有理数和因式分解
◆·有理数
1. 有理数的分类： 按定义分类：
关于“非”的概念：
“非正数”表示0和负数；“非负整数”表示0和正整数 2. 数轴的概念
什么叫数轴？规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。 原点，正方向和单位长度是数轴的三要素，缺一不可。 3. 相反数
注意：①0的相反数是０，②相反数是成对存在的，一个数是另一个数的相反数，反过来另一个数也是这个数的相反数，不能说某个数是相反数。 4. 绝对值
①一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离。数a 的绝对值记作|a|。
(a >0) a ⎧⎪
②用字母a 表示数，则绝对值的代数意义可以表示为：|a |=⎨0 (a =0)
⎪(a
指出：绝对值的代数定义可以作为求一个数的绝对值的方法。
绝对值的性质：
1、一个正数的绝对值是它的本身 2、零的绝对值是零
3、负数的绝对值是它的相反数。
4、一个数的绝对值永远是一个非负数。|a |≥0
◆练习：
1. 把下列各数分类：
1，-
35
17
，8.2，-7，，0，-3.5，1008，-0.5，-10
2. 当a ﹤0时，a = ；a 的相反数是 ，绝对值为5的数是 ，相反数为3的数为 。
3. 绝对值不大于4。绝对值不大于4。 4. -1的倒数与-
31
12
的相反数的差等于。
5. 满足
1a
=a 的数有 个，他们是 ；满足-a =a 的数有 个，他们是
；满足a =a 的数有 个。
6. 在数轴上与数-1所对应的点相距2长为2个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖 个点。 7. 如果x -2+(y +
32
) =0，那么x +y =
2
8. 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，有理数m 在数轴上的对应点到原点的距离为1，则代数式
a +b a +b +c
+cd +m 的值是 。
9. 绝对值最小的数是-6 。 10. 绝对值小于3。 11. 下列说法正确的是（ ）
A. 正数和负数互为相反数。 B. 数轴上，原点两旁的两个点所表示的数是互为相反数 C. 除0以外的数都有它的相反数。 D. 任何一个数都有它的相反数。 12. 下列说法正确的是（ ）
A. 绝对值等于它本身的数一定是正数 B. 最大的负数是-1
C. 整数是由正整数和负整数所组成的 D. 有限小数是有理数 13. 已知x -1+y -3=0，求
14.50. 若a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，m =2，(c +d ) ⨯ 15、（12分）计算． （l ）-4÷(-2) ⨯（3）-(1-0. 5) ÷
13
3
2
xy x +y
的值。47. 求
a a
+
b b
+
ab ab
的所有可能的值。
a b
+3ab -m
2
=
15
（2）-1. 53⨯0. 75+0. 53⨯
34
-3. 4⨯0. 75
⨯2+(-4)
[
2
] （4）(-5)
3
⨯(-
12
) +32÷(-2) ⨯(-1) 54
3
◆·因式分解 1. 因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解。 2. 因式分解与整式乘法的关系
因式分解的特点：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；
整式乘法的特点：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。 公因式：多项式中的每一项都含有的相同的因式，我们称之为公因式。 提公因式法用公式可表示为:
ma ＋mb ＋mc ＝m(a＋b ＋c) 例：找出多项式3ax2y+6x3yz中的公因式 解 : 3ax2y=3•a •x •x •y 6x3yz=2•3•x •x •x •y •z
所以应提取的公因式是3x2y
小结: 公因式：各项系数的最大公约数与所含相同字母的最低次幂的积。 找出下列式子中的公因式：
(1) 4a3，8a2b2，-30a2bc (2) 2x3y4， -10x2y3，2x2y2
(3) 4x (y-x)2，6x (x-y)2 (4) 3a(x-y)， 9b(y-x) 用提公因式法分解因式：（1）如果多项式的某一项正好是公因式，要注意该项在提取了公因式后，应该用“1”顶替它原来的位置，切不可把“1”漏掉。 ◆公因式的应用：用简便方法计算： 171717
（1）13.7⨯+19.8⨯-2.5⨯
313131
（2）2003⨯99-27⨯11
◆平方差公式：（a+b）(a-b）=a2-b2 ◆完全平方公式：（a ±b ）2=a2±2ab+b2 运用公式法
将乘法公式反过来对某些多项式进行分解因式，这种方法叫做公式法，即a2－b2＝(a＋b)(a－b) ，a2±2ab ＋b2＝(a±b)2. ◆因式分解的一般步骤
(1)一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
(2)二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解； (3)三查：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止
◆◆◆
1. 下列各式中，能用公式法分解因式的是( ) A ．x2＋4y2 B ．a2＋a ＋1 C ．－x2＋4y2 D ．a2＋ab ＋b2
2. 若x2＋2(m－3)x ＋16是完全平方式，则m 的值是( ) A ．－5 B ．7 C ．－1 D ．7或－1 3. 下列因式分解错误的是( )
A ．x2－y2＝(x＋y)(x－y) B ．x2＋6x ＋9＝(x＋3)2 C ．x2＋xy ＝x(x＋y) D ．x2＋y2＝(x＋y)2
4. 把代数式mx2－6mx ＋9m 分解因式，下列结果中正确的是( ) A ．m(x＋3)2 B ．m(x＋3)(x－3) C ．m(x－4)2 D ．m(x－3)2
5. 把代数式3x3－6x2y ＋3xy2分解因式，结果正确的是( ) A ．x(3x＋y)(x－3y) B ．3x(x2－2xy ＋y2) C ．x(3x－y)2 D ．3x(x－y)2
6. 把多项式x3－2x2＋x 分解因式结果正确的是( ) A ．x(x2－2x) B ．x2(x－2) C ．x(x＋1)(x－1) D ．x(x－1)2
7. 若x2－2(m－3)x ＋1是完全平方式，则m 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．2 D ．4或2
8. 若x －y ＝3，xy ＝－2，则xy2－x2y 的值是_____ 9.9x2－6x ＋________＝(3x－1)2. 10. 分解因式：
（1）a3b －2a2b2＋ab3＝ ： （2） 9x2－y2－4y －4＝______.
（3）（x2+4)2-2(x2+4)+1； (4)(x+y)2-4(x+y-1).
（5）4x3－8x2＋4x （6） 9（x ＋y ＋z ）2－（x －y －z ）2
（7）m2－n2＋2m －2n
（8）m3－4m ；
（10）x －2xy ＋xy2
（12）27x2＋18x ＋3
(9)2a2－4ab ＋2b2； 11）16(a－b)2－4(a＋b)2 13）4x(x＋y) ＋y2. （（
有理数和因式分解
◆·有理数
1. 有理数的分类： 按定义分类：
关于“非”的概念：
“非正数”表示0和负数；“非负整数”表示0和正整数 2. 数轴的概念
什么叫数轴？规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。 原点，正方向和单位长度是数轴的三要素，缺一不可。 3. 相反数
注意：①0的相反数是０，②相反数是成对存在的，一个数是另一个数的相反数，反过来另一个数也是这个数的相反数，不能说某个数是相反数。 4. 绝对值
①一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离。数a 的绝对值记作|a|。
(a >0) a ⎧⎪
②用字母a 表示数，则绝对值的代数意义可以表示为：|a |=⎨0 (a =0)
⎪(a
指出：绝对值的代数定义可以作为求一个数的绝对值的方法。
绝对值的性质：
1、一个正数的绝对值是它的本身 2、零的绝对值是零
3、负数的绝对值是它的相反数。
4、一个数的绝对值永远是一个非负数。|a |≥0
◆练习：
1. 把下列各数分类：
1，-
35
17
，8.2，-7，，0，-3.5，1008，-0.5，-10
2. 当a ﹤0时，a = ；a 的相反数是 ，绝对值为5的数是 ，相反数为3的数为 。
3. 绝对值不大于4。绝对值不大于4。 4. -1的倒数与-
31
12
的相反数的差等于。
5. 满足
1a
=a 的数有 个，他们是 ；满足-a =a 的数有 个，他们是
；满足a =a 的数有 个。
6. 在数轴上与数-1所对应的点相距2长为2个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖 个点。 7. 如果x -2+(y +
32
) =0，那么x +y =
2
8. 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，有理数m 在数轴上的对应点到原点的距离为1，则代数式
a +b a +b +c
+cd +m 的值是 。
9. 绝对值最小的数是-6 。 10. 绝对值小于3。 11. 下列说法正确的是（ ）
A. 正数和负数互为相反数。 B. 数轴上，原点两旁的两个点所表示的数是互为相反数 C. 除0以外的数都有它的相反数。 D. 任何一个数都有它的相反数。 12. 下列说法正确的是（ ）
A. 绝对值等于它本身的数一定是正数 B. 最大的负数是-1
C. 整数是由正整数和负整数所组成的 D. 有限小数是有理数 13. 已知x -1+y -3=0，求
14.50. 若a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，m =2，(c +d ) ⨯ 15、（12分）计算． （l ）-4÷(-2) ⨯（3）-(1-0. 5) ÷
13
3
2
xy x +y
的值。47. 求
a a
+
b b
+
ab ab
的所有可能的值。
a b
+3ab -m
2
=
15
（2）-1. 53⨯0. 75+0. 53⨯
34
-3. 4⨯0. 75
⨯2+(-4)
[
2
] （4）(-5)
3
⨯(-
12
) +32÷(-2) ⨯(-1) 54
3
◆·因式分解 1. 因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解。 2. 因式分解与整式乘法的关系
因式分解的特点：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；
整式乘法的特点：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。 公因式：多项式中的每一项都含有的相同的因式，我们称之为公因式。 提公因式法用公式可表示为:
ma ＋mb ＋mc ＝m(a＋b ＋c) 例：找出多项式3ax2y+6x3yz中的公因式 解 : 3ax2y=3•a •x •x •y 6x3yz=2•3•x •x •x •y •z
所以应提取的公因式是3x2y
小结: 公因式：各项系数的最大公约数与所含相同字母的最低次幂的积。 找出下列式子中的公因式：
(1) 4a3，8a2b2，-30a2bc (2) 2x3y4， -10x2y3，2x2y2
(3) 4x (y-x)2，6x (x-y)2 (4) 3a(x-y)， 9b(y-x) 用提公因式法分解因式：（1）如果多项式的某一项正好是公因式，要注意该项在提取了公因式后，应该用“1”顶替它原来的位置，切不可把“1”漏掉。 ◆公因式的应用：用简便方法计算： 171717
（1）13.7⨯+19.8⨯-2.5⨯
313131
（2）2003⨯99-27⨯11
◆平方差公式：（a+b）(a-b）=a2-b2 ◆完全平方公式：（a ±b ）2=a2±2ab+b2 运用公式法
将乘法公式反过来对某些多项式进行分解因式，这种方法叫做公式法，即a2－b2＝(a＋b)(a－b) ，a2±2ab ＋b2＝(a±b)2. ◆因式分解的一般步骤
(1)一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
(2)二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解； (3)三查：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止
◆◆◆
1. 下列各式中，能用公式法分解因式的是( ) A ．x2＋4y2 B ．a2＋a ＋1 C ．－x2＋4y2 D ．a2＋ab ＋b2
2. 若x2＋2(m－3)x ＋16是完全平方式，则m 的值是( ) A ．－5 B ．7 C ．－1 D ．7或－1 3. 下列因式分解错误的是( )
A ．x2－y2＝(x＋y)(x－y) B ．x2＋6x ＋9＝(x＋3)2 C ．x2＋xy ＝x(x＋y) D ．x2＋y2＝(x＋y)2
4. 把代数式mx2－6mx ＋9m 分解因式，下列结果中正确的是( ) A ．m(x＋3)2 B ．m(x＋3)(x－3) C ．m(x－4)2 D ．m(x－3)2
5. 把代数式3x3－6x2y ＋3xy2分解因式，结果正确的是( ) A ．x(3x＋y)(x－3y) B ．3x(x2－2xy ＋y2) C ．x(3x－y)2 D ．3x(x－y)2
6. 把多项式x3－2x2＋x 分解因式结果正确的是( ) A ．x(x2－2x) B ．x2(x－2) C ．x(x＋1)(x－1) D ．x(x－1)2
7. 若x2－2(m－3)x ＋1是完全平方式，则m 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．2 D ．4或2
8. 若x －y ＝3，xy ＝－2，则xy2－x2y 的值是_____ 9.9x2－6x ＋________＝(3x－1)2. 10. 分解因式：
（1）a3b －2a2b2＋ab3＝ ： （2） 9x2－y2－4y －4＝______.
（3）（x2+4)2-2(x2+4)+1； (4)(x+y)2-4(x+y-1).
（5）4x3－8x2＋4x （6） 9（x ＋y ＋z ）2－（x －y －z ）2
（7）m2－n2＋2m －2n
（8）m3－4m ；
（10）x －2xy ＋xy2
（12）27x2＋18x ＋3
(9)2a2－4ab ＋2b2； 11）16(a－b)2－4(a＋b)2 13）4x(x＋y) ＋y2. （（