2017年中招考试数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列各数中比1大的数是（ ） A ．2
B ．0
C ．﹣1 D ．﹣3
2．2016年，我国国内生产总值达到74.4万亿元，数据“74.4万亿”用科学记数法表示（ ）
A ．74.4×1012 B ．7.44×1013 C ．74.4×1013 D ．7.44×1015 3．某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（ ）
A ． B ．
﹣2=
C ．
，去分母得（ ）
D ．
4．解分式方程
A ．1﹣2（x ﹣1）=﹣3 B ．1﹣2（x ﹣1）=3 C．1﹣2x ﹣2=﹣3 D ．1﹣2x +2=3
5．八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（ ） A ．95分，95分
B ．95分，90分
C ．90分，95分
D ．95分，85分
6．一元二次方程2x 2﹣5x ﹣2=0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．只有一个实数根 D．没有实数根
7．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下列条件不能判定▱ABCD 是菱形的只有（ ）
A ．AC ⊥BD B ．AB=BC C ．AC=BD D ．∠1=∠2
8．如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针价好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（ ）
A ． B ． C ． D ．
9．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点是坐标原点O ，固定点A ，B ，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y 轴正半轴上点D′处，则点C 的对应点C′的坐标为（ ）
A ．（，1） B ．（2，1） C．（1，） D ．（2，）
10．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．
B．
2﹣ C ．
2﹣ D ．4﹣
二．填空题（共5小题）
11．计算：23﹣12．不等式组
= ．
的解集是．
13．已知点A （1，m ），B （2，n ）在反比例函数y=﹣的图象上，则m 与n 的大小关系为 ．
14．如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B→C→A匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是 ．
15．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC，
BC=+1，点M ，N 分别是边BC ，
AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′始终落在边AC 上，若△MB′C为直角三角形，则BM 的长为 ．
三．解答题（共8小题）
16．先化简，再求值：（2x +y ）2+（x ﹣y ）（x +y ）﹣5x （x ﹣y ），其中x=﹣1．
17．为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表． 调查结果统计表
+1，
y=
请根据以上图表，解答下列问题：
（1）填空：这次被调查的同学共有 人，a +b= ，m=
； （2）求扇形统计图中扇形C 的圆心角度数；
（3）该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x 在60≤x ＜120范围的人数．
18．如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 交AC 边于点D ，过点C 作CF ∥AB ，与过点B 的切线交于点F ，连接BD ． （1）求证：BD=BF；
（2）若AB=10，CD=4，求BC 的长．
19．如图所示，我国两艘海监船A ，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C ，此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向，已知A 船的航速为30海里/小时，B 船的航速为25海里/小时，问C 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41）
20．如图，一次函数y=﹣x +b 与反比例函数y=（x ＞0）的图象交于点A （m ，3）和B （3，1）．
（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ； （2）点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD 的面积为S ，求S 的取值范围．
21．学校“百变魔方”社团准备购买A ，B 两种魔方，已知购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元，购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同． （1）求这两种魔方的单价；
（2）结合社员们的需求，社团决定购买A ，B 两种魔方共100个（其中A 种魔方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．
22．如图1，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD=AE，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点． （1）观察猜想
图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 （2）探究证明
把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸
把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN 面积的最大值．
23．如图，直线y=﹣x +c 与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ．
（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；
（2）M （m ，0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ．
①点M 在线段OA 上运动，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点M 的坐标；
②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M ，P ，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M ，P ，N 三点为“共谐点”．请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点”的m 的值．
2017年中招考试数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2017•河南）下列各数中比1大的数是（ ） A ．2
B ．0
C ．﹣1 D ．﹣3
【解答】解：2＞0＞﹣1＞﹣3， 故选：A ．
2．（2017•河南）2016年，我国国内生产总值达到74.4万亿元，数据“74.4万亿”用科学记数法表示（ ）
A ．74.4×1012 B ．7.44×1013 C ．74.4×1013 D ．7.44×1015 【解答】解：将74.4万亿用科学记数法表示为：7.44×1013． 故选：B ．
3．（2017•河南）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（ ）
A ． B ． C ． D ．
【解答】解：从左视图可以发现：该几何体共有两列，正方体的个数分别为2，1， D 不符合， 故选D ．
4．（2017•河南）解分式方程
﹣2=
，去分母得（ ）
D ．1﹣2x +2=3
A ．1﹣2（x ﹣1）=﹣3 B ．1﹣2（x ﹣1）=3 C．1﹣2x ﹣2=﹣3
【解答】解：分式方程整理得：去分母得：1﹣2（x ﹣1）=﹣3， 故选A
﹣2=﹣，
5．（2017•河南）八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（ ） A ．95分，95分
B ．95分，90分
C ．90分，95分
D ．95分，85分
【解答】解：位于中间位置的两数分别是95分和95分， 故中位数为95分，
数据95出现了3次，最多， 故这组数据的众数是95分， 故选A ．
6．（2017•河南）一元二次方程2x 2﹣5x ﹣2=0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．只有一个实数根 D．没有实数根
【解答】解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）=41＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选B ．
7．（2017•河南）如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下列条件不能判定▱ABCD 是菱形的只有（ ）
A ．AC ⊥BD B ．AB=BC C ．AC=BD D ．∠1=∠2
【解答】解：A 、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形． B 、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．
C 、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．
D 、正确．可以证明平行四边形ABCD 的邻边相等，即可判定是菱形． 故选C ．
8．（2017•河南）如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针价好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（ ）
A ． B ． C ． D ． 【解答】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两个数字都是正数的有4种情况， ∴两个数字都是正数的概率是：故选：C ．
9．（2017•河南）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点是坐标原点O ，固定点A ，B ，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y 轴正半轴上点D′处，则点C 的对应点C′的坐标为（ ）
=．
A ．（，1） B ．（2，1） C．（1，） D ．（2，）
【解答】解：∵AD′=AD=2， AO=AB=1， ∴
OD′=
=
，
∵C′D′=2，C′D′∥AB ， ∴C （2，故选D ．
10．（2017•河南）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（ ）
），
A ． B．
2﹣ C ．
2﹣ D ．4﹣
【解答】解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°， ∴∠OAO′=60°，
∴△OAO′是等边三角形， ∴∠AOO′=60°， ∵∠AOB=120°， ∴∠O′OB=60°，
∴△OO′B是等边三角形， ∴∠AO′B=120°， ∵∠AO′B′=120°， ∴∠B′O′B=120°， ∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B﹣（S 扇形O′OB﹣S △OO′B）=×1×2﹣×2×故选C ．
）=2
﹣
．
﹣（
二．填空题（共5小题） 11．（2017•河南）计算：23﹣【解答】解：23﹣故答案为：6．
12．（2017•河南）不等式组
的解集是．
=8﹣2=6，
= 6 ．
【解答】解：
解不等式①0得：x ≤2，
解不等式②得：x ＞﹣1， ∴不等式组的解集是﹣1＜x ≤2， 故答案为﹣1＜x ≤2．
13．（2017•河南）已知点A （1，m ），B （2，n ）在反比例函数y=﹣的图象上，则m 与n 的大小关系为 m ＜n ．
【解答】解：∵反比例函数y=﹣中k=﹣2＜0，
∴此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大， ∵0＜1＜2，
∴A 、B 两点均在第四象限， ∴m ＜n ． 故答案为m ＜n ．
14．（2017•河南）如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B→C→A匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是 12 ．
【解答】解：根据图象可知点P 在BC 上运动时，此时BP 不断增大， 由图象可知：点P 从B 向C 运动时，BP 的最大值为5， 即BC=5，
由于M 是曲线部分的最低点， ∴此时BP 最小， 即BP ⊥AC ，BP=4，
∴由勾股定理可知：PC=3，
由于图象的曲线部分是轴对称图形， ∴PA=3， ∴AC=6，
∴△ABC
的面积为：×4×6=12 故答案为：12
15．（2017•河南）如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BC=
+1，点M ，N
分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′始终落在边AC 上，若△MB′C为直角三角形，则BM 的长为
或1 ．
【解答】解：①如图1，
当∠B′MC=90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点， ∴
BM=BC=
+；
②如图2，当∠MB′C=90°， ∵∠A=90°，AB=AC， ∴∠C=45°，
∴△CMB′是等腰直角三角形， ∴CM=
MB′，
∵沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′， ∴BM=B′M， ∴CM=∵
BC=
BM ， +1，
BM +BM=
+1，
∴CM +BM=∴BM=1，
综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM
的长为故答案为：
+或1．
+或1，
三．解答题（共8小题）
16．（2017•河南）先化简，再求值：（2x +y ）2+（x ﹣y ）（x +y ）﹣5x （x ﹣y ），其中x=
+1，
y=
﹣1．
【解答】解：（2x +y ）2+（x ﹣y ）（x +y ）﹣5x （x ﹣y ） =4x2+4xy +y 2+x 2﹣y 2﹣5x 2+5xy =9xy 当x=
+1，
y=
﹣1时，
﹣1）
原式=9（+1）（
=9×（2﹣1） =9×1 =9
17．（2017•河南）为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表． 调查结果统计表
请根据以上图表，解答下列问题：
（1）填空：这次被调查的同学共有 50 人，a +b= 28 ，m= 8 ； （2）求扇形统计图中扇形C 的圆心角度数；
（3）该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x 在60≤x ＜120范围的人数．
【解答】解：（1）调查的总人数是16÷32%=50（人）， 则b=50×16%=8，a=50﹣4﹣16﹣8﹣2=20， A 组所占的百分比是a +b=8+20=28．
故答案是：50，28，8；
（2）扇形统计图中扇形C 的圆心角度数是360°×
=144°；
=560（人）．
=8%，则m=8．
（3）每月零花钱的数额x 在60≤x ＜120范围的人数是1000×
18．（2017•河南）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 交AC 边于点D ，过点C 作CF ∥AB ，与过点B 的切线交于点F ，连接BD ． （1）求证：BD=BF；
（2）若AB=10，CD=4，求BC 的长．
【解答】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BDA=90°，
∴BD ⊥AC ，∠BDC=90°， ∵BF 切⊙O 于B ，
∴AB ⊥BF ， ∵CF ∥AB ，
∴CF ⊥BF ，∠FCB=∠ABC ， ∵AB=AC， ∴∠ACB=∠ABC ， ∴∠ACB=∠FCB ， ∵BD ⊥AC ，BF ⊥CF ， ∴BD=BF；
（2）解：∵AB=10，AB=AC， ∴AC=10， ∵CD=4， ∴AD=10﹣4=6，
在Rt △ADB 中，由勾股定理得：BD=在Rt △BDC 中，由勾股定理得：
BC=
19．（2017•河南）如图所示，我国两艘海监船A ，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C ，此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向，已知A 船的航速为30海里/小时，B 船的航速为25海里/小时，问C 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，
≈1.41）
=8， =4
．
【解答】解：如图作CE ⊥AB 于E ．
在Rt △ACE 中，∵∠A=45°，
∴AE=EC，设AE=EC=x，则BE=x﹣5， 在Rt △BCE 中， ∵tan53°=∴=
，
，
解得x=20， ∴AE=EC=20， ∴
AC=20BC=
=28.2， =25，
=0.94小时，B 船到C 的时间=
=1小时，
∴A 船到C 的时间≈
∴C 船至少要等待0.94小时才能得到救援．
20．（2017•河南）如图，一次函数y=﹣x +b 与反比例函数y=（x ＞0）的图象交于点A （m ，3）和B （3，1）．
（1）填空：一次函数的解析式为 y=﹣x +4 ，反比例函数的解析式为 y= ； （2）点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD 的面积为S ，求S 的取值范围．
【解答】解：（1）将B （3，1）代入y=， ∴k=3，
将A （m ，3）代入y=， ∴m=1， ∴A （1，3），
将A （1，3）代入代入y=﹣x +b ， ∴b=4， ∴y=﹣x +4
（2）设P （x ，y ）， 由（1）可知：1≤x ≤3， ∴PD=y=﹣x +4，OD=x， ∴S=x （﹣x +4），
∴由二次函数的图象可知： S 的取值范围为：≤S ≤2 故答案为：（1）y=﹣x +4；y=．
21．（2017•河南）学校“百变魔方”社团准备购买A ，B 两种魔方，已知购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元，购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同．
（1）求这两种魔方的单价；
（2）结合社员们的需求，社团决定购买A ，B 两种魔方共100个（其中A 种魔方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选
择哪种优惠活动购买魔方更实惠．
【解答】（按买3个A 种魔方和买4个B 种魔方钱数相同解答） 解：（1）设A 种魔方的单价为x 元/个，B 种魔方的单价为y 元/个， 根据题意得：解得：
．
，
答：A 种魔方的单价为20元/个，B 种魔方的单价为15元/个．
（2）设购进A 种魔方m 个（0≤m ≤50），总价格为w 元，则购进B 种魔方（100﹣m ）个，
根据题意得：w 活动一=20m×0.8+15（100﹣m ）×0.4=10m+600； w 活动二=20m+15（100﹣m ﹣m ）=﹣10m +1500． 当w 活动一＜w 活动二时，有10m +600＜﹣10m +1500， 解得：m ＜45；
当w 活动一=w活动二时，有10m +600=﹣10m +1500， 解得：m=45；
当w 活动一＞w 活动二时，有10m +600＞﹣10m +1500， 解得：45＜m ≤50．
综上所述：当m ＜45时，选择活动一购买魔方更实惠；当m=45时，选择两种活动费用相同；当m ＞45时，选择活动二购买魔方更实惠． （按购买3个A 种魔方和4个B 种魔方需要130元解答）
解：（1）设A 种魔方的单价为x 元/个，B 种魔方的单价为y 元/个， 根据题意得：
，
解得：．
答：A 种魔方的单价为26元/个，B 种魔方的单价为13元/个．
（2）设购进A 种魔方m 个（0≤m ≤50），总价格为w 元，则购进B 种魔方（100﹣m ）个，
根据题意得：w 活动一=26m×0.8+13（100﹣m ）×0.4=15.6m+520；
w 活动二=26m+13（100﹣m ﹣m ）=1300．
当w 活动一＜w 活动二时，有15.6m +520＜1300，
解得：m ＜50；
当w 活动一=w活动二时，有15.6m +520=1300，
解得：m=50；
当w 活动一＞w 活动二时，有15.6m +520＞1300，
不等式无解．
综上所述：当m ＜50时，选择活动一购买魔方更实惠；当m=50时，选择两种活动费用相同．
22．（2017•河南）如图1，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD=AE，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段PM 与PN 的数量关系是，位置关系是⊥PN ；
（2）探究证明
把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN 面积的最大值．
【解答】解：（1）∵点P ，N 是BC ，CD 的中点，
∴PN ∥BD ，PN=BD ，
∵点P ，M 是CD ，DE 的中点，
∴PM ∥CE ，PM=CE ，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∵PN ∥BD ，
∴∠DPN=∠ADC ，
∵PM ∥CE ，
∴∠DPM=∠DCA ，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC +∠ACD=90°，
∴∠MPN=∠DPM +∠DPN=∠DCA +∠ADC=90°，
∴PM ⊥PN ，
故答案为：PM=PN，PM ⊥PN ，
（2）由旋转知，∠BAD=∠CAE ，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴∠ABD=∠ACE ，BD=CE，
同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD ，PM=CE ，
∴PM=PN，
∴△PMN 是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM ∥CE ，
∴∠DPM=∠DCE ，
同（1）的方法得，PN ∥BD ，
∴∠PNC=∠DBC ，
∵∠DPN=∠DCB +∠PNC=∠DCB +∠DBC ，
∴∠MPN=∠DPM +∠DPN=∠DCE +∠DCB +∠DBC
=∠BCE +∠DBC=∠ACB +∠ACE +∠DBC
=∠ACB +∠ABD +∠DBC=∠ACB +∠ABC ，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB +∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN 是等腰直角三角形，
（3）如图2，同（2）的方法得，△PMN 是等腰直角三角形，
∴MN 最大时，△PMN 的面积最大，
∴DE ∥BC 且DE 在顶点A 上面，
∴MN 最大=AM+AN ，
连接AM ，AN ，
在△ADE 中，AD=AE=4，∠DAE=90°，
∴AM=2，
， 在Rt △ABC 中，AB=AC=10，AN=5
∴MN 最大=2+5=7，
∴S △PMN 最大=PM 2=×MN 2=×（7）2=．
23．（2017•河南）如图，直线y=﹣x +c 与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，抛物线y=
﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ．
（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；
（2）M （m ，0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ．
①点M 在线段OA 上运动，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点M 的坐标；
②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M ，P ，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M ，P ，N 三点为“共谐点”．请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点”的m 的值．
【解答】解：
（1）∵y=﹣x +c 与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，
∴0=﹣2+c ，解得c=2，
∴B （0，2），
∵抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ， ∴，解得，
x +2； ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+
（2）①由（1）可知直线解析式为y=﹣x +2，
∵M （m ，0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ，
∴P （m ，﹣m +2），N （m ，﹣m 2+
∴PM=﹣m +2，PA=3﹣m ，PN=﹣m 2+m +2）， m +2﹣（﹣m +2）=﹣m 2+4m ， ∵△BPN 和△APM 相似，且∠BPN=∠APM ，
∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，
当∠BNP=90°时，则有BN ⊥MN ，
∴BN=OM=m， ∴=，即=，解得m=0（舍去）或m=2.5，
∴M （2.5，0）；
当∠NBP=90°时，则有=，
∵A （3，0），B （0，2），P （m ，﹣m +2），
∴
BP==m ，AP==（3﹣m ）， ∴
=，解得m=0（舍去）或m=，
∴M （，0）；
综上可知当以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似时，点M 的坐标为（2.5，0）或（，0）；
m +2）， ②由①可知M （m ，0），P （m ，﹣m +2），N （m ，﹣m 2+
∵M ，P ，N 三点为“共谐点”，
∴有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点， 当P 为线段MN 的中点时，则有2（﹣m +2）=﹣m 2+
点重合，舍去）或m=； m +2，解得m=3（三
当M 为线段PN 的中点时，则有﹣m +2+（﹣m 2+
去）或m=﹣1；
当N 为线段PM 的中点时，则有﹣m +2=2（﹣m 2+
或m=﹣； m +2）=0，解得m=3（舍m +2），解得m=3（舍去）
综上可知当M ，P ，N 三点成为“共谐点”时m 的值为或﹣1或﹣．
2017年中招考试数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列各数中比1大的数是（ ） A ．2
B ．0
C ．﹣1 D ．﹣3
2．2016年，我国国内生产总值达到74.4万亿元，数据“74.4万亿”用科学记数法表示（ ）
A ．74.4×1012 B ．7.44×1013 C ．74.4×1013 D ．7.44×1015 3．某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（ ）
A ． B ．
﹣2=
C ．
，去分母得（ ）
D ．
4．解分式方程
A ．1﹣2（x ﹣1）=﹣3 B ．1﹣2（x ﹣1）=3 C．1﹣2x ﹣2=﹣3 D ．1﹣2x +2=3
5．八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（ ） A ．95分，95分
B ．95分，90分
C ．90分，95分
D ．95分，85分
6．一元二次方程2x 2﹣5x ﹣2=0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．只有一个实数根 D．没有实数根
7．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下列条件不能判定▱ABCD 是菱形的只有（ ）
A ．AC ⊥BD B ．AB=BC C ．AC=BD D ．∠1=∠2
8．如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针价好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（ ）
A ． B ． C ． D ．
9．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点是坐标原点O ，固定点A ，B ，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y 轴正半轴上点D′处，则点C 的对应点C′的坐标为（ ）
A ．（，1） B ．（2，1） C．（1，） D ．（2，）
10．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．
B．
2﹣ C ．
2﹣ D ．4﹣
二．填空题（共5小题）
11．计算：23﹣12．不等式组
= ．
的解集是．
13．已知点A （1，m ），B （2，n ）在反比例函数y=﹣的图象上，则m 与n 的大小关系为 ．
14．如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B→C→A匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是 ．
15．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC，
BC=+1，点M ，N 分别是边BC ，
AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′始终落在边AC 上，若△MB′C为直角三角形，则BM 的长为 ．
三．解答题（共8小题）
16．先化简，再求值：（2x +y ）2+（x ﹣y ）（x +y ）﹣5x （x ﹣y ），其中x=﹣1．
17．为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表． 调查结果统计表
+1，
y=
请根据以上图表，解答下列问题：
（1）填空：这次被调查的同学共有 人，a +b= ，m=
； （2）求扇形统计图中扇形C 的圆心角度数；
（3）该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x 在60≤x ＜120范围的人数．
18．如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 交AC 边于点D ，过点C 作CF ∥AB ，与过点B 的切线交于点F ，连接BD ． （1）求证：BD=BF；
（2）若AB=10，CD=4，求BC 的长．
19．如图所示，我国两艘海监船A ，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C ，此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向，已知A 船的航速为30海里/小时，B 船的航速为25海里/小时，问C 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41）
20．如图，一次函数y=﹣x +b 与反比例函数y=（x ＞0）的图象交于点A （m ，3）和B （3，1）．
（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ； （2）点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD 的面积为S ，求S 的取值范围．
21．学校“百变魔方”社团准备购买A ，B 两种魔方，已知购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元，购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同． （1）求这两种魔方的单价；
（2）结合社员们的需求，社团决定购买A ，B 两种魔方共100个（其中A 种魔方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．
22．如图1，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD=AE，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点． （1）观察猜想
图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 （2）探究证明
把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸
把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN 面积的最大值．
23．如图，直线y=﹣x +c 与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ．
（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；
（2）M （m ，0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ．
①点M 在线段OA 上运动，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点M 的坐标；
②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M ，P ，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M ，P ，N 三点为“共谐点”．请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点”的m 的值．
2017年中招考试数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2017•河南）下列各数中比1大的数是（ ） A ．2
B ．0
C ．﹣1 D ．﹣3
【解答】解：2＞0＞﹣1＞﹣3， 故选：A ．
2．（2017•河南）2016年，我国国内生产总值达到74.4万亿元，数据“74.4万亿”用科学记数法表示（ ）
A ．74.4×1012 B ．7.44×1013 C ．74.4×1013 D ．7.44×1015 【解答】解：将74.4万亿用科学记数法表示为：7.44×1013． 故选：B ．
3．（2017•河南）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（ ）
A ． B ． C ． D ．
【解答】解：从左视图可以发现：该几何体共有两列，正方体的个数分别为2，1， D 不符合， 故选D ．
4．（2017•河南）解分式方程
﹣2=
，去分母得（ ）
D ．1﹣2x +2=3
A ．1﹣2（x ﹣1）=﹣3 B ．1﹣2（x ﹣1）=3 C．1﹣2x ﹣2=﹣3
【解答】解：分式方程整理得：去分母得：1﹣2（x ﹣1）=﹣3， 故选A
﹣2=﹣，
5．（2017•河南）八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（ ） A ．95分，95分
B ．95分，90分
C ．90分，95分
D ．95分，85分
【解答】解：位于中间位置的两数分别是95分和95分， 故中位数为95分，
数据95出现了3次，最多， 故这组数据的众数是95分， 故选A ．
6．（2017•河南）一元二次方程2x 2﹣5x ﹣2=0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．只有一个实数根 D．没有实数根
【解答】解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）=41＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选B ．
7．（2017•河南）如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下列条件不能判定▱ABCD 是菱形的只有（ ）
A ．AC ⊥BD B ．AB=BC C ．AC=BD D ．∠1=∠2
【解答】解：A 、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形． B 、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．
C 、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．
D 、正确．可以证明平行四边形ABCD 的邻边相等，即可判定是菱形． 故选C ．
8．（2017•河南）如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针价好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（ ）
A ． B ． C ． D ． 【解答】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两个数字都是正数的有4种情况， ∴两个数字都是正数的概率是：故选：C ．
9．（2017•河南）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点是坐标原点O ，固定点A ，B ，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y 轴正半轴上点D′处，则点C 的对应点C′的坐标为（ ）
=．
A ．（，1） B ．（2，1） C．（1，） D ．（2，）
【解答】解：∵AD′=AD=2， AO=AB=1， ∴
OD′=
=
，
∵C′D′=2，C′D′∥AB ， ∴C （2，故选D ．
10．（2017•河南）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（ ）
），
A ． B．
2﹣ C ．
2﹣ D ．4﹣
【解答】解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°， ∴∠OAO′=60°，
∴△OAO′是等边三角形， ∴∠AOO′=60°， ∵∠AOB=120°， ∴∠O′OB=60°，
∴△OO′B是等边三角形， ∴∠AO′B=120°， ∵∠AO′B′=120°， ∴∠B′O′B=120°， ∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B﹣（S 扇形O′OB﹣S △OO′B）=×1×2﹣×2×故选C ．
）=2
﹣
．
﹣（
二．填空题（共5小题） 11．（2017•河南）计算：23﹣【解答】解：23﹣故答案为：6．
12．（2017•河南）不等式组
的解集是．
=8﹣2=6，
= 6 ．
【解答】解：
解不等式①0得：x ≤2，
解不等式②得：x ＞﹣1， ∴不等式组的解集是﹣1＜x ≤2， 故答案为﹣1＜x ≤2．
13．（2017•河南）已知点A （1，m ），B （2，n ）在反比例函数y=﹣的图象上，则m 与n 的大小关系为 m ＜n ．
【解答】解：∵反比例函数y=﹣中k=﹣2＜0，
∴此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大， ∵0＜1＜2，
∴A 、B 两点均在第四象限， ∴m ＜n ． 故答案为m ＜n ．
14．（2017•河南）如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B→C→A匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是 12 ．
【解答】解：根据图象可知点P 在BC 上运动时，此时BP 不断增大， 由图象可知：点P 从B 向C 运动时，BP 的最大值为5， 即BC=5，
由于M 是曲线部分的最低点， ∴此时BP 最小， 即BP ⊥AC ，BP=4，
∴由勾股定理可知：PC=3，
由于图象的曲线部分是轴对称图形， ∴PA=3， ∴AC=6，
∴△ABC
的面积为：×4×6=12 故答案为：12
15．（2017•河南）如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BC=
+1，点M ，N
分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′始终落在边AC 上，若△MB′C为直角三角形，则BM 的长为
或1 ．
【解答】解：①如图1，
当∠B′MC=90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点， ∴
BM=BC=
+；
②如图2，当∠MB′C=90°， ∵∠A=90°，AB=AC， ∴∠C=45°，
∴△CMB′是等腰直角三角形， ∴CM=
MB′，
∵沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′， ∴BM=B′M， ∴CM=∵
BC=
BM ， +1，
BM +BM=
+1，
∴CM +BM=∴BM=1，
综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM
的长为故答案为：
+或1．
+或1，
三．解答题（共8小题）
16．（2017•河南）先化简，再求值：（2x +y ）2+（x ﹣y ）（x +y ）﹣5x （x ﹣y ），其中x=
+1，
y=
﹣1．
【解答】解：（2x +y ）2+（x ﹣y ）（x +y ）﹣5x （x ﹣y ） =4x2+4xy +y 2+x 2﹣y 2﹣5x 2+5xy =9xy 当x=
+1，
y=
﹣1时，
﹣1）
原式=9（+1）（
=9×（2﹣1） =9×1 =9
17．（2017•河南）为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表． 调查结果统计表
请根据以上图表，解答下列问题：
（1）填空：这次被调查的同学共有 50 人，a +b= 28 ，m= 8 ； （2）求扇形统计图中扇形C 的圆心角度数；
（3）该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x 在60≤x ＜120范围的人数．
【解答】解：（1）调查的总人数是16÷32%=50（人）， 则b=50×16%=8，a=50﹣4﹣16﹣8﹣2=20， A 组所占的百分比是a +b=8+20=28．
故答案是：50，28，8；
（2）扇形统计图中扇形C 的圆心角度数是360°×
=144°；
=560（人）．
=8%，则m=8．
（3）每月零花钱的数额x 在60≤x ＜120范围的人数是1000×
18．（2017•河南）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 交AC 边于点D ，过点C 作CF ∥AB ，与过点B 的切线交于点F ，连接BD ． （1）求证：BD=BF；
（2）若AB=10，CD=4，求BC 的长．
【解答】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BDA=90°，
∴BD ⊥AC ，∠BDC=90°， ∵BF 切⊙O 于B ，
∴AB ⊥BF ， ∵CF ∥AB ，
∴CF ⊥BF ，∠FCB=∠ABC ， ∵AB=AC， ∴∠ACB=∠ABC ， ∴∠ACB=∠FCB ， ∵BD ⊥AC ，BF ⊥CF ， ∴BD=BF；
（2）解：∵AB=10，AB=AC， ∴AC=10， ∵CD=4， ∴AD=10﹣4=6，
在Rt △ADB 中，由勾股定理得：BD=在Rt △BDC 中，由勾股定理得：
BC=
19．（2017•河南）如图所示，我国两艘海监船A ，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C ，此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向，已知A 船的航速为30海里/小时，B 船的航速为25海里/小时，问C 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，
≈1.41）
=8， =4
．
【解答】解：如图作CE ⊥AB 于E ．
在Rt △ACE 中，∵∠A=45°，
∴AE=EC，设AE=EC=x，则BE=x﹣5， 在Rt △BCE 中， ∵tan53°=∴=
，
，
解得x=20， ∴AE=EC=20， ∴
AC=20BC=
=28.2， =25，
=0.94小时，B 船到C 的时间=
=1小时，
∴A 船到C 的时间≈
∴C 船至少要等待0.94小时才能得到救援．
20．（2017•河南）如图，一次函数y=﹣x +b 与反比例函数y=（x ＞0）的图象交于点A （m ，3）和B （3，1）．
（1）填空：一次函数的解析式为 y=﹣x +4 ，反比例函数的解析式为 y= ； （2）点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD 的面积为S ，求S 的取值范围．
【解答】解：（1）将B （3，1）代入y=， ∴k=3，
将A （m ，3）代入y=， ∴m=1， ∴A （1，3），
将A （1，3）代入代入y=﹣x +b ， ∴b=4， ∴y=﹣x +4
（2）设P （x ，y ）， 由（1）可知：1≤x ≤3， ∴PD=y=﹣x +4，OD=x， ∴S=x （﹣x +4），
∴由二次函数的图象可知： S 的取值范围为：≤S ≤2 故答案为：（1）y=﹣x +4；y=．
21．（2017•河南）学校“百变魔方”社团准备购买A ，B 两种魔方，已知购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元，购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同．
（1）求这两种魔方的单价；
（2）结合社员们的需求，社团决定购买A ，B 两种魔方共100个（其中A 种魔方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选
择哪种优惠活动购买魔方更实惠．
【解答】（按买3个A 种魔方和买4个B 种魔方钱数相同解答） 解：（1）设A 种魔方的单价为x 元/个，B 种魔方的单价为y 元/个， 根据题意得：解得：
．
，
答：A 种魔方的单价为20元/个，B 种魔方的单价为15元/个．
（2）设购进A 种魔方m 个（0≤m ≤50），总价格为w 元，则购进B 种魔方（100﹣m ）个，
根据题意得：w 活动一=20m×0.8+15（100﹣m ）×0.4=10m+600； w 活动二=20m+15（100﹣m ﹣m ）=﹣10m +1500． 当w 活动一＜w 活动二时，有10m +600＜﹣10m +1500， 解得：m ＜45；
当w 活动一=w活动二时，有10m +600=﹣10m +1500， 解得：m=45；
当w 活动一＞w 活动二时，有10m +600＞﹣10m +1500， 解得：45＜m ≤50．
综上所述：当m ＜45时，选择活动一购买魔方更实惠；当m=45时，选择两种活动费用相同；当m ＞45时，选择活动二购买魔方更实惠． （按购买3个A 种魔方和4个B 种魔方需要130元解答）
解：（1）设A 种魔方的单价为x 元/个，B 种魔方的单价为y 元/个， 根据题意得：
，
解得：．
答：A 种魔方的单价为26元/个，B 种魔方的单价为13元/个．
（2）设购进A 种魔方m 个（0≤m ≤50），总价格为w 元，则购进B 种魔方（100﹣m ）个，
根据题意得：w 活动一=26m×0.8+13（100﹣m ）×0.4=15.6m+520；
w 活动二=26m+13（100﹣m ﹣m ）=1300．
当w 活动一＜w 活动二时，有15.6m +520＜1300，
解得：m ＜50；
当w 活动一=w活动二时，有15.6m +520=1300，
解得：m=50；
当w 活动一＞w 活动二时，有15.6m +520＞1300，
不等式无解．
综上所述：当m ＜50时，选择活动一购买魔方更实惠；当m=50时，选择两种活动费用相同．
22．（2017•河南）如图1，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD=AE，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段PM 与PN 的数量关系是，位置关系是⊥PN ；
（2）探究证明
把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN 面积的最大值．
【解答】解：（1）∵点P ，N 是BC ，CD 的中点，
∴PN ∥BD ，PN=BD ，
∵点P ，M 是CD ，DE 的中点，
∴PM ∥CE ，PM=CE ，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∵PN ∥BD ，
∴∠DPN=∠ADC ，
∵PM ∥CE ，
∴∠DPM=∠DCA ，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC +∠ACD=90°，
∴∠MPN=∠DPM +∠DPN=∠DCA +∠ADC=90°，
∴PM ⊥PN ，
故答案为：PM=PN，PM ⊥PN ，
（2）由旋转知，∠BAD=∠CAE ，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴∠ABD=∠ACE ，BD=CE，
同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD ，PM=CE ，
∴PM=PN，
∴△PMN 是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM ∥CE ，
∴∠DPM=∠DCE ，
同（1）的方法得，PN ∥BD ，
∴∠PNC=∠DBC ，
∵∠DPN=∠DCB +∠PNC=∠DCB +∠DBC ，
∴∠MPN=∠DPM +∠DPN=∠DCE +∠DCB +∠DBC
=∠BCE +∠DBC=∠ACB +∠ACE +∠DBC
=∠ACB +∠ABD +∠DBC=∠ACB +∠ABC ，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB +∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN 是等腰直角三角形，
（3）如图2，同（2）的方法得，△PMN 是等腰直角三角形，
∴MN 最大时，△PMN 的面积最大，
∴DE ∥BC 且DE 在顶点A 上面，
∴MN 最大=AM+AN ，
连接AM ，AN ，
在△ADE 中，AD=AE=4，∠DAE=90°，
∴AM=2，
， 在Rt △ABC 中，AB=AC=10，AN=5
∴MN 最大=2+5=7，
∴S △PMN 最大=PM 2=×MN 2=×（7）2=．
23．（2017•河南）如图，直线y=﹣x +c 与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，抛物线y=
﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ．
（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；
（2）M （m ，0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ．
①点M 在线段OA 上运动，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点M 的坐标；
②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M ，P ，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M ，P ，N 三点为“共谐点”．请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点”的m 的值．
【解答】解：
（1）∵y=﹣x +c 与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，
∴0=﹣2+c ，解得c=2，
∴B （0，2），
∵抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ， ∴，解得，
x +2； ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+
（2）①由（1）可知直线解析式为y=﹣x +2，
∵M （m ，0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ，
∴P （m ，﹣m +2），N （m ，﹣m 2+
∴PM=﹣m +2，PA=3﹣m ，PN=﹣m 2+m +2）， m +2﹣（﹣m +2）=﹣m 2+4m ， ∵△BPN 和△APM 相似，且∠BPN=∠APM ，
∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，
当∠BNP=90°时，则有BN ⊥MN ，
∴BN=OM=m， ∴=，即=，解得m=0（舍去）或m=2.5，
∴M （2.5，0）；
当∠NBP=90°时，则有=，
∵A （3，0），B （0，2），P （m ，﹣m +2），
∴
BP==m ，AP==（3﹣m ）， ∴
=，解得m=0（舍去）或m=，
∴M （，0）；
综上可知当以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似时，点M 的坐标为（2.5，0）或（，0）；
m +2）， ②由①可知M （m ，0），P （m ，﹣m +2），N （m ，﹣m 2+
∵M ，P ，N 三点为“共谐点”，
∴有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点， 当P 为线段MN 的中点时，则有2（﹣m +2）=﹣m 2+
点重合，舍去）或m=； m +2，解得m=3（三
当M 为线段PN 的中点时，则有﹣m +2+（﹣m 2+
去）或m=﹣1；
当N 为线段PM 的中点时，则有﹣m +2=2（﹣m 2+
或m=﹣； m +2）=0，解得m=3（舍m +2），解得m=3（舍去）
综上可知当M ，P ，N 三点成为“共谐点”时m 的值为或﹣1或﹣．