一. 选择题:
【 D 】1 （基础训练2） 一劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联，下面挂一质量为m 的物体，如图13-15所示。则振动系统的频率为 ： (A)
(C)
12π12π
k 3m 3k m
m
图13-15
．
(B)
． (D)
1
2π12π
k m 6k m
． ．
提示：劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，每份的劲度系数为变为3k ，取出其中2份并联，系统的劲度系数为6k.
【 C 】2、（基础训练3）一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，（如图13-16所示），作成一复摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量J =
13
ml ，此摆作微小振动的周期为
2
(A) 2π
l g
. (B) 2π
l 2g
. (C) 2π
2l 3g
. (D) π
l 3g
.
图13-16
提示：均匀的细棒一段悬挂，构成一个复摆，可根据复摆的振动方程求解办法，求出复摆的振动周期。
【 C 】 3 （基础训练4） 一质点作简谐振动，周期为T ．当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12． (B) T /8． (C) T /6． (D) T /4．
提示：从从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程在旋转矢量图上，矢量转过的角
1
位移为3
π
，对应的时间为T/6.
【 B 】 4、（基础训练7）当质点以频率ν 作简谐振动时，它的动能的变化频率为
(A) 4 ν． (B) 2 ν ． (C) ν． (D)
12
．
提示：当质点作频率ν 作简谐振动时，振动方程可以表示为x =A cos(2πvt +φ0) ，质点的运动速度为v x =
E k =
12mv
2
x
dx dt
=-2πvA sin(2πvt +φ0) ，动能可以表示为：
2
=
12
m [-2πvA sin(2πvt +φ0)]=
12
kA sin (2πvt +φ0) =
22
12
kA
2
1-cos 2(2πvt +φ0)
2
[ B ] 5、（基础训练8） 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为
3(A) π． (B) π．
2
A/1 (C) π． (D) 0．
2
提示：使用谐振动的矢量图示法，
合振动的初始状态为 -初相位为π
【 B 】 6、（自测提高5）一简谐振动曲线如图所示．则振动周期是
(A) 2.62 s． (B) 2.40 s． (C) 2.20 s． (D)
2.00 s．
提示：使用谐振动的矢量图示法，初始状态旋转矢量位于第四此过程经历时间为1s
2.4s
二 填空题
1、(基础训练12) 一系统作简谐振动, 周期为T ，以余弦函数表达振动时，初相为零．在0≤t ≤
14
T 范围内，系统在t =_ T/8_时刻动能和势能相等．
提示：动能和势能相等，为总能量的一半，此时物体偏离平衡位置的位移应为最大位移的22，相位为π4，因为初始相位为零，t=T/8
2、(基础训练15) 一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动, 当这物块的位移等于振幅的一半时, 其动能是总能量的____3/4______（设平衡位置处势能为零）．当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长∆l ，这一振动系统的周期为______2π
∆l g
__．
提示：当物体偏离平衡位置为振幅一半的时，势能为总能量的1/4，动能为总能量的3/4；当物体在平衡位置时，弹簧伸长∆l ，mg =k ∆l k =mg /∆l
T =
2π
=2π
∆l g
3、(基础训练16) 两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：
x 1=6⨯10
-2
-2
(-5t ) (SI) cos(5t +π) (SI) ， x 2=2⨯10c o s π
2
ω
它们的合振动的振辐为2⨯10
-2
(SI),初相为
π
2
+tg
-1
13
＝108.4
提示：用旋转矢量图示法求解
4、 (自测提高 8) 在静止的升降机中，长度为l 的单摆的振动周期为T 0．当升降机
以加速度a =
12
g 竖直下降时，摆的振动周期2T 0．
提示：当升降机以加速度加速下降时，对于单摆，等效加速度为g-a=0.5g;单摆的周期T =2π
l g -a
=
2T 0
变为:
5．(自测提高 13) 一台摆钟每天慢2分10秒，其等效摆长l = 0.995 m， 摆锤可上、下移动以调节其周期．假如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向上移动2.99mm ，才能使钟走得准确？
提示：钟摆周期的相对误差∆T /T =钟的相对误差∆t /t ，等效单摆的周期T =2πl /g ，这里g 不变，则有
2dT /T =dl /l 即有 ∆l =2l ∆T /T =2l ∆t /t =
2⨯0. 995⨯13024⨯60⨯60
=2. 99mm
6 (自测提高 14) 、两个互相垂直的不同频率谐振动合成后的图形如图13-27所示．由图可知x 方向和y 方向两振动的频率之比νx :νy =___4:3___．
提示：在同样的时间间隔内，X 方向的振动为2T x ，而y 方向的振动
图13-27 为1.5T y , 周期之比为3：4，频率之比相反为4：3
三 计算题
1、（基础训练19）一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12 cm，在距平衡位置6 cm处速率是24 cm/s．如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动（振动频率不变），当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数μ为多少？
解：由题意可以得到，6cm 时的振幅）
222
代入数据可以得到：(0. 12-0. 06) k =0. 24m ；ω=
12
kA =
2
12
kA 1+
2
12
mv （A,A1分别为最大振幅和距离平衡位置
2
k m
=
43
3
在最大位移处，加速度a =ωA =
2
163
⨯(12⨯10
-2
) =μg
μ=0. 0648
2. （基础训练23）有两个同方向的简谐振动，它们的方程(SI单位) 如下：
3⎫1⎫⎛⎛
x 1=0. 05cos 10t +π⎪，x 2=0. 06cos 10t +π⎪
4⎭4⎭⎝⎝
(1) 求它们合成振动的振幅和初位相。 (2) 若另有一振动x 3=0. 07cos(10t +φ) ，问φ为何值时，x 1+x 3的振幅为最大；φ为何值时，x 2+x 3的振幅为最小。
解：（1）合成振动的振幅：A =
0. 05sin
334
0. 05+0. 06=0. 78
114
22
π+0. 06sin π+0. 06cos
π) =tan
-1
初相位：φ0=tan
-1
(0. 05cos
11
π
(2) 若另有一振动x 3=0. 07cos(10t +φ) ，x 1+x 3振幅最大，需要振动的初相位相同，所以φ=
3. （基础训练24） 有一轻弹簧，下悬质量为1.0克的物体时，伸长量为4.9厘米；用这个弹簧和一个质量为8.0克的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0厘米后，给予向上的初速度v 0=5. 0厘米/秒。试求小球的振动周期及振动的表式。
解：由题可知，挂1g 重物时弹簧伸长4.9cm ，即：
k ∆x =mg ，代入后得到k =0. 2N
m
34
π，x 2+x 3的振幅最小，需要初相位相差180，这时φ=
54
π
;
挂质量为8克重物时，弹簧伸长∆l =39. 2cm
设平衡位置时重力势能为零。
将小球下拉h =1cm 并给予初速度v 0=5. 0厘米/秒，此时系统具有的能量为：
E =E p +E k =
12
⨯k (∆l ) +
2
12
⨯mv
2
=1. 54⨯10
-2
J
在平衡位置处，能量全部转化为弹性势能和动能，
E =
12mv max
-2
2
v max =7. 07⨯10
m /s
w =
k m
V max w
=5rad/s
-2
A ==1. 4142⨯102π
m
周期T =
ω
=0. 4π; 向下拉1cm 后释放时初始相位为T =π/4
振动表达式可以表示为： y =
2⨯10
-2
cos(5t +
π
4
)
4、(自测提高15) 两个物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当第一个物体经过位移为A /
2
的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动．试利用旋转矢量法求它们的相位差．
提示：参考旋转矢量图，可得到两个振动的相位差为
∆φ=
π
2
【选做题】
1. 【自测提高19】如果在水平光滑桌面上放着质量分别为m1和m2的两个物块，它们之间被一弹性系数为k 的轻弹簧连接着，试求该系统的振动周期。
解：设该系统在弹簧被压缩或拉伸最大量为A, A应为两物块的最大位移A1和A2之和。即A =A 1＋A 2
当两物体回复到平衡位置时，两物块分别具有最大的速度值v 1=ωA 1, v 2=ωA 2 因为系统放在光滑水平桌面上，系统总动量守恒，有：
m 1v 1=m 2v 2; m 1ωA 1=m 2ωA 2, A 1=
m 2m 1
A 2
根据弹簧振子的能量守恒原理，有
12
m （ωA 1）＋1
2
12
m （ωA 2）=2
2
12
k （A 1+A 2）
2
求解可得：ω=
k （m 1+m 2）
；
m 1m 2
T =2π
k （m 1＋m 2）
m 1m 2
2. 【自测提高21】、质量为M 的圆盘挂在劲度系数为k 的轻弹簧下，并处于静止状态，如图13-30所示。一质量为m 的物体，从距圆盘为h 的高度自由下落，并粘在盘上和盘一起振动。设物体和盘相碰瞬间t=0，而且碰撞时间很短。取碰后系统的平衡位置为坐标原点，竖直向下为坐标的正方向。试求系统的振动方程。
图13-30
解：质量为m 的物体与质量为M 的物体先发生碰撞，碰撞后的瞬时速度大小为v ：
m 2gh =(M +m ) v v =m 2gh /(M +m ) ，系统动能为：
E k 1=
12
(m +M ) v =m gh /(M +m ) (1)
2
2
碰撞前后瞬间，弹簧的伸长量为L 1=Mg/k, 系统势能为E p 1=
12
kx =
2
M g 2k
22
(2)
到系统达到平衡位置时，弹簧伸长量为L 2 =(M+m)g/k，设平衡位置时（M ＋m ）物体的速度为v ’, 有：
1212
(m +M ) v ' +(m +M ) v ' =
22
1212
kL 2=E K 1+E P 1+(m +M ) g (L 2-L 1) (3) KA ， (4)
2
2
根据（1）（2）（3）（4）各式，得到A =
(
mg k
) +
2
2ghm
2
(m +M ) k
；
根据条件，此振动的角频率为
k M +m
在t=0时，M ＋m 在往平衡位置方向运动，并再经平衡位置向正最大位移方向移动，由此可判定在旋转矢量图中，矢量处于第三象限。 设t=0时偏离平衡位置位移为x ，有：
12
kx +E K 1=
2
12
KA 得到x ＝
2
mg k
+π;
初始相位为：arccos
k (
mg k
2
mg ) +
2ghm
2
(m +M ) k
也可写成：arctan
2kh (m +m 0) g
+π
所以，振动方程为：
x =
(mg k ) +
2
2ghm
2
(m +M ) k
cos(
k M +m
⨯t ＋arccos
k (mg k
2
mg ) +
2ghm
2
+π)
(m +M ) k
或者： x =
(mg k ) +
2
2ghm
2
(m +M ) k
cos(
k M +m
⨯t ＋arctan
2kh (m +m 0) g
+π）
一. 选择题:
【 D 】1 （基础训练2） 一劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联，下面挂一质量为m 的物体，如图13-15所示。则振动系统的频率为 ： (A)
(C)
12π12π
k 3m 3k m
m
图13-15
．
(B)
． (D)
1
2π12π
k m 6k m
． ．
提示：劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，每份的劲度系数为变为3k ，取出其中2份并联，系统的劲度系数为6k.
【 C 】2、（基础训练3）一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，（如图13-16所示），作成一复摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量J =
13
ml ，此摆作微小振动的周期为
2
(A) 2π
l g
. (B) 2π
l 2g
. (C) 2π
2l 3g
. (D) π
l 3g
.
图13-16
提示：均匀的细棒一段悬挂，构成一个复摆，可根据复摆的振动方程求解办法，求出复摆的振动周期。
【 C 】 3 （基础训练4） 一质点作简谐振动，周期为T ．当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12． (B) T /8． (C) T /6． (D) T /4．
提示：从从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程在旋转矢量图上，矢量转过的角
1
位移为3
π
，对应的时间为T/6.
【 B 】 4、（基础训练7）当质点以频率ν 作简谐振动时，它的动能的变化频率为
(A) 4 ν． (B) 2 ν ． (C) ν． (D)
12
．
提示：当质点作频率ν 作简谐振动时，振动方程可以表示为x =A cos(2πvt +φ0) ，质点的运动速度为v x =
E k =
12mv
2
x
dx dt
=-2πvA sin(2πvt +φ0) ，动能可以表示为：
2
=
12
m [-2πvA sin(2πvt +φ0)]=
12
kA sin (2πvt +φ0) =
22
12
kA
2
1-cos 2(2πvt +φ0)
2
[ B ] 5、（基础训练8） 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为
3(A) π． (B) π．
2
A/1 (C) π． (D) 0．
2
提示：使用谐振动的矢量图示法，
合振动的初始状态为 -初相位为π
【 B 】 6、（自测提高5）一简谐振动曲线如图所示．则振动周期是
(A) 2.62 s． (B) 2.40 s． (C) 2.20 s． (D)
2.00 s．
提示：使用谐振动的矢量图示法，初始状态旋转矢量位于第四此过程经历时间为1s
2.4s
二 填空题
1、(基础训练12) 一系统作简谐振动, 周期为T ，以余弦函数表达振动时，初相为零．在0≤t ≤
14
T 范围内，系统在t =_ T/8_时刻动能和势能相等．
提示：动能和势能相等，为总能量的一半，此时物体偏离平衡位置的位移应为最大位移的22，相位为π4，因为初始相位为零，t=T/8
2、(基础训练15) 一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动, 当这物块的位移等于振幅的一半时, 其动能是总能量的____3/4______（设平衡位置处势能为零）．当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长∆l ，这一振动系统的周期为______2π
∆l g
__．
提示：当物体偏离平衡位置为振幅一半的时，势能为总能量的1/4，动能为总能量的3/4；当物体在平衡位置时，弹簧伸长∆l ，mg =k ∆l k =mg /∆l
T =
2π
=2π
∆l g
3、(基础训练16) 两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：
x 1=6⨯10
-2
-2
(-5t ) (SI) cos(5t +π) (SI) ， x 2=2⨯10c o s π
2
ω
它们的合振动的振辐为2⨯10
-2
(SI),初相为
π
2
+tg
-1
13
＝108.4
提示：用旋转矢量图示法求解
4、 (自测提高 8) 在静止的升降机中，长度为l 的单摆的振动周期为T 0．当升降机
以加速度a =
12
g 竖直下降时，摆的振动周期2T 0．
提示：当升降机以加速度加速下降时，对于单摆，等效加速度为g-a=0.5g;单摆的周期T =2π
l g -a
=
2T 0
变为:
5．(自测提高 13) 一台摆钟每天慢2分10秒，其等效摆长l = 0.995 m， 摆锤可上、下移动以调节其周期．假如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向上移动2.99mm ，才能使钟走得准确？
提示：钟摆周期的相对误差∆T /T =钟的相对误差∆t /t ，等效单摆的周期T =2πl /g ，这里g 不变，则有
2dT /T =dl /l 即有 ∆l =2l ∆T /T =2l ∆t /t =
2⨯0. 995⨯13024⨯60⨯60
=2. 99mm
6 (自测提高 14) 、两个互相垂直的不同频率谐振动合成后的图形如图13-27所示．由图可知x 方向和y 方向两振动的频率之比νx :νy =___4:3___．
提示：在同样的时间间隔内，X 方向的振动为2T x ，而y 方向的振动
图13-27 为1.5T y , 周期之比为3：4，频率之比相反为4：3
三 计算题
1、（基础训练19）一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12 cm，在距平衡位置6 cm处速率是24 cm/s．如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动（振动频率不变），当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数μ为多少？
解：由题意可以得到，6cm 时的振幅）
222
代入数据可以得到：(0. 12-0. 06) k =0. 24m ；ω=
12
kA =
2
12
kA 1+
2
12
mv （A,A1分别为最大振幅和距离平衡位置
2
k m
=
43
3
在最大位移处，加速度a =ωA =
2
163
⨯(12⨯10
-2
) =μg
μ=0. 0648
2. （基础训练23）有两个同方向的简谐振动，它们的方程(SI单位) 如下：
3⎫1⎫⎛⎛
x 1=0. 05cos 10t +π⎪，x 2=0. 06cos 10t +π⎪
4⎭4⎭⎝⎝
(1) 求它们合成振动的振幅和初位相。 (2) 若另有一振动x 3=0. 07cos(10t +φ) ，问φ为何值时，x 1+x 3的振幅为最大；φ为何值时，x 2+x 3的振幅为最小。
解：（1）合成振动的振幅：A =
0. 05sin
334
0. 05+0. 06=0. 78
114
22
π+0. 06sin π+0. 06cos
π) =tan
-1
初相位：φ0=tan
-1
(0. 05cos
11
π
(2) 若另有一振动x 3=0. 07cos(10t +φ) ，x 1+x 3振幅最大，需要振动的初相位相同，所以φ=
3. （基础训练24） 有一轻弹簧，下悬质量为1.0克的物体时，伸长量为4.9厘米；用这个弹簧和一个质量为8.0克的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0厘米后，给予向上的初速度v 0=5. 0厘米/秒。试求小球的振动周期及振动的表式。
解：由题可知，挂1g 重物时弹簧伸长4.9cm ，即：
k ∆x =mg ，代入后得到k =0. 2N
m
34
π，x 2+x 3的振幅最小，需要初相位相差180，这时φ=
54
π
;
挂质量为8克重物时，弹簧伸长∆l =39. 2cm
设平衡位置时重力势能为零。
将小球下拉h =1cm 并给予初速度v 0=5. 0厘米/秒，此时系统具有的能量为：
E =E p +E k =
12
⨯k (∆l ) +
2
12
⨯mv
2
=1. 54⨯10
-2
J
在平衡位置处，能量全部转化为弹性势能和动能，
E =
12mv max
-2
2
v max =7. 07⨯10
m /s
w =
k m
V max w
=5rad/s
-2
A ==1. 4142⨯102π
m
周期T =
ω
=0. 4π; 向下拉1cm 后释放时初始相位为T =π/4
振动表达式可以表示为： y =
2⨯10
-2
cos(5t +
π
4
)
4、(自测提高15) 两个物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当第一个物体经过位移为A /
2
的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动．试利用旋转矢量法求它们的相位差．
提示：参考旋转矢量图，可得到两个振动的相位差为
∆φ=
π
2
【选做题】
1. 【自测提高19】如果在水平光滑桌面上放着质量分别为m1和m2的两个物块，它们之间被一弹性系数为k 的轻弹簧连接着，试求该系统的振动周期。
解：设该系统在弹簧被压缩或拉伸最大量为A, A应为两物块的最大位移A1和A2之和。即A =A 1＋A 2
当两物体回复到平衡位置时，两物块分别具有最大的速度值v 1=ωA 1, v 2=ωA 2 因为系统放在光滑水平桌面上，系统总动量守恒，有：
m 1v 1=m 2v 2; m 1ωA 1=m 2ωA 2, A 1=
m 2m 1
A 2
根据弹簧振子的能量守恒原理，有
12
m （ωA 1）＋1
2
12
m （ωA 2）=2
2
12
k （A 1+A 2）
2
求解可得：ω=
k （m 1+m 2）
；
m 1m 2
T =2π
k （m 1＋m 2）
m 1m 2
2. 【自测提高21】、质量为M 的圆盘挂在劲度系数为k 的轻弹簧下，并处于静止状态，如图13-30所示。一质量为m 的物体，从距圆盘为h 的高度自由下落，并粘在盘上和盘一起振动。设物体和盘相碰瞬间t=0，而且碰撞时间很短。取碰后系统的平衡位置为坐标原点，竖直向下为坐标的正方向。试求系统的振动方程。
图13-30
解：质量为m 的物体与质量为M 的物体先发生碰撞，碰撞后的瞬时速度大小为v ：
m 2gh =(M +m ) v v =m 2gh /(M +m ) ，系统动能为：
E k 1=
12
(m +M ) v =m gh /(M +m ) (1)
2
2
碰撞前后瞬间，弹簧的伸长量为L 1=Mg/k, 系统势能为E p 1=
12
kx =
2
M g 2k
22
(2)
到系统达到平衡位置时，弹簧伸长量为L 2 =(M+m)g/k，设平衡位置时（M ＋m ）物体的速度为v ’, 有：
1212
(m +M ) v ' +(m +M ) v ' =
22
1212
kL 2=E K 1+E P 1+(m +M ) g (L 2-L 1) (3) KA ， (4)
2
2
根据（1）（2）（3）（4）各式，得到A =
(
mg k
) +
2
2ghm
2
(m +M ) k
；
根据条件，此振动的角频率为
k M +m
在t=0时，M ＋m 在往平衡位置方向运动，并再经平衡位置向正最大位移方向移动，由此可判定在旋转矢量图中，矢量处于第三象限。 设t=0时偏离平衡位置位移为x ，有：
12
kx +E K 1=
2
12
KA 得到x ＝
2
mg k
+π;
初始相位为：arccos
k (
mg k
2
mg ) +
2ghm
2
(m +M ) k
也可写成：arctan
2kh (m +m 0) g
+π
所以，振动方程为：
x =
(mg k ) +
2
2ghm
2
(m +M ) k
cos(
k M +m
⨯t ＋arccos
k (mg k
2
mg ) +
2ghm
2
+π)
(m +M ) k
或者： x =
(mg k ) +
2
2ghm
2
(m +M ) k
cos(
k M +m
⨯t ＋arctan
2kh (m +m 0) g
+π）