高一物理（期中复习）核心知识点、公式总结
高中部：时海飛
第五章 曲线运动
知识点一 曲线运动
1. 曲线运动：物体的运动轨迹为曲线的运动叫曲线运动．
2. 曲线运动的条件是：质点受合外力的方向(或加速度方向) 跟它的速度方向不在同一直线上． 3. 曲线运动的特点：
（1）速度方向一定改变，所以是变速运动， 必有加速度．
（2）质点在某一点（或某一时刻）的速度方向是在曲线的这一点的切线方向． （3）质点做曲线运动，曲线的弯曲方向定是合外力的方向．（即：在哪边受力向哪边弯曲）
知识点二 运动的合成和分解 1. 运动的合成与分解：
如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就叫做那几个运动的合运动，那几个运动叫做这个实际运动的分运动． 合运动与分运动的关系：
（1） 等效性． （2）等时性． （3）独立性．
2. 运动的合成与分解的运算法则：位移、速度、加速度的合成与分解．遵循平行四边形定则进行合成或
分解．
3. 合运动与分运动的性质和轨迹的关系
两直线运动的合运动的性质和轨迹有各分运动的性质及合初速度的方向和大小关系决定． （1）两个匀速直线运动的和运动一定是匀速直线运动．
（2）一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动． （3）当二者共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动．
两个匀变速直线运动的合运动一定是变速运动． 若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上时，则是曲线运动． 4. 两类典型问题
（1）小船过河问题：
d
①最短时间过河：过河时间仅由的垂直于岸的分量v ⊥决定，即t =，与v 水无关，所以当v 船垂直于
v ⊥
d
河岸时，过河所用时间最短，最短时间为t =．
v 船
②最短位移过河：过河路程由实际运动轨迹的方向决定，当v 船>v水时，最短路程为d ；当v 船
v
最短路程为水d
v 船
（2）关联速度问题
物体的实际运动速度为合速度，一般将该速度沿绳和垂直于绳两个方向正交分解．如图所示，通过不可伸长的绳连在一起．则沿绳方向的分速度大小相等．
v A =
v cos α
知识点三 平抛运动
1．定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动．
2．性质：加速度为重力加速度g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
平抛运动的速率随时间变化不是均匀的，但速度随时间的变化是均匀的，要注意区分．
3．规律
（1
（3①从抛出点开始，任意时刻速度偏向角的正切值等于位移偏向角正切值的两倍．
②抛物线上某点的速度反向延长线与初速度延长线的交点到抛点的距离等于该段平抛水平位移的一半．
③在任意两个相等的∆t 内，速度矢量的变化量∆v 是相等的，即∆v 的大小与∆t 成正比，方向竖直向下．
④平抛运动的时间为t =，取决于下落的高度，而与初速度大小无关．水平位移x =v 0t =v 取决于下落的高度和初速度．
知识点四 斜抛运动
1. 斜抛运动的特点：初速度斜向上或者斜向下，仅受重力作用 2. 斜抛运动分解为：
水平方向——匀速直线运动 竖直方向——竖直上抛运动
v x =v 0cos θ v y =v 0sin θ-gt x =v 0cos θ⋅t
v
x
y =v 0sin θ⋅t -
v 0sin θ
；小球自最高点自由落下所需时间，与上升到最g
2v sin θ
高点所需时间相等，因此小球飞行时间为T =2t =0．小球能达到的最大高度（h ）叫做射高；
g
当v y =0时，小球达到最高点，所用时间t =
从抛出点到落地点的水平距离(s)叫做射程
知识点五 描述圆周运动的物理量
∆l
1. 线速度：质点沿圆周运动的快慢，大小v =
∆t ∆θ
2. 角速度：质点绕圆心转动的快慢，ω=（rad/s）
∆t
12π2π
3. v 、ω、T 、f 具有如下的换算关系：T =，ω==2πf ，v =ωr =r =2πfr
f T T
4. 向心加速度：线速度方向改变的快慢．
v 24π2222
（1）a n ==ωr =4πf r =2r
r T
（2）方向在不停地改变，但总是指向圆心，因此a n 是个变量．
（3）a n 与r 是成正比还是反比，取决于固定不变的量，如：若ω固定不变，则a n 与r 成正比；若v 固
定不变，则a n 与r 成反比．
12gt 2
5. 向心力
（1）按效果命名，不是性质力，可能是单个力，也可能是几个力的合力共同提供．
v 24π22
（2）大小：F n =ma n =m =m ωr =m ωv =m 2r ．
r T
（3）当沿半径方向的力F
v
时，物体做离心运动．
r
2
知识点六 匀速圆周运动
1. 特点：线速度大小恒定，角速度、周期、频率恒定，向心加速度和向心力大小恒定． 2. 质点做匀速圆周的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直，且指向圆心． 3. 匀速圆周运动的向心力
（1） 做匀速圆周运动的物体的向心力就是物体所受的合外力．
v 24π22
（2）F n =ma n =m =m ωr =m ωv =m 2r
r T
4. 两种传动方式
①共轴转动：特点：ωa=ωb Ta=Tb Va:Vb=Ra:Rb
②皮带、齿轮传动：Va=VbTa:Tb=Ra:Rbωa:ωb=Rb:Ra
知识点七生活中的圆周运动 1. 火车拐弯
v 2
mgtan θ=m
R 对内外轨均恰无作用力：
2. 凸、凹形桥
3. 竖直圆内圆周运动
第六章 万有引力与航天
知识点一 天体的运动
1．人类对天体运动的认识过程
托勒密：地心说。 哥白尼：日心说．第谷：大量观测数据 开普勒：行星运动三大定律 2．开普勒三定律
①开普勒第一定律：又称轨道定律，所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
②开普勒第二定律：又称面积定律，对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等．
③开普勒第三定律：又称周期定律，所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值相等．
用
R 3
公式表示：2=k ，其中比例常数k 与行星无关只与太阳有关．
T
知识点二 万有引力定律 1． 万有引力定律
定律内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们距离的二次方成反比． 2． 公式：
mm
F =G 2公式中的G 叫做引力常量，G =6.67⨯10-11N ⋅m 2/kg 2．
r
物理意义：对于任何物体来说，G 值都是相同的，它在数值上等于质量为1kg 的两个物体，相距1m 时的相互作用力．
3．对万有引力定律的理解 （1）适用条件：
①当两个物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可以看成质点，直接使用万有引力定律计算． ②当两物体是质量分布均匀的球体时，它们之间的引力也可直接用公式计算，但式中r 是指两球心间距离．
③当研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力． （2）万有引力的性质：
①普遍性：②相互性：③一般物体之间虽然存在万有引力，但是很小，天体与物体之间或天体之间的万有引力才比较显著．因此在涉及天体运动时，才考虑万有引力．
知识点三 重力、重力加速度与万有引力的关系 1．地球上的重力和万有引力的关系
在地球表面上的物体所受的万有引力F 引可以分解成物体所受的重力mg 和
随地球自转而做圆周运动的向心力F ，如图所示，其中F 引=G F =mr ω2，
2
F =mr ωmg max F F F 引、、三力同向，（1）当物体在赤道上时，此时达到最大值，
Mm
，而R 2
M
-R ω2； 2
m R
（2）当物体在两极的极点时，F =0，F 引=mg ，此时重力等于万有引力，重力加速度达到最大值，此最
重力加速度达到最小值g min =
M ； R 2
F 引-F
=G
大值为g max =G
因为地球自转角速度很小，2．天体表面的重力和重力加速度
在质量为M 、半径为R 的天体表面上，若忽略天体自转影响，质量为m 的物体的重力加速度g 可以认为
Mm M
是由万有引力产生的，则mg =G 2，得：g =G 2（R 为天体半径，M 为天体质量）。
R R
g 1R 22M 1
=2∙g 由此可得不同星球表面重力加速度的关系为：2R 1M 2 3．求某高度处的重力加速度
mg h =G
Mm
(R +h ) 2
G
Mm Mm
mR ω2mg =G 22R R 。 ，所以在一般情况下计算时认为
g h =G
设离星球表面高度为h 处的重力加速度为g h ，则
重力加速度随高度的增加而减小。
，则
M (R +h ) 2
，
星球表面的重力加速度和某高度处的重力加速度之间的关系为：
g h R 2
=
g (R +h ) 2
知识点四 天体质量和密度的计算 1．天体质量的计算
（1）已知行星的公转半径r ，公转周期T ，设行星的质量为m ，中心天体质量为M ．
2π
F 向=m ω2r =m () 2r
T 那么由万有引力定律得：
4π2r 3Mm 2π2
M =G 2=m () r
r T GT 2． 根据圆周运动规律，F 向=F 万，即，所以
gR 2Mm
M =mg =G 2
R 得G ． （2）已知天体：半径R 和天体表面的重力加速度g ，根据
rv 2
M =GMm v 2
G ． （3）已知行星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度v 和轨道半径r ，根据2=m ，得：
r r GMm mv 2v 3T GMm 2π
=M ==mv ⋅22
T 和r r 得：2πG ．（5）已知行星绕中心天体运行的线速度v 和周期T ，根据r
2．天体密度的测定
（1）天体质量测出后，如果能求出天体的体积，那么天体的密度可以测定，即
M 4πr 33r 3
ρ===
4πR 3GT 2R 3V 2
GT ⨯
3
式中r 为行星的公转轨道半径，R 为中心天体的半径，T 为行星的公转周期．
3π
若行星为中心天体的近地卫星，则r ≈R ，中心天体的密度ρ=．
GT 2
gR 2gR 2
M =M =
G G ，则天体密度（2）天体半径与天体表面的重力加速度已知时，根据，求出天体质量
M gR 23g
ρ===．
V G ⨯πR 34πGR
3
3．“星体自转不解体”模型
指星球表面上的物体随星球自转而绕自转轴（某点）做匀速圆周运动，其特点为： ①具有与星球自转相同的角速度和周期；
②万有引力除提供物体做匀速圆周运动所需的向心力外，还要产生重力．
知识点五 圆周运动各物理量与轨道半径的关系
1. 基本方法：将天体运动或卫星运动看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，因此可以根据万有引力定律、牛顿第二定律及向心力公式来求解各类问题．
Mm v 24π2r 2
F =G 2=m =mr ω=m 2
r r T
式中a n 、v 、ω和T 分别表示环绕天体做圆周运动的向心加1. M 为中心天体的质量，m 为环绕天体的质量，
速度、线速度、角速度和周期．根据问题的特点条件，灵活选用的相应的公式进行分析求解．
2. 当天体做稳定的匀速圆周运动时，天体a 、v 、ω、T 、、r 间的关系如下：
GM 1⎧
ma →a =→a ∝(轨道所在处重力加速度g ') ⎪r 2r 2⎪2
⎪v
v ⎪m r →v =Mm ⎪
F 万=G 2=F 向=⎨
r ⎪m ω2r →ω=ω⎪⎪
⎪4π2→T ⎪m 2r →T =
⎩T
口诀：高轨低速大周期
知识点六 人造卫星和宇宙速度
1．如图所示三种轨道中，b 、c 轨道经过地心，可以存在，而a 轨道不存在． 2.
2．人造卫星的运动学特征（m 1为地球质量，r 为卫星轨道半径）
人造卫星绕地球做圆周运动时，由万有引力提供环绕地球做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律：
m 1m 2v 2G 2=
m 2
r r 得v =r 越大，v 越小． （1）由
m m
G 122=
m 2ω2r r （2）由得ω=r 越大，ω越小．
m 1m 24π
（3）由G 2=
m 22r 得T =r 越大，T 越大．
r T
取r =R =6400km 代入有T min =84min ．这是地球卫星的最小周期，任何实际卫星的周期均大于该值．
3．三种宇宙速度
（1）第一宇宙速度（环绕速度）
卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度v 1=7.9km/s，此值为人造卫星在地面附近做匀速圆周运动所必须具有的速度，叫第一宇宙速度．同时它也是发射卫星的最小速度，小于这个速度，不可能发射卫星． 求第一宇宙速度有两种方法：
Mm v 2
v =G 2=
m
R ，得①由R
v 2
mg =
m
，得v = ②由
其他星球的第一宇宙速度计算方法同上，M 为该星球的质量，R 为该星球的半径，g 为该星球表面的重力加速度．依据已知条件，灵活选用计算公式． （2）第二宇宙速度（脱离速度）
卫星或飞船要想脱离地球的引力束缚，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其他行星上去所必需的最小发射速度，称为第二宇宙速度，其大小为11.2km/s． （3）第三宇宙速度（逃逸速度）
地面上的物体发射出去，使之最后能脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度，称为第三宇宙速度，其大小为16.7km/s．
（4）地球同步卫星是指，位于赤道上方，相对于地面静止的、运行周期与地球的自转周期(T =24h) 相等的卫星，这种卫星主要用于全球通信和转播电视信号．又叫做同步通信卫星．
同步卫星：概括为“六个一定”．
周期一定(T =24h)
（v ≈3.1km/s）速率一定
位置一定（必须位于地球赤道的上空）
4
(h ≈3.6⨯10km) 高度一定
2
(a ≈0.228m/s) n 向心加速度一定
运行方向一定（自西向东运行）
知识点七 变轨问题及卫星追及问题
1．稳定运行：卫星稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力。 2．变轨运行：当卫星的速度突然发生变化时，向心力与万有引力不再相等，解答这一模型的有关问题，
P
①若②若③若
，供求平衡——物体做匀速圆周运动； ，供不应求——物体做离心运动； ，供过于求——物体做向心运动．
F 供=F 求F 供F 求
知识点八 卫星及天体相遇问题
两天体（行星、卫星或探测器）相遇，实际上是指两天体相距最近．
设卫星1（离地球近些）与卫星2某时刻相距最近，如果经过时间t ，两卫星与地心连线半径转过的角度相差2π的整数倍，则两卫星又相距最近，即ω1t -ω2t =2n π(n =1,2,3, ) ；如果经过时间t '，两卫星与地心连线半径转过的角度相差π的奇数倍，则两卫星相距最远，即ω1t '-ω2t '=(2n -1) π，（n =1,2,3, ）
知识点九 双星问题 对于双星问题要注意：
①两星球所需的向心力由两星球间万有引力提供，两星球圆周运动向心力大小相等；
②两星球绕两星球间连线上的某点（转动中心）做圆周运动的角速度ω或周期T 的大小相等； ③两星球绕共同中心转动的半径r 1、r 2的和等于两星球间的距离，即r 1+r 2=L ．
L
4π2L 3
若已知双星间距L ，周期T ，则双星总质量为：M 1+M 2=
GT 2
知识点十经典力学的局限性： 1. 经典力学的适用范围：
只适用于低速运动，不适用于高速运动； 只适用于宏观世界，不适用于微观世界； 只适用于弱引力情况，不适用于强引力情况 2. 相对质量
m =
高一物理（期中复习）核心知识点、公式总结
高中部：时海飛
第五章 曲线运动
知识点一 曲线运动
1. 曲线运动：物体的运动轨迹为曲线的运动叫曲线运动．
2. 曲线运动的条件是：质点受合外力的方向(或加速度方向) 跟它的速度方向不在同一直线上． 3. 曲线运动的特点：
（1）速度方向一定改变，所以是变速运动， 必有加速度．
（2）质点在某一点（或某一时刻）的速度方向是在曲线的这一点的切线方向． （3）质点做曲线运动，曲线的弯曲方向定是合外力的方向．（即：在哪边受力向哪边弯曲）
知识点二 运动的合成和分解 1. 运动的合成与分解：
如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就叫做那几个运动的合运动，那几个运动叫做这个实际运动的分运动． 合运动与分运动的关系：
（1） 等效性． （2）等时性． （3）独立性．
2. 运动的合成与分解的运算法则：位移、速度、加速度的合成与分解．遵循平行四边形定则进行合成或
分解．
3. 合运动与分运动的性质和轨迹的关系
两直线运动的合运动的性质和轨迹有各分运动的性质及合初速度的方向和大小关系决定． （1）两个匀速直线运动的和运动一定是匀速直线运动．
（2）一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动． （3）当二者共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动．
两个匀变速直线运动的合运动一定是变速运动． 若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上时，则是曲线运动． 4. 两类典型问题
（1）小船过河问题：
d
①最短时间过河：过河时间仅由的垂直于岸的分量v ⊥决定，即t =，与v 水无关，所以当v 船垂直于
v ⊥
d
河岸时，过河所用时间最短，最短时间为t =．
v 船
②最短位移过河：过河路程由实际运动轨迹的方向决定，当v 船>v水时，最短路程为d ；当v 船
v
最短路程为水d
v 船
（2）关联速度问题
物体的实际运动速度为合速度，一般将该速度沿绳和垂直于绳两个方向正交分解．如图所示，通过不可伸长的绳连在一起．则沿绳方向的分速度大小相等．
v A =
v cos α
知识点三 平抛运动
1．定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动．
2．性质：加速度为重力加速度g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
平抛运动的速率随时间变化不是均匀的，但速度随时间的变化是均匀的，要注意区分．
3．规律
（1
（3①从抛出点开始，任意时刻速度偏向角的正切值等于位移偏向角正切值的两倍．
②抛物线上某点的速度反向延长线与初速度延长线的交点到抛点的距离等于该段平抛水平位移的一半．
③在任意两个相等的∆t 内，速度矢量的变化量∆v 是相等的，即∆v 的大小与∆t 成正比，方向竖直向下．
④平抛运动的时间为t =，取决于下落的高度，而与初速度大小无关．水平位移x =v 0t =v 取决于下落的高度和初速度．
知识点四 斜抛运动
1. 斜抛运动的特点：初速度斜向上或者斜向下，仅受重力作用 2. 斜抛运动分解为：
水平方向——匀速直线运动 竖直方向——竖直上抛运动
v x =v 0cos θ v y =v 0sin θ-gt x =v 0cos θ⋅t
v
x
y =v 0sin θ⋅t -
v 0sin θ
；小球自最高点自由落下所需时间，与上升到最g
2v sin θ
高点所需时间相等，因此小球飞行时间为T =2t =0．小球能达到的最大高度（h ）叫做射高；
g
当v y =0时，小球达到最高点，所用时间t =
从抛出点到落地点的水平距离(s)叫做射程
知识点五 描述圆周运动的物理量
∆l
1. 线速度：质点沿圆周运动的快慢，大小v =
∆t ∆θ
2. 角速度：质点绕圆心转动的快慢，ω=（rad/s）
∆t
12π2π
3. v 、ω、T 、f 具有如下的换算关系：T =，ω==2πf ，v =ωr =r =2πfr
f T T
4. 向心加速度：线速度方向改变的快慢．
v 24π2222
（1）a n ==ωr =4πf r =2r
r T
（2）方向在不停地改变，但总是指向圆心，因此a n 是个变量．
（3）a n 与r 是成正比还是反比，取决于固定不变的量，如：若ω固定不变，则a n 与r 成正比；若v 固
定不变，则a n 与r 成反比．
12gt 2
5. 向心力
（1）按效果命名，不是性质力，可能是单个力，也可能是几个力的合力共同提供．
v 24π22
（2）大小：F n =ma n =m =m ωr =m ωv =m 2r ．
r T
（3）当沿半径方向的力F
v
时，物体做离心运动．
r
2
知识点六 匀速圆周运动
1. 特点：线速度大小恒定，角速度、周期、频率恒定，向心加速度和向心力大小恒定． 2. 质点做匀速圆周的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直，且指向圆心． 3. 匀速圆周运动的向心力
（1） 做匀速圆周运动的物体的向心力就是物体所受的合外力．
v 24π22
（2）F n =ma n =m =m ωr =m ωv =m 2r
r T
4. 两种传动方式
①共轴转动：特点：ωa=ωb Ta=Tb Va:Vb=Ra:Rb
②皮带、齿轮传动：Va=VbTa:Tb=Ra:Rbωa:ωb=Rb:Ra
知识点七生活中的圆周运动 1. 火车拐弯
v 2
mgtan θ=m
R 对内外轨均恰无作用力：
2. 凸、凹形桥
3. 竖直圆内圆周运动
第六章 万有引力与航天
知识点一 天体的运动
1．人类对天体运动的认识过程
托勒密：地心说。 哥白尼：日心说．第谷：大量观测数据 开普勒：行星运动三大定律 2．开普勒三定律
①开普勒第一定律：又称轨道定律，所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
②开普勒第二定律：又称面积定律，对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等．
③开普勒第三定律：又称周期定律，所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值相等．
用
R 3
公式表示：2=k ，其中比例常数k 与行星无关只与太阳有关．
T
知识点二 万有引力定律 1． 万有引力定律
定律内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们距离的二次方成反比． 2． 公式：
mm
F =G 2公式中的G 叫做引力常量，G =6.67⨯10-11N ⋅m 2/kg 2．
r
物理意义：对于任何物体来说，G 值都是相同的，它在数值上等于质量为1kg 的两个物体，相距1m 时的相互作用力．
3．对万有引力定律的理解 （1）适用条件：
①当两个物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可以看成质点，直接使用万有引力定律计算． ②当两物体是质量分布均匀的球体时，它们之间的引力也可直接用公式计算，但式中r 是指两球心间距离．
③当研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力． （2）万有引力的性质：
①普遍性：②相互性：③一般物体之间虽然存在万有引力，但是很小，天体与物体之间或天体之间的万有引力才比较显著．因此在涉及天体运动时，才考虑万有引力．
知识点三 重力、重力加速度与万有引力的关系 1．地球上的重力和万有引力的关系
在地球表面上的物体所受的万有引力F 引可以分解成物体所受的重力mg 和
随地球自转而做圆周运动的向心力F ，如图所示，其中F 引=G F =mr ω2，
2
F =mr ωmg max F F F 引、、三力同向，（1）当物体在赤道上时，此时达到最大值，
Mm
，而R 2
M
-R ω2； 2
m R
（2）当物体在两极的极点时，F =0，F 引=mg ，此时重力等于万有引力，重力加速度达到最大值，此最
重力加速度达到最小值g min =
M ； R 2
F 引-F
=G
大值为g max =G
因为地球自转角速度很小，2．天体表面的重力和重力加速度
在质量为M 、半径为R 的天体表面上，若忽略天体自转影响，质量为m 的物体的重力加速度g 可以认为
Mm M
是由万有引力产生的，则mg =G 2，得：g =G 2（R 为天体半径，M 为天体质量）。
R R
g 1R 22M 1
=2∙g 由此可得不同星球表面重力加速度的关系为：2R 1M 2 3．求某高度处的重力加速度
mg h =G
Mm
(R +h ) 2
G
Mm Mm
mR ω2mg =G 22R R 。 ，所以在一般情况下计算时认为
g h =G
设离星球表面高度为h 处的重力加速度为g h ，则
重力加速度随高度的增加而减小。
，则
M (R +h ) 2
，
星球表面的重力加速度和某高度处的重力加速度之间的关系为：
g h R 2
=
g (R +h ) 2
知识点四 天体质量和密度的计算 1．天体质量的计算
（1）已知行星的公转半径r ，公转周期T ，设行星的质量为m ，中心天体质量为M ．
2π
F 向=m ω2r =m () 2r
T 那么由万有引力定律得：
4π2r 3Mm 2π2
M =G 2=m () r
r T GT 2． 根据圆周运动规律，F 向=F 万，即，所以
gR 2Mm
M =mg =G 2
R 得G ． （2）已知天体：半径R 和天体表面的重力加速度g ，根据
rv 2
M =GMm v 2
G ． （3）已知行星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度v 和轨道半径r ，根据2=m ，得：
r r GMm mv 2v 3T GMm 2π
=M ==mv ⋅22
T 和r r 得：2πG ．（5）已知行星绕中心天体运行的线速度v 和周期T ，根据r
2．天体密度的测定
（1）天体质量测出后，如果能求出天体的体积，那么天体的密度可以测定，即
M 4πr 33r 3
ρ===
4πR 3GT 2R 3V 2
GT ⨯
3
式中r 为行星的公转轨道半径，R 为中心天体的半径，T 为行星的公转周期．
3π
若行星为中心天体的近地卫星，则r ≈R ，中心天体的密度ρ=．
GT 2
gR 2gR 2
M =M =
G G ，则天体密度（2）天体半径与天体表面的重力加速度已知时，根据，求出天体质量
M gR 23g
ρ===．
V G ⨯πR 34πGR
3
3．“星体自转不解体”模型
指星球表面上的物体随星球自转而绕自转轴（某点）做匀速圆周运动，其特点为： ①具有与星球自转相同的角速度和周期；
②万有引力除提供物体做匀速圆周运动所需的向心力外，还要产生重力．
知识点五 圆周运动各物理量与轨道半径的关系
1. 基本方法：将天体运动或卫星运动看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，因此可以根据万有引力定律、牛顿第二定律及向心力公式来求解各类问题．
Mm v 24π2r 2
F =G 2=m =mr ω=m 2
r r T
式中a n 、v 、ω和T 分别表示环绕天体做圆周运动的向心加1. M 为中心天体的质量，m 为环绕天体的质量，
速度、线速度、角速度和周期．根据问题的特点条件，灵活选用的相应的公式进行分析求解．
2. 当天体做稳定的匀速圆周运动时，天体a 、v 、ω、T 、、r 间的关系如下：
GM 1⎧
ma →a =→a ∝(轨道所在处重力加速度g ') ⎪r 2r 2⎪2
⎪v
v ⎪m r →v =Mm ⎪
F 万=G 2=F 向=⎨
r ⎪m ω2r →ω=ω⎪⎪
⎪4π2→T ⎪m 2r →T =
⎩T
口诀：高轨低速大周期
知识点六 人造卫星和宇宙速度
1．如图所示三种轨道中，b 、c 轨道经过地心，可以存在，而a 轨道不存在． 2.
2．人造卫星的运动学特征（m 1为地球质量，r 为卫星轨道半径）
人造卫星绕地球做圆周运动时，由万有引力提供环绕地球做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律：
m 1m 2v 2G 2=
m 2
r r 得v =r 越大，v 越小． （1）由
m m
G 122=
m 2ω2r r （2）由得ω=r 越大，ω越小．
m 1m 24π
（3）由G 2=
m 22r 得T =r 越大，T 越大．
r T
取r =R =6400km 代入有T min =84min ．这是地球卫星的最小周期，任何实际卫星的周期均大于该值．
3．三种宇宙速度
（1）第一宇宙速度（环绕速度）
卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度v 1=7.9km/s，此值为人造卫星在地面附近做匀速圆周运动所必须具有的速度，叫第一宇宙速度．同时它也是发射卫星的最小速度，小于这个速度，不可能发射卫星． 求第一宇宙速度有两种方法：
Mm v 2
v =G 2=
m
R ，得①由R
v 2
mg =
m
，得v = ②由
其他星球的第一宇宙速度计算方法同上，M 为该星球的质量，R 为该星球的半径，g 为该星球表面的重力加速度．依据已知条件，灵活选用计算公式． （2）第二宇宙速度（脱离速度）
卫星或飞船要想脱离地球的引力束缚，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其他行星上去所必需的最小发射速度，称为第二宇宙速度，其大小为11.2km/s． （3）第三宇宙速度（逃逸速度）
地面上的物体发射出去，使之最后能脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度，称为第三宇宙速度，其大小为16.7km/s．
（4）地球同步卫星是指，位于赤道上方，相对于地面静止的、运行周期与地球的自转周期(T =24h) 相等的卫星，这种卫星主要用于全球通信和转播电视信号．又叫做同步通信卫星．
同步卫星：概括为“六个一定”．
周期一定(T =24h)
（v ≈3.1km/s）速率一定
位置一定（必须位于地球赤道的上空）
4
(h ≈3.6⨯10km) 高度一定
2
(a ≈0.228m/s) n 向心加速度一定
运行方向一定（自西向东运行）
知识点七 变轨问题及卫星追及问题
1．稳定运行：卫星稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力。 2．变轨运行：当卫星的速度突然发生变化时，向心力与万有引力不再相等，解答这一模型的有关问题，
P
①若②若③若
，供求平衡——物体做匀速圆周运动； ，供不应求——物体做离心运动； ，供过于求——物体做向心运动．
F 供=F 求F 供F 求
知识点八 卫星及天体相遇问题
两天体（行星、卫星或探测器）相遇，实际上是指两天体相距最近．
设卫星1（离地球近些）与卫星2某时刻相距最近，如果经过时间t ，两卫星与地心连线半径转过的角度相差2π的整数倍，则两卫星又相距最近，即ω1t -ω2t =2n π(n =1,2,3, ) ；如果经过时间t '，两卫星与地心连线半径转过的角度相差π的奇数倍，则两卫星相距最远，即ω1t '-ω2t '=(2n -1) π，（n =1,2,3, ）
知识点九 双星问题 对于双星问题要注意：
①两星球所需的向心力由两星球间万有引力提供，两星球圆周运动向心力大小相等；
②两星球绕两星球间连线上的某点（转动中心）做圆周运动的角速度ω或周期T 的大小相等； ③两星球绕共同中心转动的半径r 1、r 2的和等于两星球间的距离，即r 1+r 2=L ．
L
4π2L 3
若已知双星间距L ，周期T ，则双星总质量为：M 1+M 2=
GT 2
知识点十经典力学的局限性： 1. 经典力学的适用范围：
只适用于低速运动，不适用于高速运动； 只适用于宏观世界，不适用于微观世界； 只适用于弱引力情况，不适用于强引力情况 2. 相对质量
m =