就便利。3.7 在证明中值公式方面的应用
例8 设f(x)在[a,b]上有二阶导数,试证: c (a,b),使得
b
f(x)dx=(b-a)fa
3
+f (c)(b-a)(9)224
证明 记x0=,2
泰勒展开式f(x)=f(x0)+f (x0)(x-x0)+12 ( 0)(x-x0),2
在两端同时取[a,b]上的积分,注意右端第二项积分为0,第三项的积分由于导数有界值性,第一积分中值定理成立,使得
-=f(a)=F(a),
22
2
所以0 F(c)-F(a)=F ( )(c-a),
2
(a,c),故F ( ) 0。即
f ( ) f ( ) k=f(b)-f(a)。
(b-a)( )若f(c) ,可作F(x)=
2
2
f(x)+(x-b)类似可证。
2
3.9 在关于界的估计方面的应用
例10 设f(x)在[0,1]上二阶可数,当0 x 1时f(x) 1,f (x)
证明 因为
2
f(1)=f(x)+f (x)(1-x)+f ( )(1-x),
2
2f(0)=f(x)+f (x)(-1)+2f ( )(-x),
所以有
22
f(1)-f(0)=f (x)+f ( )(1-x)- ( )x,
22
2
f (x) f(1)+f(0)+f ( )(1-x)+
2
222
f ( )x 2+(1-x)+x 2+1=3。2
a
b
f ( )(x-x0)dx=f (c)
2
a
b
(x-x0)dx=
2
3
(c)(b-a),12
从而可知(9)式成立。
3.8 在导数中值估计方面的应用
例9 若f(x)在[a,b]上有二阶导数,f (a)=f (b)=0,试证: (a,b),使得
f ( ) f(a)-f(b)。
(b-a)
证明(采用辅助函数)设f(a)
f(a)+f(b)
( )若f(c) ,做辅助函数
2
2
F(x)=f(x)-(x-a),
2
以上几种具体而实用的方法,是对泰勒公式做了一个推广,使之内涵更加具体化,而且对解决某些具体问题有较大的帮助。
[参考文献]
[1]余力,刘三阳.带皮亚诺型余项的泰勒公式及其应用
[J].高等数学研究,2003,(6):15-17.
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育学院学报,2001,(6):57-59.
[3]张云艳.Taylor公式的应用补遗[J].洛阳师范学院学报,
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南教育出版社,2006:161-167.[9]DaleVarberg,EdwinJ.Purcell、StevenE.Rigdon,Calculus
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[10]E.B.Saff、A.D.Snider,FundamentalsofComplexAnalysis
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k=4,
(b-a)
(只要证明 (a,b),使得F (x) 0即可。)
因F (a)=0,F(c)=f(c)-
24
2
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摘 要 泰勒公式集中体现了微积分 逼近法 的精髓,在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。在现行教材对泰勒公式证明基础上,介绍泰勒公式的一种新的更为简单的证明方法,并归纳了其在求极限与导数、判定级数与广义积分敛散性、不等式证明、定积分证明,行列式计算与中值公式、导数的中值估计、界的估计等方面的应用。 关键词 泰勒公式;证明;应用
TheProofofTaylorFormulaandItsApplication
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Abstract Taylorformulaistheembodimentof approximatioss ofcalculousandhasimportantapplicationsinvariousaspects
ofcalculus.ThispaperintroducesasimplernewmethodofproofofTaylorformulaonthebasisoftheorems,whichhavebeenstatedincurrentgeneraltextbooks,anditsproofs.InviewofextensiveuseofTaylorformulainanalysisandstudyofproblemsinmath-ematicalanalysisandsolutionsofpracticalapplications,thepaperhavegeneralizedapplicationsinnineaspectswhichincludelimitanddifferentialcoefficientcalculation,judgementofconvergenceanddivergenceofprogressionandimproperintegral,proofofine-quality,proofofdefiniteintegral,determinantcalculationandmean-valueformula,mean-valueestimateofderivative,boundaryes-timate,andillustratedrelevanttechniquesofapplications. Keywords TaylorFormula;prove;application
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1 预备知识
1.1 带有Peano型余项的泰勒公式
函数f(x)在[a,b]上具有n阶导数,则 x [a,b]有
(2)
f(a)
f(x)=f(a)+f (a)(x-a)+(x-2!
(n)
2na)+ +(x-a)+Rn(x)(1)
n!
n
其中 Rn(x)=o((x-a)),
即 xlim x
Rn(x)=
f
(n+1)
(x0+ (x-x0))n+1
(x-x0),n!
(0
(n+1)f(x0+ (x-x0))
形如Rn(x)=(x-n!x0)
n+1
的余项称为Lagrange型余项。
在式中,令x0=0,得到f(x)在x=0点的泰勒公式
f(x)=f(0)+f (x)(x)+ +
n
(x)+Rn(x)n!
称之为麦克劳林公式(Maclaurin公式)。1.3 常见的Maclaurin公式
35xxn-1
( )sinx=x-+- +(-1)3!5!
2n+12n+2
+o(x);
(2n+1)!
246n
( )cosx=1-+-+ +(-1)2!4!6!
2n2n
+o(x);(2n)!
(n)
Rn(x)
=0。
(x-x0)
1.2 带有Lagrange型余项的泰勒公式
函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到n+1阶导数,则对 x (a,b)有
(2)
f(x0)2
f(x)=f(x0)+f (x0)(x-x0)+(x-x0)
2!
(n)
f(x0)n
+ +(x-x0)+Rn(x)(2)
n!其中
[收稿日期] 2010-02-06
[作者简介] 潘劲松(1968-),男,湖南机电职业技术学院副教授,硕士,研究方向:高等数学教学、高职教育管理。
第10卷 第2期
2
3
潘劲松:泰勒公式的证明及应用2010年4月
n
( )ln(1+x)=x-+- +(-1)23n+1
+o(x);n+1
2nn
( )=1+x+x+ +x+o(x);
1-x
mm(m-1)2
( )(1+x)=1+mx+x+ +
2!
nn
x+o(x)。
n!
n
上述展开式中的符号o(x)表示当x 0时,它是一个较x高阶的无穷小,即有lim=0。x 0x
n
n
n+1
+ +
(x0)n
(x-x0)+Rn(x),n!
n+1n+1
A(x-x0)B(x-x0)
其中Rn(x)介于和之
(n+1)!(n+1)!间。
特别地,若记M=max{A,B},则
n+1
x-x0
Rn(x) 。
(n+1)!
(n+1)(n+1)
证明 由于f(x)连续,必有A f(x) B,
令Rn(x)=f(x)-[f(x0)+f (x0)(x-x0)+f
(2)
f
(n)
2 泰勒公式的证明
两种余项的泰勒公式所表达的根本思想就是怎样用多项式来逼近函数。公式(1)非普通的等式,而是反映了极限性质的渐进等式,因此公式(1)在求极限时很有用处,对余项可以提供充分小量的估计。公式(2)的余项有确定表达式,当然也有不确定因素,即有中值,但不妨碍定理的使用,为近似计算的误差估计提供了理论依据。
引理2.1 f(x)在[a,b]上可导,且f (x) 0,则f(x) f(a),x [a,b]。
推论2.2 f(x)和g(x)在[a,b]上可导,且f (x) g (x),则f(x)-f(a) g(x)-g(a),x [a,b]。
特别的f(a)=g(a)=0,则有f(x) f(a),x [a,b]。
引理2.3 f(x)在[a,b]上可导,且有
(k)
( )f(a)=0,k=0,1, ,n-1;
( )m f(a) M,x [a,b],
nn
则有 f(x) 。
n!n!
证明 对n用数学归纳法证明,当n=0时,显然成立。若已有
n
f (x) n!
n!
n
(n)
(x0)2f
(x-x0)+ +2!
(k)
(n)
(x0)n
(x-x0)],n!
(x) B,
n+1
则有( )Rn(x0)=0,k=0,1, ,n;( )A Rn
(n+1)
(x)=f
(n+1)
Mx-x0
由引理2.3,有Rn(x) ,M=
(n+1)!
max{A,B}。
n+1
x-x0
注:由Rn(x) ,有Rn(x)=
(n+1)!o((x-x0)),x x0,
因此,(2)式可以看成定理2.4的一个推论。
n
3 泰勒公式的应用
3.1 在极限和导数方面的应用
洛比达法则所肯定的结论可以在特殊的条件下,用泰勒公式展开式推导出来,所以可以利用已知函数的泰勒公式求未定式的极限。
例1 计算lim。x 0tanx-sinx
解 此题是 型,但用洛比达法则很难求
出,不难验证tan(tanx)和sin(sinx)都在o(0, )内三阶可微。
33
因为 sinx=x-3!x+o(x),
,
tanx=x+tanx-sinx=
33
x+o(x),3!
由推论2.2得
nn
f(x) 。
n!n!
定理2.4 若函数f(x)在[a,b]上n+1阶连续可导,则存在A和B,使得[a,b]中任意x0和x,有下式成立
f(x)=f(x0)+f (x0)(x-x0)+
f
(2)
3333
+x+o(x)=x+o(x),3!3!3
从而可见分母tanx-sinx是3的3阶无穷小,故
3
写出的分子上各函数三阶泰勒展开式,关于x较高阶的无穷小可省略去。又
33
sin(sinx)=sinx-x+o(x)3!33
=x-x-x-x
3!3!3!
(x0)2
(x-x0)2!
3
+o(x)3
2010年4月廊坊师范学院学报(自然科学版)第10卷 第2期
33x+o(x),3
33
tan(tanx)=tanx+x+o(x)
3!33
=x+x+o(x),
3
33
所以tan(tanx)-sin(sinx)=x+o(x),
33x+o(x)
从而原式lim=3。x 033
x+o(x)3
(n)
例2 设y=arccotx,求y(0)。
2
解 y =(arccotx) =-=-(1-x+1+x
46n2n
x-+ +(-1)x),x
=x-y=-131517n12n+1
x-x+x-x+ +(-1)x3572n+1
考虑以下情况:
+
( )若p=2,此时=+ 。
n=1
收敛,但是liman
n + n
nan收敛,但是nlim= + n
n的敛散性,为了有效的
+
( )若p=1,此时
n
n=1
0。这里我们无法判定
n
n=1
a
n
中的p的值,可以应用泰勒公式研究选n=1n
项an 0(n + )的阶,据此选取恰当的p的值,选取
an
使nlim + 1=l,并且保证0
n别法(极限形式)就可以判定举例说明。
+
n=1
=-x+
357n+1x-x+x- +(-1)
357
2n+1x,x
又f(x)在x=0处的麦克劳林展开式为y= (n)
n
f(x)= n!x,n=0从而可得f(0)=0,f(0)=(2k+1)!
k+1
(-1)k+1
=(-1)(2k)!。
2k+1
注:因为对于函数多项式或有理分式的极限问题的计算是十分简单的,因此,对一些较复杂的函数可以根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或有理分式的极限问题,因此满足下列情况时可考虑用泰勒公式来求极限:
( )用洛比达法则时,次数较多,且求导及化简过程较繁。
( )分子或分母中有无穷小的差,且此差不容易转化为等价无穷小替代形式。
( )所遇到的函数展开为泰勒公式不难。当确定了要用泰勒公式求极限时,关键是确定展开的阶数。如果分母(或分子)是n阶,就将分子(或分母)展开为n阶麦克劳林公式。如果分子,分母都需要展开,可分别展开到其同阶无穷小的阶数,即合并后的首个非零项的幂次的次数。3.2 在判定级数敛散性方面的应用
在级数敛散性理论中,要判断一个正项级数nn
bn= (p>0),可由比较判别法来判定,那n=1n=1n
么在实际应用中较困难的问题是如何选取恰当的
(p>0)中p的值?n=1n(2k)
(2k+1)
a
n
的敛散性,下面
例3 判定级数
+
n=1
an=
1n
-1+
1n
n=1
的敛散性。
解 利用泰勒公式展开有
an==
1-n
-+onn2n
1
-1-+o2nnnn
=-1-+o
4n2nnn
3
-3-=n+on,
4
=,即a 0(n + )时是故有nlimn- + 4n+ +
阶,与 an=同敛散性,所以 an收敛。24n=1n=1n
注:利用泰勒公式研究序列无穷小量an的阶,,p>0)去比较,有的放矢的求n
出p值,再求出极限值,则可顺利解决问题。3.3 在判定广义积分敛散性方面的应用然后与恰当bn(如
在判定广义积分选取广义积分
+ a
1
a
+
f(x)dx敛散性时,通常
dx(p>0)进行比较,在此通常ax
研究无穷小量f(x)(x + )的阶来有效地选择
+
f(x)dx中的p的值,从而判定敛散性。(注
第10卷 第2期潘劲松:泰勒公式的证明及应用2010年4月
意到:如果
a
+
f(x)dx收敛,则
a
+
f(x)dx收敛。)
F(b)-F(a)=bf(b)-af(a)--f (a)a]+
2
2
[f (b)b2!
例4 广义积分
1
dx是否收敛?
arctanx-x
34
解 因为sinx=x-x+o(x),
3!
33[bf ( 2)-af ( 1)],3!
3
令m=min{f ( 1),f ( 2)},并且-a>0,则
f(x)=
arctan-x
有
333333
m(b-a) bf ( 2)-af ( 1) M(b-a)。因为f(x)在[a,b]上连续。据介值定理知存在 ,使得,
bf ( 2)-af ( 1)
=f ( ),
b-a所以
3
3
34
xx-x+o(x)
=
356
x-x+x+o(x)-x3!5!2=x+o(x),
+
由于lim=1,故f(x)是(x 0)的一+3xx 0
-x11
阶无穷大量,而dx发散,故dx也
0x0arctanx-x
a
b
f(x)dx=bf(b)-af(a)-
2
[bf (b)-2!
233
af (a)]+[b-a]f ( )。
3!
注:在定积分证明方面,泰勒公式特别适用于被
发散。
3.4 在定积分证明方面的应用
例5 设f(x)在[a,b]上二阶连续可微,其中a
证明 令F(x)=
f(t)dt,将F(x)在x=
ax
3
b
积函数具有二阶或二阶以上连续导数的命题,主要通过作辅助函数,在所需点处进行泰勒展开并对余项作适当处理。
3.5 在不等式证明方面的应用
如果函数f(x)的二阶及二阶以上导数存在且有界,利用泰勒公式去证明这些不等式。一般的证明思路:( )写出比最高阶导数低一阶的泰勒展开式。( )恰当选择等式两边的x与x0。( )根据最高阶导数的大小对展开式进行放缩。
例6 设f(x)在[a,b]上具有二阶导数,且f (a)=f (b)=0,试证:在(a,b)内至少存在一点
4f(b)-f(a)
,使f ( ) 。(b-a)
证明 因为f(x)在[a,b]上具有二阶导数,所以f(x)在x0处一阶泰勒公式成立:
f(x)=f(x0)+f (x0)(x-x0)+
(x-x0)
2
223[bf (b)-af (a)]+(b2!3!
t(a t b)处展成二阶泰勒公式,
2F(x)=F(t)+F (x-t)+2!F (x-t)+
3F(3)( )(x-t),
3!
其中 在x,t之间,
即F(x)=F(t)+f(t)(x-t)+2!f (t)(x-t)+3!f ( )(x-t)
2
3
( )2!
(6)
(3)
其中 在x与x0之间,x0 [a,b]。在(6)中令x0=a,x=f2
,有2
=f(a)+f (a)-a+
2
f ( 1)-a,2!2=0,所以
2
=f(a)+ ( 1),
2!2
a 1 (7)
2
令x=0,t=a则由(3)可得,
2
F(0)=F(a)+f(a)(-a)+2!f (a)a+
3 ( 1)(-a)3!
令x=0,t=b则由(3)可得,F(0)=F(b)+f(b)(-b)+
3f ( 2)(-b)3!
由(4)-(5)得,
2
f (b)b+2!
(5)(4)
又f (a)f
2
2010年4月廊坊师范学院学报(自然科学版)第10卷 第2期
(n)
在(6)中令x0=b,x=,又f (b)=0,
2
2
所以f=f(a)+f ( ,2)22!2
(8)2 b2
(8)-(7)并取绝对值,则
2
f(b)-f(a)=(b-a)f ( 2)-f ( 1)
8
Dn(b)n
(x-b)+ +(x-b),
n!
bbb bcbb b
2
这里Dn=
ccb b=b(b-c) ccc b
下面求行列式函数Dn(x)的各阶导数,
1c c
b00x c
0b c
0b+ xxbbcxb 0
(n)
n-1
。
2
8(b-a)(f ( 2)+b,则
f ( )
f ( 1)),
D n(x)=
取f ( )=max{f ( 1),f ( 2)},a
。
(b-a)
x0
b1b0
注:泰勒公式有时要结合其它知识一起使用,如要证明的不等式中含有积分符号时,一般利用定积分的性质综合使用泰勒公式进行证明。当所要证明的不等式含有多项式和初等函数的混合式时,不妨做一个辅助函数并利用泰勒公式代替,往往能使证明更加简洁。对泰勒公式巧妙,合理的运用,可以解决一些其它方法较难解决的问题。
3.6 在行列式计算方面的应用
在代数学中,有关利用代数知识计算行列式的方法很多,但应用微积分学的方法计算行列式的极为少见。下面介绍利用泰勒展开式计算行列式。利用泰勒公式计算行列式的一般思路:( )根据所求行列式的特点,构造相应的行列式函数。( )把这个行列式函数按泰勒公式在某点展开。( )求出行列式函数的各阶导数值。
例7 求n阶行列式的值
acc c
bac cx
bba cb
bbx c
bbb。 a
bbb, x
ccc x=nDn-1(x),
(n-1)
+ +
bb 1
类似地D n(x)=D n-1(x), ,Dn(x)=Dn-1(x),递推关系还可推出D n-1(x)=(n-1)Dn-2(x), ,D 2(x)=2D1(x),D1(x)=1(因Dn(x)=x),则有
D n(b)=nDn-1(b)=nb(b-c)
n-3
n-2
,
D n(b)=nD n-1(b)=n(n-1)Dn-2(b)=n(n-1)b(b-c),
D n(b)=nD n-1(b)=n(n-1)D n-2(b)
=n(n-2)Dn-3(b)=n(n-1)(n-2)b(b-c)
DnD
(n-1)
n-4
,
(b)=n(n-1) 2D1(b)
(n)
n
=n(n-1) 2b,(b)=n!。
n-1
Dn=
代入Dn(x)在x=b的泰勒展开式:Dn(x)=b(b-c)
n-3
+
1!
n-2
(x-b)+
解 把行列式Dn看作x的函数,cx
Dn(x)=cc
cc
则Dn=Dn(a)。
2(x-b)+ +
2!(n-1)!n-1n
(x-b)+(x-b)。
若b=c则
n-1n
Dn(x)=0+0+ +nb(x-b)+(x-b)=(x-b)[x+(n-1)b],
若b c则
nn-1
Dn(x)=(b-c)+(b-c)(x-b)
b-c1!n-22+(b-c)(x-b)+
2!
n-1
将Dn(x)在x=b按泰勒公式展开Dn(x)=Dn(b)+D n(x)D n(x)
(x-b)+1!2!
第10卷 第2期
n
潘劲松:泰勒公式的证明及应用2010年4月
n
(b-c)b-c
bncn
=[(b-c)+(x-b)]-(x-b)b-cb-c
nn
=。
(b-c)令x=a得
+(x-b)
-(a-b)
Dn=
[a+(n-1)b],b=c
n
。,b cb-c
nn-1
注:只要行列式函数的各阶导数较易计算,则应
用泰勒公式计算行列式就便利。3.7 在证明中值公式方面的应用
例8 设f(x)在[a,b]上有二阶导数,试证: c (a,b),使得
b
f(x)dx=(b-a)fa
3
+f (c)(b-a)(9)224
证明 记x0=,2
泰勒展开式f(x)=f(x0)+f (x0)(x-x0)+12 ( 0)(x-x0),2
在两端同时取[a,b]上的积分,注意右端第二项积分为0,第三项的积分由于导数有界值性,第一积分中值定理成立,使得
-=f(a)=F(a),
22
2
所以0 F(c)-F(a)=F ( )(c-a),
2
(a,c),故F ( ) 0。即
f ( ) f ( ) k=f(b)-f(a)。
(b-a)( )若f(c) ,可作F(x)=
2
2
f(x)+(x-b)类似可证。
2
3.9 在关于界的估计方面的应用
例10 设f(x)在[0,1]上二阶可数,当0 x 1时f(x) 1,f (x)
证明 因为
2
f(1)=f(x)+f (x)(1-x)+f ( )(1-x),
2
2f(0)=f(x)+f (x)(-1)+2f ( )(-x),
所以有
22
f(1)-f(0)=f (x)+f ( )(1-x)- ( )x,
22
2
f (x) f(1)+f(0)+f ( )(1-x)+
2
222
f ( )x 2+(1-x)+x 2+1=3。2
a
b
f ( )(x-x0)dx=f (c)
2
a
b
(x-x0)dx=
2
3
(c)(b-a),12
从而可知(9)式成立。
3.8 在导数中值估计方面的应用
例9 若f(x)在[a,b]上有二阶导数,f (a)=f (b)=0,试证: (a,b),使得
f ( ) f(a)-f(b)。
(b-a)
证明(采用辅助函数)设f(a)
f(a)+f(b)
( )若f(c) ,做辅助函数
2
2
F(x)=f(x)-(x-a),
2
以上几种具体而实用的方法,是对泰勒公式做了一个推广,使之内涵更加具体化,而且对解决某些具体问题有较大的帮助。
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k=4,
(b-a)
(只要证明 (a,b),使得F (x) 0即可。)
因F (a)=0,F(c)=f(c)-
24
2