§1—1观测误差
当对某量进行重复观测时，就会发现，这些观测值之间往往存在一些差异。例如，对
同一段距离重复丈量若干次，量得的长度通常是互有差异。另一种情况是，如果已经知道
某几个量之间应该满足某一理论关系，但当对这几个量进行观测后，也会发现实际观测结
果往往不能满足应有的理论关系。例如，从几何上知道一平面三角形三内角之和应等于
180。，但如果对这三个内角进行观测，则三内角观测值之和常常不等于180。，而有差异。
在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论上的应有值之间存在差异的现象，在
测量工作中是普遍存在的。为什么会产生这种差异呢?不难理解，这是由于观测值中包含
有观测误差的缘故。
观测误差的产生，原因很多，概括起来有以下三方面：
1．测量仪器
测量工作通常是利用测量仪器进行的。由于每一种仪器只具有一定限度的精密度，因
而使观测值的精密度受到了一定的限制，例如，在用只刻有厘米分划的普通水准尺进行水
准测量时，就难以保证在估读厘米以下的尾数时完全正确无误；同时，仪器本身也有一定
的误差，例如，水准仪的视准轴不平行于水准轴，水准尺的分划误差等等。因此，使用这
样的水准仪和水准尺进行观测，就会使水准测量的结果产生误差。同样，经纬仪、测距仪
等的仪器误差也使三角测量、导线测量的结果产生误差。
2．观测者
由于观测者的感觉器官的鉴别能力有一定的局限性，所以在仪器的安置、照准、读数
等方面都会产生误差。同时，观测者的工作态度和技术水平，也是对观测成果质量有直接
影响的重要因素。
3．外界条件
观测时所处的外界条件，如温度、湿度、风力、大气折光等因素都会对观测结果直接
产生影响；同时，随着温度的高低，湿度的大小，风力的强弱以及大气折光的不同，它们
对观测结果的影响也随之不同，因而在这样的客观环境下进行观测，就必然使观测的结果
产生误差。
上述测量仪器、观测者、外界条件三方面的因素是引起误差的主要来源。因此，我们
把这三方面的因素综合起来称为观测条件。不难想象，观测条件的好坏与观测成果的质量
有着密切的联系。当观测条件好一些，观测中所产生的误差平均说来就可能相应地小一些，
因而观测成果的质量就会高一些。反之，观测条件差一些，观测成果的质量就会低一些。如
果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是相同的。所以说，观测成果的质量高低也就客观地反映了观测条件的优劣。
但是，不管观测条件如何，在整个观测过程中，由于受到上述种种因素的影响，观g
的结果就会产生这样或那样的误差。从这一意义上来说，在测量中产生误差是不可避免的
当然，在客观条件允许的限度内，测量工作者可以而且必须确保观测成果具有较高的质量
根据观测误差对观测结果的影响性质，可将观测误差分为系统误差和偶然误差两种：
1．系统误差
在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或爿
在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差就称为系统误差。
例如，用具有某一尺长误差的钢尺量距时，由尺长误差所引起的距离误差与所测距青
的长度成正比地增加，距离愈长，所积累的误差也愈大；经纬仪因校正或整置的不完善i}
使所测角度产生误差；等等。这些都是由于仪器不完善或工作前未经检验校正而产生的勇
统误差。又如，用钢尺量距时的温度与检定尺长时的温度不～致，而使所测的距离产生豸
差；测角时因大气折光的影响而产生的角度误差等等，这些都是由于外界条件所引起的着
统误差。此外，如某些观测者在照准目标时，总是习惯于把望远镜十字丝对准目标中央蒯
某一侧，也会使观测结果带有系统误差。
2．偶然误差
在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，剧
从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定
的统计规律，这种误差称为偶然误差。
例如，在用经纬仪测角时，测角误差是由照准误差、读数误差、外界条件变化所引走
的误差、仪器本身不完善而引起的误差等综合的结果。而其中每一项误差又是由许多偶然
(随机)因素所引起的小误差的代数和。例如照准误差可能是由于脚架或觇标的晃动或扭转、
风力风向的变化、目标的背影、大气折光和大气透明度等等偶然因素影响而产生的小误差
的代数和。因此，测角误差实际上是许许多多微小误差项的总和，而每项微小误差又随着
偶然因素影响的不断变化，其数值忽大忽小，其符号或正或负，这样，由它们所构成的总
和，就其个体而言，无论是数值的大小或符号的正负都是不能事先预知的，因此，把这种
性质的误差称为偶然误差。
根据概率统计理论知，如果各个误差项对其总和的影响都是均匀地小，即其中没有一
项比其它项的影响占绝对优势时，那么它们的总和将是服从或近似地服从正态分布的随机
变量。因此，偶然误差就其总体而言，都具有一定的统计规律，故有时又把偶然误差称为
随机误差。
在测量工作的整个过程中，除了上述两种性质的误差以外，还可能发生错误。错误的
发生，大多是由于工作中的粗心大意造成的。错误的存在不仅大大影响测量成果的可靠性，
而且往往造成返工浪费，给工作带来难以估量的损失。因此，必须采取适当的方法和措施，
保证观测结果中不存在错误。所以一般来说，错误不算作观测误差。
系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。当观测值中有显著的系统误差时，
偶然误差就居于次要地位，观测误差就呈现出系统的性质。反之，贝0呈现出偶然的性质。
系统误差对于观测结果的影响一般具有累积的作用，它对成果质量的影响也特别显著。
在实际工作中，应该采用各种方法来消除系统误差，或者减小其对观测成果的影响，达到
实际上可以忽略不计的程度。例如，在进行水准测量时，使前后视距相等，以消除由于视
准轴不平行于水准轴对观测高差所引起的系统误差；对量距用的钢尺预先进行检定，求出
尺长误差的大小，对所量的距离进行尺长改正，以消除由于尺长误差对量距所引起的系统
误差等等，都是消除系统误差的方法。
当观测列中已经排除了系统误差的影响，或者与偶然误差相比已处于次要地位，则该
观测列中主要是存在着偶然误差。这样的观测列，就称为带有偶然误差的观测列。这样的
观测结果和偶然误差便都是一些随机变量，如何处理这些随机变量，是测量平差这一学科
所要研究的内容。
由于观测结果不可避免地存在着偶然误差的影响，因此，在实际工作中，为了提高成
果的质量，同时也为了检查和及时发现观测值中有无错误存在，通常要使观测值的个数多
于未知量的个数，也就是要进行多余观测。例如，对一条导线边，丈量一次就可得出其长
度，但实际上总要丈量两次或两次以上；一个平面三角形，只需要观测其中的两个内角，即
可决定它的形状，但通常是观测三个内角。由于偶然误差的存在，通过多余观测必然会发
现在观测结果之间不相一致，或不符合应有关系而产生的不符值。因此，必须对这些带有
偶然误差的观测值进行处理，使得消除不符值后的结果，可以认为是观测量的最可靠的结
果。由于这些带有偶然误差的观测值是一些随机变量，因此，可以根据概率统计的方法来
求出观测量的最可靠结果，这就是测量平差的一个主要任务。
测量平差的另一个任务，就是评定观测值以及最可靠结果的精度，也就是考核测量成
果的质量。
概括说来，测量平差的任务就是：
1．对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，
求出未知量的最可靠值。
2．评定测量成果的精度。
§1-2测量平差的简史和发展
测量平差与其它学科一样，一是由于生产的需要而产生的，并在生产实践的过程中，随
着科学技术的进步而发展。18世纪末，在测量学、天文测量学等实践中提出了如何消除由
于观测误差引起的观测量之间矛盾的问题，即如何从带有误差的观测值中找出待定量的最
优值。1794年，年仅17岁的高斯(C．F Gauss)首先提出了解决这个问题的方法——最iJ、--
乘法。他是根据偶然误差的四个特性，并以算术平均值为待求量的最或然值出发，导出了
偶然误差的概率分布，给出了在最iJ、-"乘原理下求待定量最或然值的计算方法。当时高斯
并没有正式发表。19世纪初(1801年)，天文学家对刚发现的谷神星运行轨道的一段弧长作
了一系列的观测，后来因故中止了。这就需要根据这些带有误差的观测结果求出该星运行
的实际轨道。高斯用自己提出的最小二乘法解决了这个当时很大的难题，对谷神星运行轨
§1—1观测误差
当对某量进行重复观测时，就会发现，这些观测值之间往往存在一些差异。例如，对
同一段距离重复丈量若干次，量得的长度通常是互有差异。另一种情况是，如果已经知道
某几个量之间应该满足某一理论关系，但当对这几个量进行观测后，也会发现实际观测结
果往往不能满足应有的理论关系。例如，从几何上知道一平面三角形三内角之和应等于
180。，但如果对这三个内角进行观测，则三内角观测值之和常常不等于180。，而有差异。
在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论上的应有值之间存在差异的现象，在
测量工作中是普遍存在的。为什么会产生这种差异呢?不难理解，这是由于观测值中包含
有观测误差的缘故。
观测误差的产生，原因很多，概括起来有以下三方面：
1．测量仪器
测量工作通常是利用测量仪器进行的。由于每一种仪器只具有一定限度的精密度，因
而使观测值的精密度受到了一定的限制，例如，在用只刻有厘米分划的普通水准尺进行水
准测量时，就难以保证在估读厘米以下的尾数时完全正确无误；同时，仪器本身也有一定
的误差，例如，水准仪的视准轴不平行于水准轴，水准尺的分划误差等等。因此，使用这
样的水准仪和水准尺进行观测，就会使水准测量的结果产生误差。同样，经纬仪、测距仪
等的仪器误差也使三角测量、导线测量的结果产生误差。
2．观测者
由于观测者的感觉器官的鉴别能力有一定的局限性，所以在仪器的安置、照准、读数
等方面都会产生误差。同时，观测者的工作态度和技术水平，也是对观测成果质量有直接
影响的重要因素。
3．外界条件
观测时所处的外界条件，如温度、湿度、风力、大气折光等因素都会对观测结果直接
产生影响；同时，随着温度的高低，湿度的大小，风力的强弱以及大气折光的不同，它们
对观测结果的影响也随之不同，因而在这样的客观环境下进行观测，就必然使观测的结果
产生误差。
上述测量仪器、观测者、外界条件三方面的因素是引起误差的主要来源。因此，我们
把这三方面的因素综合起来称为观测条件。不难想象，观测条件的好坏与观测成果的质量
有着密切的联系。当观测条件好一些，观测中所产生的误差平均说来就可能相应地小一些，
因而观测成果的质量就会高一些。反之，观测条件差一些，观测成果的质量就会低一些。如
果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是相同的。所以说，观测成果的质量高低也就客观地反映了观测条件的优劣。
但是，不管观测条件如何，在整个观测过程中，由于受到上述种种因素的影响，观g
的结果就会产生这样或那样的误差。从这一意义上来说，在测量中产生误差是不可避免的
当然，在客观条件允许的限度内，测量工作者可以而且必须确保观测成果具有较高的质量
根据观测误差对观测结果的影响性质，可将观测误差分为系统误差和偶然误差两种：
1．系统误差
在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或爿
在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差就称为系统误差。
例如，用具有某一尺长误差的钢尺量距时，由尺长误差所引起的距离误差与所测距青
的长度成正比地增加，距离愈长，所积累的误差也愈大；经纬仪因校正或整置的不完善i}
使所测角度产生误差；等等。这些都是由于仪器不完善或工作前未经检验校正而产生的勇
统误差。又如，用钢尺量距时的温度与检定尺长时的温度不～致，而使所测的距离产生豸
差；测角时因大气折光的影响而产生的角度误差等等，这些都是由于外界条件所引起的着
统误差。此外，如某些观测者在照准目标时，总是习惯于把望远镜十字丝对准目标中央蒯
某一侧，也会使观测结果带有系统误差。
2．偶然误差
在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，剧
从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定
的统计规律，这种误差称为偶然误差。
例如，在用经纬仪测角时，测角误差是由照准误差、读数误差、外界条件变化所引走
的误差、仪器本身不完善而引起的误差等综合的结果。而其中每一项误差又是由许多偶然
(随机)因素所引起的小误差的代数和。例如照准误差可能是由于脚架或觇标的晃动或扭转、
风力风向的变化、目标的背影、大气折光和大气透明度等等偶然因素影响而产生的小误差
的代数和。因此，测角误差实际上是许许多多微小误差项的总和，而每项微小误差又随着
偶然因素影响的不断变化，其数值忽大忽小，其符号或正或负，这样，由它们所构成的总
和，就其个体而言，无论是数值的大小或符号的正负都是不能事先预知的，因此，把这种
性质的误差称为偶然误差。
根据概率统计理论知，如果各个误差项对其总和的影响都是均匀地小，即其中没有一
项比其它项的影响占绝对优势时，那么它们的总和将是服从或近似地服从正态分布的随机
变量。因此，偶然误差就其总体而言，都具有一定的统计规律，故有时又把偶然误差称为
随机误差。
在测量工作的整个过程中，除了上述两种性质的误差以外，还可能发生错误。错误的
发生，大多是由于工作中的粗心大意造成的。错误的存在不仅大大影响测量成果的可靠性，
而且往往造成返工浪费，给工作带来难以估量的损失。因此，必须采取适当的方法和措施，
保证观测结果中不存在错误。所以一般来说，错误不算作观测误差。
系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。当观测值中有显著的系统误差时，
偶然误差就居于次要地位，观测误差就呈现出系统的性质。反之，贝0呈现出偶然的性质。
系统误差对于观测结果的影响一般具有累积的作用，它对成果质量的影响也特别显著。
在实际工作中，应该采用各种方法来消除系统误差，或者减小其对观测成果的影响，达到
实际上可以忽略不计的程度。例如，在进行水准测量时，使前后视距相等，以消除由于视
准轴不平行于水准轴对观测高差所引起的系统误差；对量距用的钢尺预先进行检定，求出
尺长误差的大小，对所量的距离进行尺长改正，以消除由于尺长误差对量距所引起的系统
误差等等，都是消除系统误差的方法。
当观测列中已经排除了系统误差的影响，或者与偶然误差相比已处于次要地位，则该
观测列中主要是存在着偶然误差。这样的观测列，就称为带有偶然误差的观测列。这样的
观测结果和偶然误差便都是一些随机变量，如何处理这些随机变量，是测量平差这一学科
所要研究的内容。
由于观测结果不可避免地存在着偶然误差的影响，因此，在实际工作中，为了提高成
果的质量，同时也为了检查和及时发现观测值中有无错误存在，通常要使观测值的个数多
于未知量的个数，也就是要进行多余观测。例如，对一条导线边，丈量一次就可得出其长
度，但实际上总要丈量两次或两次以上；一个平面三角形，只需要观测其中的两个内角，即
可决定它的形状，但通常是观测三个内角。由于偶然误差的存在，通过多余观测必然会发
现在观测结果之间不相一致，或不符合应有关系而产生的不符值。因此，必须对这些带有
偶然误差的观测值进行处理，使得消除不符值后的结果，可以认为是观测量的最可靠的结
果。由于这些带有偶然误差的观测值是一些随机变量，因此，可以根据概率统计的方法来
求出观测量的最可靠结果，这就是测量平差的一个主要任务。
测量平差的另一个任务，就是评定观测值以及最可靠结果的精度，也就是考核测量成
果的质量。
概括说来，测量平差的任务就是：
1．对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，
求出未知量的最可靠值。
2．评定测量成果的精度。
§1-2测量平差的简史和发展
测量平差与其它学科一样，一是由于生产的需要而产生的，并在生产实践的过程中，随
着科学技术的进步而发展。18世纪末，在测量学、天文测量学等实践中提出了如何消除由
于观测误差引起的观测量之间矛盾的问题，即如何从带有误差的观测值中找出待定量的最
优值。1794年，年仅17岁的高斯(C．F Gauss)首先提出了解决这个问题的方法——最iJ、--
乘法。他是根据偶然误差的四个特性，并以算术平均值为待求量的最或然值出发，导出了
偶然误差的概率分布，给出了在最iJ、-"乘原理下求待定量最或然值的计算方法。当时高斯
并没有正式发表。19世纪初(1801年)，天文学家对刚发现的谷神星运行轨道的一段弧长作
了一系列的观测，后来因故中止了。这就需要根据这些带有误差的观测结果求出该星运行
的实际轨道。高斯用自己提出的最小二乘法解决了这个当时很大的难题，对谷神星运行轨