三、多边形的内角和与外角和
学前热身
自学提示
1.了解多边形及多边形的内角、外角等概念，
2.掌握多边形的内角和与外角和定理，并会利用它们进行有关计算.
释疑解惑
1．多边形的定义
一般地，由n条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形．
2．正多边形的定义
如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形．
3．多边形的内角和定理
n边形的内角和等于（n－2）·180°．
4．多边形的外角和定理
注意任何多边形的外角和都为360°．
5．多边形的对角线条数公式
1n(n－3)2n边形，从一个顶点出发可引（n－3）条对角线，共有条对角线．
6．研究多边形的问题经常转化为研究三角形的问题
资料查阅
将多边形“转化”成三角形来研究
“转化”的方法，是一种化繁为简﹑化难为易﹑化未知为已知的重要数学方法.比如我们在熟知了三角形的许多性质后，就可将四边形﹑五边形﹑…﹑n边形的问题，转化为三角形问题来研究.
如图 ，连接AC，四边形
ABCD的内角和就转化成△ADC﹑△ABC这两个三角形
内角之总和；或如图 ，在四边形的一边上任取一点P，将四边形的四个内角和化成△APD﹑△DPC﹑△CPB的内角总和减去平角∠APB（或△APB的内角和）：或如图 ，在四边形外任取一点P，将四边形的四个内角和化成△APD﹑△DPC﹑△CPB的内角之和与△APB的内角和的差：或如图 ，在四边形内任取一点P，则四边形的内角和等于四个三角形的内角总和减去周角∠P. 不论用哪一种方法，都容易求出四边形的内角和为360°.尽管这些方法各有不同，但都具有一个共同点：将四边形问题转化成三角形问题来研究.其中以第一种转化方法最简易.类似地不难求出五边形﹑六边形﹑七边形﹑…n边形的内角和分别为540°﹑720°﹑900°﹑（n-2）180°.
又比如，三角形没有对角线，四边形有两条对角线，五边形有五条对角线，那么六边形﹑七边形﹑…n边形有多少条对角线呢？
我们可以知道，当n＞3时，从多边形的一个顶点出发有（n-3）条对角线，这样n个顶
点就有n（n-3）条对角线，但其中有重复的对角线，如AC与CA实际上是一条，所以n边形总共有n（n-3）/2条对角线。
演练平台
自测关
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9.
10.
11. 三角形的外角和等于内角和的____倍. 如果一个多边形的外角和等于它的内角和，那么这个多边形是____边形. 如果一个多边形的外角和等于内角和的三分之一，那么这个多边形是____边形. 如果一个多边形的每个外角都是60°，那么这个多边形是____边形. 如果一个多边形的每个内角都是140°，那么这个多边形是____边形. 如果一个多边形的每个内角都相等，且每个内角度数是与它相邻的外角度数的5倍，那么这个多边形的每个内角的度数是____°，它是一个____边形。 如果一个八边形的每个内角都相等，那么它的每个外角是____°，它的内角和是____°. 如果一个多边形的每个内角都相等，且它的内角和是1800°，那么这个多边形的每个外角的度数是____°. 如果一个多边形的每个内角都相等，且每个内角比与它相邻的外角大100°，那么这个多边形是____边形. 如果一个多边形的对角线的条数正好等于它的边数，那么这个多边形是____边形. 一个多边形的内角和与外角和共2160°，这个多边形是____边形，共有____条对
角线。
强化关
12．一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
13．下列角度中，不能成为多边形内角和的是（ ）
A．600° B．720° C．900° D．1800°
14．如果五边形有三个内角是直角，另两个内角都是n°，则n的值是（ ）
A．105 B．120 C．125 D．135
15．正n边形的内角和与外角和的比是3∶2，则该正n边形对角线的条数为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．14
16．正多边形的内角和等于1440°，那么这个正多边形的一个外角等于（ ）
A．36° B．40° C．45° D．60°
17．若把一个多边形的顶点数增加一倍，它的内角和是2520°，那么原来多边形的顶点数为（ ）
A．8 B．9 C．6 D．10
18．一个多边形的内角和是外角和的n倍（n是正整数），则这个多边形的边数是（ ）
A．n＋1 B．2n＋1 C．2n＋2 D．2n－2
19．若把一个多边形的边数减少一半后，它的内角和是1080°，求原来多边形的内角和．
20．已知一个多边形的对角线条数是边数的5倍，求它的内角和．
创新关
21．如图8－44，6个大小相同的羊栏是由13根木头所围成的，但其中1根被折断，现在想用剩下的12根木头，重新围成6个面积相等的羊栏，该怎样做？你可以利用火柴棒实际摆摆看．
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一般地，由n条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形．
2．正多边形的定义
如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形．
3．多边形的内角和定理
n边形的内角和等于（n－2）·180°．
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注意任何多边形的外角和都为360°．
5．多边形的对角线条数公式
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6．研究多边形的问题经常转化为研究三角形的问题
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“转化”的方法，是一种化繁为简﹑化难为易﹑化未知为已知的重要数学方法.比如我们在熟知了三角形的许多性质后，就可将四边形﹑五边形﹑…﹑n边形的问题，转化为三角形问题来研究.
如图 ，连接AC，四边形
ABCD的内角和就转化成△ADC﹑△ABC这两个三角形
内角之总和；或如图 ，在四边形的一边上任取一点P，将四边形的四个内角和化成△APD﹑△DPC﹑△CPB的内角总和减去平角∠APB（或△APB的内角和）：或如图 ，在四边形外任取一点P，将四边形的四个内角和化成△APD﹑△DPC﹑△CPB的内角之和与△APB的内角和的差：或如图 ，在四边形内任取一点P，则四边形的内角和等于四个三角形的内角总和减去周角∠P. 不论用哪一种方法，都容易求出四边形的内角和为360°.尽管这些方法各有不同，但都具有一个共同点：将四边形问题转化成三角形问题来研究.其中以第一种转化方法最简易.类似地不难求出五边形﹑六边形﹑七边形﹑…n边形的内角和分别为540°﹑720°﹑900°﹑（n-2）180°.
又比如，三角形没有对角线，四边形有两条对角线，五边形有五条对角线，那么六边形﹑七边形﹑…n边形有多少条对角线呢？
我们可以知道，当n＞3时，从多边形的一个顶点出发有（n-3）条对角线，这样n个顶
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12．一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
13．下列角度中，不能成为多边形内角和的是（ ）
A．600° B．720° C．900° D．1800°
14．如果五边形有三个内角是直角，另两个内角都是n°，则n的值是（ ）
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16．正多边形的内角和等于1440°，那么这个正多边形的一个外角等于（ ）
A．36° B．40° C．45° D．60°
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18．一个多边形的内角和是外角和的n倍（n是正整数），则这个多边形的边数是（ ）
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19．若把一个多边形的边数减少一半后，它的内角和是1080°，求原来多边形的内角和．
20．已知一个多边形的对角线条数是边数的5倍，求它的内角和．
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21．如图8－44，6个大小相同的羊栏是由13根木头所围成的，但其中1根被折断，现在想用剩下的12根木头，重新围成6个面积相等的羊栏，该怎样做？你可以利用火柴棒实际摆摆看．