学科组 课 题
高二数学组 简单线性规划的应用
主备人 课 型
田光海 新授课
执教人 时 间 2012.
课时 教学 目标
（一）知识与能力 1.线性规划问题，线性规划的意义. 2.线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念. 3.线性规划问题的图解方法. （二）过程与方法 1.了解简单的线性规划问题. 2.了解线性规划的意义. 3.会用图解法解决简单的线性规划问题. （三）情感态度与价值观 让学生树立数形结合思想. 重点：用图解法解决简单的线性规划问题. 难点：准确求得线性规划问题的最优解.
教学
设想
教法学法指导：讲练结合法 教师可结合一些典型例题进行讲解，学生再通过练习来掌握用图解法解决一些较简单的 线性规划问题. 教 学 程 序 与 策 略 个性化修改
●教具准备 多媒体课件（或幻灯片） 内容：课本 P60 图 7—23 记作§7.4.2 A 过程：先分别作出 x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0 三条直线，再找出不等式组 所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）.再作直线 l0:2x+y=0. 然后，作一组与直线的平行的直线： l:2x+y=t,t∈R （或平行移动直线 l0） ，从而观察 t 值的变化.
●教学过程 Ⅰ.课题导入 上节课，咱们一起探讨了二元一次不等式表示平面区域，下面，我们再来探 讨一下如何应用其解决一些问题. Ⅱ.讲授新课 首先，请同学们来看这样一个问题.
1
x 4 y 3 设 z=2x+y，式中变量 x、y 满足下列条件 3 x 5 y 25 x 1
求 z 的最大值和最小值. 分析：从变量 x、y 所满足的条件来看，变量 x、y 所满足的每个不等式都表 示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域. (打出投影片§7.4.2 A) ［师］ （结合投影片或借助多媒体课件） 从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当 x=0，y=0 时，z=2x+y=0. 点（0，0）在直线 l0：2x+y=0 上. 作一组与直线 l0 平行的直线（或平行移动直线 l0)l:2x+y=t,t∈R. 可知，当 t 在 l0 的右上方时，直线 l 上的点（x,y)满足 2x+y＞0, 即 t＞0. 而且，直线 l 往右平移时，t 随之增大. （引导学生一起观察此规律） 在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 l 的直线中，以经过点 A （5，2）的直线 l2 所对应的 t 最大，以经过点 B（1，1）的直线 l1 所对应的 t 最 小. 所以：zmax=2×5+2=12, zmin=2×1+3=3. 诸如上述问题中，不等式组是一组对变量 x、y 的约束条件，由于这组约束 条件都是关于 x、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=2x+y 是欲达 到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于 z=2x+y 又是关于 x、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目
标函数. 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示. 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称 为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数 z=2x+y 在线性约束 条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题. 那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合 叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解 （5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题 的最优解. Ⅲ.课堂练习 ［师］请同学们结合课本 P64 练习 1 来掌握图解法解决简单的线性规划问题.
y x, （1）求 z=2x+y 的最大值，使式中的 x、y 满足约束条件 x y 1, y 1.
解：不等式组表示的平面区域如图所示： 当 x=0,y=0 时，z=2x+y=0 点（0，0）在直线 l0:2x+y=0 上. 作一组与直线 l0 平行的直线 l:2x+y=t,t∈R. 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且 平行于 l 的直线中，以经过点 A（2，-1）的直线所对应
2
的 t 最大. 所以 zmax=2×2-1=3. （ 2 ） 求 z=3x+5y 的 最 大 值 和 最 小 值 ， 使 式 中 的 x 、 y 满 足 约 束 条 件
5 x 3 y 15, y x 1, x 5 y 3.
解：不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线 3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以 经过点（-2，-1）的直线所对应的 t 最小，以经过点（ ,
9 17 ）的直线所对应的 8 8
t 最大.
所以 zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.
zmax=3× +5×
9 8
17 =14. 8
Ⅳ.课时小结 通过本节学习，要掌握用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区 域）. 2.设 z=0，画出直线 l0. 3.观察、分析，平移直线 l0，从而找到最优解. 4.最后求得目标函数的最大值及最小值. Ⅴ.课后作业 课本 P108 习题 3-4.第 4,5 题 2.预习提纲： 怎样用线性规划的方法解决一些简单的实际问题.
教 后 反 思
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学科组 课 题
高二数学组 简单线性规划的应用
主备人 课 型
田光海 新授课
执教人 时 间 2012.
课时 教学 目标
（一）知识与能力 1.线性规划问题，线性规划的意义. 2.线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念. 3.线性规划问题的图解方法. （二）过程与方法 1.了解简单的线性规划问题. 2.了解线性规划的意义. 3.会用图解法解决简单的线性规划问题. （三）情感态度与价值观 让学生树立数形结合思想. 重点：用图解法解决简单的线性规划问题. 难点：准确求得线性规划问题的最优解.
教学
设想
教法学法指导：讲练结合法 教师可结合一些典型例题进行讲解，学生再通过练习来掌握用图解法解决一些较简单的 线性规划问题. 教 学 程 序 与 策 略 个性化修改
●教具准备 多媒体课件（或幻灯片） 内容：课本 P60 图 7—23 记作§7.4.2 A 过程：先分别作出 x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0 三条直线，再找出不等式组 所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）.再作直线 l0:2x+y=0. 然后，作一组与直线的平行的直线： l:2x+y=t,t∈R （或平行移动直线 l0） ，从而观察 t 值的变化.
●教学过程 Ⅰ.课题导入 上节课，咱们一起探讨了二元一次不等式表示平面区域，下面，我们再来探 讨一下如何应用其解决一些问题. Ⅱ.讲授新课 首先，请同学们来看这样一个问题.
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x 4 y 3 设 z=2x+y，式中变量 x、y 满足下列条件 3 x 5 y 25 x 1
求 z 的最大值和最小值. 分析：从变量 x、y 所满足的条件来看，变量 x、y 所满足的每个不等式都表 示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域. (打出投影片§7.4.2 A) ［师］ （结合投影片或借助多媒体课件） 从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当 x=0，y=0 时，z=2x+y=0. 点（0，0）在直线 l0：2x+y=0 上. 作一组与直线 l0 平行的直线（或平行移动直线 l0)l:2x+y=t,t∈R. 可知，当 t 在 l0 的右上方时，直线 l 上的点（x,y)满足 2x+y＞0, 即 t＞0. 而且，直线 l 往右平移时，t 随之增大. （引导学生一起观察此规律） 在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 l 的直线中，以经过点 A （5，2）的直线 l2 所对应的 t 最大，以经过点 B（1，1）的直线 l1 所对应的 t 最 小. 所以：zmax=2×5+2=12, zmin=2×1+3=3. 诸如上述问题中，不等式组是一组对变量 x、y 的约束条件，由于这组约束 条件都是关于 x、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=2x+y 是欲达 到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于 z=2x+y 又是关于 x、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目
标函数. 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示. 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称 为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数 z=2x+y 在线性约束 条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题. 那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合 叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解 （5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题 的最优解. Ⅲ.课堂练习 ［师］请同学们结合课本 P64 练习 1 来掌握图解法解决简单的线性规划问题.
y x, （1）求 z=2x+y 的最大值，使式中的 x、y 满足约束条件 x y 1, y 1.
解：不等式组表示的平面区域如图所示： 当 x=0,y=0 时，z=2x+y=0 点（0，0）在直线 l0:2x+y=0 上. 作一组与直线 l0 平行的直线 l:2x+y=t,t∈R. 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且 平行于 l 的直线中，以经过点 A（2，-1）的直线所对应
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的 t 最大. 所以 zmax=2×2-1=3. （ 2 ） 求 z=3x+5y 的 最 大 值 和 最 小 值 ， 使 式 中 的 x 、 y 满 足 约 束 条 件
5 x 3 y 15, y x 1, x 5 y 3.
解：不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线 3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以 经过点（-2，-1）的直线所对应的 t 最小，以经过点（ ,
9 17 ）的直线所对应的 8 8
t 最大.
所以 zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.
zmax=3× +5×
9 8
17 =14. 8
Ⅳ.课时小结 通过本节学习，要掌握用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区 域）. 2.设 z=0，画出直线 l0. 3.观察、分析，平移直线 l0，从而找到最优解. 4.最后求得目标函数的最大值及最小值. Ⅴ.课后作业 课本 P108 习题 3-4.第 4,5 题 2.预习提纲： 怎样用线性规划的方法解决一些简单的实际问题.
教 后 反 思
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