1.2 常用的典型信号

郑州铁路职业技术学院教师教案

1.2.3 常用的典型信号

1. 典型的连续时间信号（1）实指数信号

实指数信号的数学表达式为

x (t ) =Ke αt (1-3)

（2）复指数信号

复指数信号的数学表达式为

x (t ) =Ke st =Ke (σ+j ω) t =Ke σt e j ωt

（3）Sa (t ) 信号（抽样信号）

抽样信号用符号Sa (t ) 表示，其数学表达式为

Sa (t ) =

sin t

(1-5) t

它是一个偶函数，在t =0处取得最大值，在t =±π, ±2π,..., ±m π时，函数值等于零，在t 的正、负两方向振幅都逐渐衰减。

Sa (t ) 函数还具有以下性质：

⎰

（4）单位阶跃信号

∞

Sa (t ) dt =

⎰

∞

∞-

Sa (t ) dt =π

单位阶跃信号u (t ) 的数学表达式为

u (t ) =⎨

⎧1 t >0

(1-7)

⎩0 t

如果接入电源的时间推迟到t =t 0时刻(t 0>0) ，则可用一个延时的单位阶跃信号表示

⎧1 t >t 0

(1-8) u (t -t 0) =⎨

0 t

（5）门函数

门函数g τ(t ) 的数学表达式为

ττ⎧ 1 -

g τ(t ) =⎨22 (1-9)

⎪⎩ 0 其它t

它可以用单位阶跃函数表示，其表达式为

g τ(t ) =u (t +) -u (t -) (1-10) 22

ττ

（6）符号函数

符号函数sgn(t ) 的数学表达式为

t >0⎧1

(1-11) sgn(t ) =⎨

⎩-1 t

符号函数可以用单位阶跃函数表示，其表达式为

sgn(t ) =u (t ) -u (-t ) =2u (t ) -1 (1-12)

（7）单位冲激信号 ①定义

方法一：表达式定义

单位冲激信号δ(t ) 的数学表达式为

⎧⎧δ(t ) =0 t ≠0⎪⎪⎨

⎨⎩δ(t ) =∞ t =0 (1-13)

⎪ ∞

δ(t ) dt =1⎪⎩⎰ －∞

方法二：极限定义法 ②性质

性质1 δ(t ) 函数是偶函数，即δ(t ) =δ(-t ) ；性质2 取样性或筛选性

设x (t ) 为连续时间信号，且在t =t 0处连续，则x (t ) δ(t -t 0) =x (t 0) δ(t -t 0) 特例：x (t ) δ(t ) =x (0) δ(t )

若要从连续时间信号x (t ) 中抽取任一时刻的函数值x (t 0) ，只要乘以冲激函数δ(t -t 0) 并在(-∞, ∞) 区间积分即可，即

⎰

特例：

∞

-∞

x (t ) δ(t -t 0) dt =⎰x (t 0) δ(t -t 0) dt =x (t 0) ⎰δ(t -t 0) dt =x (t 0)

-∞

t 0-

∞

t 0+

⎰

∞

-∞

x (t ) δ(t ) dt =⎰x (0) δ(t ) dt =x (0) ⎰δ(t ) dt =x (0)

-∞

∞

取样性说明冲激函数可以把冲激所在位置处的函数值抽取出来。性质3 冲激函数和阶跃函数互为微积分关系冲激函数为阶跃函数的微分，即

δ(t ) =

du (t )

阶跃函数为冲激函数的积分，即u (t ) =2. 典型的离散时间信号（1）单位脉冲序列

单位脉冲序列δ(n ) 在有的书上称为单位冲激序列δ(n ) 或单位样值序列δ(n ) ，数学表达式为

⎰

-∞

δ(τ) d τ。（40min ）

δ(n ) =⎨

⎧1 n =0

(1-14)

⎩0 n ≠0

序列δ(n ) 仅在n =0处取单位值1，其余n ≠0处的值均为零。

注意：δ(n ) 和δ(t ) 的区别。δ(n ) 是离散时间信号，而δ(t ) 是连续时间信号；δ(n ) 在

n =0处取有限值1，而δ(t ) 是在t =0处幅度为无穷大，面积为1的信号。

移位k 个单位的单位脉冲序列为

δ(n -k ) =⎨

⎧1 n =k ⎧1 n =-k

或 δ(n +k ) =⎨

⎩0 n ≠k ⎩0 n ≠-k

式中，k 为正整数。

任一序列x (n ) 可由单位脉冲序列及相应的移位单位脉冲序列表示出来。例如序列则此序列在n =2处的值可通x (n ) ={x (-1), x (0), x (1), x (2), x (3), x (4) }={-2, 3, -1, 1, 5, 7}，

过x (n ) δ(n -2) =x (2) δ(n -2) 表示出，即序列x (n ) 在n =k 处的样本可用移位单位脉冲序列表示为

x (n ) δ(n -k ) =x (k ) δ(n -k ) (1-15)

式(1-15)也可称为δ(n ) 的取样性质。

根据δ(n ) 的取样性质，上述序列x (n ) 可表示为

x (n ) =x (-1) δ(n +1) +x (0) δ(n ) +x (1) δ(n -1) +x (2) δ(n -2) +x (3) δ(n -3) +x (4) δ(n -4)

=-2δ(n +1) +3δ(n ) -δ(n -1) +δ(n -2) +5δ(n -3) +7δ(n -4)

同理，任一序列x (n ) 可表示为

∞

x (n ) =

（2）单位阶跃序列

k =-∞

∑x (k ) δ(n -k ) (1-16)

单位阶跃序列u (n ) 的数学表达式为 u (n ) =⎨

⎧1 n ≥0

(1-17)

⎩0 n

和单位阶跃信号u (t ) 类似，单位阶跃序列u (n ) 可以用来表示单边信号，即有范围限制

的信号，如x (n ) n ≥0，可以表示为x (n ) u (n ) 。

u (n ) 和δ(n ) 的关系如下：

u (n ) =δ(n ) +δ(n -1) +δ(n -2) +δ(n -3) +... =∑δ(n -k )

k =0

∞

δ(n ) =u (n ) -[δ(n -1) +δ(n -2) +δ(n -3) +...]=u (n ) -u (n -1)

（3）正弦序列

正弦型序列是指包络按正、余弦规律变化的序列，其数学表达式为

x (n ) =sin(ωn +ϕ0) (1-18) 式中ω称为数字频率，单位为弧度。

（4）复指数序列

复指数序列的数学表达式为

x (n ) =e (σ+j ω0) n (1-21)

式中ω0为数字频率。

复指数序列在频率域内是以2π为周期的周期性信号，在实际研究中只考虑一个周期。 1.2.4 信号的基本运算 1. 相加和相乘

两信号相加或相乘得到的新信号在任意时刻的信号值等于两信号在该时刻的信号值之和或之积。

2. 平移（移位、时移、时延）

将连续时间信号x (t ) 的自变量t 换成t +t 0（或t -t 0）（t 0为正常数），得到另一个信号，称这种变换为信号的平移。 x (t +t 0) （或x (t -t 0) ）

3. 反转

信号的反转是将信号x (t ) （或x (n ) ）的自变量t （或n ）换成-t （或-n ），得到的x (-t ) （或x (-n ) ）就是将x (t ) （或x (n ) ）的波形以纵坐标为轴反转过来。

4. 尺度变换

将信号x (t ) 的自变量t 换成at ，其中a >0，并且保持t 轴尺度不变，得到的x (at ) 称为x (t ) 的尺度变换，其波形是x (t ) 在时间轴上的压缩或扩展。

5. 微分与积分

微分是指函数x (t ) 对t 求导数，用数学表达式表示为 x '(t ) =

x (t ) (1-23) dt

积分是指x (τ) 在(-∞, t ) 区间内的定积分，其数学表达式为 6. 差分

差分是指同一离散信号的相邻两个序列值之差。按照相邻时间选取方式的不同，可分为前向差分和后向差分。其数学表达式分别为：

前向差分：∆x (n ) =x (n +1) -x (n ) (1-25) 后向差分：∇x (n ) =x (n ) -x (n -1) (1-26) 式(1-25)和式(1-26)分别为一阶前向差分和一阶后向差分。对于二阶前向差分和二阶后向差分的数学表达式分别为：

二阶前向差分：

⎰

-∞

x (τ) d τ (1-24)

∆2x (n ) =∆[∆x (n )]

=∆[x (n +1) -x (n )]=∆x (n +1) -∆x (n ) =[x (n +2) -x (n +1)]-[x (n +1) -x (n )] =x (n +2) -2x (n +1) +x (n ) 二阶后向差分：

∇2x (n ) =∇[∇x (n )]

=∇[x (n ) -x (n -1)]=∇x (n ) -∇x (n -1) =[x (n ) -x (n -1)]-[x (n -1) -x (n -2)]

=x (n ) -2x (n -1) +x (n -2) （40min ）课后小结：通过本次课的学习，使同学们掌握常见的典型信号及信号的基本运算。 (5min)