浅谈方程、函数、不等式三者之间的关系 作者：谢文芳
来源：《学校教育研究》2014年第24期
在初中阶段，方程、函数、不等式都是比较重要的知识点。在初中数学教学中占重要地位。对于它们之间的关系应该如何理解和认识，在这里笔者谈一点粗浅看法。
第一，函数、方程和不等式是初中数学学习的主要内容之一。这三部分内部之间有着很密切的联系，知识点体系主要采用以函数为主线，将函数图像、性质和方乘及不等式的相关知识，进行综合运用，用函数观点看方程（组）与不等式数形结合思想的又一体现，它交给我们从另一个方位来思考方程（组）与不等式的问题，让人耳目一新，让我们领略了数学思维的多元性，进一步体验了数形结合的重要性。在学习方程和不等式的时候加入与函数的联系，在学习中让学生比较好的理解它们之间的内在的联系是十分重要的内容，这也是初中阶段数学最为重要的内容之一。而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。因此，应该重视这部分的教学。
第二，在教学中，这部分内容应该抓好两个要点：第一个要点是各个内容之间相关概念之间的联系、第二个要点是各个内容之间相关性质之间的联系。例如，方程与函数之间相对应问题？实际上，想对应的问题就是求函数的零点，即函数图像与横轴交点的横坐标的值。在不等式中，方程的根又是如何体现的？方程的根就是不等式解集中的特殊值。反之，函数的零点从方程的角度看，就是方程的根，从不等式的角度看，就是解集中的特殊的解。不等式的解集从函数的角度看，就是图像在横轴的上方或下方，从方程的角度看，就是先解方程，求出方程的根，以两根为端点写出不等式的解集。这三个不同内容之间，一些概念是相通的，但是名称又不完全一样。但本质上是一致的。
1.一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系
一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（1 ，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立;•直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解;在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b
2.坐标轴的函数表达式
函数关系式x=0的图像是y轴，反之，y轴可以用函数关系式x=0表示;•函数关系式y=0的图像是x轴，反之，x轴可以用函数关系式y=0表示。
3.一次函数与二元一次方程组的关系
一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值;从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系。
4.两条直线的位置关系与二元一次方程组的解
（1）二元一次方程组 有唯一的解 直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1≠k2。
（2）二元一次方程组 无解 直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2。
（3）二元一次方程组 有无数多个解 直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合 k1=k2，b1=b2。 例如，1、我市某乡A，B两村盛产柑橘，A•村有柑橘200t，•B•村有柑橘300t，现将这些柑橘运到C、D两个冷藏仓库，•已知C•仓库可储存240t，•D•仓库可储存260t;从A村运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元，设从A村运往C仓库的柑橘重量为xt，A，B•两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为yA元和yB元.
（1）试讨论A，B两村中，哪个村的运费较少;
（2）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过480元。在这种情况下，•请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值。
分析：（1）根据运输的吨数及运费单价可写出y，y与x之间的函数关系。
（2）欲比较yA与yB的大小，应先讨论yA=yB的大小，应先讨论yA=yB或yA>yB或yA。
（3）根据已知条件求出x的取值范围。根据一次函数的性质可知在此范围内，两村运费之和是如何变化的，进而可求出相应的值。
分析：这里的函数与不等式的关系，就体现了函数与不等式之间的关系。
2、某班到毕业时共结余经费1 800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念品。已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册。
（1）求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元？
（2）有几种购买文化衫和相册的方案？哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足？ 分析：本例第（1）问通过列二元一次方程组解决，第（2）问利用不等式解题，而后在
（1）（2）的基础上作出决策分析，较好地考查了学生综合运用数学知识解决简单问题的能力。
总之，在数学中，要充分把握方程、函数、不等式三者之间的关系。通过多环节的训练，扩展深化发展学生智能，让学生学会函数与方程的思想来解决实际问题并能利用函数的图像和性质求出实际问题的答案。渗透数形结合的思想，用函数的观点把三者统一起来，对继续学习数学很重要。
浅谈方程、函数、不等式三者之间的关系 作者：谢文芳
来源：《学校教育研究》2014年第24期
在初中阶段，方程、函数、不等式都是比较重要的知识点。在初中数学教学中占重要地位。对于它们之间的关系应该如何理解和认识，在这里笔者谈一点粗浅看法。
第一，函数、方程和不等式是初中数学学习的主要内容之一。这三部分内部之间有着很密切的联系，知识点体系主要采用以函数为主线，将函数图像、性质和方乘及不等式的相关知识，进行综合运用，用函数观点看方程（组）与不等式数形结合思想的又一体现，它交给我们从另一个方位来思考方程（组）与不等式的问题，让人耳目一新，让我们领略了数学思维的多元性，进一步体验了数形结合的重要性。在学习方程和不等式的时候加入与函数的联系，在学习中让学生比较好的理解它们之间的内在的联系是十分重要的内容，这也是初中阶段数学最为重要的内容之一。而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。因此，应该重视这部分的教学。
第二，在教学中，这部分内容应该抓好两个要点：第一个要点是各个内容之间相关概念之间的联系、第二个要点是各个内容之间相关性质之间的联系。例如，方程与函数之间相对应问题？实际上，想对应的问题就是求函数的零点，即函数图像与横轴交点的横坐标的值。在不等式中，方程的根又是如何体现的？方程的根就是不等式解集中的特殊值。反之，函数的零点从方程的角度看，就是方程的根，从不等式的角度看，就是解集中的特殊的解。不等式的解集从函数的角度看，就是图像在横轴的上方或下方，从方程的角度看，就是先解方程，求出方程的根，以两根为端点写出不等式的解集。这三个不同内容之间，一些概念是相通的，但是名称又不完全一样。但本质上是一致的。
1.一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系
一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（1 ，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立;•直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解;在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b
2.坐标轴的函数表达式
函数关系式x=0的图像是y轴，反之，y轴可以用函数关系式x=0表示;•函数关系式y=0的图像是x轴，反之，x轴可以用函数关系式y=0表示。
3.一次函数与二元一次方程组的关系
一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值;从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系。
4.两条直线的位置关系与二元一次方程组的解
（1）二元一次方程组 有唯一的解 直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1≠k2。
（2）二元一次方程组 无解 直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2。
（3）二元一次方程组 有无数多个解 直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合 k1=k2，b1=b2。 例如，1、我市某乡A，B两村盛产柑橘，A•村有柑橘200t，•B•村有柑橘300t，现将这些柑橘运到C、D两个冷藏仓库，•已知C•仓库可储存240t，•D•仓库可储存260t;从A村运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元，设从A村运往C仓库的柑橘重量为xt，A，B•两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为yA元和yB元.
（1）试讨论A，B两村中，哪个村的运费较少;
（2）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过480元。在这种情况下，•请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值。
分析：（1）根据运输的吨数及运费单价可写出y，y与x之间的函数关系。
（2）欲比较yA与yB的大小，应先讨论yA=yB的大小，应先讨论yA=yB或yA>yB或yA。
（3）根据已知条件求出x的取值范围。根据一次函数的性质可知在此范围内，两村运费之和是如何变化的，进而可求出相应的值。
分析：这里的函数与不等式的关系，就体现了函数与不等式之间的关系。
2、某班到毕业时共结余经费1 800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念品。已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册。
（1）求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元？
（2）有几种购买文化衫和相册的方案？哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足？ 分析：本例第（1）问通过列二元一次方程组解决，第（2）问利用不等式解题，而后在
（1）（2）的基础上作出决策分析，较好地考查了学生综合运用数学知识解决简单问题的能力。
总之，在数学中，要充分把握方程、函数、不等式三者之间的关系。通过多环节的训练，扩展深化发展学生智能，让学生学会函数与方程的思想来解决实际问题并能利用函数的图像和性质求出实际问题的答案。渗透数形结合的思想，用函数的观点把三者统一起来，对继续学习数学很重要。