二次函数压轴题
1. 如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式.
（2）已知AD = AB（D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
2. 如图9，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c (a >0) 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），
1
OB ＝OC ，tan∠ACO＝．
3
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积
.
3. 如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。 ⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标; 若不存在，请说明理由;
⑶若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。
4. 已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB
（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式； （3）求△ABC 的面积；
（4）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点
F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；
（5）在（4）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．
5. 已知抛物线y =-ax 2+2ax +b 与x 轴的一个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ．
⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；
⑶坐标平面内是否存在点M ，使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
6、如图，已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，且OA =OB . （1）求b +c 的值；
（2）若点C 在抛物线上，且四边形OABC 是平行四边形，求抛物线的解析式；
（3）在（2）条件下，点P （不与A 、C 重合）是抛物线上的一点，点M 是y 轴上一点，当△BPM 是等腰直角三角形时，求点M 的坐标.
7、如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴相交于点A (-2，0) 和点B ，与y 轴相交于点C ，
9顶点D (1，- 2（1）求抛物线对应的函数关系式； （2）求四边形ACDB 的面积；
（3）若平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线与坐标轴 ．．．
仅有两个交点，请直接写出一个平移后的抛物线的关系式.]
8、如图a ，在平面直角坐标系中，A (0，6) ，B (4，0).
（1）按要求画图：在图a 中，以原点O 为位似中心，按比例尺1:2，将△AOB 缩小，得到△
DOC ，使△AOB 与△DOC 在原点O 的两侧；并写出点A 的对应点D 的坐标为 ,点B 的对应点C 的坐标为 ；
（2）已知某抛物线经过B 、C 、D 三点，求该抛物线的函数关系式, 并画出大致图象； （3）连接DB ，若点P 在CB 上，从点C 向点B 以每秒1个单位运动，点Q 在BD 上，从点B
向点D 以每秒1个单位运动，若P 、Q 两点同时分别从点C 、点B 点出发，经过t 秒，当t 为何值时，△BPQ 是等腰三角形？
图a
备用图
10、（2013江苏扬州弘扬中学二模）如图所示，已知抛物线y =
12
x -x +k 的图象与y 轴相交于4
点B （0，1），点C （m ，n ）在该抛物线图象上，且以BC 为直径的⊙M 恰好经过顶点A ． （1）求k 的值； （2）求点C 的坐标；
（3）若点P 的纵坐标为t ，且点P 在该抛物线的对称轴l 上运动， 试探索：
①当S 1＜S ＜S 2时，求t 的取值范围
（其中：S 为△PAB 的面积，S 1为△OAB 的面积，S 2为四边形OACB 的面积）； ②当t 取何值时，点P 在⊙M 上．（写出t 的值即可）
二次函数压轴题
1. 如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式.
（2）已知AD = AB（D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
2. 如图9，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c (a >0) 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），
1
OB ＝OC ，tan∠ACO＝．
3
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积
.
3. 如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。 ⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标; 若不存在，请说明理由;
⑶若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。
4. 已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB
（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式； （3）求△ABC 的面积；
（4）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点
F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；
（5）在（4）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．
5. 已知抛物线y =-ax 2+2ax +b 与x 轴的一个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ．
⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；
⑶坐标平面内是否存在点M ，使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
6、如图，已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，且OA =OB . （1）求b +c 的值；
（2）若点C 在抛物线上，且四边形OABC 是平行四边形，求抛物线的解析式；
（3）在（2）条件下，点P （不与A 、C 重合）是抛物线上的一点，点M 是y 轴上一点，当△BPM 是等腰直角三角形时，求点M 的坐标.
7、如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴相交于点A (-2，0) 和点B ，与y 轴相交于点C ，
9顶点D (1，- 2（1）求抛物线对应的函数关系式； （2）求四边形ACDB 的面积；
（3）若平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线与坐标轴 ．．．
仅有两个交点，请直接写出一个平移后的抛物线的关系式.]
8、如图a ，在平面直角坐标系中，A (0，6) ，B (4，0).
（1）按要求画图：在图a 中，以原点O 为位似中心，按比例尺1:2，将△AOB 缩小，得到△
DOC ，使△AOB 与△DOC 在原点O 的两侧；并写出点A 的对应点D 的坐标为 ,点B 的对应点C 的坐标为 ；
（2）已知某抛物线经过B 、C 、D 三点，求该抛物线的函数关系式, 并画出大致图象； （3）连接DB ，若点P 在CB 上，从点C 向点B 以每秒1个单位运动，点Q 在BD 上，从点B
向点D 以每秒1个单位运动，若P 、Q 两点同时分别从点C 、点B 点出发，经过t 秒，当t 为何值时，△BPQ 是等腰三角形？
图a
备用图
10、（2013江苏扬州弘扬中学二模）如图所示，已知抛物线y =
12
x -x +k 的图象与y 轴相交于4
点B （0，1），点C （m ，n ）在该抛物线图象上，且以BC 为直径的⊙M 恰好经过顶点A ． （1）求k 的值； （2）求点C 的坐标；
（3）若点P 的纵坐标为t ，且点P 在该抛物线的对称轴l 上运动， 试探索：
①当S 1＜S ＜S 2时，求t 的取值范围
（其中：S 为△PAB 的面积，S 1为△OAB 的面积，S 2为四边形OACB 的面积）； ②当t 取何值时，点P 在⊙M 上．（写出t 的值即可）