当光线由光疏介质射向光密介质时，在两种介质的交界面处反射波与入射波有180度的相位差，即振动方向相反，便是所谓的“半波损失”。半波损失可以用菲涅尔（Fresnel）公式来解释。
菲涅尔所处的时代要早于麦克斯韦，所以他建立的公式是基于光学的角度。而麦克斯韦建立的电磁学理论指出光也是电磁波，那么从麦克斯韦方程出发也能推导出菲涅尔公式，以及解释半波损失。
I.传输线的启发
在前一篇文章中我们基于传输线模型，讨论了特征阻抗。显然它有助于我们理解电磁波的特性与相关物理量。其中定义了传输线的反射系数：
(1)
上式中当z=0时，反射系数为
一般情况下负载阻抗和传输线特征阻抗都为复数，但当负载为纯阻，传输线无损时，即传输线特征阻抗为一实数。若ZL>Z0，反射系数为一正实数，则意味着在负载与负载界面处反射波与入射波同相位；若ZL
II.边界条件
实际上，上面的讨论背后隐藏了一些问题。首先传输线模型基于TEM波，即横电磁波。比如同轴线，认为电磁场只有垂直与线径方向的分量。
第二个问题就是边界问题。考虑前面提到的负载为另一段传输线，如图1所示
图1 同形状不同介质同轴线边界问题
同一条同轴线，导线是相同的材质，但是在z=0的分界面两边同轴线两线之间的介质不同。于是两边特征阻抗不一样，左边为Zc1，右边为Zc2，设介质均为理想的。电磁波由左向右入射，在分界面处会发生反射和透射若假设界面传输线足够长，即同轴线z>0的部分中只有透射波，如图2所示。则右半部分同轴线的特征阻抗就是(1)式中的负载ZL，此时
(2)
但是传输线方程是基于微分方程得到的，此时介质发生突变，我们有理由怀疑上述理论在这种情形下是否还成立。这就促使我们去考虑边界问题。
图2 不同介质界面处平面波垂直入射
在介质突变的情况下，显然微分形式的麦克斯韦方程是不成立的，那么必须借助于积分形式的麦克斯韦方程。积分是微分的逆运算，则有
于是在两种介质的界面处作一个闭合曲面，然后对E或者H沿着曲线作线积分，如图3所示。
图3 磁场H的边界条件
令图中ad=bc=h，ab=cd=l。线段ab和cd与分界面相切。对H作曲线积分
(3)
前面已经假设介质是理想的，即电导率为0。则上式中J=0，而曲线包围的面积很小，电场是个有限值，因此(3)式的右端为0，也就是说磁场的切向分量是连续的。当然当切面上的面电流密度Js不为0时，磁场的切向分量不连续。对于电场E也作同样的处理，但是对电场作曲线积分右端只有一项，所以电场的切向分量始终连续。
由于同轴线传输的是横电磁波，电磁场方向与分界面相切。这就解决了前述边界上的连续性问题。而实际的同轴线，导体上有与电流方向相同的电场分量，而由边界条件可知，介质中的电场的沿线径方向的分量不为0，只是由于导体电导率很高，使得电场很小，这个分量可以忽略。
事实上(3)式中间的步骤省略了一部分，即
在h→0时，这两项为0。因此无法判断电磁场在分界面处法向分量的连续性。此时就要考虑电位移矢量D和磁感应强度B。从麦克斯韦方程可以理解，此时的边界问题变为一个求闭合面面积分的问题，如图4所示。
图4 B或D的边界条件
可以发现B的法向分量是连续的，而由于电介质的极化，分界面上的电荷密度通常不为0，因此D的法向分量常常不连续。
III.菲涅尔公式
菲涅尔从光学的角度推导了菲涅尔公式。
(4)
(5)
上两式称为垂直极化波（对应于垂直偏振光）的菲涅尔公式。
(6)
(7)
上两式称为平行极化波（对应于平行偏振光）的菲涅尔公式。式中Γ为发射系数，τ为透射系数；n1和n2分别是两种介质的折射率；θi和θt分别是入射角和透射角。当入射角为0时，反射角也为0，(4)式有与(2)式相似的形式。但是相比与(2)式，显然菲涅尔公式更具有一般性。因此要从比平面波垂直入射更具有一般性的斜入射来推导菲涅尔公式，如图5所示。
图5 平面波的斜入射
从图中可以看到，任意的入射平面波可以分解为平行极化波和垂直极化波。波的传播方向上的单位矢量为
这里引入一个物理量——波矢量ki=eikj，j=1或2，分别表示波在介质1和2中的波数。是2π长度距离内包含的波长的数目。则入射波的电场可表示为
(8)
上式中的r表示的波阵面所处位置矢量，即r=xex+zez，而中间的步骤显得有些抽象，但是若作出图6所示的图形，则物理意义就变得明确了。
图6 波矢与位矢点乘的意义
所以波矢与位矢点乘的意义是当前波阵面与原点所处波阵面之间的相位差。至于相位是超前还是滞后，从图中显而易见。根据(8)式，则由于E、H和kj呈右手螺旋关系，入射波磁场为
(9)
反射波的波矢为kr=erk1，则反射波的电场为
(10)
反射波磁场为
(11)
透射波的波矢为kt=etk2，则透射波的电场和磁场为
(12)
(13)
根据电场切向分量的连续性，可以在入射波、反射波和透射波之间建立联系。如何计算这个切向分量？
可以设Ei=(x,y,z)，则ez×Ei有
图7 分解入射波后求切向分量
得到一个平行于切面的矢量。值得注意的是这样得到的不一定就是切面上的实际分量，从图7可以看出端倪，但是不妨碍下式的成立。
(14)
上式中指数项中没有z，容易理解分解面处z=0。对于任意的x均成立，于是有
(15)
可知θi=θr，即入射角等于反射角。而
(16)
上式称为电磁波的折射定律。又有
这里n1和n2是两种介质的折射率，c为真空中的光速，v1和v2为介质中的光速。显然折射率大于等于1。
IV.斜入射的反射系数和透射系数
这里要考虑斜入射时的反射系数和透射系数。为此把入射波分解为垂直极化波和平行极化波。如图7所示。
首先考虑垂直极化波
从图中可以看出，垂直极化波只有y轴方向上的分量。于是在介质1中
考虑到最后需要利用边界条件，所以只需考虑z=0的情况就行，后面的式子也作如是处理。
(17)
而磁场只有x轴和z轴方向上的分量。参考图7，想象一下入射波这两个分量指向-ex方向和ez方向；而反射波为ex和ez方向。因此有
(18)
而z轴方向的分量由于不满足边界上连续的条件，因此可以不作考虑。
透射波的电场为
(19)
透射波的磁场为
(20)
在分界面处，切向电场连续。又根据式(15)的关系可得，所以(17)式和(19)式相等
(21)
式(18)和式(20)也应该相等，因此有
(22)
把式(21)代入式(22)得
(23)
(24)
这就是垂直极化波的菲涅尔公式。
接下来考虑平行极化波。
平行极化波的电场有x轴和z轴方向的分量。由于电场有z轴方向分量，不符合边界连续条件。故与垂直极化波不同，这里从磁场的连续性反推透射电场。
参考图7，可以想象出入射磁场只有y轴正方向的分量。
(25)
而入射电场x轴方向分量
所以
(26)
而透射磁场为
(27)
透射电场的x轴分量为
(28)
式(26)与式(28)应该是相等的，根据式(15)的条件。故有
所以平行极化波的反射系数为
(29)
而由
所以平行极化波的透射系数为
(30)
式(29)和式(30)就是平行极化波的菲涅尔公式。
V.一些细节问题
经过第四小节较为繁琐的数学推导，读者可能早已迷惑。但是仍有一些问题没有解释，而梳理通这些问题对于正确理解菲涅尔公式显得十分重要。
1.在(4)~(7)式中，除角度以外的参数是折射率；而式(23)、(24)与(29)、(30)中的参数为波阻抗。那么两者之间有什么关系？
事实上，通常光频段的媒质磁导率μ1≈μ2≈μ0[1]，即对磁不敏感。
对(4)式右端上下同除n2，(23)式右端上下同除η1，则有
2.当入射角为0时，即垂直入射，反射角也为0。在这种特殊的情况下平行极化波和垂直极化波之间就没有区别。但是代入式(23)和式(29)，得到的结果却是
这与(2)式是一样的。当η2η1时，没有半波损失。而
与前述情况刚好相反，那么两者到底谁正确呢？
实际上发生半波损失的条件仍旧是η2
那么负号到底是给E呢还是给H？这个就有任意性，但是不影响结果。事实上当电场发生半波损失的时候，磁场也有半波损失。
这也不禁令我想到格林公式
显然，x轴和y轴完全是等价的，P和Q也是任意的。可为什么等式右边有一项为正，有一项为负呢？实际上也是由参考方向的选取造成的。因为积分的曲线是有向曲线，而通常约定取右手螺旋为正。
其他诸如电荷的正负、磁极的南北等等等等，都是一样的道理。
VI.参考文献
[1] 谢处方,饶克谨.电磁场与电磁波（第4版）.高等教育出版社.2006.1
当光线由光疏介质射向光密介质时，在两种介质的交界面处反射波与入射波有180度的相位差，即振动方向相反，便是所谓的“半波损失”。半波损失可以用菲涅尔（Fresnel）公式来解释。
菲涅尔所处的时代要早于麦克斯韦，所以他建立的公式是基于光学的角度。而麦克斯韦建立的电磁学理论指出光也是电磁波，那么从麦克斯韦方程出发也能推导出菲涅尔公式，以及解释半波损失。
I.传输线的启发
在前一篇文章中我们基于传输线模型，讨论了特征阻抗。显然它有助于我们理解电磁波的特性与相关物理量。其中定义了传输线的反射系数：
(1)
上式中当z=0时，反射系数为
一般情况下负载阻抗和传输线特征阻抗都为复数，但当负载为纯阻，传输线无损时，即传输线特征阻抗为一实数。若ZL>Z0，反射系数为一正实数，则意味着在负载与负载界面处反射波与入射波同相位；若ZL
II.边界条件
实际上，上面的讨论背后隐藏了一些问题。首先传输线模型基于TEM波，即横电磁波。比如同轴线，认为电磁场只有垂直与线径方向的分量。
第二个问题就是边界问题。考虑前面提到的负载为另一段传输线，如图1所示
图1 同形状不同介质同轴线边界问题
同一条同轴线，导线是相同的材质，但是在z=0的分界面两边同轴线两线之间的介质不同。于是两边特征阻抗不一样，左边为Zc1，右边为Zc2，设介质均为理想的。电磁波由左向右入射，在分界面处会发生反射和透射若假设界面传输线足够长，即同轴线z>0的部分中只有透射波，如图2所示。则右半部分同轴线的特征阻抗就是(1)式中的负载ZL，此时
(2)
但是传输线方程是基于微分方程得到的，此时介质发生突变，我们有理由怀疑上述理论在这种情形下是否还成立。这就促使我们去考虑边界问题。
图2 不同介质界面处平面波垂直入射
在介质突变的情况下，显然微分形式的麦克斯韦方程是不成立的，那么必须借助于积分形式的麦克斯韦方程。积分是微分的逆运算，则有
于是在两种介质的界面处作一个闭合曲面，然后对E或者H沿着曲线作线积分，如图3所示。
图3 磁场H的边界条件
令图中ad=bc=h，ab=cd=l。线段ab和cd与分界面相切。对H作曲线积分
(3)
前面已经假设介质是理想的，即电导率为0。则上式中J=0，而曲线包围的面积很小，电场是个有限值，因此(3)式的右端为0，也就是说磁场的切向分量是连续的。当然当切面上的面电流密度Js不为0时，磁场的切向分量不连续。对于电场E也作同样的处理，但是对电场作曲线积分右端只有一项，所以电场的切向分量始终连续。
由于同轴线传输的是横电磁波，电磁场方向与分界面相切。这就解决了前述边界上的连续性问题。而实际的同轴线，导体上有与电流方向相同的电场分量，而由边界条件可知，介质中的电场的沿线径方向的分量不为0，只是由于导体电导率很高，使得电场很小，这个分量可以忽略。
事实上(3)式中间的步骤省略了一部分，即
在h→0时，这两项为0。因此无法判断电磁场在分界面处法向分量的连续性。此时就要考虑电位移矢量D和磁感应强度B。从麦克斯韦方程可以理解，此时的边界问题变为一个求闭合面面积分的问题，如图4所示。
图4 B或D的边界条件
可以发现B的法向分量是连续的，而由于电介质的极化，分界面上的电荷密度通常不为0，因此D的法向分量常常不连续。
III.菲涅尔公式
菲涅尔从光学的角度推导了菲涅尔公式。
(4)
(5)
上两式称为垂直极化波（对应于垂直偏振光）的菲涅尔公式。
(6)
(7)
上两式称为平行极化波（对应于平行偏振光）的菲涅尔公式。式中Γ为发射系数，τ为透射系数；n1和n2分别是两种介质的折射率；θi和θt分别是入射角和透射角。当入射角为0时，反射角也为0，(4)式有与(2)式相似的形式。但是相比与(2)式，显然菲涅尔公式更具有一般性。因此要从比平面波垂直入射更具有一般性的斜入射来推导菲涅尔公式，如图5所示。
图5 平面波的斜入射
从图中可以看到，任意的入射平面波可以分解为平行极化波和垂直极化波。波的传播方向上的单位矢量为
这里引入一个物理量——波矢量ki=eikj，j=1或2，分别表示波在介质1和2中的波数。是2π长度距离内包含的波长的数目。则入射波的电场可表示为
(8)
上式中的r表示的波阵面所处位置矢量，即r=xex+zez，而中间的步骤显得有些抽象，但是若作出图6所示的图形，则物理意义就变得明确了。
图6 波矢与位矢点乘的意义
所以波矢与位矢点乘的意义是当前波阵面与原点所处波阵面之间的相位差。至于相位是超前还是滞后，从图中显而易见。根据(8)式，则由于E、H和kj呈右手螺旋关系，入射波磁场为
(9)
反射波的波矢为kr=erk1，则反射波的电场为
(10)
反射波磁场为
(11)
透射波的波矢为kt=etk2，则透射波的电场和磁场为
(12)
(13)
根据电场切向分量的连续性，可以在入射波、反射波和透射波之间建立联系。如何计算这个切向分量？
可以设Ei=(x,y,z)，则ez×Ei有
图7 分解入射波后求切向分量
得到一个平行于切面的矢量。值得注意的是这样得到的不一定就是切面上的实际分量，从图7可以看出端倪，但是不妨碍下式的成立。
(14)
上式中指数项中没有z，容易理解分解面处z=0。对于任意的x均成立，于是有
(15)
可知θi=θr，即入射角等于反射角。而
(16)
上式称为电磁波的折射定律。又有
这里n1和n2是两种介质的折射率，c为真空中的光速，v1和v2为介质中的光速。显然折射率大于等于1。
IV.斜入射的反射系数和透射系数
这里要考虑斜入射时的反射系数和透射系数。为此把入射波分解为垂直极化波和平行极化波。如图7所示。
首先考虑垂直极化波
从图中可以看出，垂直极化波只有y轴方向上的分量。于是在介质1中
考虑到最后需要利用边界条件，所以只需考虑z=0的情况就行，后面的式子也作如是处理。
(17)
而磁场只有x轴和z轴方向上的分量。参考图7，想象一下入射波这两个分量指向-ex方向和ez方向；而反射波为ex和ez方向。因此有
(18)
而z轴方向的分量由于不满足边界上连续的条件，因此可以不作考虑。
透射波的电场为
(19)
透射波的磁场为
(20)
在分界面处，切向电场连续。又根据式(15)的关系可得，所以(17)式和(19)式相等
(21)
式(18)和式(20)也应该相等，因此有
(22)
把式(21)代入式(22)得
(23)
(24)
这就是垂直极化波的菲涅尔公式。
接下来考虑平行极化波。
平行极化波的电场有x轴和z轴方向的分量。由于电场有z轴方向分量，不符合边界连续条件。故与垂直极化波不同，这里从磁场的连续性反推透射电场。
参考图7，可以想象出入射磁场只有y轴正方向的分量。
(25)
而入射电场x轴方向分量
所以
(26)
而透射磁场为
(27)
透射电场的x轴分量为
(28)
式(26)与式(28)应该是相等的，根据式(15)的条件。故有
所以平行极化波的反射系数为
(29)
而由
所以平行极化波的透射系数为
(30)
式(29)和式(30)就是平行极化波的菲涅尔公式。
V.一些细节问题
经过第四小节较为繁琐的数学推导，读者可能早已迷惑。但是仍有一些问题没有解释，而梳理通这些问题对于正确理解菲涅尔公式显得十分重要。
1.在(4)~(7)式中，除角度以外的参数是折射率；而式(23)、(24)与(29)、(30)中的参数为波阻抗。那么两者之间有什么关系？
事实上，通常光频段的媒质磁导率μ1≈μ2≈μ0[1]，即对磁不敏感。
对(4)式右端上下同除n2，(23)式右端上下同除η1，则有
2.当入射角为0时，即垂直入射，反射角也为0。在这种特殊的情况下平行极化波和垂直极化波之间就没有区别。但是代入式(23)和式(29)，得到的结果却是
这与(2)式是一样的。当η2η1时，没有半波损失。而
与前述情况刚好相反，那么两者到底谁正确呢？
实际上发生半波损失的条件仍旧是η2
那么负号到底是给E呢还是给H？这个就有任意性，但是不影响结果。事实上当电场发生半波损失的时候，磁场也有半波损失。
这也不禁令我想到格林公式
显然，x轴和y轴完全是等价的，P和Q也是任意的。可为什么等式右边有一项为正，有一项为负呢？实际上也是由参考方向的选取造成的。因为积分的曲线是有向曲线，而通常约定取右手螺旋为正。
其他诸如电荷的正负、磁极的南北等等等等，都是一样的道理。
VI.参考文献
[1] 谢处方,饶克谨.电磁场与电磁波（第4版）.高等教育出版社.2006.1