基于马尔萨斯人口模型的改进模型
01210901 许长春 摘要：
本文在马尔萨斯人口增长模型的基础上，结合我国人口发展状况，进一步将自然增长率r的变化考虑在内，经过分析后猜想自然增长率r与人口数量成反比，对原模型进行改进和完善后，得到一个新模型，用此模型计算出1953年-2009年的结果与马尔萨斯人口模型和实际数据对比，该模型的结果与实际情况比较吻合，并依此预测2020年中国人口总数将达到141，342万。
问题分析：
随着社会的发展，人口问题与经济、资源、环境、社会的冲突日益成为制约我国发展的的瓶颈，研究和预测人口增长趋势对人口政策的制定和国家的发展有重大意义。早在1798年，英国人口统计学家马尔萨斯提出了闻名于世的人口指数增长模型：
dx = rx dt
x（t0）=x0
x为t时刻的人口总数，r为自然增长率
此模型曾用于世界人口的预测，在1961年以前是比较准确的，但用此模型预测未来人口，得到的结果就十分荒谬了，因为地球上人口不可能无限制地增长。 ①他认为人类的相对出生率（单位时间内平均每一人新生的婴儿数）b和相对死亡率d均为常数，因此人口的自然增长率亦为常数。这是不对的，因为他没有考虑社会、科学的发展，自然环境、资源对相对出生率和相对死亡率的影响。
因此，相对出生率和相对死亡率都是变化的，即人口的自然增长率r不是常数。
就我国而言，1949年前人口增长缓慢，建国后人口增长迅速，由此产生的各种社会问题日益突出，70年代中期开始实行计划生育，人口增长速率稍为缓和。因此我们可以设想人口的自然增长率r可能存在某种规律。
模型假设条件：
建模：
往气球里充气，随着充入的气体的增多，充气的难度越大，充气的”潜力”越小。自然环境可容纳的人类的数量也有一个最大限度，人口越多，人口增长的“潜力”就越小，因此我们可以设想自然增长率r与人口数量是成反比的。
假设 r=a-bx （a、b为系数，大于零）
在马尔萨斯模型基础上，得
dx(abx)xdt
x（t0）=x0
模型求解：解此微分方程，得
ax0x(t)bx0(abx0)e(tt0)a
利用计算机软件MATLAB中的非线性回归命令nlinfit求得a=0.04267892 b=0.00272076
分析与检验：
2查得以下数据 ○
第一次全国人口普查，1953年6月30日，全国人口 59435万人。
第二次全国人口普查，1964年7月1日，全国人口 694,58万人。
第三次全国人口普查，1982年7月1日，全国人口 1,008,18万人。
第四次全国人口普查，1989年7月1日，全国人口 1,133,68万人。
第五次全国人口普查，2000年7月1日，全国人口 126583万人。
2005年全国人口1%抽样调查，估计在调查时的11月1日全国人口有1,306,28万人。 2009年9月28日，估计中华人民共和国有1,333,22万人。
人口数量(亿)
14
12
10
8
6
4
2
[***********][***********]
时间
改进模型预测结果图
此模型的结果与1953—2009年实际人口数量大致相符，且根据此模型预测，到2020年我国人口总数将达到141,342万。
模型评价：
此模型的结果与1950—2005年实际人口数量基本吻合，但由于a、b系数误差不可避免，在某一段时间内满足此规律，但在长远的预测中此模型将不准确或失效。
1谭永基,俞文呲,数学模型,上海:复旦大学出版社,1997 ○
2数据来自www.status.gov.cn ○
基于马尔萨斯人口模型的改进模型
01210901 许长春 摘要：
本文在马尔萨斯人口增长模型的基础上，结合我国人口发展状况，进一步将自然增长率r的变化考虑在内，经过分析后猜想自然增长率r与人口数量成反比，对原模型进行改进和完善后，得到一个新模型，用此模型计算出1953年-2009年的结果与马尔萨斯人口模型和实际数据对比，该模型的结果与实际情况比较吻合，并依此预测2020年中国人口总数将达到141，342万。
问题分析：
随着社会的发展，人口问题与经济、资源、环境、社会的冲突日益成为制约我国发展的的瓶颈，研究和预测人口增长趋势对人口政策的制定和国家的发展有重大意义。早在1798年，英国人口统计学家马尔萨斯提出了闻名于世的人口指数增长模型：
dx = rx dt
x（t0）=x0
x为t时刻的人口总数，r为自然增长率
此模型曾用于世界人口的预测，在1961年以前是比较准确的，但用此模型预测未来人口，得到的结果就十分荒谬了，因为地球上人口不可能无限制地增长。 ①他认为人类的相对出生率（单位时间内平均每一人新生的婴儿数）b和相对死亡率d均为常数，因此人口的自然增长率亦为常数。这是不对的，因为他没有考虑社会、科学的发展，自然环境、资源对相对出生率和相对死亡率的影响。
因此，相对出生率和相对死亡率都是变化的，即人口的自然增长率r不是常数。
就我国而言，1949年前人口增长缓慢，建国后人口增长迅速，由此产生的各种社会问题日益突出，70年代中期开始实行计划生育，人口增长速率稍为缓和。因此我们可以设想人口的自然增长率r可能存在某种规律。
模型假设条件：
建模：
往气球里充气，随着充入的气体的增多，充气的难度越大，充气的”潜力”越小。自然环境可容纳的人类的数量也有一个最大限度，人口越多，人口增长的“潜力”就越小，因此我们可以设想自然增长率r与人口数量是成反比的。
假设 r=a-bx （a、b为系数，大于零）
在马尔萨斯模型基础上，得
dx(abx)xdt
x（t0）=x0
模型求解：解此微分方程，得
ax0x(t)bx0(abx0)e(tt0)a
利用计算机软件MATLAB中的非线性回归命令nlinfit求得a=0.04267892 b=0.00272076
分析与检验：
2查得以下数据 ○
第一次全国人口普查，1953年6月30日，全国人口 59435万人。
第二次全国人口普查，1964年7月1日，全国人口 694,58万人。
第三次全国人口普查，1982年7月1日，全国人口 1,008,18万人。
第四次全国人口普查，1989年7月1日，全国人口 1,133,68万人。
第五次全国人口普查，2000年7月1日，全国人口 126583万人。
2005年全国人口1%抽样调查，估计在调查时的11月1日全国人口有1,306,28万人。 2009年9月28日，估计中华人民共和国有1,333,22万人。
人口数量(亿)
14
12
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时间
改进模型预测结果图
此模型的结果与1953—2009年实际人口数量大致相符，且根据此模型预测，到2020年我国人口总数将达到141,342万。
模型评价：
此模型的结果与1950—2005年实际人口数量基本吻合，但由于a、b系数误差不可避免，在某一段时间内满足此规律，但在长远的预测中此模型将不准确或失效。
1谭永基,俞文呲,数学模型,上海:复旦大学出版社,1997 ○
2数据来自www.status.gov.cn ○