初二数学拓展课—构造全等三角形
全等三角形是能够完全重合的两个三角形，它们的对应边相等，对应角相等。对于某些竞赛题，考虑构造全等三角形并利用这两个相等，可使其解答巧妙、迅捷。
一、与线段相等有关的竞赛题
例１（成都市初二数学竞赛题）如图１，△ABC 的两条高BD 、CE 相交于点P ，且PD ＝PE 。求证：AC ＝AB 。
简证：连AP 。
因为∠PDA ＝∠PEA ＝90°，PD ＝PE ，PA ＝PA ， 所以Rt △PDA ≌Rt △PEA （HL ）。 所以AD ＝AE 。
因为∠１＝90°－∠CAB ＝∠２，
所以Rt △ACE ≌Rt △ABD （AAS ）。 所以AC ＝AB 。
A
E B A B
图１ 图２
例２（天津市初二数学竞赛题）如图２，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠A 的平分线AD 交BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AD 于点E 。求证：BE ＝
1
AD 。 2
简证：延长BE 、AC 交于点F 。
因为∠１＝∠２，AE ＝AE ，∠AEB ＝∠AEF ＝90°， 所以△AEB ≌△AEF （ASA ）。 所以BE ＝FE ＝
1
BF 。 2
因为∠３＝90°－∠F ＝∠２，BC ＝AC, 所以Rt △BCF ≌Rt △ACD （ASA ）。 所以BF ＝AD ，BE ＝
1
AD 。 2
二、与角相等有关的竞赛题
例３（赣州市初三数学竞赛题）如图３，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BD 是中线，CE ⊥BD 于点E ，交AB 于点F 。求证：∠ADF ＝∠CDE 。
简证：过点A 作AG ⊥AC 交CF 的延长线于点G 。 因为∠１＝90°－∠３＝∠２，AC ＝BC ， 所以Rt △CAG ≌Rt △BCD （ASA ）。 所以AG ＝CD ＝AD ，∠G ＝∠CDE 。 因为∠４＝45°＝∠５，AF ＝AF, 所以△ADF ≌△AGF （SAS ）。
所以∠ADF ＝∠G ＝∠CDE 。
G
B
A
A
E B
图３ 图４
例４（上海市初中数学竞赛题）如图４，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，AE ＝
1
（AD ＋AB ）。求证：∠ADC ＋∠ABC ＝180°。 2
简证：过点C 作CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F 。 因为∠２＝∠３，AC ＝AC ，
所以Rt △ACF ≌Rt △ACE （AAS ）。 所以CF ＝CE ，AF ＝AE 。
因为AD ＋AB ＝２AE ，AB ＝AE ＋EB ， 所以EB ＝AE －AD 。 因为FD ＝AF －AD ， 所以EB ＝FD 。
所以Rt △CEB ≌Rt △CFD （SAS ）。 所以∠ABC ＝∠5。
所以∠ADC ＋∠ABC ＝∠ADC ＋∠５＝180°。
初二数学拓展课—构造全等三角形
全等三角形是能够完全重合的两个三角形，它们的对应边相等，对应角相等。对于某些竞赛题，考虑构造全等三角形并利用这两个相等，可使其解答巧妙、迅捷。
一、与线段相等有关的竞赛题
例１（成都市初二数学竞赛题）如图１，△ABC 的两条高BD 、CE 相交于点P ，且PD ＝PE 。求证：AC ＝AB 。
简证：连AP 。
因为∠PDA ＝∠PEA ＝90°，PD ＝PE ，PA ＝PA ， 所以Rt △PDA ≌Rt △PEA （HL ）。 所以AD ＝AE 。
因为∠１＝90°－∠CAB ＝∠２，
所以Rt △ACE ≌Rt △ABD （AAS ）。 所以AC ＝AB 。
A
E B A B
图１ 图２
例２（天津市初二数学竞赛题）如图２，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠A 的平分线AD 交BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AD 于点E 。求证：BE ＝
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AD 。 2
简证：延长BE 、AC 交于点F 。
因为∠１＝∠２，AE ＝AE ，∠AEB ＝∠AEF ＝90°， 所以△AEB ≌△AEF （ASA ）。 所以BE ＝FE ＝
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BF 。 2
因为∠３＝90°－∠F ＝∠２，BC ＝AC, 所以Rt △BCF ≌Rt △ACD （ASA ）。 所以BF ＝AD ，BE ＝
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AD 。 2
二、与角相等有关的竞赛题
例３（赣州市初三数学竞赛题）如图３，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BD 是中线，CE ⊥BD 于点E ，交AB 于点F 。求证：∠ADF ＝∠CDE 。
简证：过点A 作AG ⊥AC 交CF 的延长线于点G 。 因为∠１＝90°－∠３＝∠２，AC ＝BC ， 所以Rt △CAG ≌Rt △BCD （ASA ）。 所以AG ＝CD ＝AD ，∠G ＝∠CDE 。 因为∠４＝45°＝∠５，AF ＝AF, 所以△ADF ≌△AGF （SAS ）。
所以∠ADF ＝∠G ＝∠CDE 。
G
B
A
A
E B
图３ 图４
例４（上海市初中数学竞赛题）如图４，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，AE ＝
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（AD ＋AB ）。求证：∠ADC ＋∠ABC ＝180°。 2
简证：过点C 作CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F 。 因为∠２＝∠３，AC ＝AC ，
所以Rt △ACF ≌Rt △ACE （AAS ）。 所以CF ＝CE ，AF ＝AE 。
因为AD ＋AB ＝２AE ，AB ＝AE ＋EB ， 所以EB ＝AE －AD 。 因为FD ＝AF －AD ， 所以EB ＝FD 。
所以Rt △CEB ≌Rt △CFD （SAS ）。 所以∠ABC ＝∠5。
所以∠ADC ＋∠ABC ＝∠ADC ＋∠５＝180°。