【精选三年经典试题（数学）】2014届高三全程必备《高频题型全掌
握系列》14. 椭圆、双曲线、抛物线的基本性质的考查
（2013. 山东省名校联考）已知双曲线x 2y 2
1. a 2-b
2=1(a >0, b >0) 的离心率为2，一个焦点与
抛物线y 2=16x 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为
（A ．y =±
3
2
x B ．y =±
32
x C ．y =±
33
x D ．y =±3x
【答案】D
抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以双曲线中c =4。又e =
c
a
=
2，所以a =2, b ===
。所以双曲线飞渐近线方程为y =±
b a x =x =，选D. 2. （2013. 温州市适应性考试）若双曲线x 2y 2
a 2-b
2=1(a >0, b >0) 的渐近线与抛物线
y =x 2+2相切，则此双曲线的离心率等于
A． 2 B ．3 C
D．9
B
双曲线的渐近线为y =±
b a x ，不妨取y =b a x ，代入抛物线得b
a
x =x 2+2，即x 2-b b
a x +2=0，要使渐近线与抛物线y =x 2+2相切，则∆=(a
) 2-8=0，即b 2=8a 2，
又b 2=c 2-a 2=8a 2，所以c 2=9a 2，所以e 2
=9, e =3。所以此双曲线的离心率是3，选B. 3. （2013届北京朝阳区一模理科）抛物线y 2
=2px （p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =120︒. 过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则
|MN |
|AB |
的最大值为
D. 2 ）
【答案】A
设|AF|=a，|BF|=b，连接AF 、BF 。由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
22222
在梯形ABPQ 中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|=a+b﹣2abcos120°=a+b+ab 配方得， AB =(a +b ) 2-ab ，又因为ab ≤(
2
a +b 2
) ，所以2
(a +b ) 23(a +b ) 2,
所以AB ≥(a +b ) -ab ≥(a +b ) -=a +
b ) ，所以
442
2
MN MN
, 即．选：A ≤=
AB
AB
x 2
4．(2011·咸宁调研) 已知抛物线y ＝4x 的准线与双曲线2y ＝1 (a>0)交于A 、B 两点，点
a
F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( ) A . 3 B . 6 C ．2 D ．3 4. B
2
2
5．已知圆的方程为x ＋y －6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )
A ．6 B ．6 C ．6 D ．6
2
2
5.B
6. （2013北京东城高三二模数学文科）过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A , B 两点,
若AB =10, 则AB 的中点P 到y 轴的距离等于___. 4
抛物线y 2=4x 的焦点（1，0），准线为l ：x =-1，设AB 的中点为 E，过 A、E 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为 C、F 、D ，EF 交纵轴于点H ，如图所示：则由EF 为直角梯形的中位线知EF =
AC +BD AB
==5，所以EH =EF -1=5-1=4, 即则B 的中点到y 轴的距离22
等于4．.
【精选三年经典试题（数学）】2014届高三全程必备《高频题型全掌
握系列》14. 椭圆、双曲线、抛物线的基本性质的考查
（2013. 山东省名校联考）已知双曲线x 2y 2
1. a 2-b
2=1(a >0, b >0) 的离心率为2，一个焦点与
抛物线y 2=16x 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为
（A ．y =±
3
2
x B ．y =±
32
x C ．y =±
33
x D ．y =±3x
【答案】D
抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以双曲线中c =4。又e =
c
a
=
2，所以a =2, b ===
。所以双曲线飞渐近线方程为y =±
b a x =x =，选D. 2. （2013. 温州市适应性考试）若双曲线x 2y 2
a 2-b
2=1(a >0, b >0) 的渐近线与抛物线
y =x 2+2相切，则此双曲线的离心率等于
A． 2 B ．3 C
D．9
B
双曲线的渐近线为y =±
b a x ，不妨取y =b a x ，代入抛物线得b
a
x =x 2+2，即x 2-b b
a x +2=0，要使渐近线与抛物线y =x 2+2相切，则∆=(a
) 2-8=0，即b 2=8a 2，
又b 2=c 2-a 2=8a 2，所以c 2=9a 2，所以e 2
=9, e =3。所以此双曲线的离心率是3，选B. 3. （2013届北京朝阳区一模理科）抛物线y 2
=2px （p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =120︒. 过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则
|MN |
|AB |
的最大值为
D. 2 ）
【答案】A
设|AF|=a，|BF|=b，连接AF 、BF 。由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
22222
在梯形ABPQ 中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|=a+b﹣2abcos120°=a+b+ab 配方得， AB =(a +b ) 2-ab ，又因为ab ≤(
2
a +b 2
) ，所以2
(a +b ) 23(a +b ) 2,
所以AB ≥(a +b ) -ab ≥(a +b ) -=a +
b ) ，所以
442
2
MN MN
, 即．选：A ≤=
AB
AB
x 2
4．(2011·咸宁调研) 已知抛物线y ＝4x 的准线与双曲线2y ＝1 (a>0)交于A 、B 两点，点
a
F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( ) A . 3 B . 6 C ．2 D ．3 4. B
2
2
5．已知圆的方程为x ＋y －6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )
A ．6 B ．6 C ．6 D ．6
2
2
5.B
6. （2013北京东城高三二模数学文科）过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A , B 两点,
若AB =10, 则AB 的中点P 到y 轴的距离等于___. 4
抛物线y 2=4x 的焦点（1，0），准线为l ：x =-1，设AB 的中点为 E，过 A、E 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为 C、F 、D ，EF 交纵轴于点H ，如图所示：则由EF 为直角梯形的中位线知EF =
AC +BD AB
==5，所以EH =EF -1=5-1=4, 即则B 的中点到y 轴的距离22
等于4．.