7.7立体几何中的探索性问题的求解
【学习目标】
1．了解立体几何中探索性问题类型；
2．归纳并比较立体几何中探索性问题求解的方法；
3．掌握向量法解立体几何中探索性问题，并体会其优越性。
【学习过程】
一、复习回顾
1. 立体几何问题处理策略：
2. 搜集信息提出新课
二、新课讲解
1. 猜测法
（引领P134 ）例2：
(P135自主体验2) ：
2. 作图法
(引领P134 ）例3及变式：
(知能训练P280第11题) ：
3. 向量法
例1: 如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD 中, ∠ABC=60，PA ⊥面ABCD ，PA=AC=2，PB=PD=22，点E 在PD 上，且PE:ED=2:1,在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？证明你的结论。
1
E
A
F D
小结：
例2：如图所示，PD 垂直于正方形所在平面，AB=2，E 为PB 的中点，DP 与AE 夹角的余弦值为，在平面PAD 内是否存在一点F ，使EF ⊥面PCB ？ 3
例3 ：如图, 在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P 是侧棱AA ’上任意一点，
(1)若CC ’=AB，是否存在这样的点P ，使得异面直线PC 与AB 所成的角比异面直线AC 与PB ’所成的角大？并说明理由.
(2)若CC ’=2AB，则当点P 在侧棱AA ’上何处时，CP 在平面B ’AC 上的射影是∠B ’CA 的平分线？
D’A’ C’ B’
P D C
A
点评：
B 2
【限时训练】
引领P145 例4及变式
【课时小结】
探索性问题，一般有两类：
处理方法一般是三种：即猜测法，作图法和向量法(通法)
１. 对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，再综合题中所给的条件，要么推出存在的范围，要么得出矛盾. 若得出矛盾则说明不存在.
２. 对于位置探究型问题，经常借助于空间向量，引入参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.
【课后练习】
1. 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA ’=AD=1，AB>1，点E 为棱AB 上的动点，有一只小蚂蚁从点A 沿长方体表面爬到点C ’，所爬的最短路程为22，在线段AB 上是否存在点E ，使得二面角D ’-EC-D 的大小为45? 若存在，确定E 点位置；若不存在，请说明理由。
2．四棱锥S-ABCD 的底面是矩形，AB=a ，AD=2，SA=1，且SA ⊥底面ABCD ，若边BC 上存在异于B 、C 的一点P ，使得PS ⊥PD ，
(1)求a 的最大值；
(2)当a 取得最大值时，求异面直线AP 与SD 所成角的余弦值；
(3)当a 取得最大值时，求平面SCD 的一个单位法向量n 及点P 到平面SCD 的距离.
3. 在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC ’上的一点,CP=m.
(1)试确定m, 使直线AP 与平面BDD ’B ’所成角的正切值为3；
(2)在线段A ’C ’上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，都有D ’Q 在平面APD ’上的射影垂直于AP ，并证明你的结论。
4．引领P146 自主体验 1 ，2；考点P67 10， P71 8。
3
7.7立体几何中的探索性问题的求解
【学习目标】
1．了解立体几何中探索性问题类型；
2．归纳并比较立体几何中探索性问题求解的方法；
3．掌握向量法解立体几何中探索性问题，并体会其优越性。
【学习过程】
一、复习回顾
1. 立体几何问题处理策略：
2. 搜集信息提出新课
二、新课讲解
1. 猜测法
（引领P134 ）例2：
(P135自主体验2) ：
2. 作图法
(引领P134 ）例3及变式：
(知能训练P280第11题) ：
3. 向量法
例1: 如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD 中, ∠ABC=60，PA ⊥面ABCD ，PA=AC=2，PB=PD=22，点E 在PD 上，且PE:ED=2:1,在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？证明你的结论。
1
E
A
F D
小结：
例2：如图所示，PD 垂直于正方形所在平面，AB=2，E 为PB 的中点，DP 与AE 夹角的余弦值为，在平面PAD 内是否存在一点F ，使EF ⊥面PCB ？ 3
例3 ：如图, 在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P 是侧棱AA ’上任意一点，
(1)若CC ’=AB，是否存在这样的点P ，使得异面直线PC 与AB 所成的角比异面直线AC 与PB ’所成的角大？并说明理由.
(2)若CC ’=2AB，则当点P 在侧棱AA ’上何处时，CP 在平面B ’AC 上的射影是∠B ’CA 的平分线？
D’A’ C’ B’
P D C
A
点评：
B 2
【限时训练】
引领P145 例4及变式
【课时小结】
探索性问题，一般有两类：
处理方法一般是三种：即猜测法，作图法和向量法(通法)
１. 对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，再综合题中所给的条件，要么推出存在的范围，要么得出矛盾. 若得出矛盾则说明不存在.
２. 对于位置探究型问题，经常借助于空间向量，引入参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.
【课后练习】
1. 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA ’=AD=1，AB>1，点E 为棱AB 上的动点，有一只小蚂蚁从点A 沿长方体表面爬到点C ’，所爬的最短路程为22，在线段AB 上是否存在点E ，使得二面角D ’-EC-D 的大小为45? 若存在，确定E 点位置；若不存在，请说明理由。
2．四棱锥S-ABCD 的底面是矩形，AB=a ，AD=2，SA=1，且SA ⊥底面ABCD ，若边BC 上存在异于B 、C 的一点P ，使得PS ⊥PD ，
(1)求a 的最大值；
(2)当a 取得最大值时，求异面直线AP 与SD 所成角的余弦值；
(3)当a 取得最大值时，求平面SCD 的一个单位法向量n 及点P 到平面SCD 的距离.
3. 在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC ’上的一点,CP=m.
(1)试确定m, 使直线AP 与平面BDD ’B ’所成角的正切值为3；
(2)在线段A ’C ’上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，都有D ’Q 在平面APD ’上的射影垂直于AP ，并证明你的结论。
4．引领P146 自主体验 1 ，2；考点P67 10， P71 8。
3