学案3.2均值不等式
基础梳理
知识点一． ≤2
问题1:均值不等式成立的条件： a ＞0，b ＞0.
问题2:等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．
a ＋b
问题3: 两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．
2
a ＋b 2
问题4: (1) 2ab (2) 2 (3) ⎛⎝2 (4)≥
a ＋b
【小试身手】
a ＋b 2ab 8a ＋b 52ab 1. 【解析】 方法一：令a ＝4，b ＝1，则，，ab ＝2，∴ab >222a ＋b 5a ＋b
a ＋b 212ab
方法二：∵，∴ab ，选C. 【答案】 C
2a ＋b a ＋b
2. C[解析] A 中没有强调x ＞0不能直接运用基本不等式，故不对．B 中虽然x ∈(0，π)，sin x ＞0，但运用基本不等式后，等号成立的条件是sin x ＝
4
sin x ＝±2矛盾，所以等号取不到，故sin x
4－
不对．C 中3x ＞0，∴可直接运用基本不等式3x ＋4·3x ≥24＝4，当且仅当3x ，即3x ＝2，x
3＝log 32时取等号，故正确．D 中由于没有给出x 的范围，所以lg x 不一定大于0，故不对．
知识点二．利用基本不等式求最值问题
p 2
(1) x＝y 最小值是p . (2)x ＝y 最大值是4
【小试身手】
1
3. 解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋≥2，当且仅当x ＝1时取等号．答案 C
x 2
t －4t ＋11
4. 解析 ∵t ＞0，∴y ＝＝t ＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．
t t
答案 －2
11931
5．解析：由x (3－3x ) ＝3x (3－3x ) ≤3x ＝3－3x ，即x ＝时“＝”成立．
33442
答案： B
4001 600
6．20[解析] 设一年总费用为y 万元，则y ＝4×＋4x ＝4x ≥160，
x x
1 600
当且仅当4x ，即x ＝20时取等号，所以当x ＝20t 时，一年的总费用最小．
x
考向一 利用基本不等式求最值
【例1】(1)分析:此题为条件最值，考虑从条件能否得到xy 的不等式，或能否转化为只含x 或只含y 的函数式，或“1”的代换．
23
[解析] 解法1：＋1≥2
x y 时不等式取得等号．
23解法2：整体代换法xy ＝xy ⎛⎝x y ＝2y ＋3x ≥6xy ⇒xy ≥26， 即xy ≥24. 当且仅当2y ＝3x ， 即x ＝4，y ＝6时不等式取得等号． 解法3：三角换元法
23π624令＝sin 2α，＝cos 2α，α∈(0，) ，故xy ＝≥24，当且仅当sin 22α＝1⇒α＝x y 2sin αcos αsin 2απ
＝x ＝4，y ＝6时不等式取得等号． 4
32x －23x 3x
解法4：∵＝1－＝y ＝x ＞0，y ＞0＞0，∴x ＞2，
y x x x －2x －2(x －2)2＋4(x －2)＋43x 2
∴xy ＝3x －2x －24⎡＝3⎡(x －2)x －2＋4⎤≥3⎢2
6231
xy ≥6⇒xy ≥24，当且仅当＝＝x ＝4，y ＝6xy x y 2
⎣⎦
⎣
4⎤(x －2)4⎥＝24.
x －2⎦
当且仅当x －2＝2，即x ＝4时成立．∴x ＝4，y ＝6时，xy 取最小值24. (2)∵x ＞0，∴f (x ) ＝
2x 221
1，当且仅当x ＝x ＝1时取等号．
12x x ＋1
x ＋x
答案 (1)3＋2 (2)1
用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项的和或积，使这两项的和
或积或平方和为定值，然后用基本不等式求出最值；在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数的最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值，不管哪种题，哪种方法，在用基本不等式求最值时都必须要验证等号是否成立．
【训练1】(1)C [解析] 该题考查均值不等式求最值，注意“一正二定三相等”属基础题．
11
f (x ) ＝x ＋(x >2)＝x －2＋＋2≥2
x －2x －2当且仅当x －2＝
1
(x －2)2＝4.
x －2
(2)2[解析] ∵x >0，y >0，∴x ＋4y ＝40≥24xy ，∴xy ≤100.lg x ＋lg y ＝lg(xy ) ≤lg100＝2.
当且仅当x ＝4y ＝20，即x ＝20，y ＝5时，等号成立．
1
(x －2) 2＝1，∵x >2，∴x －2>0，∴x －2＝1，即a ＝3. x －2
(3) (文)[分析] 注意1的代换与使用，也可以三角换元．注意运用基本不等式时等号成立的条件．
2y x 11x ＋2y x ＋2y ＋
[解析] ∵x 、y ∈R ，x ＋2y ＝1，∴x ＋y ＝x ＋y 3＋x y 3＋22y x 2
x ＝y x ＋2y ＝1即y ＝1，x ＝2－1时成立．
2[点评] 本题常有以下错误解法：∵1＝x ＋2y ≥22xy 11∴x y ≥2
1
xy 42.
1
≥2， xy
2y x x y ＝3＋2.
错误的原因在两次运用基本不等式的时候取等号的条件矛盾．(第一次须x ＝2y ，第二次须x ＝y ) ．
(理)[分析] 可消去一个变量，将x ＋y 用一个变量表示，再配凑出能运用基本不等式的条件． 2x
[解析] 由2x ＋8y －xy ＝0得y (x －8) ＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝x －8(2x －16)＋162x 16
u ＝x ＋y ＝x ＋x ＋(x －8) ＋＋10≥2
x －8x －8x －8等号在x －8＝
16
即x ＝12，y ＝6时成立． x －8
16
(x －8)＋10＝18.
(x －8)
考向二 利用基本不等式证明不等式
【例2】 [审题视点] 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到．
bc ca bc ca
证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴≥2 2c ；
a b a b
bc ab ca ab ≥2 ＝2b ；＋2 ＝2a . a c a c b c
b c
bc ca ab bc ca ab
＋≥2(a ＋b ＋c ) ，即＋a ＋b ＋c . 以上三式相加得：2⎛⎝a b c a b c
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式
和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．
a ＋b 1b
【训练2】[解析] 方法一 因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1. 所以1＋1＋2＋.
a a a
11b a b a 1a
1＋⎛1＋＝⎛2＋⎛2＋＝5＋2⎛＋⎫≥5＋4＝9. 同理1＋＝2＋所以⎛⎝a ⎝b ⎝a ⎝b ⎝a b ⎭b b 111
1＋⎫⎛1≥9(当且仅当a ＝b ＝) ． 所以⎛⎝a ⎭⎝b 211a ＋b 11112
1＋⎛1＋⎫＝1＋＋＋1＋方法二 ⎛＝1＋， ⎝a ⎝b ⎭a b ab ab ab ab 因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1，所以ab ≤⎛
a ＋b 2112
＝，于是≥48，
ab ab ⎝24
111
1＋⎫⎛1≥1＋8＝9(当且仅当a ＝b 时等号成立) ． 因此⎛⎝a ⎭⎝b 2
考向三 利用基本不等式解决恒成立问题
【例3】 [审题视点] 先求
x x
(x ＞0) 的最大值，要使得a (x ＞0) 恒成立，只要
x ＋3x ＋1x ＋3x ＋1
x
(x ＞0) 的最大值小于等于a 即可．
x ＋3x ＋1
x x
解析 若对任意x ＞0a 恒成立，只需求得y ＝x ＞0，
x ＋3x ＋1x ＋3x ＋1
x 111
所以y ＝＝≤＝，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是
1x ＋3x ＋15x 32 x x x
⎡1∞⎫ 答案
⎡1⎫ ⎣5⎭⎣5⎭
当不等式一边的函数(或代数式) 的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含
有参数) ，然后建立关于参数的不等式求解．
【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10. 答案 10
考向四 利用基本不等式解实际问题
【例4】 [审题视点] 用长度x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可．还应注意定义域0＜x ≤5；函数取最小值时的x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性．
1612
x ＋＋5 800(0＜x ≤5) ， 解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋×400) ＋5 800＝900⎛x ⎝x
16x ＋⎫＋5 800≥900×2x ×＋5 800＝13 000(元) ， 则y ＝900⎛x ⎭⎝x 16
当且仅当x ＝，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．
x
解实际应用题要注意以下几点：
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围) 内求解．
80
【训练4】 解 (1)第n 次投入后，产量为(10＋n ) 万件，销售价格为100元，固定成本为元，
n ＋1
80⎛
科技成本投入为100n 万元．所以，年利润为f (n ) ＝(10＋n ) 100－100n (n ∈N *) ． n ＋1⎭⎝
809⎛⎛100n ＋1＋(2)由(1)知f (n ) ＝(10＋n ) －100n ＝1 000－80 ≤520(万元) ． n ＋1⎭n ＋1⎭⎝⎝
9
n ＋1＝n ＝8时，利润最高，最高利润为520万元．
n ＋1
以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．
学案3.2均值不等式
基础梳理
知识点一． ≤2
问题1:均值不等式成立的条件： a ＞0，b ＞0.
问题2:等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．
a ＋b
问题3: 两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．
2
a ＋b 2
问题4: (1) 2ab (2) 2 (3) ⎛⎝2 (4)≥
a ＋b
【小试身手】
a ＋b 2ab 8a ＋b 52ab 1. 【解析】 方法一：令a ＝4，b ＝1，则，，ab ＝2，∴ab >222a ＋b 5a ＋b
a ＋b 212ab
方法二：∵，∴ab ，选C. 【答案】 C
2a ＋b a ＋b
2. C[解析] A 中没有强调x ＞0不能直接运用基本不等式，故不对．B 中虽然x ∈(0，π)，sin x ＞0，但运用基本不等式后，等号成立的条件是sin x ＝
4
sin x ＝±2矛盾，所以等号取不到，故sin x
4－
不对．C 中3x ＞0，∴可直接运用基本不等式3x ＋4·3x ≥24＝4，当且仅当3x ，即3x ＝2，x
3＝log 32时取等号，故正确．D 中由于没有给出x 的范围，所以lg x 不一定大于0，故不对．
知识点二．利用基本不等式求最值问题
p 2
(1) x＝y 最小值是p . (2)x ＝y 最大值是4
【小试身手】
1
3. 解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋≥2，当且仅当x ＝1时取等号．答案 C
x 2
t －4t ＋11
4. 解析 ∵t ＞0，∴y ＝＝t ＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．
t t
答案 －2
11931
5．解析：由x (3－3x ) ＝3x (3－3x ) ≤3x ＝3－3x ，即x ＝时“＝”成立．
33442
答案： B
4001 600
6．20[解析] 设一年总费用为y 万元，则y ＝4×＋4x ＝4x ≥160，
x x
1 600
当且仅当4x ，即x ＝20时取等号，所以当x ＝20t 时，一年的总费用最小．
x
考向一 利用基本不等式求最值
【例1】(1)分析:此题为条件最值，考虑从条件能否得到xy 的不等式，或能否转化为只含x 或只含y 的函数式，或“1”的代换．
23
[解析] 解法1：＋1≥2
x y 时不等式取得等号．
23解法2：整体代换法xy ＝xy ⎛⎝x y ＝2y ＋3x ≥6xy ⇒xy ≥26， 即xy ≥24. 当且仅当2y ＝3x ， 即x ＝4，y ＝6时不等式取得等号． 解法3：三角换元法
23π624令＝sin 2α，＝cos 2α，α∈(0，) ，故xy ＝≥24，当且仅当sin 22α＝1⇒α＝x y 2sin αcos αsin 2απ
＝x ＝4，y ＝6时不等式取得等号． 4
32x －23x 3x
解法4：∵＝1－＝y ＝x ＞0，y ＞0＞0，∴x ＞2，
y x x x －2x －2(x －2)2＋4(x －2)＋43x 2
∴xy ＝3x －2x －24⎡＝3⎡(x －2)x －2＋4⎤≥3⎢2
6231
xy ≥6⇒xy ≥24，当且仅当＝＝x ＝4，y ＝6xy x y 2
⎣⎦
⎣
4⎤(x －2)4⎥＝24.
x －2⎦
当且仅当x －2＝2，即x ＝4时成立．∴x ＝4，y ＝6时，xy 取最小值24. (2)∵x ＞0，∴f (x ) ＝
2x 221
1，当且仅当x ＝x ＝1时取等号．
12x x ＋1
x ＋x
答案 (1)3＋2 (2)1
用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项的和或积，使这两项的和
或积或平方和为定值，然后用基本不等式求出最值；在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数的最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值，不管哪种题，哪种方法，在用基本不等式求最值时都必须要验证等号是否成立．
【训练1】(1)C [解析] 该题考查均值不等式求最值，注意“一正二定三相等”属基础题．
11
f (x ) ＝x ＋(x >2)＝x －2＋＋2≥2
x －2x －2当且仅当x －2＝
1
(x －2)2＝4.
x －2
(2)2[解析] ∵x >0，y >0，∴x ＋4y ＝40≥24xy ，∴xy ≤100.lg x ＋lg y ＝lg(xy ) ≤lg100＝2.
当且仅当x ＝4y ＝20，即x ＝20，y ＝5时，等号成立．
1
(x －2) 2＝1，∵x >2，∴x －2>0，∴x －2＝1，即a ＝3. x －2
(3) (文)[分析] 注意1的代换与使用，也可以三角换元．注意运用基本不等式时等号成立的条件．
2y x 11x ＋2y x ＋2y ＋
[解析] ∵x 、y ∈R ，x ＋2y ＝1，∴x ＋y ＝x ＋y 3＋x y 3＋22y x 2
x ＝y x ＋2y ＝1即y ＝1，x ＝2－1时成立．
2[点评] 本题常有以下错误解法：∵1＝x ＋2y ≥22xy 11∴x y ≥2
1
xy 42.
1
≥2， xy
2y x x y ＝3＋2.
错误的原因在两次运用基本不等式的时候取等号的条件矛盾．(第一次须x ＝2y ，第二次须x ＝y ) ．
(理)[分析] 可消去一个变量，将x ＋y 用一个变量表示，再配凑出能运用基本不等式的条件． 2x
[解析] 由2x ＋8y －xy ＝0得y (x －8) ＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝x －8(2x －16)＋162x 16
u ＝x ＋y ＝x ＋x ＋(x －8) ＋＋10≥2
x －8x －8x －8等号在x －8＝
16
即x ＝12，y ＝6时成立． x －8
16
(x －8)＋10＝18.
(x －8)
考向二 利用基本不等式证明不等式
【例2】 [审题视点] 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到．
bc ca bc ca
证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴≥2 2c ；
a b a b
bc ab ca ab ≥2 ＝2b ；＋2 ＝2a . a c a c b c
b c
bc ca ab bc ca ab
＋≥2(a ＋b ＋c ) ，即＋a ＋b ＋c . 以上三式相加得：2⎛⎝a b c a b c
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式
和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．
a ＋b 1b
【训练2】[解析] 方法一 因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1. 所以1＋1＋2＋.
a a a
11b a b a 1a
1＋⎛1＋＝⎛2＋⎛2＋＝5＋2⎛＋⎫≥5＋4＝9. 同理1＋＝2＋所以⎛⎝a ⎝b ⎝a ⎝b ⎝a b ⎭b b 111
1＋⎫⎛1≥9(当且仅当a ＝b ＝) ． 所以⎛⎝a ⎭⎝b 211a ＋b 11112
1＋⎛1＋⎫＝1＋＋＋1＋方法二 ⎛＝1＋， ⎝a ⎝b ⎭a b ab ab ab ab 因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1，所以ab ≤⎛
a ＋b 2112
＝，于是≥48，
ab ab ⎝24
111
1＋⎫⎛1≥1＋8＝9(当且仅当a ＝b 时等号成立) ． 因此⎛⎝a ⎭⎝b 2
考向三 利用基本不等式解决恒成立问题
【例3】 [审题视点] 先求
x x
(x ＞0) 的最大值，要使得a (x ＞0) 恒成立，只要
x ＋3x ＋1x ＋3x ＋1
x
(x ＞0) 的最大值小于等于a 即可．
x ＋3x ＋1
x x
解析 若对任意x ＞0a 恒成立，只需求得y ＝x ＞0，
x ＋3x ＋1x ＋3x ＋1
x 111
所以y ＝＝≤＝，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是
1x ＋3x ＋15x 32 x x x
⎡1∞⎫ 答案
⎡1⎫ ⎣5⎭⎣5⎭
当不等式一边的函数(或代数式) 的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含
有参数) ，然后建立关于参数的不等式求解．
【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10. 答案 10
考向四 利用基本不等式解实际问题
【例4】 [审题视点] 用长度x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可．还应注意定义域0＜x ≤5；函数取最小值时的x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性．
1612
x ＋＋5 800(0＜x ≤5) ， 解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋×400) ＋5 800＝900⎛x ⎝x
16x ＋⎫＋5 800≥900×2x ×＋5 800＝13 000(元) ， 则y ＝900⎛x ⎭⎝x 16
当且仅当x ＝，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．
x
解实际应用题要注意以下几点：
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围) 内求解．
80
【训练4】 解 (1)第n 次投入后，产量为(10＋n ) 万件，销售价格为100元，固定成本为元，
n ＋1
80⎛
科技成本投入为100n 万元．所以，年利润为f (n ) ＝(10＋n ) 100－100n (n ∈N *) ． n ＋1⎭⎝
809⎛⎛100n ＋1＋(2)由(1)知f (n ) ＝(10＋n ) －100n ＝1 000－80 ≤520(万元) ． n ＋1⎭n ＋1⎭⎝⎝
9
n ＋1＝n ＝8时，利润最高，最高利润为520万元．
n ＋1
以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．