一、绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ︱a ︱=⎨
⎧a (a ≥0)
⎩-a (a
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：a -b 表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． ︱x ︱a⇔ xa
例. 解不等式：(1)x -1
作业：1．填空：（1）若x =5，则x =_________；若x =-4，则x =_________. （2）如果a +b =5，且a =-1，则b ＝________；若-c =2，则c ＝________. 2．选择题：下列叙述正确的是（ ）
（A ）若a =b ，则a =b （B ）若a >b ，则a >b （C ）若a
二、因式分解
因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法。 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 (a +b )(a -b ) =a 2-b 2； （2）完全平方公式 (a ±b ) 2=a 2±2ab +b 2． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 (a +b )(a -ab +b ) =a +b ； （2）立方差公式 (a -b )(a +ab +b ) =a -b ；
（3）三数和平方公式 (a +b +c ) =a +b +c +2(ab +bc +ac ) ； （4）两数和立方公式 (a +b ) =a +3a b +3ab +b ； （5）两数差立方公式 (a -b ) =a -3a b +3ab -b ． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 1．提取公因式法与分组分解法、公式法 例1 分解因式：
（1）2（y －x ）2+3（x －y ）（2）mn （m －n ）－m （n －m ）2
3
3
2
2
3
3
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
3
3
（3）9-x 2-y 2+2xy （4）a 2+4ab +4b 2-2a -4b （5）x -x y -xy +y
2．十字相乘法 例2 分解因式：
（1）x －3x ＋2； （2）x ＋4x －12； （3）x -(a +b ) xy +aby ； （4）6x +xy -2y
2
2
3223
（6）(a +b )(a -1) -ab -b 2
2222
解：（1）如图1．2－1，将二次项x 分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中
2
的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x －3x ＋2中的一次项，所以，有 x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2) ．
2
1 x x 1 －2 －1 －ay －1
1 x x 1 6 －2 －by －2
图1．2－3 图1．2－1 图1．2－4 图1．2－2
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．
2
（2）由图1．2－3，得x ＋4x －12＝(x －2)(x ＋6) ．
（3）由图1．2－4，得 x 2-(a +b ) xy +aby 2＝(x -ay )(x -by ) *例3 因式分解：（双十字相乘法）
(1)x 2+2xy -8y 2+2x +14y -3(2)x 2-3xy -10y 2+x +9y -2 (3)4x 2+2xy -2y 2+4x +7y -3
2
3．关于x 的二次三项式ax +bx +c (a ≠0)的因式分解．（求根法）
若关于x 的方程ax +bx +c =0(a ≠0) 的两个实数根是x 1、x 2，则二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0) 就可分解为
2
a (x -x 1)(x -x 2) .
例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：
2
（1）x +2x -1； （2）x 2+4xy -4y 2．
练习:1．选择题：
（1）多项式2x 2-xy -15y 2的一个因式为 （ ） （A ）2x -5y （B ）x -3y （C ）x +3y （D ）x -5y
1
mx +k 是一个完全平方式，则k 等于 （ ） 2
121212
（A ）m 2 （B ）m （C ）m （D ）m
4163
121211
2．填空： （1）a -b =(b +a ) （ ）；
9423
22
（2）(4m + ) =16m +4m +( ) ；
2
（2）若x +
(3 ) (a +2b -c ) =a +4b +c +( ) ． 3．分解因式：
（1）5（x －y ）+10（y －x ）
3
2
2222
（2）(c +ab )-(a +b )·c 2
2
2
2
（3）2x (x -y )-x 2(x -y )+xy (y -x ) （4-32a 4
332
（5）8a －b ； （6）x ＋6x ＋8；
422
a 2
（7）4(x -y +1) +y (y -2x ) （8）4x 4-13x 2+9；
(9) 20a 4-33a 2b 2+7b 4； (10)(x 2-5x ) 2+10(x 2-5x ) -96；
*（11）3x 2+5xy -2y 2+x +9y -4．*（12）2x 2+xy -y 2-4x +5y -6．
4．在实数范围内因式分解：
（1）x 2-5x +3 ； （2
）x --3；
（3）3x 2+4xy -y 2； n（4）(x 2-2x ) 2-7(x 2-2x ) +12．
22
5．分解因式：x ＋x －(a －a ) ．
三、二次根式
一般地，
a ≥0) 的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如
2
3a
2b
2+
a =a
2
x +
1，x 2+
y 2
分母有理化 把分母中的根号化去，叫做分母有理化．为了进行分母有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，
一般地，
b 与b 互为有
理化因式．
分母有理化的方法是：分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程 例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1
a ≥0) = （2
x
例2
(3=
例3 试比较下列各组数的大小： （1
（2
例4
化简：+2004⋅2005
例 5 化简：（1
（2
作业：1．填空：（1
__ ___；
（2
=(x -x 的取值范围是；
（3
）=__ ___； （4
）若x =
= 成立的条件是（ ） （A ）x ≠2 （B ）x >0 （C ）x >2 （D ）0
2
3．比较大小：2
4（填“＞”，或“＜”）．
=4
．若b =a +b 的值．
四、分式
1．分式的意义
A A A A A ⨯M 的式子，若B 中含有字母，且B ≠0，则称为分式．当M ≠0时，分式具有下列性质：=；
B B ⨯M B B B
A A ÷M =．上述性质被称为分式的基本性质． B B ÷M
a
m +n +p
2．繁分式：像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
c +d
n +p
5x +4A B
=+例1 若，求常数A , B 的值．
x (x +2) x x +2
形如
111
=-（其中n 是正整数）
n (n +1) n n +1
111+++计算：的值； 1⨯22⨯39⨯10
例2 （1）利用等式
（2）证明：对任意大于1的正整数n ， 有
例3 设e =
1111
++... +
c
，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值． a
2x -y 2x
=，则＝（ ） x +y 3y
546
（A ）１ （B ） （C ） （D ）
455
x -y 22
2．正数x , y 满足x -y =2xy ，求的值．
x +y
作业：1．选择题：若 3．利用
11111111
+++... +=(-) （n 为正整数）计算的值． 1⨯32⨯43⨯58⨯10n (n +2) 2n n +2
五、一元二次方程
（一）根的判别式 对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），令△=b 2－4ac
（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根 x 1，2
b
（2）当△= 0时，方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－
2a
（3）当△＜0时，方程没有实数根．
例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1) ＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0．
（五）根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0
）有两个实数根x 1=
，x 2=
，则有
-b +-b -2
b b
x 1+x 2=+==-；
a a
2
b 2-(b -4ac ) 4ac c
x 1x 2===2=． 2
4a 4a a
2
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1
＋x 2＝-
b c
，x 1·x 2＝．这一关系也被称为韦达定理． a a
2
特别地，以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
2
x －(x 1＋x 2) x ＋x 1·x 2＝0．
例1 已知方程5x +kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．
例2 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2) x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．
例3 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
例4 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．
（1）求| x1－x 2|的值； （2）求
1133
的值； （3）x ＋x ． +
1222
x 1x 2
例5 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．
作业：1．选择题：（1）方程x -+3k =0的根的情况是（ ） （A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根
（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1) x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）
2
2
1111
（B ）m ＞－ （C ）m ＜，且m ≠0 （D ）m ＞－，且m ≠0 4444
11
2．填空:（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则+＝．
x 1x 2
（A ）m ＜
（2）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
3
|b -1|=0，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？
4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x2－3) 的值．
5．关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x1－x 2|＝2，求实数m 的值．
七、二次函数
1、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质
b 24ac -b 2
) +二次函数y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)=a (x +的图像是抛物线，并且具有下列性质： 2a 4a
b b b 4ac -b 2
, ) ，对称轴为直线x ＝－；当x ＜-时，y 随着（1）当a ＞0时，抛物线开口向上；顶点坐标为(-
2a 2a 2a 4a
b b 4ac -b 2
x 的增大而减小；当x ＞-时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝-时，函数取最小值y ＝．
2a 2a 4a
b b b 4ac -b 2
, ) ，对称轴为直线x ＝－；当x ＜-时，y 随着（2）当a ＜0时，抛物线开口向下；顶点坐标为(-
2a 2a 2a 4a
b b 4ac -b 2
x 的增大而增大；当x ＞-时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝-时，函数取最大值y ＝．
2a 2a 4a
2
例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，
y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
例2 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．
作业：1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）
（A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2 （C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x （2）函数y ＝2(x －1) 2＋2是将函数y ＝2x 2 （ ）
（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题
（1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2) ，则m ＝ ，n ＝ ．
（2）函数y ＝－3(x ＋2) 2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x ＝ 时，函数取最 值y ＝ ；当x 时，y 随着x 的增大而减小．
3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象．
（1）y =x -2x -3； （2）y =1+6x -x
4．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：
（1）x ≤－2； （2）x ≤2； （3）－2≤x ≤1； （4）0≤x ≤3．
2
2
2、 二次函数的三种表示方式 1．一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；
2．顶点式：y ＝a (x ＋h ) 2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k ) ．
3．交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．
例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．
例2 已知二次函数的图象过点(－3，0) ，(1，0) ，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22) ，(0，－8) ，(2，8) ，求此二次函数的表达式．
作业：1．选择题：
（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是 （ ）
（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定
1
（2）函数y ＝－ (x ＋1) 2＋2的顶点坐标是（ ）
2
（A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2) 2．填空：二次函数y ＝－x 2x ＋1的图象与x 轴两交点之间的距离为 3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点(1，－2) ，(0，－3) ，(－1，－6) ； （2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11) ；
（3）函数图象与x 轴交于两点(12，0) 和(12，0) ，并与y 轴交于(0，－2) ．
（七）方程与不等式 1、二元二次方程组解法
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．
⎧x 2+4y 2-4=0, ⎧x +y =7,
例1 （1） 解方程组⎨（2）⎨
⎩xy =12. ⎩x -2y -2=0.
作业：1．解下列方程组:
22⎧x y
⎧y =x +5, ⎧x +y =3, =1, ⎪+
（1） ⎨2 （2） （3） 54⎨⎨2
xy =-10; x +y =625; ⎩⎩⎪y =x -3;
⎩
2、一元二次不等式解法
探讨二次函数y ＝x 2－x －6的图像、二次方程x 2－x －6=0的解以及二次不等式x 2－x －6>0、x 2－x －6
一般的，当a >0时，探讨二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像、二次方程ax 2＋bx ＋c=0的解、二次不等式ax 2＋bx ＋c0的解有怎样的关系？
一元二次不等式ax 2+bx +c >0或ax 2+bx +c
2
设相应的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根为x 1、x 2且x 1≤x 2，∆=b -4ac ，则不等式的解的各种情况如下表：
（1）x 2＋2x －3≤0； （2）x －x 2＋6＜0；
（3）4x 2＋4x ＋1≥0； （4）x 2－6x ＋9≤0； （5）－4＋x －x 2＜0．
22
例2 已知不等式ax +bx +c 3求不等式bx +ax +c >0的解．
例3 已知函数y ＝x 2－2ax ＋1(a 为常数) 在－2≤x ≤1上的最小值为n ，试将n 用a 表示出来．
作业：1．解下列不等式：（1）3x 2－x －4＞0； （2）x 2－x －12≤0；
（3）x 2＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x 2≤0．
2．解关于x 的不等式x 2－(1＋a ) x ＋a ＜0（a 为常数）．
3．关于x 的不等式ax +bx +c -
3、一元二次方程根的分布
1．关于x 的方程为x 2+(m+1)x+1=0
(1) 若方程的两实根都在( 0, +∞) 上，求实数m 的取值范围； (2) 若方程的两实根都在(
2
12
求关于x 的不等式ax -bx +c >0的解． 2
1
, +∞) 上，求实数m 的取值范围； 2
(3) 若方程的两实根都在( 0, 2)上，求实数m 的取值范围；
(4) 请归纳：一元二次方程ax 2+bx+c=0(a>0)的两实根都在同一区间[m ,n]上的等价条件，并解答： 关于x 的方程2x 2-3x+2m=0的两根都在[-1，1]上，求实数m 的取值范围．
2．已知关于x 的方程为7x 2-(a+13)x+a2-a -2=0的两个实根为α，β． (1) 若一根小于0，另一根大于0，求实数 a 的取值范围； (2) 若一根小于0，另一根大于2，求实数 a 的取值范围； (3) 若0
(4) 请归纳：一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 的两实根都在不同区间内的等价条件．
3．关于x 的方程4x +(a+4)2x +1＝0有解，求实数a 的取值范围．
作业：
1． 若关于x 的二次方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0的两根同号，则实数k 的取值范围为 （ ） （A ）(-2, 1) （B ）[-2, -1) (, 1] （C ）(-∞, -1) (, +∞) （D ）(-2, -1) (, 1)
232323
2． 已知关于x 的方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的两根异号，且负根的绝对值大于正根，则实数m 的取值范围是 （ ）
（A ）( -3, 0) （B ）( 0, 3) （C ）( -∞, -3) ∪( 0 ,+∞) （D ）( -∞, 0) ∪( 3 ,+∞) 3．求实数m 的取值范围，使关于x 的方程x 2+2(m-1)x+2m+6=0 (1) 有两个实根，且都大于1；
(2) 有两个实根，且一根小于2，另一根大于2； (3) 有两个实根α，β，且0
4．已知关于x 的方程为x 2+ (p+2)x+1=0．
（1）若方程无正根，求实数p 的取值范围；（2）若方程在(-∞, 0) 上有解，求实数p 的取值范围．
（八）平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图3.1-2，l 1//l 2//l 3，有
AB DE AB DE
==. 当然，也可以得出. 在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要BC EF AC DF
注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.
例1 如图3.1-2， l 1//l 2//l 3，且AB =2, BC =3, DF =4, 求DE , EF .
图3.1-2
例3 已知ABC ，D 在AC 上，AD :DC =2:1，能否在AB 上找到一点E ，使得线段EC 的中点在BD 上. 图3.1-4
1．如图3.1-6，l 1//l 2//l 3，下列比例式正确的是（ ） A ．
AD CE AD BC
== B ． DF BC BE AF
图3.1-6
C ．
CE AD AF BE
== D. DF BC DF CE
2．如图3.1-7，DE //BC , EF //AB , AD =5cm , DB =3cm , FC =2cm , 求BF .
3．如图，在V ABC 中，AD 是角BAC 的平分线，AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,求BD 的长.
图3.1-7 图3.1-8
三角形的“心”：
三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心. 三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.
三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心. 锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部（如图4）. 三角形的三条高交于一点.
三角形的三条边的中垂线相交于一点，是三角形的外心. 也是三角形外接圆的圆心。 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
11
一、绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ︱a ︱=⎨
⎧a (a ≥0)
⎩-a (a
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：a -b 表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． ︱x ︱a⇔ xa
例. 解不等式：(1)x -1
作业：1．填空：（1）若x =5，则x =_________；若x =-4，则x =_________. （2）如果a +b =5，且a =-1，则b ＝________；若-c =2，则c ＝________. 2．选择题：下列叙述正确的是（ ）
（A ）若a =b ，则a =b （B ）若a >b ，则a >b （C ）若a
二、因式分解
因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法。 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 (a +b )(a -b ) =a 2-b 2； （2）完全平方公式 (a ±b ) 2=a 2±2ab +b 2． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 (a +b )(a -ab +b ) =a +b ； （2）立方差公式 (a -b )(a +ab +b ) =a -b ；
（3）三数和平方公式 (a +b +c ) =a +b +c +2(ab +bc +ac ) ； （4）两数和立方公式 (a +b ) =a +3a b +3ab +b ； （5）两数差立方公式 (a -b ) =a -3a b +3ab -b ． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 1．提取公因式法与分组分解法、公式法 例1 分解因式：
（1）2（y －x ）2+3（x －y ）（2）mn （m －n ）－m （n －m ）2
3
3
2
2
3
3
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
3
3
（3）9-x 2-y 2+2xy （4）a 2+4ab +4b 2-2a -4b （5）x -x y -xy +y
2．十字相乘法 例2 分解因式：
（1）x －3x ＋2； （2）x ＋4x －12； （3）x -(a +b ) xy +aby ； （4）6x +xy -2y
2
2
3223
（6）(a +b )(a -1) -ab -b 2
2222
解：（1）如图1．2－1，将二次项x 分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中
2
的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x －3x ＋2中的一次项，所以，有 x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2) ．
2
1 x x 1 －2 －1 －ay －1
1 x x 1 6 －2 －by －2
图1．2－3 图1．2－1 图1．2－4 图1．2－2
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．
2
（2）由图1．2－3，得x ＋4x －12＝(x －2)(x ＋6) ．
（3）由图1．2－4，得 x 2-(a +b ) xy +aby 2＝(x -ay )(x -by ) *例3 因式分解：（双十字相乘法）
(1)x 2+2xy -8y 2+2x +14y -3(2)x 2-3xy -10y 2+x +9y -2 (3)4x 2+2xy -2y 2+4x +7y -3
2
3．关于x 的二次三项式ax +bx +c (a ≠0)的因式分解．（求根法）
若关于x 的方程ax +bx +c =0(a ≠0) 的两个实数根是x 1、x 2，则二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0) 就可分解为
2
a (x -x 1)(x -x 2) .
例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：
2
（1）x +2x -1； （2）x 2+4xy -4y 2．
练习:1．选择题：
（1）多项式2x 2-xy -15y 2的一个因式为 （ ） （A ）2x -5y （B ）x -3y （C ）x +3y （D ）x -5y
1
mx +k 是一个完全平方式，则k 等于 （ ） 2
121212
（A ）m 2 （B ）m （C ）m （D ）m
4163
121211
2．填空： （1）a -b =(b +a ) （ ）；
9423
22
（2）(4m + ) =16m +4m +( ) ；
2
（2）若x +
(3 ) (a +2b -c ) =a +4b +c +( ) ． 3．分解因式：
（1）5（x －y ）+10（y －x ）
3
2
2222
（2）(c +ab )-(a +b )·c 2
2
2
2
（3）2x (x -y )-x 2(x -y )+xy (y -x ) （4-32a 4
332
（5）8a －b ； （6）x ＋6x ＋8；
422
a 2
（7）4(x -y +1) +y (y -2x ) （8）4x 4-13x 2+9；
(9) 20a 4-33a 2b 2+7b 4； (10)(x 2-5x ) 2+10(x 2-5x ) -96；
*（11）3x 2+5xy -2y 2+x +9y -4．*（12）2x 2+xy -y 2-4x +5y -6．
4．在实数范围内因式分解：
（1）x 2-5x +3 ； （2
）x --3；
（3）3x 2+4xy -y 2； n（4）(x 2-2x ) 2-7(x 2-2x ) +12．
22
5．分解因式：x ＋x －(a －a ) ．
三、二次根式
一般地，
a ≥0) 的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如
2
3a
2b
2+
a =a
2
x +
1，x 2+
y 2
分母有理化 把分母中的根号化去，叫做分母有理化．为了进行分母有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，
一般地，
b 与b 互为有
理化因式．
分母有理化的方法是：分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程 例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1
a ≥0) = （2
x
例2
(3=
例3 试比较下列各组数的大小： （1
（2
例4
化简：+2004⋅2005
例 5 化简：（1
（2
作业：1．填空：（1
__ ___；
（2
=(x -x 的取值范围是；
（3
）=__ ___； （4
）若x =
= 成立的条件是（ ） （A ）x ≠2 （B ）x >0 （C ）x >2 （D ）0
2
3．比较大小：2
4（填“＞”，或“＜”）．
=4
．若b =a +b 的值．
四、分式
1．分式的意义
A A A A A ⨯M 的式子，若B 中含有字母，且B ≠0，则称为分式．当M ≠0时，分式具有下列性质：=；
B B ⨯M B B B
A A ÷M =．上述性质被称为分式的基本性质． B B ÷M
a
m +n +p
2．繁分式：像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
c +d
n +p
5x +4A B
=+例1 若，求常数A , B 的值．
x (x +2) x x +2
形如
111
=-（其中n 是正整数）
n (n +1) n n +1
111+++计算：的值； 1⨯22⨯39⨯10
例2 （1）利用等式
（2）证明：对任意大于1的正整数n ， 有
例3 设e =
1111
++... +
c
，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值． a
2x -y 2x
=，则＝（ ） x +y 3y
546
（A ）１ （B ） （C ） （D ）
455
x -y 22
2．正数x , y 满足x -y =2xy ，求的值．
x +y
作业：1．选择题：若 3．利用
11111111
+++... +=(-) （n 为正整数）计算的值． 1⨯32⨯43⨯58⨯10n (n +2) 2n n +2
五、一元二次方程
（一）根的判别式 对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），令△=b 2－4ac
（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根 x 1，2
b
（2）当△= 0时，方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－
2a
（3）当△＜0时，方程没有实数根．
例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1) ＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0．
（五）根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0
）有两个实数根x 1=
，x 2=
，则有
-b +-b -2
b b
x 1+x 2=+==-；
a a
2
b 2-(b -4ac ) 4ac c
x 1x 2===2=． 2
4a 4a a
2
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1
＋x 2＝-
b c
，x 1·x 2＝．这一关系也被称为韦达定理． a a
2
特别地，以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
2
x －(x 1＋x 2) x ＋x 1·x 2＝0．
例1 已知方程5x +kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．
例2 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2) x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．
例3 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
例4 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．
（1）求| x1－x 2|的值； （2）求
1133
的值； （3）x ＋x ． +
1222
x 1x 2
例5 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．
作业：1．选择题：（1）方程x -+3k =0的根的情况是（ ） （A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根
（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1) x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）
2
2
1111
（B ）m ＞－ （C ）m ＜，且m ≠0 （D ）m ＞－，且m ≠0 4444
11
2．填空:（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则+＝．
x 1x 2
（A ）m ＜
（2）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
3
|b -1|=0，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？
4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x2－3) 的值．
5．关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x1－x 2|＝2，求实数m 的值．
七、二次函数
1、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质
b 24ac -b 2
) +二次函数y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)=a (x +的图像是抛物线，并且具有下列性质： 2a 4a
b b b 4ac -b 2
, ) ，对称轴为直线x ＝－；当x ＜-时，y 随着（1）当a ＞0时，抛物线开口向上；顶点坐标为(-
2a 2a 2a 4a
b b 4ac -b 2
x 的增大而减小；当x ＞-时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝-时，函数取最小值y ＝．
2a 2a 4a
b b b 4ac -b 2
, ) ，对称轴为直线x ＝－；当x ＜-时，y 随着（2）当a ＜0时，抛物线开口向下；顶点坐标为(-
2a 2a 2a 4a
b b 4ac -b 2
x 的增大而增大；当x ＞-时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝-时，函数取最大值y ＝．
2a 2a 4a
2
例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，
y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
例2 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．
作业：1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）
（A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2 （C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x （2）函数y ＝2(x －1) 2＋2是将函数y ＝2x 2 （ ）
（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题
（1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2) ，则m ＝ ，n ＝ ．
（2）函数y ＝－3(x ＋2) 2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x ＝ 时，函数取最 值y ＝ ；当x 时，y 随着x 的增大而减小．
3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象．
（1）y =x -2x -3； （2）y =1+6x -x
4．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：
（1）x ≤－2； （2）x ≤2； （3）－2≤x ≤1； （4）0≤x ≤3．
2
2
2、 二次函数的三种表示方式 1．一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；
2．顶点式：y ＝a (x ＋h ) 2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k ) ．
3．交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．
例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．
例2 已知二次函数的图象过点(－3，0) ，(1，0) ，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22) ，(0，－8) ，(2，8) ，求此二次函数的表达式．
作业：1．选择题：
（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是 （ ）
（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定
1
（2）函数y ＝－ (x ＋1) 2＋2的顶点坐标是（ ）
2
（A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2) 2．填空：二次函数y ＝－x 2x ＋1的图象与x 轴两交点之间的距离为 3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点(1，－2) ，(0，－3) ，(－1，－6) ； （2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11) ；
（3）函数图象与x 轴交于两点(12，0) 和(12，0) ，并与y 轴交于(0，－2) ．
（七）方程与不等式 1、二元二次方程组解法
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．
⎧x 2+4y 2-4=0, ⎧x +y =7,
例1 （1） 解方程组⎨（2）⎨
⎩xy =12. ⎩x -2y -2=0.
作业：1．解下列方程组:
22⎧x y
⎧y =x +5, ⎧x +y =3, =1, ⎪+
（1） ⎨2 （2） （3） 54⎨⎨2
xy =-10; x +y =625; ⎩⎩⎪y =x -3;
⎩
2、一元二次不等式解法
探讨二次函数y ＝x 2－x －6的图像、二次方程x 2－x －6=0的解以及二次不等式x 2－x －6>0、x 2－x －6
一般的，当a >0时，探讨二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像、二次方程ax 2＋bx ＋c=0的解、二次不等式ax 2＋bx ＋c0的解有怎样的关系？
一元二次不等式ax 2+bx +c >0或ax 2+bx +c
2
设相应的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根为x 1、x 2且x 1≤x 2，∆=b -4ac ，则不等式的解的各种情况如下表：
（1）x 2＋2x －3≤0； （2）x －x 2＋6＜0；
（3）4x 2＋4x ＋1≥0； （4）x 2－6x ＋9≤0； （5）－4＋x －x 2＜0．
22
例2 已知不等式ax +bx +c 3求不等式bx +ax +c >0的解．
例3 已知函数y ＝x 2－2ax ＋1(a 为常数) 在－2≤x ≤1上的最小值为n ，试将n 用a 表示出来．
作业：1．解下列不等式：（1）3x 2－x －4＞0； （2）x 2－x －12≤0；
（3）x 2＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x 2≤0．
2．解关于x 的不等式x 2－(1＋a ) x ＋a ＜0（a 为常数）．
3．关于x 的不等式ax +bx +c -
3、一元二次方程根的分布
1．关于x 的方程为x 2+(m+1)x+1=0
(1) 若方程的两实根都在( 0, +∞) 上，求实数m 的取值范围； (2) 若方程的两实根都在(
2
12
求关于x 的不等式ax -bx +c >0的解． 2
1
, +∞) 上，求实数m 的取值范围； 2
(3) 若方程的两实根都在( 0, 2)上，求实数m 的取值范围；
(4) 请归纳：一元二次方程ax 2+bx+c=0(a>0)的两实根都在同一区间[m ,n]上的等价条件，并解答： 关于x 的方程2x 2-3x+2m=0的两根都在[-1，1]上，求实数m 的取值范围．
2．已知关于x 的方程为7x 2-(a+13)x+a2-a -2=0的两个实根为α，β． (1) 若一根小于0，另一根大于0，求实数 a 的取值范围； (2) 若一根小于0，另一根大于2，求实数 a 的取值范围； (3) 若0
(4) 请归纳：一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 的两实根都在不同区间内的等价条件．
3．关于x 的方程4x +(a+4)2x +1＝0有解，求实数a 的取值范围．
作业：
1． 若关于x 的二次方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0的两根同号，则实数k 的取值范围为 （ ） （A ）(-2, 1) （B ）[-2, -1) (, 1] （C ）(-∞, -1) (, +∞) （D ）(-2, -1) (, 1)
232323
2． 已知关于x 的方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的两根异号，且负根的绝对值大于正根，则实数m 的取值范围是 （ ）
（A ）( -3, 0) （B ）( 0, 3) （C ）( -∞, -3) ∪( 0 ,+∞) （D ）( -∞, 0) ∪( 3 ,+∞) 3．求实数m 的取值范围，使关于x 的方程x 2+2(m-1)x+2m+6=0 (1) 有两个实根，且都大于1；
(2) 有两个实根，且一根小于2，另一根大于2； (3) 有两个实根α，β，且0
4．已知关于x 的方程为x 2+ (p+2)x+1=0．
（1）若方程无正根，求实数p 的取值范围；（2）若方程在(-∞, 0) 上有解，求实数p 的取值范围．
（八）平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图3.1-2，l 1//l 2//l 3，有
AB DE AB DE
==. 当然，也可以得出. 在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要BC EF AC DF
注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.
例1 如图3.1-2， l 1//l 2//l 3，且AB =2, BC =3, DF =4, 求DE , EF .
图3.1-2
例3 已知ABC ，D 在AC 上，AD :DC =2:1，能否在AB 上找到一点E ，使得线段EC 的中点在BD 上. 图3.1-4
1．如图3.1-6，l 1//l 2//l 3，下列比例式正确的是（ ） A ．
AD CE AD BC
== B ． DF BC BE AF
图3.1-6
C ．
CE AD AF BE
== D. DF BC DF CE
2．如图3.1-7，DE //BC , EF //AB , AD =5cm , DB =3cm , FC =2cm , 求BF .
3．如图，在V ABC 中，AD 是角BAC 的平分线，AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,求BD 的长.
图3.1-7 图3.1-8
三角形的“心”：
三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心. 三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.
三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心. 锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部（如图4）. 三角形的三条高交于一点.
三角形的三条边的中垂线相交于一点，是三角形的外心. 也是三角形外接圆的圆心。 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
11