勾股定理论文
一．勾股定理的简介
勾股定律是初等几何的著名定理之一。直角三角形两直角边上正方形面积的和等于斜边上正方形的面积，即如果直角三角形两直角边长度为a 和b ，斜边长度为c ，那么a^2+b^2=c^2。此定理很早已被发现。古埃及人在4500年前建造金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，就广泛地使用勾股定理。古巴比伦（公元前1800到1600年）的数学家也提出许多勾股数组。数学史上普遍认为最先证明这个定理的是毕达哥拉斯，所以很多数学书上把此定理称为毕达哥拉斯定理。中国古代称直角三角形的直角边为勾和股，斜边为弦，故此定理称为勾股定理.
二．勾股定理在求角问题中的应用
在初中数学当中，有些求角问题使用常规方法难以解决，而使用勾股定理则能够很快地解决。因此，将在求角问题中充分应用勾股定理便有着实质性的作用。例题2：在等边△ABC 中，有一点P ，已知PA 、PB 、PC 分别等于3、4、5，试问∠APB 等于多少度？解：把△APC 绕着点A 旋转，旋转至△ABQ ，让AB 和AC 能够重合；此时，AP ＝AQ ＝3，BQ ＝PC ＝5，，∠PAQ ＝∠BAC ＝60°；所以，△PAQ 是等边三角形；所以，PQ ＝3；在三角形PBQ 当中，PB 、BQ 分别等于4、5，所以，三角形PBQ 是直角三角形，其中∠BPQ ＝90°；所以，∠APB ＝∠BPQ ＋∠APQ ＝90°+60°＝150°。
三．勾股定理在实际问题中的应用
对于勾股定理，还能够解决实际问题，并且这些实际问题都是在日常生活中可以看到的。例题4：一棵小树高为4米，现有小鸟A 停留在树梢上，此时小鸟B 停留在高20米的一棵大树树梢上发出友好的叫声，已知大树与小树的距离为12米，如果小鸟A 以4m/s的速度飞往大树树梢，试问：小鸟A 至少需要多长时间才能够与小鸟B 在一起？解：如图4，根据题干的已知条件可知，AC ＝16m ，BC ＝12m ，由勾股定理得：AB2＝AC2＋BC2＝162＋122，求得AB ＝20m ；所以，小鸟A 所需时间为20/4＝5秒。笔者认为，利用勾股定理解决实际问题，需要弄清题意，进而对题目中所涉及的直角三角形找出来，然后结合勾股定理进行求解。在例题4中，最主要的步骤便是依照题意，结合勾股定理，然后画出大树与小树之间的直角三角形，在充分利用已知条件的基础上，便能够使问题有效解决。
四．勾股定理的别名
勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。
我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000
多年，据记载，商高(约公元前1120年) 答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”．因此，勾股定理在我国又称“商高定理”．在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。 在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。
在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理．为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．
前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理（1876年4月1日）。
五．勾股定理的证明
【证法1】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P. 过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N.
∵ ∠BCA = 90°，QP ∥BC ，
∴ ∠MPC = 90°，
∵ BM ⊥PQ ，
∴ ∠BMP = 90°，
∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90°.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，
∴ ∠QBM = ∠ABC ，
又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA.
同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF.
【证法2】（赵浩杰证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF ，AE 为边长做正方形FCJI 和AEIG ，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J 在同一直线上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°， ∴Rt ΔCJB ≌ Rt ΔCFD ，
同理，Rt ΔABG ≌ Rt ΔADE ，
∴Rt ΔCJB ≌ Rt ΔCFD ≌ Rt ΔABG ≌ Rt ΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
∵∠ABC= 90°,
∴G,B,I,J 在同一直线上，
【证法3】（欧几米得证明）
做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD. 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L. ∵ AF = AC，AB = AD ，∠FAB = ∠GAD ，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，
∵ ΔFAB 的面积等于，
ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，
∵ 正方形ADEB 的面积 = 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积
∴ ，即a²+b²=c²
【证法4】欧几里得的证法
《几何原本》中的证明在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC 为一直角三角形，其中A 为直角。从A 点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。
此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。 在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下： 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS 定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
其证明如下：
设△ABC 为一直角三角形，其直角为CAB 。 其边为BC 、AB 、和CA ，依序绘成四方形CBDE 、BAGF 和ACIH 。 画出过点A 之BD 、CE 的平行线。此线将分别与BC 和DE 直角相交于K 、L 。 分别连接CF 、AD ，形成两个三角形BCF 、BDA 。 ∠CAB 和∠BAG 都是直角，因此C 、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B 、A 和H 。 ∠CBD 和∠FBA 皆为直角，所以∠ABD 等于∠FBC 。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC ，所以△ABD 必须相等于△FBC 。 因为 A 与 K 和 L 是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD 。 因为C 、A 和G 有共同线性，所以正方形BAGF 必须二倍面积于△FBC 。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2。 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2。 把这两个结果相加， AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL，BD ×BK + KL×KC = BD(BK +
KC) = BD×BC 由于CBDE 是个正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。
六．总结
勾股定理在几何学当中占有非常重要的地位，它不仅仅只是一种解决数学问题的定理那么简单，它还与我们的日常生活息息相关。在数学教学过程中，学习勾股定理进行解题，不但能够提高学生解题的效率，而且还能够让学生对生活引发思考，从而在学习数学过程中，体会到生活与数学学科的密切联系，进一步为数学在生活中的实际应用奠定良机。
勾股定理论文
一．勾股定理的简介
勾股定律是初等几何的著名定理之一。直角三角形两直角边上正方形面积的和等于斜边上正方形的面积，即如果直角三角形两直角边长度为a 和b ，斜边长度为c ，那么a^2+b^2=c^2。此定理很早已被发现。古埃及人在4500年前建造金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，就广泛地使用勾股定理。古巴比伦（公元前1800到1600年）的数学家也提出许多勾股数组。数学史上普遍认为最先证明这个定理的是毕达哥拉斯，所以很多数学书上把此定理称为毕达哥拉斯定理。中国古代称直角三角形的直角边为勾和股，斜边为弦，故此定理称为勾股定理.
二．勾股定理在求角问题中的应用
在初中数学当中，有些求角问题使用常规方法难以解决，而使用勾股定理则能够很快地解决。因此，将在求角问题中充分应用勾股定理便有着实质性的作用。例题2：在等边△ABC 中，有一点P ，已知PA 、PB 、PC 分别等于3、4、5，试问∠APB 等于多少度？解：把△APC 绕着点A 旋转，旋转至△ABQ ，让AB 和AC 能够重合；此时，AP ＝AQ ＝3，BQ ＝PC ＝5，，∠PAQ ＝∠BAC ＝60°；所以，△PAQ 是等边三角形；所以，PQ ＝3；在三角形PBQ 当中，PB 、BQ 分别等于4、5，所以，三角形PBQ 是直角三角形，其中∠BPQ ＝90°；所以，∠APB ＝∠BPQ ＋∠APQ ＝90°+60°＝150°。
三．勾股定理在实际问题中的应用
对于勾股定理，还能够解决实际问题，并且这些实际问题都是在日常生活中可以看到的。例题4：一棵小树高为4米，现有小鸟A 停留在树梢上，此时小鸟B 停留在高20米的一棵大树树梢上发出友好的叫声，已知大树与小树的距离为12米，如果小鸟A 以4m/s的速度飞往大树树梢，试问：小鸟A 至少需要多长时间才能够与小鸟B 在一起？解：如图4，根据题干的已知条件可知，AC ＝16m ，BC ＝12m ，由勾股定理得：AB2＝AC2＋BC2＝162＋122，求得AB ＝20m ；所以，小鸟A 所需时间为20/4＝5秒。笔者认为，利用勾股定理解决实际问题，需要弄清题意，进而对题目中所涉及的直角三角形找出来，然后结合勾股定理进行求解。在例题4中，最主要的步骤便是依照题意，结合勾股定理，然后画出大树与小树之间的直角三角形，在充分利用已知条件的基础上，便能够使问题有效解决。
四．勾股定理的别名
勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。
我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000
多年，据记载，商高(约公元前1120年) 答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”．因此，勾股定理在我国又称“商高定理”．在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。 在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。
在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理．为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．
前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理（1876年4月1日）。
五．勾股定理的证明
【证法1】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P. 过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N.
∵ ∠BCA = 90°，QP ∥BC ，
∴ ∠MPC = 90°，
∵ BM ⊥PQ ，
∴ ∠BMP = 90°，
∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90°.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，
∴ ∠QBM = ∠ABC ，
又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA.
同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF.
【证法2】（赵浩杰证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF ，AE 为边长做正方形FCJI 和AEIG ，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J 在同一直线上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°， ∴Rt ΔCJB ≌ Rt ΔCFD ，
同理，Rt ΔABG ≌ Rt ΔADE ，
∴Rt ΔCJB ≌ Rt ΔCFD ≌ Rt ΔABG ≌ Rt ΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
∵∠ABC= 90°,
∴G,B,I,J 在同一直线上，
【证法3】（欧几米得证明）
做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD. 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L. ∵ AF = AC，AB = AD ，∠FAB = ∠GAD ，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，
∵ ΔFAB 的面积等于，
ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，
∵ 正方形ADEB 的面积 = 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积
∴ ，即a²+b²=c²
【证法4】欧几里得的证法
《几何原本》中的证明在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC 为一直角三角形，其中A 为直角。从A 点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。
此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。 在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下： 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS 定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
其证明如下：
设△ABC 为一直角三角形，其直角为CAB 。 其边为BC 、AB 、和CA ，依序绘成四方形CBDE 、BAGF 和ACIH 。 画出过点A 之BD 、CE 的平行线。此线将分别与BC 和DE 直角相交于K 、L 。 分别连接CF 、AD ，形成两个三角形BCF 、BDA 。 ∠CAB 和∠BAG 都是直角，因此C 、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B 、A 和H 。 ∠CBD 和∠FBA 皆为直角，所以∠ABD 等于∠FBC 。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC ，所以△ABD 必须相等于△FBC 。 因为 A 与 K 和 L 是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD 。 因为C 、A 和G 有共同线性，所以正方形BAGF 必须二倍面积于△FBC 。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2。 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2。 把这两个结果相加， AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL，BD ×BK + KL×KC = BD(BK +
KC) = BD×BC 由于CBDE 是个正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。
六．总结
勾股定理在几何学当中占有非常重要的地位，它不仅仅只是一种解决数学问题的定理那么简单，它还与我们的日常生活息息相关。在数学教学过程中，学习勾股定理进行解题，不但能够提高学生解题的效率，而且还能够让学生对生活引发思考，从而在学习数学过程中，体会到生活与数学学科的密切联系，进一步为数学在生活中的实际应用奠定良机。