因式分解的定义

一、 因式分解的定义

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．

二、 因式分解的作用

在初中，我们可以接触到以下几类应用：

1．计算。利用因式分解计算，比较简捷；

2．与几何有关的应用题。

3．代数推理的需要。

三、 因式分解的方法学习探讨

（一） 提公因式法

1. 确定公因式的方法

探讨： 多项式14abx－8ab2x+2ax各项的公因式是________．

总结：要做到准确迅速地确定公因式，需考虑以下因素：

1、公因式系数是各项系数的最大公约数；

2、公因式中的字母是各项都含有的字母；

3、公因式中的字母的次数是各项相同字母的最低次幂；

4、若有某项与公因式相同时，该项保留的因式是1，而不是0；

5、第一项有负号，先把负号作为公因式的符号；

6、多项式也可能作为项的一个公因式，各项均含有的相同的多项式因式，也可把它作为一个整体提出．

练习：把下列各式分解因式：

4a2b6ab22ab

6（a–b）2–12（a–b）

x(x+y)2–x(x+y)(x–y)

a（x－y）－b（y－x）+c（x－y）;

5（m－n）2+2（n－m）3． （m－n）2（5－2m+2n）

–x4–3x2+x

2. 提出公因式时易出现的错误总结

1、提公因式时丢项

例：分解因式：4a2b6ab22ab

错解：4a2b6ab22ab=2ab（2a–3b）

2、提公因式时不完全提取

例：分解因式：6（a–b）2–12（a–b）

错解：6（a–b）2–12（a–b）=2（a–b）（3a–3b–6）

3、提取公因式后，有同类项不合并（即没有化到最简或分解彻底）

例：分解因式：x(x+y)2–x(x+y)(x–y)

错解：x(x+y)2–x(x+y)(x–y)= x(x+y)[(x+y)–(x–y)]

（二）、运用公式法：

公式： a2–b2=（a+b）（a–b）

a2–2ab+b2=（a–b）2

a2+2ab+b2=（a+b）2

探讨：1、能用平方差公式分解因式的多项式的特点

（1）在提取公因式以后的多项式一般可写成两部分，每部分都是完全平方式（数）．

（2）两部分符号相反；

（3）每部分可以是单项式，也可以是多项式；

2、能用完全平方公式分解因式的多项式的特点

（1）在提取公因式以后的多项式一般可写成三部分；

（2）其中有两部分是完全平方式（数）且它们的符号相同；

（3）另外一部分是这两个平方式（数）底数积的两倍，可以为正，也可以为负．

3. 因式分解的方法分析顺序：提公因式法——公式法

练习：1. 下列多项式中，在有理数范围内，不能用平方差公式分解因式的是[ ]

2. 分解因式:

36x236x9

9a2–4b2

–3m2n+6mn–3n

121aabb2 22

x-x5

b2-(a-b+c)2

a2(a-2b)2-9(x+y)2

反馈思考：用公式法分解因式时易出现的错误总结

1、有公因式但不提取

分解因式：36x236x9

错解：36x236x9=（6x–3）2

2、乱套公式

分解因式：9a2–4b2

错解：9a2–4b2=（3a–2b）2

3、顾此失彼

分解因式：–3m2n+6mn–3n

错解：–3m2n+6mn–3n=3n(–m2+2m–1)

4、乱去分母 分解因式：a2abb2 错解：a2abb2=a22abb2=ab2

因式分解结果小结

1．分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

2．相同的、不能再分解的多项式因式的积，要写成幂的形式。

（三）其他方法 12121212

分组分解法、添项、拆项法、待定系数法、换元法、对称式的因式分解等（初中阶段暂不作要求）

四、 完成下列各题，体会因式分解的意义

若4a4–ka2b+25b2是一个完全平方式，则k= ．

1已知x–3y=3，则x22xy3y2． 3

22006+3×22005–5×22007的值不能被下列哪个数整除 【 】

A．3 B．5 C．22006 D．22005

已知x=21，求2x2–42x+4的值．

已知x2–y2=63，x+y=9，求x与y的值．

已知多项式(a2+ka+25)–b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．

（1）写出常数k可能给定的值；

（2）针对其中一个给定的k值，写出因式分解的过程．

一、 因式分解的定义

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．

二、 因式分解的作用

在初中，我们可以接触到以下几类应用：

1．计算。利用因式分解计算，比较简捷；

2．与几何有关的应用题。

3．代数推理的需要。

三、 因式分解的方法学习探讨

（一） 提公因式法

1. 确定公因式的方法

探讨： 多项式14abx－8ab2x+2ax各项的公因式是________．

总结：要做到准确迅速地确定公因式，需考虑以下因素：

1、公因式系数是各项系数的最大公约数；

2、公因式中的字母是各项都含有的字母；

3、公因式中的字母的次数是各项相同字母的最低次幂；

4、若有某项与公因式相同时，该项保留的因式是1，而不是0；

5、第一项有负号，先把负号作为公因式的符号；

6、多项式也可能作为项的一个公因式，各项均含有的相同的多项式因式，也可把它作为一个整体提出．

练习：把下列各式分解因式：

4a2b6ab22ab

6（a–b）2–12（a–b）

x(x+y)2–x(x+y)(x–y)

a（x－y）－b（y－x）+c（x－y）;

5（m－n）2+2（n－m）3． （m－n）2（5－2m+2n）

–x4–3x2+x

2. 提出公因式时易出现的错误总结

1、提公因式时丢项

例：分解因式：4a2b6ab22ab

错解：4a2b6ab22ab=2ab（2a–3b）

2、提公因式时不完全提取

例：分解因式：6（a–b）2–12（a–b）

错解：6（a–b）2–12（a–b）=2（a–b）（3a–3b–6）

3、提取公因式后，有同类项不合并（即没有化到最简或分解彻底）

例：分解因式：x(x+y)2–x(x+y)(x–y)

错解：x(x+y)2–x(x+y)(x–y)= x(x+y)[(x+y)–(x–y)]

（二）、运用公式法：

公式： a2–b2=（a+b）（a–b）

a2–2ab+b2=（a–b）2

a2+2ab+b2=（a+b）2

探讨：1、能用平方差公式分解因式的多项式的特点

（1）在提取公因式以后的多项式一般可写成两部分，每部分都是完全平方式（数）．

（2）两部分符号相反；

（3）每部分可以是单项式，也可以是多项式；

2、能用完全平方公式分解因式的多项式的特点

（1）在提取公因式以后的多项式一般可写成三部分；

（2）其中有两部分是完全平方式（数）且它们的符号相同；

（3）另外一部分是这两个平方式（数）底数积的两倍，可以为正，也可以为负．

3. 因式分解的方法分析顺序：提公因式法——公式法

练习：1. 下列多项式中，在有理数范围内，不能用平方差公式分解因式的是[ ]

2. 分解因式:

36x236x9

9a2–4b2

–3m2n+6mn–3n

121aabb2 22

x-x5

b2-(a-b+c)2

a2(a-2b)2-9(x+y)2

反馈思考：用公式法分解因式时易出现的错误总结

1、有公因式但不提取

分解因式：36x236x9

错解：36x236x9=（6x–3）2

2、乱套公式

分解因式：9a2–4b2

错解：9a2–4b2=（3a–2b）2

3、顾此失彼

分解因式：–3m2n+6mn–3n

错解：–3m2n+6mn–3n=3n(–m2+2m–1)

4、乱去分母 分解因式：a2abb2 错解：a2abb2=a22abb2=ab2

因式分解结果小结

1．分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

2．相同的、不能再分解的多项式因式的积，要写成幂的形式。

（三）其他方法 12121212

分组分解法、添项、拆项法、待定系数法、换元法、对称式的因式分解等（初中阶段暂不作要求）

四、 完成下列各题，体会因式分解的意义

若4a4–ka2b+25b2是一个完全平方式，则k= ．

1已知x–3y=3，则x22xy3y2． 3

22006+3×22005–5×22007的值不能被下列哪个数整除 【 】

A．3 B．5 C．22006 D．22005

已知x=21，求2x2–42x+4的值．

已知x2–y2=63，x+y=9，求x与y的值．

已知多项式(a2+ka+25)–b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．

（1）写出常数k可能给定的值；

（2）针对其中一个给定的k值，写出因式分解的过程．