§7.4 数列的求和
无棣一中 高天祥 杨雪峰
1、了解数列求和的意义，主要利用等差、等比数列的前n 项和公式解决数列的求和问题； 2、掌握常见数列的求和方法，尤其是要掌握用公式法、分组结合法、裂项相消法、错位相
n 项和。
数列的求和也是高考中的热点内容，考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和，体现了化归的思想方法，其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点。估计在以后的高考中不会有太大的改变。
再现型题组
1. 求数列1+1,
1111
+4, 2+7, 3+10, , n -1+(3n -2) , 的前n 项和 a a a a
143n -22. S n =+2+ + n
222
3. S n =
111
++ + 1⨯22⨯3n (n +1)
0123n
4. 求和W =C n +4C n +7C n +10C n + +(3n +1) C n
5. （05天津）{a n }中a 1=1, a 2=2, a n +2-a n =1+(-1)
n
(n ∈N +)则S 100=
巩固型题组
6. （07福建文）“数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n +1=2S n (n ∈N ) ．
*
（Ⅰ）求数列{a n }的通项a n ； （Ⅱ）求数列{na n }的前n 项和T n ．
7. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4=-62, S 6=-75 （1）求通项a n 及前n 项和S n ；
（2）求数列a n 前n 项和T n .
8. 大楼共n 层，现每层指定一人，共n 人集中到设在第k 层的临时会议室开会，问k 如何确定能使n 位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）
{}
提高型题组
9. （06湖北) 已知二次函数y=f(x ) 的图像经过坐标原点，其导函数为f '(x ) =6x -2。数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n , S n )(n ∈N *) 均在函数y =f (x ) 的图像上。（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =
m 3*
，T n 是数列{b n }的前n 项和, 求使得T n
20a n a n +1
立的最小正整数m 。
10. 已知数列{a n }的各项为正数，其前n 项和S n 满足S n =(
a n +12
) ， 2
（I ）求a n 与a n -1(n ≥2) 之间的关系式，并求{a n }的通项公式； （II ）求证
111++ +
反馈型题组
11. ．在数列{a n }中，a n =
A ．9
1n +n +1
, 若其前n 项和S n =9，则项数n 为
C ．99
D ．100
（ ）
B ．10
2n -1
, 的前n 项和等于 12．数列1, (1+2), 1+2+2, , 1+2+ +2
()()
（ ）
A ．2
n +1
-n B ．2
n +1
-n -2 C ．2-n -1
n
D ．2-n -2 D ．2
（ ） （ ）
n
13．设S n =1-2+3-4+ +(-1) n -1⋅n , 则S 17+S 33+S 50=
A ．－1
B ．0
C ．1
14．数列1，
111
, , , 的前n 项和为 1+21+2+31+2+3+ +n
B ．
A ．
n n +12n
n +1
n
2
C ．
2
n (n +1)
2
D ．
4
n (n +1)
（ ）
15．数列{a n }的前n 项和S n =2-1, 则a 1+a 2+ +a n =
2
A ．(2n -1) 2 B ．(2-1)
13
n
C ．4-1
n
D ．(4-1)
13
n
16．数列{a n }的通项公式为a n =4n -1, 令b n =为
2
a 1+a 2+ +a n
, 则数列{b n }的前n 项和
n
（ ）
A ．n B ．n (n +2) C．n (n +1) D ．n (2n +1)
17. 已知{a n }的前n 项和S n =n 2-4n +1, 则|a 1|+|a 2|+ +|a 10|的值为18. 求下面数列的前n 项和
（1） 数列-1, 4, -7, 10, , (-1) n (3n -2) , （2）数列{
2n -3
. 2n -3
2n -1
, 。 （3）数列1, (1+a ), 1+a +a , , 1+a + +a
()()
19．数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=1, 2S n =(n +1) a n ,
（I ）求a n 与a n -1的关系式，并求{a n }的通项公式； （II ）求和W n =
111
++ +. 222
a 2-1a 3-1a n +1-1
§7.4 数列的求和(解答部分)
再现型题组
⒈【提示或答案】设数列的通项为a n ，前n 项和为S n ，
则 a n =
1a
n -1
+(3n -2)
∴S n =(1+
111
+2+ +n -1) +[1+4+7+ +(3n -2)] a a a
(1+3n -2) n 3n 2+n
=当a =1时，S n =n +
22
1n (1+3n -2) n a n -1(3n -1) n 当a ≠1时，S n = +=n +122a -a n -11-a
1-
【基础知识聚焦】当数列的通项由两部分组成，每一部分都是易于求和的特殊数列，可以用拆项求和的方法。注意在应用等比数列的求和公式时，要对公比分类讨论。
143n -53n -2+2+ +n -1+ n 2222
1143n -53n -2∴S n =2+3+ +n +n +1 22222
2. 【提示或答案】 S n =两式做差得
3n +53n +5111⎫3n -2⎛11
S n =+3 2+3+ +n ⎪-n +1=2-n +1∴S n =4-n
2222⎝222⎭2
【基础知识聚焦】解题的关键是抓住式子的结构特征，选择合适的求和方法。若数列
{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，则求{a n ±b n }的和用拆项法，{a n b n }用错位相减，
⎧1⎫
⎨⎬用裂项相消。 a a ⎩n n +k ⎭
n n -11
+2+ +n 22211
【答案】S n =n +n +2-
24
【变式与拓展】S n =
3. 【提示或答案】设数列的通项为b n ，则b n =
111
=-
n (n +1) n n +1
11111
∴S n =b 1+b 2+ +b n =(1-) +(-) + +(-)
223n n +1
1n =1-=
n +1n +1
【基础知识聚焦】本题用的是裂项相消，这是高考中经常考察的方法，即把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和. 【变式与拓展】求数列
111, , , , 前n 项和 1+21+2+31+2+ +(n +1)
【答案】 a n =
1211
==2(-)
1+2+ +(n +1) (n +1)(n +2) n +1n +2
11111111n
-)]=2(-) = ∴S n =2[(-) +(-) + +(
2334n +1n +22n +2n +2
4. 【提示或答案】 W =C n +4C n +7C n + +(3n -2) C n =(3n +1) C n +(3n -2) C n
n
n -10
1
2
n -1
n
①， +(3n +1) C n
n -210
+(3n -5) C n + +4C n +C n
01n -210
②， ∴W =(3n +1) C n +(3n -2) C n +(3n -5) C n + +4C n +C n
①+②得2W =(3n +2)(C n +C n +C n + +C n ) =(3n +2) ⨯2,
012n n
∴W =(3n +2) ⨯2n -1.
【基础知识聚焦】选择数列求和的方法，关键是准确抓住数列通项公式呈现的规律，然
k n -k
后选定一种求和方法，并作出相应的变换. 题目中 a n =3n +1，又C n =C n , ∴
而运用反序求和方法是比较好的想法 【变式与拓展】 已知函数函数f (x ) =（1）求m 的值；
（2）已知数列{a n }满足a n =f (0)+f () +f () + +f (【答案】m =2，a n =
11
(m >0), x , x ∈R , 当x +x =1时，f (x ) +f (x ) =。 121212
4x +m 2
1
n 2n n -1
) +f (1),求a n n
n . 4
5. 【提示或答案】当n 为奇数时，a n +2=a n , ∴a 1=a 3= =a 99=1； 当n 为偶数时，a n +2-a n =2, ∴a 2=2, a 4=4, , a 100=100.
∴S 100=(2+4+ +100)+50=2600.
【基础知识聚焦】对通项公式中含有(-1)的一类数列，在求S n 时，要注意讨论n 的奇偶性。
【变式与拓展】试求S n .
n
⎧n (n +4)
n 为偶数⎪
⎪4
【答案】S n =⎨. 2
⎪(n+1) n 为奇数⎪⎩4
巩固型题组
6. 解：（１） a n +1=2S n , ∴S n +1=2S n , ∴
S n +1
=3 S 1=a 1=1 S n
数列{S n }是首项为１，公比为３的等比数列：S n =3n -1(n ∈N *) 当n ≥2时，a n =2S n -1=2⋅3
n -2
1, n =1
(n ≥2), ∴a n ={n -2
2⋅3, n ≥2
当, n =1时，T 1=1；当n ≥2时，
（２） T n =a 1+2a 2+3a +3+na n
-2
3T n =1+4⋅03+⋅61++3n ⋅n 2
,
3T n =3+4⋅31+6⋅32++2n 3n -1,
∴-2T n =-2+4+2(31+32++3n -2) -2n ⋅3n -1=-1+(1-2n )3n -1
11
+(n -)3n -1(n ≥2) ，又当n =1时，上式也成立。2211
∴T n =+(n -)3n -1(n ∈N *)
22
∴T n =
【点评】本题的求和主要考察了错位相减的方法，这种方法的实质是转化为等比数列求和，
这是高考命题的热点，在复习中务必引起充分的重视。 7. 解（1）由S 4=A ⋅42+B ⋅4，S 6=A ⋅62+B ⋅6得S n =（2）由a n ≤0，n +1≤0得n ≤7 . 所以当n ≤7时
3243
n -n ，a n =3n -23 22
343
T n =-(a 1+a 2+ +a n ) =-n 2+n ，当n >7时
22
T n =-(a 1+a 2+ +a 7) +(a 8+a 9+ a n )
=S n -2S 7=
3243
n -n +154 22
⎧3243
-n +n ｎ≤7⎪⎪22
从而S n =⎨
⎪3n 2-43n +154 n>7⎪⎩22
【点评】解题的关键时分清从那一项开始a n >0，然后再对n 讨论。本题容易忽略对n 的讨论，而直接得出S n =【变式】a n =⎨
3243
n -n +154出错。 22
⎧1 n =1
则S n =
⎩3n -1 n ≥2
3n 2+n -2
【答案】S n =
2
8. 解：设相邻两层楼梯长为a a ，则
S =a [(1+2+ +k -1) +0+(1+2+ +(n -k ))]n 2+n
=a [k -(n +1) k +]
2
2
当n 为奇数时，取k =
n +1
时，S 达到最小值. 2
n n +2
当n 为偶数时，取k =或时， S达到最大值.
22
【点评】最值问题转化为函数问题，是解决问题的基本解法，在解题过程中要注意k 取值的实际意义，即应取正整数，所以对n 应分情况讨论。
提高型题组
9. 解：（I ）依题意可设f (x ) =ax 2+bx (a ≠0), 则f `(x ) =2ax +b 由f `(x ) =6x -2 得 a =3, b =-2, 所以f (x ) =3x 2-2x .
又由点(n , S n ) (n ∈N *) 均在函数y =f (x ) 的图像上得S n =3n 2-2n
22
3(n -1) -2(n -1) ⎤当 n ≥2时a n =S n -S n -1=3n -2n -⎡⎣⎦=6n -5
当 n =1时a 1=S 1=3⨯12-2⨯1=6⨯1-5 所以a n =6n -5(n ∈N *) （II ）由（I ）得b n =
33111
==(-), a n a n +1(6n -5) 6(n +1) -526n -56n +1
故，T n =因此使得
111⎡11111⎤=(1-). =(1-) +(-) + +(-) ⎢⎥26n +12⎣77136n -56n +1⎦
11m 1m
(1-)
故满足最小的正整数m 为10
【点评】本小题主要考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。
10. （I ） 4S n =(a n +1) 2①，而4S n -1=(a n -1+1) 2②，
22
①—②得a n -a n -1-2(a n +a n -1) =0⇒(a n +a n -1)(a n -a n -1-2) =0,
a n >0, ∴a n -a n -1=2(n ≥2), ∴{a n }是公差d =2的等差数列， 而4a 1=(a 1+1) 2⇒a 1=1,
（II ） S n =n , ∴
2
∴a n =2n -1;
111111
++ +=2+2+ +2 S 1S 2S n 12n
1111
n (n -1) n -1n n 11111111∴++ +
1
【点评】本题是十分常见的数列型的不等式证明问题，由于运用了数列求和的思想，作
出了一个巧妙的放缩变换，然后与数列求和挂上了钩.
课堂小结
数列求和的基本方法：
1. 基本公式法：(1)等差数列求和公式：S n =
⎧na 1, ⎪
(2)等比数列求和公式：S n =⎨a 1(1-q n )a 1-a n q
=, q ≠1⎪
1-q 1-q ⎩
12n
+C n + +C n =2n . (3)C n 0+C n
n (a 1+a n )n (n -1)
=na 1+d 22q =1
2. 错位相消法：一般适应于数列{a n b n }的前n 向求和，其中{a n }成等差数列，{b n }成等比
数列。
3. 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。
4. 拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和. 常见的拆项公式有：
(1)若{a n }是公差为d 的等差数列，则(2)(3)
1
11⎛11⎫
= -⎪； a n a n +1d ⎝a n a n +1⎭
1⎛11⎫= -⎪；
2n -12n +12⎝2n -12n +1⎭
1
=
k
；
(4)C n m -1=C n m +1-C n m ；(5)n ⋅n ! =(n +1)! -n ! .
5. 倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。
反馈型题组
11．C 12．B 13．C 14．B 15．D 16．B 17.67 18. （1）当n 为奇数时，S n =
-3n +13n
；当n 为偶数时，S n =； 22
（2） 8-
2n +1
2n -3
n (n +1) n (n +1) a +a n +1
; a ≠0, 1时, S n =（3）a =0时, S n =n ; a =1时, S n =. 2
2(1-a )
⎧2S n =(n +1) a n n
19. （I ） ⎨, 两式相减得a n =a n -1(n ≥2),
2S =na n -1n -1⎩n -1
∴
a n a a a n n -12=n ⋅n -1⋅ ⋅2=⋅⋅ ⋅=n , ∴a n =n ; a 1a n -1a n -2a 1n -1n -21
11111111
+++ +=[(1-) +(-)] 1⋅32⋅43⋅5n (n +2) 2324
（II ）W n =
11111311
+(-) + +(-)]=[--]. 35n n +222n +1n +2
§7.4 数列的求和
无棣一中 高天祥 杨雪峰
1、了解数列求和的意义，主要利用等差、等比数列的前n 项和公式解决数列的求和问题； 2、掌握常见数列的求和方法，尤其是要掌握用公式法、分组结合法、裂项相消法、错位相
n 项和。
数列的求和也是高考中的热点内容，考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和，体现了化归的思想方法，其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点。估计在以后的高考中不会有太大的改变。
再现型题组
1. 求数列1+1,
1111
+4, 2+7, 3+10, , n -1+(3n -2) , 的前n 项和 a a a a
143n -22. S n =+2+ + n
222
3. S n =
111
++ + 1⨯22⨯3n (n +1)
0123n
4. 求和W =C n +4C n +7C n +10C n + +(3n +1) C n
5. （05天津）{a n }中a 1=1, a 2=2, a n +2-a n =1+(-1)
n
(n ∈N +)则S 100=
巩固型题组
6. （07福建文）“数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n +1=2S n (n ∈N ) ．
*
（Ⅰ）求数列{a n }的通项a n ； （Ⅱ）求数列{na n }的前n 项和T n ．
7. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4=-62, S 6=-75 （1）求通项a n 及前n 项和S n ；
（2）求数列a n 前n 项和T n .
8. 大楼共n 层，现每层指定一人，共n 人集中到设在第k 层的临时会议室开会，问k 如何确定能使n 位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）
{}
提高型题组
9. （06湖北) 已知二次函数y=f(x ) 的图像经过坐标原点，其导函数为f '(x ) =6x -2。数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n , S n )(n ∈N *) 均在函数y =f (x ) 的图像上。（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =
m 3*
，T n 是数列{b n }的前n 项和, 求使得T n
20a n a n +1
立的最小正整数m 。
10. 已知数列{a n }的各项为正数，其前n 项和S n 满足S n =(
a n +12
) ， 2
（I ）求a n 与a n -1(n ≥2) 之间的关系式，并求{a n }的通项公式； （II ）求证
111++ +
反馈型题组
11. ．在数列{a n }中，a n =
A ．9
1n +n +1
, 若其前n 项和S n =9，则项数n 为
C ．99
D ．100
（ ）
B ．10
2n -1
, 的前n 项和等于 12．数列1, (1+2), 1+2+2, , 1+2+ +2
()()
（ ）
A ．2
n +1
-n B ．2
n +1
-n -2 C ．2-n -1
n
D ．2-n -2 D ．2
（ ） （ ）
n
13．设S n =1-2+3-4+ +(-1) n -1⋅n , 则S 17+S 33+S 50=
A ．－1
B ．0
C ．1
14．数列1，
111
, , , 的前n 项和为 1+21+2+31+2+3+ +n
B ．
A ．
n n +12n
n +1
n
2
C ．
2
n (n +1)
2
D ．
4
n (n +1)
（ ）
15．数列{a n }的前n 项和S n =2-1, 则a 1+a 2+ +a n =
2
A ．(2n -1) 2 B ．(2-1)
13
n
C ．4-1
n
D ．(4-1)
13
n
16．数列{a n }的通项公式为a n =4n -1, 令b n =为
2
a 1+a 2+ +a n
, 则数列{b n }的前n 项和
n
（ ）
A ．n B ．n (n +2) C．n (n +1) D ．n (2n +1)
17. 已知{a n }的前n 项和S n =n 2-4n +1, 则|a 1|+|a 2|+ +|a 10|的值为18. 求下面数列的前n 项和
（1） 数列-1, 4, -7, 10, , (-1) n (3n -2) , （2）数列{
2n -3
. 2n -3
2n -1
, 。 （3）数列1, (1+a ), 1+a +a , , 1+a + +a
()()
19．数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=1, 2S n =(n +1) a n ,
（I ）求a n 与a n -1的关系式，并求{a n }的通项公式； （II ）求和W n =
111
++ +. 222
a 2-1a 3-1a n +1-1
§7.4 数列的求和(解答部分)
再现型题组
⒈【提示或答案】设数列的通项为a n ，前n 项和为S n ，
则 a n =
1a
n -1
+(3n -2)
∴S n =(1+
111
+2+ +n -1) +[1+4+7+ +(3n -2)] a a a
(1+3n -2) n 3n 2+n
=当a =1时，S n =n +
22
1n (1+3n -2) n a n -1(3n -1) n 当a ≠1时，S n = +=n +122a -a n -11-a
1-
【基础知识聚焦】当数列的通项由两部分组成，每一部分都是易于求和的特殊数列，可以用拆项求和的方法。注意在应用等比数列的求和公式时，要对公比分类讨论。
143n -53n -2+2+ +n -1+ n 2222
1143n -53n -2∴S n =2+3+ +n +n +1 22222
2. 【提示或答案】 S n =两式做差得
3n +53n +5111⎫3n -2⎛11
S n =+3 2+3+ +n ⎪-n +1=2-n +1∴S n =4-n
2222⎝222⎭2
【基础知识聚焦】解题的关键是抓住式子的结构特征，选择合适的求和方法。若数列
{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，则求{a n ±b n }的和用拆项法，{a n b n }用错位相减，
⎧1⎫
⎨⎬用裂项相消。 a a ⎩n n +k ⎭
n n -11
+2+ +n 22211
【答案】S n =n +n +2-
24
【变式与拓展】S n =
3. 【提示或答案】设数列的通项为b n ，则b n =
111
=-
n (n +1) n n +1
11111
∴S n =b 1+b 2+ +b n =(1-) +(-) + +(-)
223n n +1
1n =1-=
n +1n +1
【基础知识聚焦】本题用的是裂项相消，这是高考中经常考察的方法，即把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和. 【变式与拓展】求数列
111, , , , 前n 项和 1+21+2+31+2+ +(n +1)
【答案】 a n =
1211
==2(-)
1+2+ +(n +1) (n +1)(n +2) n +1n +2
11111111n
-)]=2(-) = ∴S n =2[(-) +(-) + +(
2334n +1n +22n +2n +2
4. 【提示或答案】 W =C n +4C n +7C n + +(3n -2) C n =(3n +1) C n +(3n -2) C n
n
n -10
1
2
n -1
n
①， +(3n +1) C n
n -210
+(3n -5) C n + +4C n +C n
01n -210
②， ∴W =(3n +1) C n +(3n -2) C n +(3n -5) C n + +4C n +C n
①+②得2W =(3n +2)(C n +C n +C n + +C n ) =(3n +2) ⨯2,
012n n
∴W =(3n +2) ⨯2n -1.
【基础知识聚焦】选择数列求和的方法，关键是准确抓住数列通项公式呈现的规律，然
k n -k
后选定一种求和方法，并作出相应的变换. 题目中 a n =3n +1，又C n =C n , ∴
而运用反序求和方法是比较好的想法 【变式与拓展】 已知函数函数f (x ) =（1）求m 的值；
（2）已知数列{a n }满足a n =f (0)+f () +f () + +f (【答案】m =2，a n =
11
(m >0), x , x ∈R , 当x +x =1时，f (x ) +f (x ) =。 121212
4x +m 2
1
n 2n n -1
) +f (1),求a n n
n . 4
5. 【提示或答案】当n 为奇数时，a n +2=a n , ∴a 1=a 3= =a 99=1； 当n 为偶数时，a n +2-a n =2, ∴a 2=2, a 4=4, , a 100=100.
∴S 100=(2+4+ +100)+50=2600.
【基础知识聚焦】对通项公式中含有(-1)的一类数列，在求S n 时，要注意讨论n 的奇偶性。
【变式与拓展】试求S n .
n
⎧n (n +4)
n 为偶数⎪
⎪4
【答案】S n =⎨. 2
⎪(n+1) n 为奇数⎪⎩4
巩固型题组
6. 解：（１） a n +1=2S n , ∴S n +1=2S n , ∴
S n +1
=3 S 1=a 1=1 S n
数列{S n }是首项为１，公比为３的等比数列：S n =3n -1(n ∈N *) 当n ≥2时，a n =2S n -1=2⋅3
n -2
1, n =1
(n ≥2), ∴a n ={n -2
2⋅3, n ≥2
当, n =1时，T 1=1；当n ≥2时，
（２） T n =a 1+2a 2+3a +3+na n
-2
3T n =1+4⋅03+⋅61++3n ⋅n 2
,
3T n =3+4⋅31+6⋅32++2n 3n -1,
∴-2T n =-2+4+2(31+32++3n -2) -2n ⋅3n -1=-1+(1-2n )3n -1
11
+(n -)3n -1(n ≥2) ，又当n =1时，上式也成立。2211
∴T n =+(n -)3n -1(n ∈N *)
22
∴T n =
【点评】本题的求和主要考察了错位相减的方法，这种方法的实质是转化为等比数列求和，
这是高考命题的热点，在复习中务必引起充分的重视。 7. 解（1）由S 4=A ⋅42+B ⋅4，S 6=A ⋅62+B ⋅6得S n =（2）由a n ≤0，n +1≤0得n ≤7 . 所以当n ≤7时
3243
n -n ，a n =3n -23 22
343
T n =-(a 1+a 2+ +a n ) =-n 2+n ，当n >7时
22
T n =-(a 1+a 2+ +a 7) +(a 8+a 9+ a n )
=S n -2S 7=
3243
n -n +154 22
⎧3243
-n +n ｎ≤7⎪⎪22
从而S n =⎨
⎪3n 2-43n +154 n>7⎪⎩22
【点评】解题的关键时分清从那一项开始a n >0，然后再对n 讨论。本题容易忽略对n 的讨论，而直接得出S n =【变式】a n =⎨
3243
n -n +154出错。 22
⎧1 n =1
则S n =
⎩3n -1 n ≥2
3n 2+n -2
【答案】S n =
2
8. 解：设相邻两层楼梯长为a a ，则
S =a [(1+2+ +k -1) +0+(1+2+ +(n -k ))]n 2+n
=a [k -(n +1) k +]
2
2
当n 为奇数时，取k =
n +1
时，S 达到最小值. 2
n n +2
当n 为偶数时，取k =或时， S达到最大值.
22
【点评】最值问题转化为函数问题，是解决问题的基本解法，在解题过程中要注意k 取值的实际意义，即应取正整数，所以对n 应分情况讨论。
提高型题组
9. 解：（I ）依题意可设f (x ) =ax 2+bx (a ≠0), 则f `(x ) =2ax +b 由f `(x ) =6x -2 得 a =3, b =-2, 所以f (x ) =3x 2-2x .
又由点(n , S n ) (n ∈N *) 均在函数y =f (x ) 的图像上得S n =3n 2-2n
22
3(n -1) -2(n -1) ⎤当 n ≥2时a n =S n -S n -1=3n -2n -⎡⎣⎦=6n -5
当 n =1时a 1=S 1=3⨯12-2⨯1=6⨯1-5 所以a n =6n -5(n ∈N *) （II ）由（I ）得b n =
33111
==(-), a n a n +1(6n -5) 6(n +1) -526n -56n +1
故，T n =因此使得
111⎡11111⎤=(1-). =(1-) +(-) + +(-) ⎢⎥26n +12⎣77136n -56n +1⎦
11m 1m
(1-)
故满足最小的正整数m 为10
【点评】本小题主要考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。
10. （I ） 4S n =(a n +1) 2①，而4S n -1=(a n -1+1) 2②，
22
①—②得a n -a n -1-2(a n +a n -1) =0⇒(a n +a n -1)(a n -a n -1-2) =0,
a n >0, ∴a n -a n -1=2(n ≥2), ∴{a n }是公差d =2的等差数列， 而4a 1=(a 1+1) 2⇒a 1=1,
（II ） S n =n , ∴
2
∴a n =2n -1;
111111
++ +=2+2+ +2 S 1S 2S n 12n
1111
n (n -1) n -1n n 11111111∴++ +
1
【点评】本题是十分常见的数列型的不等式证明问题，由于运用了数列求和的思想，作
出了一个巧妙的放缩变换，然后与数列求和挂上了钩.
课堂小结
数列求和的基本方法：
1. 基本公式法：(1)等差数列求和公式：S n =
⎧na 1, ⎪
(2)等比数列求和公式：S n =⎨a 1(1-q n )a 1-a n q
=, q ≠1⎪
1-q 1-q ⎩
12n
+C n + +C n =2n . (3)C n 0+C n
n (a 1+a n )n (n -1)
=na 1+d 22q =1
2. 错位相消法：一般适应于数列{a n b n }的前n 向求和，其中{a n }成等差数列，{b n }成等比
数列。
3. 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。
4. 拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和. 常见的拆项公式有：
(1)若{a n }是公差为d 的等差数列，则(2)(3)
1
11⎛11⎫
= -⎪； a n a n +1d ⎝a n a n +1⎭
1⎛11⎫= -⎪；
2n -12n +12⎝2n -12n +1⎭
1
=
k
；
(4)C n m -1=C n m +1-C n m ；(5)n ⋅n ! =(n +1)! -n ! .
5. 倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。
反馈型题组
11．C 12．B 13．C 14．B 15．D 16．B 17.67 18. （1）当n 为奇数时，S n =
-3n +13n
；当n 为偶数时，S n =； 22
（2） 8-
2n +1
2n -3
n (n +1) n (n +1) a +a n +1
; a ≠0, 1时, S n =（3）a =0时, S n =n ; a =1时, S n =. 2
2(1-a )
⎧2S n =(n +1) a n n
19. （I ） ⎨, 两式相减得a n =a n -1(n ≥2),
2S =na n -1n -1⎩n -1
∴
a n a a a n n -12=n ⋅n -1⋅ ⋅2=⋅⋅ ⋅=n , ∴a n =n ; a 1a n -1a n -2a 1n -1n -21
11111111
+++ +=[(1-) +(-)] 1⋅32⋅43⋅5n (n +2) 2324
（II ）W n =
11111311
+(-) + +(-)]=[--]. 35n n +222n +1n +2