南昌教育学院学报一九九九年第二期
用量子力学描述光的偏振态
熊健根
(南昌教育学院教务处 南昌 330008)
摘要:给定两个偏振态 x > y >, 它们满足正义归一完备性, 由这两个单态可以构成一个纯态和混合态, 能算出光的偏振态的密度矩阵。
关键词:光的偏振态 x >和 y > 密度矩阵
在经典力学中, 用相空间里的相点描述和确定系统所处的动力学状态, 在量子力学里, 则用态矢量 (t) >描写和确定系统的状态。量子力学的基本问题是确定描述系统所处状态的态矢量 (t) >, 因为知道了态矢量 (t) >, 就把握了量子系统的全部信息, 并可求得可观测量的数值。
实验告诉我们, 一个线偏振的平面光, 当它沿Z 轴方向传播时, 可以分解为在XZ 平面中振动的X 偏振光和在yZ 平面上振动的Y 偏振光。n 偏振光的光强与原线偏振光的光强之比为Cos ; y 偏振光的光强与原线振光的光强之比为Sin 。这里 是原线偏振光振动方向与X 轴之间的夹角。
若用态矢量 x >和 y >分别表示光子的X 偏振态和y 偏振态, 它们就是沿Z 轴传播的光子的偏振方向的本征矢。故振动方向任意的线偏振光的光子的态矢量 >可用 x >和 y >表示:
>=C x x >+C y y >
这里的C x 和C y 分别表示与X 偏振光相应的几率振幅。 C x 2和 C y 2分别表示偏振光处于x 偏振态和y 偏振态的几率, x >和 y >满足正交归一完备性, 显然有
2x = C x + C y =1, S in 2 C y 222222
故得: C x 2=Cos 2 , C y 2=S in 2
则有 >=Cos x >+S in y >
现在讨论光子的纯态和混合态。
1 光子的纯态
纯态是指在量子统计力学中, 由态矢量 (t ) >确定的系统动力学状态。即 >就是光子的纯态, 则:
>=Cos x >+Sin y >, 与纯态相应的投影算符的矩阵为
收稿日期:1999-05-16
P =*C x C *x C x C y
C C C C y y *x *y =Cos Cos S in S in Cos S in 22
投影算符P 具有几率密度算符的性质, 但是由算符定 可知, 纯态的几率密度算符是一种很特殊的密度算符, 它的本征值除一个等于1以外, 其余都等于0。
下面我们分别写出 =0, =, =, =4种情况下的纯态及其投影响算符的矩阵:244
1) =0, X 偏振态
>= x >, P x =
2) =, y 偏振态21 00 0 >=( x >+ y >) , P 45°=2 22 22
1 0 >= y >, P y =0 3) =, 45°偏振态44) =, 135°偏振态4( x >+ y >) , P 135°=2 2 -2- 22 >=
2 光子的混合态
混合态是指以量子力学的观点, 密度算符P 给出了有关系统状态的最详尽的信息, 由矩阵元P 所表示的态。混合态是纯态以几率为权重的统计平均, 而并非纯态的线性叠加, 则
>=Cos i i >+Sin i i > (i =1, 2, ……)
光子的混合态的密度矩阵为
Sin i Cos i Sin i
其中 i 是线偏光在 i 角方向上偏振的几率。
1) 50%x 偏振态和50%偏振态的混合, 它的密度矩阵为:i =∑ Cos 2 i Cos i Sin i 2i 2
2) 50%的45°偏振态和50%的135°偏振态的混合, 则相应的密度矩阵为
02P =2P 45°+2P 135°=
0 2
结果表明, 上述两种混合态具有相同的密度矩阵, 故它们将显示相同的物理现象。应该指0 出, 用密度算符P 来描述系统的状态要比用纯态的投影符来描述系统的状态更具有普遍性。因为纯态只是混合态的一个特殊情况。
参考文献
〔1〕刘高洁著, 量子力学教程, 南昌:江西高校出版社, 1985。P =P x +P y =222 0
南昌教育学院学报一九九九年第二期
用量子力学描述光的偏振态
熊健根
(南昌教育学院教务处 南昌 330008)
摘要:给定两个偏振态 x > y >, 它们满足正义归一完备性, 由这两个单态可以构成一个纯态和混合态, 能算出光的偏振态的密度矩阵。
关键词:光的偏振态 x >和 y > 密度矩阵
在经典力学中, 用相空间里的相点描述和确定系统所处的动力学状态, 在量子力学里, 则用态矢量 (t) >描写和确定系统的状态。量子力学的基本问题是确定描述系统所处状态的态矢量 (t) >, 因为知道了态矢量 (t) >, 就把握了量子系统的全部信息, 并可求得可观测量的数值。
实验告诉我们, 一个线偏振的平面光, 当它沿Z 轴方向传播时, 可以分解为在XZ 平面中振动的X 偏振光和在yZ 平面上振动的Y 偏振光。n 偏振光的光强与原线偏振光的光强之比为Cos ; y 偏振光的光强与原线振光的光强之比为Sin 。这里 是原线偏振光振动方向与X 轴之间的夹角。
若用态矢量 x >和 y >分别表示光子的X 偏振态和y 偏振态, 它们就是沿Z 轴传播的光子的偏振方向的本征矢。故振动方向任意的线偏振光的光子的态矢量 >可用 x >和 y >表示:
>=C x x >+C y y >
这里的C x 和C y 分别表示与X 偏振光相应的几率振幅。 C x 2和 C y 2分别表示偏振光处于x 偏振态和y 偏振态的几率, x >和 y >满足正交归一完备性, 显然有
2x = C x + C y =1, S in 2 C y 222222
故得: C x 2=Cos 2 , C y 2=S in 2
则有 >=Cos x >+S in y >
现在讨论光子的纯态和混合态。
1 光子的纯态
纯态是指在量子统计力学中, 由态矢量 (t ) >确定的系统动力学状态。即 >就是光子的纯态, 则:
>=Cos x >+Sin y >, 与纯态相应的投影算符的矩阵为
收稿日期:1999-05-16
P =*C x C *x C x C y
C C C C y y *x *y =Cos Cos S in S in Cos S in 22
投影算符P 具有几率密度算符的性质, 但是由算符定 可知, 纯态的几率密度算符是一种很特殊的密度算符, 它的本征值除一个等于1以外, 其余都等于0。
下面我们分别写出 =0, =, =, =4种情况下的纯态及其投影响算符的矩阵:244
1) =0, X 偏振态
>= x >, P x =
2) =, y 偏振态21 00 0 >=( x >+ y >) , P 45°=2 22 22
1 0 >= y >, P y =0 3) =, 45°偏振态44) =, 135°偏振态4( x >+ y >) , P 135°=2 2 -2- 22 >=
2 光子的混合态
混合态是指以量子力学的观点, 密度算符P 给出了有关系统状态的最详尽的信息, 由矩阵元P 所表示的态。混合态是纯态以几率为权重的统计平均, 而并非纯态的线性叠加, 则
>=Cos i i >+Sin i i > (i =1, 2, ……)
光子的混合态的密度矩阵为
Sin i Cos i Sin i
其中 i 是线偏光在 i 角方向上偏振的几率。
1) 50%x 偏振态和50%偏振态的混合, 它的密度矩阵为:i =∑ Cos 2 i Cos i Sin i 2i 2
2) 50%的45°偏振态和50%的135°偏振态的混合, 则相应的密度矩阵为
02P =2P 45°+2P 135°=
0 2
结果表明, 上述两种混合态具有相同的密度矩阵, 故它们将显示相同的物理现象。应该指0 出, 用密度算符P 来描述系统的状态要比用纯态的投影符来描述系统的状态更具有普遍性。因为纯态只是混合态的一个特殊情况。
参考文献
〔1〕刘高洁著, 量子力学教程, 南昌:江西高校出版社, 1985。P =P x +P y =222 0