第3章 第4节
一、选择题
π
1．为得到函数y＝cos(x＋的图象，只需将函数y＝sinx的图象( )
3π
A．向左平移
6π
B
65π
C
65π
D．向右平移
6答案：C
ππππ
解析：y＝sinx＝x)＝cos(x－)，令x－0，得x1＝，
2222ππ
再令x＋0得到x2＝－，
33
ππ5π
∴向左平移了|－＝个长度单位．
326
ππ
2．已知函数y＝sin(x＋x＋)，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为
66( )
π
A．2π，x
6π
C．π，x＝
6答案：D
ππ
解析：∵y＝sin(x＋x＋661π
＝sin(2x＋23
2ππ1π∴T＝π，再将x＝代入y＝sin(2x＋，
ω12231
得y＝
2π
即x＝
12
3. 如图，弹簧挂着小球作上下振动，时间t(s)与小球相对平衡位置(即静止的位置)的高
π
B．2π，x＝
12π
D．π，x＝
12
π
度h(cm)之间的函数关系式是h＝4sin(6πt＋t∈[0，＋∞))，则小球最高点与最低点的距离、
3每秒能往复振动的次数分别为(
)
A．4、3 2
C．8、
π答案：B
π2π1
解析：∵在关系式h＝4sin(6πt＋中，振幅A＝4，周期T＝36π31
低点的距离d＝2A＝8，每秒能往复振动的次数f＝＝3.选择B.
T
π
4. (2010·惠州调研)已知f(x)＝cos(ωx的图象与y＝1的图象的两相邻交点间的距离为
3π，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝sinωx的图象( )
5
A．向左平移个单位
125
B个单位
127
C个单位
127
D．向右平移个单位
12答案：A
πππ
解析：依题意，y＝f(x)的最小正周期为π，故ω＝2，因为y＝cos(2x＋)＝sin(2x＋)
3325π5π
＝sin(2x＋，所以把y＝sin2x的图象向左平移π个单位可得到y＝cos(2x＋的图象．
6123
ππ
5．函数y＝sin(2x＋的图象经怎样平移后所得的图象关于点(－，0)中心对称( )
312ππ
A．向左平移 B．向左平移126ππ
C D．向右平移
612答案：D
B．8、3 2
D．4π
ππ
解析：由题意设y＝sin(2x＋θ)的对称中心为(－，0)，则2×(－)＋θ＝kπ(k∈Z)，
1212π
∴θ＝kπ＋(k∈Z)，
6
ππ
∴函数y＝sin(2x＋的图象的对称中心为(－，0)，
612ππ
又y＝sin(2x＋)＝sin2(x＋)，
612ππ
y＝sin(2x＋＝sin2(x＋，
36
πππ
所以y＝sin(2x＋的图象向右平移个单位即可得到y＝sin(2x＋的图象．
3126π
6．关于函数f(x)＝sin(2x，有下列命题
4π
①其表达式可写成f(x)＝cos(2x＋；
4π
②直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴；
8
π
③f(x)的图象可由g(x)＝sin2x的图象向右平移
4④存在α∈(0，π)，使f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立． 则其中真命题为( ) A．②③ C．②④ 答案：C
πππ3
解析：对于①，f(x)＝sin(2x－＝cos[(2x－＝cos(2x－π)，故①错．
4244πππππ
对于②，当x＝－f(－)＝sin[2×(－－]＝sin(－＝－1，故②正确．
88842ππ
对于③，g(x)＝sin2xy＝sin2(x－＝sin(2x
44π
－，故③错． 2
π
对于④，∵f(x)的周期为π，故当α＝时，
2f(x＋α)＝f(x＋3α)，所以④正确． 二、填空题
7．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数A>0，ω>0)在 闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.
B．①② D．③④
答案：3
2π2π2π2π
解析：观察函数图象可得周期T＝，又由函数y＝Asin(ωx＋φ)得T＝，则T＝＝，
3ω3ω所以ω＝3.
π
8．设函数y＝cos的图象位于y轴右侧的所有的对称中心从左依次为A1，A2，…，An，…，
2则A50的坐标是________．
答案：(99,0)
ππ
解析：由x＝＋kπ，得x＝2k＋1(k∈Z)，
22即对称中心横坐标为x＝2k＋1，k≥0且k∈N， 当k＝49时，x＝99， 则A50的坐标为(99,0)．
π
9．(2010·福建卷)已知函数f(x)＝3sin(ωx－ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对
6π
称轴完全相同．若x∈[0，，则f(x)的取值范围是________．
2
3
答案：[－3]
2
πππkπ2π
解析：f(x)＝3sin(ωx－的对称轴方程为ωxkπ＋，即x＝＋(k∈Z)，g(x)＝
662ω3ωkπφ
2cos(2x＋φ)＋1的对称轴方程为2x＋φ＝kπ，即x＝(k∈Z)．
22
kπ2πkπφ
由题意－ω＝2，
ω3ω22π
∴f(x)＝2sin(2x－)，
6π
当x∈[0，时，
2ππ5
2x－∈[－π]，
6663
f(x)的取值范围为[3]．
2三、解答题
10. 已知函数f(x)＝cos2x－2sinxcosx－sin2x.
(1)在给定的坐标系中，作出函数f(x)在区间[0，π]上的图象． π
(2)求函数f(x)在区间[－，0]上的最大值和最小值．
2
解：(1)f(x)＝cos2x－2sinxcosx－sin2x π
＝cos2x－sin2x2cos(2x．
4列表：
π3ππ
(2)∵－≤x≤0≤2x＋≤2444π3
故当2x＋，
44
π
即x＝－f(x)有最小值，f(x)min＝－1；
2π
当2x＋0，
4
π
即x＝－f(x)有最大值，f(x)max＝2.
8π
即f(x)在[0]上的最小值为－1，最大值为2.
2
11π
11. (2010·山东卷)已知函数f(x)xsinφ＋cos2x·cosφ－sin(＋φ)(0
222π1
点(，)． 62
(1)在给定的坐标系中，作出函数f(x)在区间[0，π]上的图象． π
(2)求函数f(x)在区间[－，0]上的最大值和最小值．
2
解：(1)f(x)＝cos2x－2sinxcosx－sin2x π
＝cos2x－sin2x2cos(2x．
4列表：
π3ππ
(2)∵－≤x≤0≤2x＋≤2444π3
故当2x＋，
44
π
即x＝－f(x)有最小值，f(x)min＝－1；
2π
当2x＋0，
4
π
即x＝－f(x)有最大值，f(x)max＝2.
8π
即f(x)在[0]上的最小值为－1，最大值为2.
2
11π
11. (2010·山东卷)已知函数f(x)xsinφ＋cos2x·cosφ－sin(＋φ)(0
222π1
点(，)． 62
(1)求φ的值；
1
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到函数y＝g(x)
2π
的图象，求函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值．
4
π11
＋φ(0
所以f(x)＝sin2xsinφ＋cosφ－cosφ
22211
＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ 221
＝(sin2xsinφ＋cos2xcosφ) 21
＝cos(2x－φ)． 2π1
又函数图象过点62，
ππ11
2×－φ，即cosφ＝1. cos6322π
又0
3
π112x，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵(2)由(1)知f(x)＝cos322π1
4x－. 坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)32
π
0，，所以4x∈[0，π]， 因为x∈4π2ππ
， 因此4x－333π1
4x－≤1. cos32
π110，上的最大值和最小值分别为和－. 所以y＝g(x)在424
12．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g(x)(x为月份)，且满足g(x)＝f(x－2)＋2.
(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f(x)、售价函数g(x)的解析式； (2)问哪几个月能盈利？
ππ
解：(1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，由题意可得A＝2，B＝6，ωφ＝－
44
ππ
所以f(x)＝2sin(x－＋6(1≤x≤12，x为正整数)，
44π3
g(x)＝2sin(x－)＋8(1≤x≤12，x为正整数)．
44π2
(2)g(x)>f(x)，得sin
2kπ
444∴8k＋3
∵1≤x≤12，k∈Z，∴k＝0时，3
k＝1时，11
答：其中4,5,6,7,8,12月份能盈利．
第3章 第4节
一、选择题
π
1．为得到函数y＝cos(x＋的图象，只需将函数y＝sinx的图象( )
3π
A．向左平移
6π
B
65π
C
65π
D．向右平移
6答案：C
ππππ
解析：y＝sinx＝x)＝cos(x－)，令x－0，得x1＝，
2222ππ
再令x＋0得到x2＝－，
33
ππ5π
∴向左平移了|－＝个长度单位．
326
ππ
2．已知函数y＝sin(x＋x＋)，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为
66( )
π
A．2π，x
6π
C．π，x＝
6答案：D
ππ
解析：∵y＝sin(x＋x＋661π
＝sin(2x＋23
2ππ1π∴T＝π，再将x＝代入y＝sin(2x＋，
ω12231
得y＝
2π
即x＝
12
3. 如图，弹簧挂着小球作上下振动，时间t(s)与小球相对平衡位置(即静止的位置)的高
π
B．2π，x＝
12π
D．π，x＝
12
π
度h(cm)之间的函数关系式是h＝4sin(6πt＋t∈[0，＋∞))，则小球最高点与最低点的距离、
3每秒能往复振动的次数分别为(
)
A．4、3 2
C．8、
π答案：B
π2π1
解析：∵在关系式h＝4sin(6πt＋中，振幅A＝4，周期T＝36π31
低点的距离d＝2A＝8，每秒能往复振动的次数f＝＝3.选择B.
T
π
4. (2010·惠州调研)已知f(x)＝cos(ωx的图象与y＝1的图象的两相邻交点间的距离为
3π，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝sinωx的图象( )
5
A．向左平移个单位
125
B个单位
127
C个单位
127
D．向右平移个单位
12答案：A
πππ
解析：依题意，y＝f(x)的最小正周期为π，故ω＝2，因为y＝cos(2x＋)＝sin(2x＋)
3325π5π
＝sin(2x＋，所以把y＝sin2x的图象向左平移π个单位可得到y＝cos(2x＋的图象．
6123
ππ
5．函数y＝sin(2x＋的图象经怎样平移后所得的图象关于点(－，0)中心对称( )
312ππ
A．向左平移 B．向左平移126ππ
C D．向右平移
612答案：D
B．8、3 2
D．4π
ππ
解析：由题意设y＝sin(2x＋θ)的对称中心为(－，0)，则2×(－)＋θ＝kπ(k∈Z)，
1212π
∴θ＝kπ＋(k∈Z)，
6
ππ
∴函数y＝sin(2x＋的图象的对称中心为(－，0)，
612ππ
又y＝sin(2x＋)＝sin2(x＋)，
612ππ
y＝sin(2x＋＝sin2(x＋，
36
πππ
所以y＝sin(2x＋的图象向右平移个单位即可得到y＝sin(2x＋的图象．
3126π
6．关于函数f(x)＝sin(2x，有下列命题
4π
①其表达式可写成f(x)＝cos(2x＋；
4π
②直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴；
8
π
③f(x)的图象可由g(x)＝sin2x的图象向右平移
4④存在α∈(0，π)，使f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立． 则其中真命题为( ) A．②③ C．②④ 答案：C
πππ3
解析：对于①，f(x)＝sin(2x－＝cos[(2x－＝cos(2x－π)，故①错．
4244πππππ
对于②，当x＝－f(－)＝sin[2×(－－]＝sin(－＝－1，故②正确．
88842ππ
对于③，g(x)＝sin2xy＝sin2(x－＝sin(2x
44π
－，故③错． 2
π
对于④，∵f(x)的周期为π，故当α＝时，
2f(x＋α)＝f(x＋3α)，所以④正确． 二、填空题
7．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数A>0，ω>0)在 闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.
B．①② D．③④
答案：3
2π2π2π2π
解析：观察函数图象可得周期T＝，又由函数y＝Asin(ωx＋φ)得T＝，则T＝＝，
3ω3ω所以ω＝3.
π
8．设函数y＝cos的图象位于y轴右侧的所有的对称中心从左依次为A1，A2，…，An，…，
2则A50的坐标是________．
答案：(99,0)
ππ
解析：由x＝＋kπ，得x＝2k＋1(k∈Z)，
22即对称中心横坐标为x＝2k＋1，k≥0且k∈N， 当k＝49时，x＝99， 则A50的坐标为(99,0)．
π
9．(2010·福建卷)已知函数f(x)＝3sin(ωx－ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对
6π
称轴完全相同．若x∈[0，，则f(x)的取值范围是________．
2
3
答案：[－3]
2
πππkπ2π
解析：f(x)＝3sin(ωx－的对称轴方程为ωxkπ＋，即x＝＋(k∈Z)，g(x)＝
662ω3ωkπφ
2cos(2x＋φ)＋1的对称轴方程为2x＋φ＝kπ，即x＝(k∈Z)．
22
kπ2πkπφ
由题意－ω＝2，
ω3ω22π
∴f(x)＝2sin(2x－)，
6π
当x∈[0，时，
2ππ5
2x－∈[－π]，
6663
f(x)的取值范围为[3]．
2三、解答题
10. 已知函数f(x)＝cos2x－2sinxcosx－sin2x.
(1)在给定的坐标系中，作出函数f(x)在区间[0，π]上的图象． π
(2)求函数f(x)在区间[－，0]上的最大值和最小值．
2
解：(1)f(x)＝cos2x－2sinxcosx－sin2x π
＝cos2x－sin2x2cos(2x．
4列表：
π3ππ
(2)∵－≤x≤0≤2x＋≤2444π3
故当2x＋，
44
π
即x＝－f(x)有最小值，f(x)min＝－1；
2π
当2x＋0，
4
π
即x＝－f(x)有最大值，f(x)max＝2.
8π
即f(x)在[0]上的最小值为－1，最大值为2.
2
11π
11. (2010·山东卷)已知函数f(x)xsinφ＋cos2x·cosφ－sin(＋φ)(0
222π1
点(，)． 62
(1)在给定的坐标系中，作出函数f(x)在区间[0，π]上的图象． π
(2)求函数f(x)在区间[－，0]上的最大值和最小值．
2
解：(1)f(x)＝cos2x－2sinxcosx－sin2x π
＝cos2x－sin2x2cos(2x．
4列表：
π3ππ
(2)∵－≤x≤0≤2x＋≤2444π3
故当2x＋，
44
π
即x＝－f(x)有最小值，f(x)min＝－1；
2π
当2x＋0，
4
π
即x＝－f(x)有最大值，f(x)max＝2.
8π
即f(x)在[0]上的最小值为－1，最大值为2.
2
11π
11. (2010·山东卷)已知函数f(x)xsinφ＋cos2x·cosφ－sin(＋φ)(0
222π1
点(，)． 62
(1)求φ的值；
1
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到函数y＝g(x)
2π
的图象，求函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值．
4
π11
＋φ(0
所以f(x)＝sin2xsinφ＋cosφ－cosφ
22211
＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ 221
＝(sin2xsinφ＋cos2xcosφ) 21
＝cos(2x－φ)． 2π1
又函数图象过点62，
ππ11
2×－φ，即cosφ＝1. cos6322π
又0
3
π112x，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵(2)由(1)知f(x)＝cos322π1
4x－. 坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)32
π
0，，所以4x∈[0，π]， 因为x∈4π2ππ
， 因此4x－333π1
4x－≤1. cos32
π110，上的最大值和最小值分别为和－. 所以y＝g(x)在424
12．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g(x)(x为月份)，且满足g(x)＝f(x－2)＋2.
(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f(x)、售价函数g(x)的解析式； (2)问哪几个月能盈利？
ππ
解：(1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，由题意可得A＝2，B＝6，ωφ＝－
44
ππ
所以f(x)＝2sin(x－＋6(1≤x≤12，x为正整数)，
44π3
g(x)＝2sin(x－)＋8(1≤x≤12，x为正整数)．
44π2
(2)g(x)>f(x)，得sin
2kπ
444∴8k＋3
∵1≤x≤12，k∈Z，∴k＝0时，3
k＝1时，11
答：其中4,5,6,7,8,12月份能盈利．