二项分布及其应用、正态分布
作者：余树宝
来源：《数学金刊·高考版》2015年第02期
二项分布与正态分布是常见的随机变量概率分布模型，也是高考理科数学的必考内容之一. 纵观历年的高考试题，有关二项分布与正态分布的问题，尤其是二项分布的问题经常在解答题中出现，因此重视此类问题的解决非常重要.
重点难点
重点：理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题；了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
难点：正确判断随机变量的概率分布模型；正确应用二项分布、正态分布等有关知识解决生产、生活中的实际问题.
方法突破
1. 判断随机变量的概率分布是否为二项分布模型，首先要判断随机试验是否为独立重复试验，此时就要看每次试验的条件是否相同，如果不同，那么某事件发生的次数X不会服从二项分布.
因此，二项分布只有事件满足以下条件时才能适用：
（1）每次试验的结果只有一种并且是相互对立的，如正面或反面，活着或死亡等.
（2）如果某一事件发生的概率为p，那么其对立事件发生的概率为1-p. 在实际计算中，p是从大量观察中获得的比较稳定的数值.
（3）在相同的条件下进行n次试验，并且每次试验的结果是相互独立的，即每次试验的结果是不会受到其他试验结果影响的，就像要求疾病无家族性、无传染性等.
2. 二项分布B（n，p）中有两个参数，一个是独立重复试验的总次数n，另一个是每次试验中某事件A发生的概率p. 正确解决二项分布问题首先要准确地确定好这两个量.
3. 若随机变量X∽B（n，p），则P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n），它恰好是（q+p）n的二项展开式中的第k+1项（其中q=1-p），故名二项分布. 其分布列为： 其数学期望与方差可直接由E（X）=np，D（X）=np（1-p）来进行计算，这样可以大大减少运算量，提高解题速度.
4. 正态分布由参数μ，σ唯一确定，如果随机变量ξ∽N（μ，σ2），那么根据定义有：μ=E（ξ），σ=D（ξ）. 正态曲线具有以下性质：
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交，曲线与x轴之间的面积为1.
（2）曲线关于直线x=μ对称，且曲线在x=μ处达到峰值■.
（3）当xμ时，曲线下降. 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近.
（4）当μ一定时，曲线的形状由σ确定. σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
应用数形结合的思想方法理解以上四条性质并进行解题非常关键和有效.
典例精讲
■例1 （2014年高考辽宁卷） 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图1所示.
■图1
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）.
思索 此题（2）问中的X是服从二项分布的，原因是题设中告诉我们每天的销售量相互独立，且由（1）问知“每天的销售量不低于100个”发生的概率为0.6，符合二项分布的应用条件，可判定X是服从二项分布的. 于是由P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n）可求X取每一个值的概率，从而进一步得到分布列. 其数学期望与方差可直接由E（X）=np，D（X）=np（1-p）进行计算，方便快捷.
破解 （1）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”. 因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，P（A2）=0.003×50=0.15，P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108.
（2）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为：P（X=0）=C03·（1-0.6）3=0.064，P（X=1）=C13·0.6（1-0.6）2=0.288，P（X=2）=C23·0.62（1-0.6）=0.432，P（X=3）=C33·0.63=0.216.
故X的分布列为：
■
因为X∽B（3，0.6），所以期望E（X）=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72.
■例2 某人参加射击，击中目标的概率是■.
（1）设ξ1为他射击6次击中目标的次数，求随机变量ξ1的分布列；
（2）设ξ2为他射击1次击中目标的次数，求随机变量ξ2的分布列；
（3）设η为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求η的分布列；
（4）若他连续射击6次，设X为他第一次击中目标前射击的次数，求X的分布列；
（5）设他只有6颗子弹，若他击中目标，则不再射击，否则子弹打完，求他射击次数Y的分布列.
思索 此题有五个小问，涉及五个随机变量，其中（1）中的变量ξ1服从的是二项分布，因为6次射击相当于6次独立重复试验，每次试验“击中目标”的概率都是■，所以射击6次击中目标的次数ξ1服从二项分布；（2）问中ξ2服从的是两点分布（又称0-1分布），关于两点分布与二项分布的关系，事实上，两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；其他三个小问中变量η，X，Y服从的不是二项分布，它们虽然都表示射击的次数，但它们各自表示的意义是不一样的，所以解题时要正确理解.
破解 （1）随机变量ξ1服从二项分布B6，■，则P（ξ=k）=C■■■k·■6-k（k=0，1，2，3，4，5，6），故ξ1的分布列为：
■
■
（2）随机变量ξ2服从两点分布B1，■，故ξ2的分布列为：
■
（3）设η=k，表示他前k-1次未击中目标，而在第k次射击时击中目标，则η的取值为全体正整数1，2，3，…，则P（η=k）=■k-1·■ （k=0，1，2，3，…）. 故η的分布列为： ■
（4）设X=k表示前k次未击中目标，而第k+1次击中目标，X的取值为0，1，2，3，4，5，当X=6时，表示射击6次均未击中目标，则P（X=k）=■k·■（k=0，1，2，3，4，
5），而P（X=6）=■6. 故X的分布列为：
■
（5）设Y=k，表示前k-1次未击中，而第k次击中，k=1，2，3，4，5，所以P（Y=k）=■k-1·■（k=1，2，3， 4，5）；而Y=6表示前5次未击中，第6次可以击中，也可以未击中，所以P（Y=6）=■5. 故Y的分布列为：
■
■例3 如果X∽B20，■，则使P（X=k）取最大值的k的值是_______.
思索 问题的解决没有必要分别求出X取0，1，2，…，20时的概率，如果那样做的话，运算量显然是巨大的. 应该去考虑比值■=■·■=1+■，当kP（X=k），即概率随k值的增大而增大；当k>（n+1）p-1时，P（X=k+1）
破解 由已知可得■=■=■×■≥1，得k≤6. 所以当k≤6时，P（X=k+1）≥P（X=k）；当k>6时，P（X=k+1）
■例4 在某市组织的一次数学竞赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布N（60，100），已知成绩在90分以上的学生有13人.
（1）求此次参加竞赛的学生总数共有多少人；
（2）若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问：受奖学生的分数线是多少？
思索 我们知道，正态密度函数φμ，σ（x）=■e■，若X∽N（μ，σ2），则对于任意a>0，P（μ-a
破解 设学生的得分为随机变量X，X∽N（60，100），则μ=60，σ=10.
（1）P（3090）=■[1-P（30
（2）成绩排在前228名的学生数占总数的0.0228. 设分数线为x0，则P（X≥x0）=0.0228，所以P（120-x0
1. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为■，则甲以3∶1的比分获胜的概率为（ ）
A. ■ B. ■ C. ■ D. ■
2. 在高三的一个班中，有■的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数学成绩优秀的学生数ξ～B5，■，则使P（ξ=k）取最大值的k的值为（ ）
A. 0？摇？摇？摇？摇？摇？摇 B. 1？摇？摇 ？摇C. 2 ？摇？摇 D. 3
3. 已知三个正态分布密度函数fi（x）=■e■（x∈R，i=1，2，3）的图象如图2所示，则（ ）
A. μ1σ3？摇？摇
B. μ1>μ2=μ3，σ1=σ2
C. μ1=μ2
D. μ1
■
图2
4. 某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是■.
（1）求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；
（2）求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率；
（3）求这支篮球队在6场比赛中胜场数的期望和方差.
5. 在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布，即X∽N（100，100），已知满分为150分.
（1）试求考试成绩X位于区间（80，120]内的概率；
（2）若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格（不小于90分）的人数.
1. A 2. B 3. D
4. （1）■ （2）■
（3）E（X）=6×■=2，D（X）=6×■×1-■=■.
5. （1）0.9544 （2）1683人 ■
二项分布及其应用、正态分布
作者：余树宝
来源：《数学金刊·高考版》2015年第02期
二项分布与正态分布是常见的随机变量概率分布模型，也是高考理科数学的必考内容之一. 纵观历年的高考试题，有关二项分布与正态分布的问题，尤其是二项分布的问题经常在解答题中出现，因此重视此类问题的解决非常重要.
重点难点
重点：理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题；了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
难点：正确判断随机变量的概率分布模型；正确应用二项分布、正态分布等有关知识解决生产、生活中的实际问题.
方法突破
1. 判断随机变量的概率分布是否为二项分布模型，首先要判断随机试验是否为独立重复试验，此时就要看每次试验的条件是否相同，如果不同，那么某事件发生的次数X不会服从二项分布.
因此，二项分布只有事件满足以下条件时才能适用：
（1）每次试验的结果只有一种并且是相互对立的，如正面或反面，活着或死亡等.
（2）如果某一事件发生的概率为p，那么其对立事件发生的概率为1-p. 在实际计算中，p是从大量观察中获得的比较稳定的数值.
（3）在相同的条件下进行n次试验，并且每次试验的结果是相互独立的，即每次试验的结果是不会受到其他试验结果影响的，就像要求疾病无家族性、无传染性等.
2. 二项分布B（n，p）中有两个参数，一个是独立重复试验的总次数n，另一个是每次试验中某事件A发生的概率p. 正确解决二项分布问题首先要准确地确定好这两个量.
3. 若随机变量X∽B（n，p），则P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n），它恰好是（q+p）n的二项展开式中的第k+1项（其中q=1-p），故名二项分布. 其分布列为： 其数学期望与方差可直接由E（X）=np，D（X）=np（1-p）来进行计算，这样可以大大减少运算量，提高解题速度.
4. 正态分布由参数μ，σ唯一确定，如果随机变量ξ∽N（μ，σ2），那么根据定义有：μ=E（ξ），σ=D（ξ）. 正态曲线具有以下性质：
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交，曲线与x轴之间的面积为1.
（2）曲线关于直线x=μ对称，且曲线在x=μ处达到峰值■.
（3）当xμ时，曲线下降. 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近.
（4）当μ一定时，曲线的形状由σ确定. σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
应用数形结合的思想方法理解以上四条性质并进行解题非常关键和有效.
典例精讲
■例1 （2014年高考辽宁卷） 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图1所示.
■图1
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）.
思索 此题（2）问中的X是服从二项分布的，原因是题设中告诉我们每天的销售量相互独立，且由（1）问知“每天的销售量不低于100个”发生的概率为0.6，符合二项分布的应用条件，可判定X是服从二项分布的. 于是由P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n）可求X取每一个值的概率，从而进一步得到分布列. 其数学期望与方差可直接由E（X）=np，D（X）=np（1-p）进行计算，方便快捷.
破解 （1）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”. 因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，P（A2）=0.003×50=0.15，P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108.
（2）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为：P（X=0）=C03·（1-0.6）3=0.064，P（X=1）=C13·0.6（1-0.6）2=0.288，P（X=2）=C23·0.62（1-0.6）=0.432，P（X=3）=C33·0.63=0.216.
故X的分布列为：
■
因为X∽B（3，0.6），所以期望E（X）=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72.
■例2 某人参加射击，击中目标的概率是■.
（1）设ξ1为他射击6次击中目标的次数，求随机变量ξ1的分布列；
（2）设ξ2为他射击1次击中目标的次数，求随机变量ξ2的分布列；
（3）设η为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求η的分布列；
（4）若他连续射击6次，设X为他第一次击中目标前射击的次数，求X的分布列；
（5）设他只有6颗子弹，若他击中目标，则不再射击，否则子弹打完，求他射击次数Y的分布列.
思索 此题有五个小问，涉及五个随机变量，其中（1）中的变量ξ1服从的是二项分布，因为6次射击相当于6次独立重复试验，每次试验“击中目标”的概率都是■，所以射击6次击中目标的次数ξ1服从二项分布；（2）问中ξ2服从的是两点分布（又称0-1分布），关于两点分布与二项分布的关系，事实上，两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；其他三个小问中变量η，X，Y服从的不是二项分布，它们虽然都表示射击的次数，但它们各自表示的意义是不一样的，所以解题时要正确理解.
破解 （1）随机变量ξ1服从二项分布B6，■，则P（ξ=k）=C■■■k·■6-k（k=0，1，2，3，4，5，6），故ξ1的分布列为：
■
■
（2）随机变量ξ2服从两点分布B1，■，故ξ2的分布列为：
■
（3）设η=k，表示他前k-1次未击中目标，而在第k次射击时击中目标，则η的取值为全体正整数1，2，3，…，则P（η=k）=■k-1·■ （k=0，1，2，3，…）. 故η的分布列为： ■
（4）设X=k表示前k次未击中目标，而第k+1次击中目标，X的取值为0，1，2，3，4，5，当X=6时，表示射击6次均未击中目标，则P（X=k）=■k·■（k=0，1，2，3，4，
5），而P（X=6）=■6. 故X的分布列为：
■
（5）设Y=k，表示前k-1次未击中，而第k次击中，k=1，2，3，4，5，所以P（Y=k）=■k-1·■（k=1，2，3， 4，5）；而Y=6表示前5次未击中，第6次可以击中，也可以未击中，所以P（Y=6）=■5. 故Y的分布列为：
■
■例3 如果X∽B20，■，则使P（X=k）取最大值的k的值是_______.
思索 问题的解决没有必要分别求出X取0，1，2，…，20时的概率，如果那样做的话，运算量显然是巨大的. 应该去考虑比值■=■·■=1+■，当kP（X=k），即概率随k值的增大而增大；当k>（n+1）p-1时，P（X=k+1）
破解 由已知可得■=■=■×■≥1，得k≤6. 所以当k≤6时，P（X=k+1）≥P（X=k）；当k>6时，P（X=k+1）
■例4 在某市组织的一次数学竞赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布N（60，100），已知成绩在90分以上的学生有13人.
（1）求此次参加竞赛的学生总数共有多少人；
（2）若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问：受奖学生的分数线是多少？
思索 我们知道，正态密度函数φμ，σ（x）=■e■，若X∽N（μ，σ2），则对于任意a>0，P（μ-a
破解 设学生的得分为随机变量X，X∽N（60，100），则μ=60，σ=10.
（1）P（3090）=■[1-P（30
（2）成绩排在前228名的学生数占总数的0.0228. 设分数线为x0，则P（X≥x0）=0.0228，所以P（120-x0
1. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为■，则甲以3∶1的比分获胜的概率为（ ）
A. ■ B. ■ C. ■ D. ■
2. 在高三的一个班中，有■的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数学成绩优秀的学生数ξ～B5，■，则使P（ξ=k）取最大值的k的值为（ ）
A. 0？摇？摇？摇？摇？摇？摇 B. 1？摇？摇 ？摇C. 2 ？摇？摇 D. 3
3. 已知三个正态分布密度函数fi（x）=■e■（x∈R，i=1，2，3）的图象如图2所示，则（ ）
A. μ1σ3？摇？摇
B. μ1>μ2=μ3，σ1=σ2
C. μ1=μ2
D. μ1
■
图2
4. 某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是■.
（1）求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；
（2）求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率；
（3）求这支篮球队在6场比赛中胜场数的期望和方差.
5. 在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布，即X∽N（100，100），已知满分为150分.
（1）试求考试成绩X位于区间（80，120]内的概率；
（2）若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格（不小于90分）的人数.
1. A 2. B 3. D
4. （1）■ （2）■
（3）E（X）=6×■=2，D（X）=6×■×1-■=■.
5. （1）0.9544 （2）1683人 ■