离子半径的质电比和相差异因子的综合性标度

离子半径的质电比和相差异因子的综合性标度1

余德才1*，曹文娟2，余旭东3，李亚娟4

河北工程大学理学院, 河北邯郸（056038）石家庄经济学院数理学院, 石家庄（050031）

南开大学化学学院,天津（300071） 4

河北师范大学化学学院, 石家庄（050031）

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摘要：根据万有引力势与电势的关系式和系统的质电比（单位电量的质量）S r 的物理意义。研究了离子半径r 与离子的S r 和相差异因子的关系：对于阳离子，r 与lg Sr 和相差异因子成线性关系；对于稳定构型阴离子，r 与S r 和相差异因子也存在定量关系。采用回归分析方法，给出稳定构型和非稳定构型阳离子半径计算公式，以及稳定构型阴离子半径计算公式，从相关系数R 和回归方程的显著性检验（F）都说明r 与S r 和相差异因子密切相关，其中拟合的96种元素138种阳离子半径数据与具有代表性参考值相比平均绝对误差2.0 pm，相对误差2.5%。并预测出较为合理的稀有气体等29种离子半径数据；同时给出一条获取离子半径（包括复杂离子）数据的新途径。关键词: 离子半径；质电比；相差异因子；公式；离子中图分类号: O641

1．引言

离子不仅存在于离子晶体和离子溶液中，而且存在于大气、星际物质和某些微观实验过程中。离子的半径往往直接影响离子系统的一些性质，如离子的吸附、迁移和离子的水合，再如超导材料的结构和临界温度等正负离子的半径之和

[6]

[4]

[5]

[2,3]

[1]

。所以对离子半径的深入研究一直受到人们的高度重

视。离子半径是指离子在晶体中的接触半径，即晶体中相邻的正负离子中心之间的距离作为

。Lande 假设LiI 晶体中碘负离子直接相接触,将两个碘负离子之

间距离的一半作为碘负离子半径，以此为基础,给出了第一批大致正确的离子半径数值。Goldschmitt 利用盐溶液中自由离子的克分子折射率的立方根的比值得到了一套相对精确的离子半径数据。Pauling 根据等电子离子其离子半径与有效核电荷成反比计算了一套离子半径数据。Shannon 和Prewitt

[9]

［8］

[7]

在分析大量的实验数据基础上，考虑了离子半径与配

位数之间的关系,总结出一套离子半径,这是目前公认的较为精确的实验离子半径。叶大年等提出阳离子半径是主量子数和最外层电子数的函数。此外，还有一些学者研究了离子半径，作者曾依据万有引力势与电势的关系

[14]

[13]

[10-12]

，建立了离子半径与离子的（对比）质电比的

关系，给出一种离子半径标度。本研究在离子半径与离子的质电比的关系基础上，进一步

综合离子的相态差异因素，给出稳定构型和非稳定构型离子半径的计算公式。

2．理论基础

作者曾在文献[13]中，建立了统一相互作用的数理模型--球形对称系统的势

V =k

（r ≥r 0）（1） r

式中r 为有势点到系统中心的距离，r 0为球对称系统的半径，k 为比例常数（可正、可负，其正负属人为规定），A 为系统的“系统量”。不同类型的测量工具对应不同“系统量”，反1

本课题是“万有引力相互作用与电磁相互作用统一的研究项目”应用之一，并得到中国高等教育学会“十一五”教育科学研究规划课题（06AIJ0240031）的资助。

映系统势的不同方面—对应于传统不同类型的势，如质量对应于万有引力势，电量对应于电势,……等等。

以质子系统为基准，引入三个对比参量：

q r m q =r = ，，m r = r r

m p e p r p

（2）

式（2）中m r 、q r 、r r 分别称为对比质量、对比电量、对比距离。式中m 、q 分别为系统的质量、电量，m p 、e p 、r p 分别为质子的质量、电量、半径。经严格推导得出球对称系统的万有引力势与电势的关系

V gr =±G r S r V er （3）

（3）式中V gr 和V er 分别为对比万有引力势和对比电势

V gr =−

G r m r

（r r ≥r 0/r p ）（4） r r

V er =

q r

（r r ≥r 0/r p ）（5） r r

[14]

G r 的单位是1，称为无量纲万有引力常量

G r =()[

1/2

5/221/2

e p (1−v 2p /c )

m p 0

(C•G •S)

(6)

v p 、c 分别为质子的速度和光速,m p0是质子的静止质量。S r 是系统量综合因子，称为（对比）质电比，

S r =

(7)

m r

q r

（3）式表明：球对称系统的对比万有引力势是对比电势的±G r S r 倍（为简便，以下“对比”二字将省略）。G r 是两势差异之共性部分-比例系数；S r 是系统的差异因素，它既反映系统的电性质，又反映系统的质量性质。因此， S r 是反映系统差异的综合性因子，用静态的质量、电量计算出的S r 不仅系统性地影响系统的一些静态性质,如系统大小、稳定性等而且决定着系统在电磁场中的运动状况系统的线度就越小。

[16]

[13，15]

，

。对于相同相态的球对称系统，S r 越小，单位万有

引力势的电势就越大，或S r 越小，系统的单位质量的电量越大，单位质量的电势也越大，

3．离子半径的数学模型

3.1 离子半径r 与离子质电比S r 的关系

对于离子系统，尽管核外电子与原子核一起不是均匀相态，但对于相同电子构型的等电子阳离子或阴离子，由于核外电子数及其排布相同，所以可以近似按相同相态处理，其S r 越小，离子单位质量的电势就越大，离子半径越小。正如文献[15]报道：对于相同电子构型的等电子阳离子，它们的离子半径r 与离子的质电比S r 的关系满足对数函数关系

[15]

，对于相

同电子构型的等电子阴离子，离子半径r 随S r 的变化满足MichealisMenten 模型

[15]

。

对于周期表中同区元素，同周期相同价态的非稳定构型阳离子，如镧系、锕系正三价离子或正四价离子，同周期过渡金属二价或三价或四价离子等等，因核外电子数不同，核外电子与原子核一起不能看成相同的相态，但f 或d 电子数的渐变，使离子的S r 与离子半径也存在相关性。它们的离子半径r 与离子的质电比S r 的关系满足负对数函数关系值，这里离子质量近似用原子量

[17]

[15]

。各离子的

S r 值列于表1和表2中，其中S r 等于离子质量除以质子质量与离子电量除以质子电量的比

m a 代替，例如O 6+离子的质电比为

S r =

这里e 为元电荷。

m a m p 6p

15. . 00728

=2. 647

3.2 离子半径的数学模型

作者进一步研究了不同构型的等电子（稳定构型）离子之间的相差异和非稳定构型（包括不同价态或不同周期或不同分区）的阳离子之间的相差异。研究表明：对于稳定构型阳离子，其相态不同，所导致的离子半径的不同，可用相差异系数D（见表1）来标征。因此，假设稳定构型阳离子半径的数学模型为：

r =b 0+b 1lg S r +b 2D （8）

（8）式中，b 0、b 1、b 2是待定的回归系数。对于非稳定构型阳离子：同价态不同周期（或不同分区）之间，如d 区第四周期与第五周期正二价离子；或同周期不同价态离子（或不同分区）之间，如d 区第四周期正二价与正三价离子之间；等等，所导致的相态不同，尽而引起离子半径的不同，也可用相差异系数D（见表1）来标征。因此，非稳定构型阳离子半径其数学模型也满足（8）式，只不过待定的回归系数与稳定构型阳离子不同（r 与S r 成负对数函数关系的原因见文献[15]）。

对于不同构型的等电子阴离子，其相态差异，也可以通过引入相差异系数来标征，研究表明：该相差异系数需要两个即D 1和D 2（见表2）。因此，稳定构型阴离子半径与质电比S r 和相差异系数的关系满足数学模型（与稳定构型阳离子不同的原因见文献[15]）：

r =b 0D 1

S r

（9）

S r +D 2

（9）式中b 0为待定的回归系数。

表1和表2中相差异系数变化也很规律。对于稳定构型阳离子， 2e构型到8e 构型、单层8e 构型到18e 构型、单层18e 构型到32e 构型D 都增加1.0；单层8e 构型到双层8e 构型、单层18e 构型到双层18e 构型D 都减少0.3；而[Ar.3d10]n+、[Kr.4d10]n+、[Xe.4f14]n+、[Xe.4f14.5d 10]n+等其相差异系数D 依次增加0.5。对于非稳定构型阳离子，同价态离子随周期增加D 系数减小，并且随周期数增长D 系数减小速度也变缓，其中由四周期到五周期减小1.6-1.7，五周期到六周期减小1.3-1.4，六周期到七周期减小1.1；同周期随价态升高，D系数增大，并且随价态升高D 系数减小速度也变缓，其中二价到三价D 系数增加1.1-1.2，三价到四价D 系数增加0.9-1.0。对于稳定构型阴离子，D1和D 2都随周期数增长系数依次增大。由此可见，相差异系数变化的规律性，反映了它对离子半径影响的内禀性。

采用回归分析方法，用文献[18]离子半径（数据较全）作参考r ref （见表1和表2），以

60种稳定构型阳离子S r 和相差异系数对r ref 进行回归分析，得到回归系数b 0、b 1 、b 2分别为-36.39、108.8和-15.43，相关系数R=0.9967，F检验的Sig.=0.0000(显著水平，Significance)；以78种非稳定构型阳离子S r 和相差异系数对r ref 进行回归分析，得到回归系数b 0、b 1 、b 2分别为455.6、-186.5和-37.69，相关系数R=0.9897，Sig.=0.0000；以16种稳定构型阴离子S r 和相差异系数对r ref 进行回归分析，得到回归系数b 0=114.4，相关系数R=0.9765，Sig.=0.0230。各相关系数和F 检验都表明了离子半径与S r 和相差异系数的密切相关性。

4．结果与讨论

将回归系数分别代入（8）、（9）式得：对于稳定构型阳离子

r =−36. 39+108. 8lg S r −15. 43D （10）

对于非稳定构型阳离子

r =455. 6−186. 5lg S r −37. 69D （11）

对于稳定构型阴离子

r =114. 4D 1

S r

（12）

S r +D 2

用（10）-（12）式，拟合了周期表中96种元素138种阳离子半径和16种阴离子半径r s

列于表1和表2。其中138种阳离子半径r s 与r ref 的平均绝对误差和相对误差分别为2.0 pm 和2.5％,16种阴离子半径的平均绝对误差和相对误差分别为6.9 pm和3.2％。同时，图1给出了96种元素的138中阳离子半径计算值r s 与参考值r ref 的直观比较，这些都说明离子半径r 随S r 和相结构差异系数而定量地变化。

[**************]

806040200

图1 离子半径计算值与参考值的比较

Fig.1 The comparison r s with r ref

4.1离子半径r s 的变化规律

由表1、表2和图1可知：周期表中，同族元素从上到下，相同价态的离子半径逐渐增大，由于镧系收缩第五、六周期二、三、四价离子半径很相近；同周期元素从左到右，随阳离子价态的升高或阴离子价态的降低离子半径逐渐减小。这与参考值r ref 的变化规律十分一致。对于稳定构型阳离子，仅有例外r s （F）＞r s （O）；对于非稳定构型阳离子，有少数

例外，如Mn Os、Pt、Ru、Rh等，其中前三个数据在同周期中的变化与Shannon 数据变化一致。后两者及r s （F）＞r s （O）有待于进一步研究。

3+4+4+4+4+

4.2 离子半径的计算值

同文献[15]报道的单因素S r 对r ref 的拟合值相比，尽管离子半径计算值与参考值误差增大，但总体看，还是满意的。重要的是引入相差异系数后，使离子半径计算公式适用范围大大扩大，更具一般性，反映了离子的S r 和相结构决定着离子的半径。

另外，由（10）和（11）式预测了稀有气体的离子半径和文献[18] 中尚未给出的过渡金属二、三、四价离子半径（表1中29个黑体数据），预测值较为合理。原则上，（10）和（11）式可以计算或预测周期表中所有阳离子的离子半径，如用（10）式计算或预测ⅢA-ⅦA族ns 型阳离子的半径，用（11）式计算或预测过渡金属非稳定构型五价、六价、七价和八价阳离子的半径等等。这些都反映了离子的质电比S r 和相结构是离子半径具有内禀性的根源。

表1 阳离子的S r 值及离子半径计算值和参考值的比较 Table 1 The values of S r and the comparisonr s with r ref

Z Ion S r

r s /pm

54.8 34.4 23.8 15.2 11.9 9.6 10.4 7.0 95.9 65.8 51.6 39.9 34.0 27.0 24.5 23.8 125.6 94.1 80.3 69.7 62.1 54.5 49.8 44.3 81.7 65.6 53.9 44.8 38.7

r ref /pm

60 31 20 15 11 9 8 95 65 50 41 34 29 26 133 99 81 68 59 52 46 74 62 53 47 42

Z Ion S r 76 77 78 22 23 24 25 26 27 28 40 41 42 43 44 45 46 72 73 74 75 76 77 78 23 24 25 26 27

Os 2+ 94.43 Ir 2+ 95.41 Pt 2+ 96.83 Ti 3+ 15.84 V 3+ 16.86 Cr 3+ 17.21 Mn 3+ 18.18 Fe 3+ 18.48 Co 3+ 19.50 Ni 3+ 19.42 Zr 3+ 30.19 Nb 3+ 30.74 Mo 3+ 31.75 Tc 3+ 32.40 Ru 3+ 33.45 Rh 3+ 34.05 Pd 3+ 35.22 Hf 3+ 59.07 Ta 3+ 59.88 W 3+ 60.84 Re 3+ 61.62 Os 3+ 62.95 Ir 3+ 63.61 Pt 3+ 64.56 V 4+ 12.64 Cr 4+ 12.91 Mn 4+ 13.64 Fe 4+ 13.86 Co 4+ 14.63

D 0 0 0 4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1

r s /pm

87.2 86.4 85.2 77.3 72.3 70.6 66.1 64.8 60.5 60.8 85.4 83.9 81.3 79.6 77.1 75.6 72.9 83.8 82.7 81.4 80.3 78.6 77.8 76.6 57.9 56.2 51.7 50.4 46.1

r ref /pm

89 89 85 77 74 69 62 64 63 62 77 75 81 75 60 56 54

3 *Li+ 6.891 0 4 Be2+ 4.474 0 5 B3+ 3.578 0 6 C4+ 2.981 0 7 N5+ 2.781 0 8 O6+ 2.647 0 9 *F7+ 2.694 0 10 Ne8+ 2.504 0 11 Na+ 22.82 1 12 Mg2+ 12.06 1 13 Al3+ 8.929 1 14 Si4+ 6.971 1 15 P5+ 6.150 1 16 S6+ 5.306 1 17 Cl7+ 5.028 1 18 Ar8+ 4.957 1 19 K+ 38.81 0.7 20 Ca2+ 19.89 0.7 21 Sc3+ 14.88 0.7 22 Ti4+ 11.88 0.7 23 V5+ 10.11 0.7 24 Cr6+ 8.603 0.7 25 Mn7+ 7.792 0.7 26 Fe8+ 6.930 0.7 30 Zn2+ 32.46 3 31 Ga3+ 23.07 3 32 Ge4+ 18.03 3 33 As5+ 14.88 3 34 Se6+ 13.06 3

35 Br7+ 11.33 3 36 Kr8+ 10.40 3 37 Rb+ 84.85 2 38 Sr2+ 43.50 2 39 Y3+ 29.42 2 40 Zr4+ 22.64 2 41 Nb5+ 18.45 2 42 Mo6+ 15.87 2 43 Tc7+ 13.89 2 44 Ru8+ 12.54 2 32.0 27.9 142.5 110.9 92.5 80.1 70.4 63.3 57.0 52.2 39 148 113 93 79 70 62 58 54 28 41 42 43 44 45 46 73 74 75 Ni 4+ 14.57 Nb 4+ 23.06 Mo 4+ 23.81 Tc 4+ 24.30 Ru 4+ 25.08 Rh 4+ 25.54 Pd 4+ 26.41 Ta 4+ 44.91 W 4+ 45.63 Re 4+ 46.22 5.1 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 2.0 2.0 2.0 46.4 73.3 70.7 69.0 66.4 65.0 62.3 72.0 70.8 69.7 74 66 63 67 64 68 72 47 Ag+ 107.1 48 Cd2+ 55.80 49 In3+ 38.00 50 Sn4+ 29.46 51 Sb5+ 24.17 52 Te6+ 21.11 53 I7+ 18.00 54 Xe8+ 16.29 55 Cs+ 131.9 56 Ba2+ 68.17 57 La3+ 45.97 72 Hf4+ 44.30 73 Ta5+ 35.93 74 W6+ 30.42 75 Re7+ 26.41 76 Os8+ 23.61 79 Au+ 195.6 80 Hg2+ 99.57 81 Tl3+ 67.64 82 Pb4+ 51.43 83 Bi5+ 41.49 84 Po6+ 34.58 85 At7+ 29.78 86 Rn8+ 27.55 87 Fr+ 221.4 88 Ra2+ 112.2 89 *Ac3+ 75.12 22 Ti 2+ 23.7623 V 2+ 25.2924 Cr 2+ 25.8125 Mn 2+ 27.2726 Fe 2+ 27.7227 Co 2+ 29.2528 Ni 2+ 29.1340 Zr 2+ 45.2841 Nb 2+ 46.1242 Mo 2+ 47.6243 Tc 2+ 48.6044

Ru 2+ 50.173.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 1.7 1.7 1.7 4 4 4 4 4 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 3 3 3 2.9 2.9 2.9 2.9 2.9 2.9 2.9 1.3 1.3 1.3 1.3

1.3

130.4 126 99.6 97 81.4 81 69.4 71 60.1 62 53.7 56 46.1 50 41.4 168.0 169 136.8 135 118.2 116 81.0 78 71.1 70 63.2 65 56.5 60 51.2 53 143.4 137 111.5 110 93.2 95 80.3 84 70.2 74 61.5 56 54.5 51 50.8 172.4 176 140.3 140 121.3 118 89.7 90 84.6 88 83.0 84 78.5 80 77.2 76 72.8 74 73.2 72 97.8 96.3 93.7 92.0 95 89.4

76 Os 4+ 47.2177 Ir 4+ 47.7178 Pt 4+ 48.4258 Ce 3+ 46.3759 Pr 3+ 46.6360 Nd 3+ 47.7361 Pm 3+ 47.9862 Sm 3+ 49.7663 Eu 3+ 50.2964 Gd 3+ 52.0465 Tb 3+ 52.5966 Dy 3+ 53.7867 Ho 3+ 54.5868 Er 3+ 55.3569 Tm 3+ 55.9070 Yb 3+ 57.2671 Lu 3+ 57.9090 Th 3+ 76.7991 Pa 3+ 76.4692 U 3+ 78.7793 Np 3+ 78.4394 Pu 3+ 80.7595 Am 3+ 80.4196 Cm 3+ 81.7497 Bk 3+ 81.7498 Cf 3+ 83.0699 Es 3+ 83.39100 Fm 3+ 85.05101 Md 3+ 85.38102 No 3+ 85.71103 Lr 3+ 86.0490 Th 4+ 91 Pa 4+ 92 U 4+ 93 Np 4+ 94 Pu 4+ 95 Am 4+ 96 Cm 4+

Bk 4+ 61.30 2.0 2.0 2.0 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 57.59 0.9 57.35 0.9 59.08 0.9 58.82 0.9 60.56 0.9 60.31 0.9 61.30

0.9

68.0 65 67.1 64 65.9 70 103.4 103 102.9 101 101.0 100 100.6 98 97.6 96 96.8 94.0 94 93.2 92 91.4 91 90.2 89 89.0 88 88.2 87 86.3 86 85.4 85 104.0 108 104.3 105 101.9 103 102.2 101 99.9 100 100.2 99 98.9 99 98.9 98 97.6 98 97.3 98 95.7 97 95.4 96 95.1 95 94.7 94 93.4 99 93.7 96 91.3 93 91.6 92 89.3 90 89.6 89 88.3 88 88.3

45 46 72 73 74 75

Rh 2+ 51.08 Pd 2+ 52.83 Hf 2+ 88.60 Ta 2+ 89.82 W 2+ 91.26 Re 2+ 92.43

1.3 1.3 0 0 0 0

88.0 85.3 92.4 91.3 90.0 88.9

86 86

98 99 100 101 102 103

Cf 4+ 62.30 Es 4+ 62.54 Fm 4+ 63.79 Md 4+ 64.03 No 4+ 64.28 Lr 4+ 64.53

0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9

87.0 86.7 85.1 84.8 84.4 84.1

86 85 84 84 83 83

* from Ref. [4]

Ion

S r

D 1

D 2 1.657 1.657 1.657 1.657 2.89 2.89 2.89 2.89

r s /pm r ref /pm Ion S r D 1 D 2 6.495 6.495 6.495 6.495 10.02 10.02 10.02 10.02

r s /pm r ref /pm

C 4- -2.981 1.000 N 3- -4.635 1.000 O 2- -7.942 1.000 F - -18.86 1.000 Si 4- -6.971 1.369 P 3- -10.25 1.369 S 2- -15.92 1.369 Cl - -35.20 1.369

258 260*4- -18.03 1.490 178 171*3- -24.79 1.490 144 140*2- -39.19 1.490 125 136*- -79.32 1.490 268 271*4- -29.46 1.666 218 212*3- -40.29 1.666 191 184*2- -63.34 1.666 171 181*

I - -126.0 1.666

267 272* 231 222* 204 198* 186 196* 289 294*

254 245 226 221 207 216

表2阴离子的S r 值及离子半径计算值和参考值的比较 Table 1 The values of S r and the comparisonr s with r ref

5．结论

综上所述,依据万有引力势与电势的关系，推得离子半径取决于离子的质电比S r 和离子的相结构。采用回归分析法，得到计算阴、阳离子半径的公式，得到一套较好的离子半径数据，并对稀有气体元素的离子半径、文献[18] 中尚未给出的d 区和f 区部分阳离子半径进行了较为合理地预测。原则上，（10）和（11）式可以计算或预测周期表中所有阳离子的离子半径。本计算公式具有整合性的理论基础和最基本的表征参数，反映了离子半径的内禀性和唯一性。同时探索了一条获取离子半径（包括复杂离子）数据的新途径。

References

1 Conway, B. E.; Ayranci, E. Journal of Solution Chemistry, 1999, 28(3): 163 2 Shannon, R. D. Acta Cryst., 1976, A32: 751 3 Marcus, Y . Chem. Rev, 1988, 88: 1475 4 林和成. 大学化学, 2002,(6):48 5 Lande, A. Z. Phys., 1920, 1: 191

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10 Fumie, F. G.; Tosi, M. P. Journal of Physical Chemistry Solids, 1964, 25: 31 11 扬忠志, 李国辉, 赵东霞, 何洪斌, 孙仁安. 科学通报, 1998, 43(11): 1163 12 杨忠志, 张明波, 赵东霞. 辽宁师范大学学报, 自然科学版, 2001,24(2): 156

13 Yu D. C; Cao W. J.; Hu W. P.; Wang X. M. Equilibrium cosmic abundance of the elements and relationship

between gravitational potential and Electrostatic potential[J]. World Journal of Engineering, 2007, 4(1):95 14 余德才，曹文娟，王新民. 万有引力常量的本质关系式[J]. 河北工程大学学报（自然版），2007，24

（2）:98-101

15 Yu D. C; Cao W. J.;Wu H.Y.;Zhao J. F. Ionic Radius Scale of Establishing Synthesis Factor of Ionic Mass

and Electricity [J].Acta Physico-chimica sinica. 2007, 23(5)：683

16 余德才，王新民，曹文娟. 万有引力作用与静电作用的系列关系[J]，中国科技论文在线，2007.4.4 17 浙江大学普通化学教研室.普通化学. 北京:高等教育出版社, 2004

18 顾庆超, 楼书聪, 戴庆平, 黄炳荣, 李乔钧. 化学用表. 南京: 江苏科学技术出版社, 1979:1.9-1.16

Ionic Radius Scale of Synthesizing of

Mass-to-electricity and Factor of Phase Difference of

Ion

Yu Decai1，Cao Wenjuan2，Yu Xudong3，Li Yajuan4

College of Science，Hebei University of Engineering，Handan （056038）

School of Mathematics and Science，Shijiazhuang College of Economics，Shijiazhuang

（050031）

Chemical college,Nankai University，Tianjin （300071） 4

Chemical college,Hebei Normal University，Shijiazhuang （050031）

Abstract

According to the relationship between gravitational potential and electrostatic potential, and the physical meaning of the mass-to-electricity (mass of per unit electricity) Sr ， the authors studied the ionic radius r varies with S r and the factor of phase difference of ion. For positive ions the r varied directly as lgS r and the factor of phase difference, and for negative ions with stable electronic configuration, the r varied quantitatively with as S r and the factor of phase difference. With regression analysis, the calculating formulas of the positive ionic radius with stable and unstable electronic configuration were obtained, and the calculating formula of the negative ionic radius with stable electronic configuration was obtained. The correlation coefficient R and test of significance (F) show that r is closely relative to S r and the factor of phase difference. The ionic radius of 94 elements, among which there were 138 radii of positive ions could be fitted. The average absolute error of the 138 radii of positive ions was 2.0pm with the representative radii of ions; the relative error was 2.5%. The 29 positive ionic radius of rare gases et al could be calculated by the formulas, and the calculating values were relatively proper. It was a new path of calculating ionic radius that contains complex ions. Keywords: Ionic radius；mass-to-electricity ；factor of phase difference；formula ；Ion

离子半径的质电比和相差异因子的综合性标度1

余德才1*，曹文娟2，余旭东3，李亚娟4

河北工程大学理学院, 河北邯郸（056038）石家庄经济学院数理学院, 石家庄（050031）

南开大学化学学院,天津（300071） 4

河北师范大学化学学院, 石家庄（050031）

E-mail ：

1．引言

[6]

[4]

[5]

[2,3]

[1]

。所以对离子半径的深入研究一直受到人们的高度重

视。离子半径是指离子在晶体中的接触半径，即晶体中相邻的正负离子中心之间的距离作为

。Lande 假设LiI 晶体中碘负离子直接相接触,将两个碘负离子之

[9]

［8］

[7]

在分析大量的实验数据基础上，考虑了离子半径与配

[14]

[13]

[10-12]

，建立了离子半径与离子的（对比）质电比的

关系，给出一种离子半径标度。本研究在离子半径与离子的质电比的关系基础上，进一步

综合离子的相态差异因素，给出稳定构型和非稳定构型离子半径的计算公式。

2．理论基础

作者曾在文献[13]中，建立了统一相互作用的数理模型--球形对称系统的势

V =k

（r ≥r 0）（1） r

映系统势的不同方面—对应于传统不同类型的势，如质量对应于万有引力势，电量对应于电势,……等等。

以质子系统为基准，引入三个对比参量：

q r m q =r = ，，m r = r r

m p e p r p

（2）

V gr =±G r S r V er （3）

（3）式中V gr 和V er 分别为对比万有引力势和对比电势

V gr =−

G r m r

（r r ≥r 0/r p ）（4） r r

V er =

q r

（r r ≥r 0/r p ）（5） r r

[14]

G r 的单位是1，称为无量纲万有引力常量

G r =()[

1/2

5/221/2

e p (1−v 2p /c )

m p 0

(C•G •S)

(6)

v p 、c 分别为质子的速度和光速,m p0是质子的静止质量。S r 是系统量综合因子，称为（对比）质电比，

S r =

(7)

m r

q r

[16]

[13，15]

，

。对于相同相态的球对称系统，S r 越小，单位万有

引力势的电势就越大，或S r 越小，系统的单位质量的电量越大，单位质量的电势也越大，

3．离子半径的数学模型

3.1 离子半径r 与离子质电比S r 的关系

[15]

，对于相

同电子构型的等电子阴离子，离子半径r 随S r 的变化满足MichealisMenten 模型

[15]

。

[17]

[15]

。各离子的

S r 值列于表1和表2中，其中S r 等于离子质量除以质子质量与离子电量除以质子电量的比

m a 代替，例如O 6+离子的质电比为

S r =

这里e 为元电荷。

m a m p 6p

15. . 00728

=2. 647

3.2 离子半径的数学模型

r =b 0+b 1lg S r +b 2D （8）

r =b 0D 1

S r

（9）

S r +D 2

（9）式中b 0为待定的回归系数。

采用回归分析方法，用文献[18]离子半径（数据较全）作参考r ref （见表1和表2），以

4．结果与讨论

将回归系数分别代入（8）、（9）式得：对于稳定构型阳离子

r =−36. 39+108. 8lg S r −15. 43D （10）

对于非稳定构型阳离子

r =455. 6−186. 5lg S r −37. 69D （11）

对于稳定构型阴离子

r =114. 4D 1

S r

（12）

S r +D 2

用（10）-（12）式，拟合了周期表中96种元素138种阳离子半径和16种阴离子半径r s

[**************]

806040200

图1 离子半径计算值与参考值的比较

Fig.1 The comparison r s with r ref

4.1离子半径r s 的变化规律

例外，如Mn Os、Pt、Ru、Rh等，其中前三个数据在同周期中的变化与Shannon 数据变化一致。后两者及r s （F）＞r s （O）有待于进一步研究。

3+4+4+4+4+

4.2 离子半径的计算值

表1 阳离子的S r 值及离子半径计算值和参考值的比较 Table 1 The values of S r and the comparisonr s with r ref

Z Ion S r

r s /pm

54.8 34.4 23.8 15.2 11.9 9.6 10.4 7.0 95.9 65.8 51.6 39.9 34.0 27.0 24.5 23.8 125.6 94.1 80.3 69.7 62.1 54.5 49.8 44.3 81.7 65.6 53.9 44.8 38.7

r ref /pm

60 31 20 15 11 9 8 95 65 50 41 34 29 26 133 99 81 68 59 52 46 74 62 53 47 42

Z Ion S r 76 77 78 22 23 24 25 26 27 28 40 41 42 43 44 45 46 72 73 74 75 76 77 78 23 24 25 26 27

D 0 0 0 4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1

r s /pm

87.2 86.4 85.2 77.3 72.3 70.6 66.1 64.8 60.5 60.8 85.4 83.9 81.3 79.6 77.1 75.6 72.9 83.8 82.7 81.4 80.3 78.6 77.8 76.6 57.9 56.2 51.7 50.4 46.1

r ref /pm

89 89 85 77 74 69 62 64 63 62 77 75 81 75 60 56 54

Ru 2+ 50.173.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 1.7 1.7 1.7 4 4 4 4 4 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 3 3 3 2.9 2.9 2.9 2.9 2.9 2.9 2.9 1.3 1.3 1.3 1.3

1.3

Bk 4+ 61.30 2.0 2.0 2.0 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 57.59 0.9 57.35 0.9 59.08 0.9 58.82 0.9 60.56 0.9 60.31 0.9 61.30

0.9

45 46 72 73 74 75

Rh 2+ 51.08 Pd 2+ 52.83 Hf 2+ 88.60 Ta 2+ 89.82 W 2+ 91.26 Re 2+ 92.43

1.3 1.3 0 0 0 0

88.0 85.3 92.4 91.3 90.0 88.9

86 86

98 99 100 101 102 103

Cf 4+ 62.30 Es 4+ 62.54 Fm 4+ 63.79 Md 4+ 64.03 No 4+ 64.28 Lr 4+ 64.53

0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9

87.0 86.7 85.1 84.8 84.4 84.1

86 85 84 84 83 83

* from Ref. [4]

Ion

S r

D 1

D 2 1.657 1.657 1.657 1.657 2.89 2.89 2.89 2.89

r s /pm r ref /pm Ion S r D 1 D 2 6.495 6.495 6.495 6.495 10.02 10.02 10.02 10.02

r s /pm r ref /pm

C 4- -2.981 1.000 N 3- -4.635 1.000 O 2- -7.942 1.000 F - -18.86 1.000 Si 4- -6.971 1.369 P 3- -10.25 1.369 S 2- -15.92 1.369 Cl - -35.20 1.369

258 260*4- -18.03 1.490 178 171*3- -24.79 1.490 144 140*2- -39.19 1.490 125 136*- -79.32 1.490 268 271*4- -29.46 1.666 218 212*3- -40.29 1.666 191 184*2- -63.34 1.666 171 181*

I - -126.0 1.666

267 272* 231 222* 204 198* 186 196* 289 294*

254 245 226 221 207 216

表2阴离子的S r 值及离子半径计算值和参考值的比较 Table 1 The values of S r and the comparisonr s with r ref

5．结论

References

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Ionic Radius Scale of Synthesizing of

Mass-to-electricity and Factor of Phase Difference of

Ion

Yu Decai1，Cao Wenjuan2，Yu Xudong3，Li Yajuan4

College of Science，Hebei University of Engineering，Handan （056038）

School of Mathematics and Science，Shijiazhuang College of Economics，Shijiazhuang

（050031）

Chemical college,Nankai University，Tianjin （300071） 4

Chemical college,Hebei Normal University，Shijiazhuang （050031）

Abstract

离子半径的质电比和相差异因子的综合性标度

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