高等教育学费标准探讨
摘要
近几年来：我国高等教育收费逐年攀升，如何制定一个合理的收费标准受到了越来越多人的关注。题目要求搜集相关数据，按专业对高等教育收费的标准进行定量分析。本文综合分析了有关学费的各种标准，提出具体的三个问题，并分别建立模型。
问题一：预测未来学费的变化趋势。
针对问题一：根据原始数据，结合现实因素，跟随时间的变化，建立学费预测模型，对未来学费的变化趋势进行预测分析。运用MATLA进行非线性曲线拟合，并预测出未来学费变化趋势为：2000年以后高校的平均学费在5369元附近波动。 问题二：探究家庭满意度与高等教育学费的相关关系，在人均GDP,生均教育成本，居民家庭收入的约束下给出人家庭满意度与高等教育收费标准之间的相关关系。
针对问题二：分别建立学费与决策因素——家庭收入、人均GDP、家庭收入之间的非线性回归方程。利用层次分析法、极差归一法，结合培养质量与社会公平性的权重，建立合理度最优解目标函数，从而转化为合理度的最优解问题。求出合理度最优解即可得到最合理的学费。因收集到的数据为1995到2001，故最后理想的2001年阶段理想的高等教育收费为3218元/年，人民的满意度为71.67%。说明国家需要强对教育的投资经费，另一方面也说明拓宽筹措经费的方法，来降低高等教育收费。
问题三：各专业理想的高等教育收费标准。
针对问题三：通过查阅各专业学费标准，找出各专业之间学费比例关系，在上文得出的2001阶段理想的高等教育收费标准，巧妙的运用各专业学费和总的人均学费，以及各专业的人数与总人数的关系，构造出相关函数，得出各个专业的理想收费。
关键词：层次分析法、线性规划、拟合、阻滞增长、 Matlab、Lingo
一、问题重述
高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强以及谐社会建设的大局。因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。由于培养质量是高等教育的一个核心指标，所以不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障。高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。
学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高的学费会使很多学生无力支付，而过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。学费问题近来也在各种媒体上引起了热烈的讨论。
根据以上所述，针对下列四个问题，建立数学模型，对几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。 1） 根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据。 2） 根据收集到的数据进行分析，建立数学模型，得出明确，有说服力的结论。 3） 在已得出的模型基础上，考虑不同地区对学费标准的影响并建立新模型。 4） 根据建模分析的结果，给有关部门写一份报告，提出具体建议。
二、问题分析
高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强以及谐社会建设的大局。而高等教育学费标准更是关乎社会的公平性和高等教育的培养质量。如何确定学费与家庭收入、国家生均拨款、学校创收自筹，生均成本等影响因素之间的关系则显得尤为关键。
问题一：预测未来学费的变化趋势。
问题二：探究人民满意度与高等教育收费的相关关系，在人均GDP,生均教育成本，居民家庭教育收入的约束给出人民满意度与理想的高等教育收费标准。
问题三：各专业理想的高等教育收费标准。
三、模型假设
1. 收集到的数据经过分析，均为满足要求的有效数据，据此得出的结论有效。 2. 1993年以后高等教育事业平稳发展，国家教育政策基本稳定。
3. 与学费相关的各因素之间的如相关性不会对分析结果产生较大影响。
四、符号说明
五、问题一
5.1求解思路
通过机理分析的方法，发现数年来的学费随时间的推移呈现出一定规律，所以本文利用非线性曲线拟合函数Lsqcurefit建立数学模型，得到学费的整体变化趋势曲线。
5.2建模理论
1. 最小二乘法拟合：
最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a和b。显然，关键是如何求出最佳的a和b。 (1)求回归直线
设直线方程的表达式为：
y=a+bx
要根据测量数据求出最佳的a和b。对满足线性关系的一组等精度测量数据（xi，yi），假定自变量xi的误差可以忽略，则在同一xi下，测量点yi和直线上的点a+bxi的偏差di如下：
d1=y1-a-bx1
d2=y2-a-bx2
dn=yn-a-bxn
显然最好测量点都在直线上（即d1=d2=„„=dn=0），求出的a和b是最理想的，但测量点不可能都在直线上，这样只有考虑d1、d2、„„、dn为最小，也就是考虑d1+d2+„„+dn为最小，但因d1、d2、„„、dn有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d1|+ |d2|+„„+ |dn|又不好解方程，因而不可行。现在采取一种等效方法：当d12+d22+„„+dn2对a和b为最小时，d1、d2、„„、dn也为最小。取（d12+d22+„„+dn2）为最小值，求a和b的方法叫最小二乘法。 令 D=∑d＝D=∑d=∑[yi-a-bi]2
2i
2i
i=1
i=1
i=1
n
n
n
D对a和b分别求一阶偏导数为：
nn
∂D
=-2[∑yi-na-b∑xi] ∂ai=1i=1nnn∂D2
=-2[∑xiyi-a∑xi-b∑xi] ∂bi=1i=1i=1
再求二阶偏导数为：
n∂2D∂2D2
=2n； =2x∑i22
∂a∂bi=1
n
∂2D∂2D
显然： 2=2n≥0； 2=2∑xi2≥0
∂a∂bi=1
满足最小值条件，令一阶偏导数为零：
∑y
i=1n
i
n
i
-na-b∑xi=0
i=1
n
∑xy
i=1
i
-a∑xi-b∑xi=0
2
i=1
i=1
nn
1n1n
引入平均值：=∑xi； =∑yi；
ni=1ni=1
1n21n
x=∑xi； xy=∑xiyi
ni=1ni=1
2
则： -a-b=0
xy-ax-bx2=0
解得：a=-b（2-6-5）
b=
xy-xyx-x
2
2
将a、b值带入线性方程y=a+bx，即得到回归直线方程。
(2)y、a、b的标准差
在最小二乘法中，假定自变量误差可以忽略不计，是为了方便推导回归方程。操作中函数的误差大于自变量的误差即可认为满足假定。实际上两者均是变量，都有误差，从而导致结果y、a、b的标准差(n≥6)如下：
σy=
∑d
i=1
n
2i
n-2
=
∑(y
i=1
n
i
-bxi-a)2n-2
(根式的分母为n-2,是因为有两个变量)
σa=
∑x
i=1ni=1
n
2in
n∑xi2-(∑xi)2
i=1
y=
x2n(x-x)
2
2
y
σb=
n
n∑xi2-(∑xi)2
i=1
i=1
n
n
y=
1n(x-x)
2
2
y
(3)相关系数
相关系数是衡量一组测量数据xi、yi线性相关程度的参量，其定义为：
r=
xy-xy(x2-x)(y2-y)
2
2
r值在0
表5- 1相关系数起码值r0
在进行一元线性回归之前应先求出r值，再与r0比较，若|r|>r0，则x和y具有线性关系，可求回归直线；否则反之。
5.3模型Ⅰ——学费预测模型
5.3.1原理背景：
1989-1996年这段时间内学费维持在低增长的水平，且增长率较小；从1996年高效学费开始快速增高，直到2001年,2002年教育部发布通知之前高等学费都维持在高速增长的水平。在教育部国家计委财政部发出通知之后，高效收费进入了低水平的增长阶段，可以肯定在这一阶段学费增长率始终处在一个较小值附近。所以建立学费阻滞增长模型，对未来的变化趋势空间进行预测。 5.3.2阻滞增长模型的原理：
人数阻滞增长模型是在考虑到自然资源，环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修正后得到。我们将人口阻滞增长模型部分改进，建立学费阻滞增长模型。阻滞作用体现在国家政策等实现条件对学费增长率r的影响上，使得r随着学费x的增加而下降。若将r表示为x的函数r(x),则它是减函数。于是有：
dx
=r(x)x [x(0)=x0] （1） dt
对r(x)的一个最简单的设定是，设r(x)为x的线性函数，即
r(x)=r-sx (r>0,s>0) （2）
设现实生活中人们所能接受的最高学费为xm,当x=xm时学费不再增长，即
r
,于是式（2）为： xm
x
r(x)=r(1-)（3）
xm
将式（3）代入方程（1）得：
将增长率r(xm)=0代入式（2）得s=
解方程（4）可得：
x⎧dx
=rx(1-)⎪
xm （4） ⎨dt
⎪⎩x(0)=x0
（8） xm
1+(-1)e-rt
x0
5.3.3模型的建立和求解：
将1995年看成初始时刻即t=0,则1996年为t=1，以此类推，以2006年t=11作为最终时刻。用函数式（4）对1995到2006年得数据进行非线性拟合，用Matlab编程得到相关参数： xm= 5369 ,r= 0.4
代入式（4）得到中国各年份平均学费预测趋势的拟合曲线方程：
5369
x(t)=
5369-0.4t1+(-1)e
1000
拟合曲线如图所示： 图5- 1平均学费拟合曲线图
5.4模型的检验：
x(t)=
xm
用可决系数R2来衡量拟合的精度，且
)
∑(x-x
in
2
R2=1-
∑(x-x)
i
i=1
i=1n
2
为方程拟合值，x为原始数据平均值。一般来说R2∈(0,1)，R2越大
，拟其中x
合精度越高，拟合曲线的可决系数R2=0.9812,所以拟合效果非常好。
5.5结果分析：
检验的结果说明：最小二乘法拟合的结果应有较大的可信度，即拟合结果较好的体现了高效学费在未来几年的发展趋势。从图中可以看出2000之后高效的下平均学费在固定值5369的附近波动。
六、问题二
6.1求解思路
目前阶段，我国高等教育学费标准的制定是依据美国教育学家布鲁斯 约翰斯通（D.Bruce Johnstone）于1986年提出的高等教育的成本分担原理。按“谁受益谁承担”的原则，可以将高等教育的成本花费为四部分，分别由政府（纳税人）、学生家长、学生本人、私人或社会事业捐赠者承担。 因此，在层次分析法中，依据成本分担原理选择决策因素时，应从实际出发，依从定量性原则、权威性原则、有效性原则、简便性原则等来选取。综上所述，本文将家庭收入、人均GDP、生均成本确定为方案层的三个决策因素。
图5- 1层次分析法对各个影响因素的分析图
接着，根据收集到的数据结合机理分析法和非线性曲线拟合法，利用
MATLAB软件分别构建出各个决策因素与学费x之间的关系模型
Gi x 。利用极差归一法将各个决策因素与学费x之间的关系模型Gi x 转化为：
Gi(x)-Mii
Qbi(x)=,(i=1,2,3)
Mai-Mii
最后定义：
MaxT(x)=W⨯[Qb1(x),Qb2(x),Qb3(x)]T
为合理度最优解模型的目标函数，其W为层次分析法得出的最终权向量。从而将最合理学费问题转化为求解合理度最优解问题。
最后结合学费预测模型和合理性最优解模型的分析检验求解结果。
6.2建模理论
层次分析法是美国运筹学家萨蒂在20世纪70年代提出的一种实用的定性和定量相结合的多准则决策方法。它是把复杂的决策按照目标层、准则层、子准则层、方案层的顺序表示为一个有序的递阶层次结构，通过人们的比较判断，计算各种决策方案在不同准则及总目标之下的相对重要性权重，从而把难以量化的各种方案定量化，以得到各种方案的相对优劣的排序值，并据此做出最后的决策。 层次分析法的基本步骤： 第一步：根据问题的性质和要求，提出一个总目标。将目标逐层分解为几个层次，建立层次结构模型。 第二步：对同一层次的各元素关于上一层次某一准则的重要性进行两两比较并赋权值，构造成对比较矩阵。
设某层有n个因素x={X1, ,Xn}，要比较它们对上一层某一准则(或目标)的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。上述比较是两两因素之间的比较，比较时取1~9尺度。用
aij
表示第i个因素相对于第j个因素的比较结果， 则
A=(aij)n⨯n
⎛a11 a1n⎫
⎪= ⎪A
，称为成对比较矩阵。
a a⎪
nn⎭⎝n1
比较尺度：(1~9尺度的含义)
表6- 1比例尺度
第三步：针对某一准则，计算各方案的相对权重，即层次单排序，并进行一致性检验。 定义一致性指标
CI=
λ-n
n-1
其中λ为最大特征根，n为矩阵阶数。
随机一致性指标RI的数据如下：
表6- 2随机一致性指标数据
当一致性比率CR=CI
第四步：计算各层元素对总目标的合成权重，即层次总排序。
Z的排序为a1,a2, ,am，B层n个因素对 设A层m个因素A1,A2, ,Am，对总目标
上层A中因素为Aj的层次单排序为b1j,b2j, ,bnj，j=1,2, ,n B层的层次总排序为：
B1： a1b11+a2b12+ +amb1m B2： a1b21+a2b22+ +amb2m
Bn： a1bn1+a2bn2+ +ambnm
即B层第i个因素对总目标的权值为
∑ab
j=1
m
jij
。
表6- 3决策因素对总目标的权值
6.3模建立
型的与求
解
6.3.1模型Ⅱ-Ⅰ——家庭收入决策模型
1. 数据分析：
社会收入分配差距在社会经济增长初期不可避免的总要随着经济的增长而有所扩大。普遍提高劳动者个人的受教育程度，尤其是低收入家庭子女，是尽快实现这种收入分配格局的扭转，缩短经济增长中收入分配不公的持续过程的有效手段。然而，教育对收入分配有二重性，教育的平等可以会促进收入分配的平等，相反，教育的不平等也会深化收入分配上的不平等，而这种不平等反过来又会进一步恶化教育上的不平等，如此循环，贫困家庭就会一直陷在贫困陷讲之中。因此，以学生家庭经济承受值为衡量指标，测算高等教育学费占家庭收入比例的最大值是制定合理学费标准的重要依据之一，以江苏省为例。
[1]
图6- 1江苏省城乡家庭收入各级所占比例
为促进高等教育机会公平，在依靠助学贷款及助学金补充下，至少应保证困难生比例稳定在当前水平。将城镇居民家庭收入5等分，其中城镇中等偏下及城镇低收入家庭的平均收入与农村居民家庭可支配收入相当。可见，高校困难生主要集中在这个群体。高校在校生中农村与城镇学生的比例约为4：6（由南京某综合性院校近3年招生生源比例测算），按照16%的困难生比例可估算高校困难生中城镇与农村学生的比例约为3：5，从而进一步得出城镇与农村学生中困难生比例分别为10%和25%，假设居民家庭收入线性变化，即可计算得出学费占居民经济承受能力的最大比例，即：
城镇：a1=0.46/(2.42/2)=38%
农村：a2=0.46/(3.36*2*25%)=27% [1]
根据上述原理，本文利用收集到的数据，进一步整理出全国历年的家庭收入【见《附录》】。 2. 模型建立：
本文利用MATLAB软件将1995-2001的学费作为x轴坐标，将1995-2001年家庭收入中将于方面的支出作为y轴。进行回归拟合分析，作出回归拟合曲线图1，如图6-2所示，回归拟合方程为：
G3(x)=-0.005x2+1.4775x+144.766
图6- 2 学费-家庭收入拟合曲线1 图6- 3学费-家庭收入数据残差图
3. 模型的检验：
利用MATLAB进行残差正态性检验。残差是否符合正态分布同样可以来衡量
，其中x为原始数据，x 为方程拟合值。 拟合效果的指标，且残差ω=x-x
采用t检验来检验残差是否服从正态分布：[h,sig,ci,states]=ttest(e1,alpha,
tail),其中e1为残差。
检验数据e1服从正态分布的假设是否成立，其中alpha显著性水平，且默认
tail的默认值为0，h=1表示可以拒绝原假设，值为0.05，返回值为一个布尔值，
h=0表示接受原假设，sig为假设成立的概率，ci为1-alpha的置信区间，
states为统计量的值。运用MATLAB编程，作出残差图，如图5-4所示。得出：h=1，sig=0.719。残差未通过正态性检验，说明拟合效果不好。
根据检验结果去掉异常数据，利用MATLAB对剩余数据重新回归拟合，作出回归
拟合曲线图2，如图6-4所示，回归拟合方程为：
G3(x)=-0.005x2+1.3845x+202.6949
图6- 4 学费-家庭收入拟合曲线2图6- 5 学费-家庭收入数据残差图
运用MATLAB编程，进行残差正态分布检验，作出残差图，如图5-6所示。得出结果：h=1，sig=0.8976。残差通过正态性检验，说明拟合效果较好。 6.3.2模型Ⅱ-Ⅱ——个人GDP决策模型
根据上述求家庭收入决策模型的算法，利用收集到的数据【见《附录》】，结合MATLAB软件将1995-2001的学费作为x轴坐标，将1995-2001年个人GDP作为y轴。进行回归拟合分析，作出回归拟合曲线图，并利用残差正态性进行检验
最终得出回归拟合方程为： G2(x)=2.6x+2990.3
图6- 6学费-个人GDP拟合曲线图6- 7学费-个人GDP数据残差图
6.3.3模型Ⅱ-Ⅲ——生均成本决策模型
同理，根据上述求家庭收入决策模型的算法，利用收集到的数据【见《附录》】，结合MATLAB软件将1995-2001的学费作为x轴坐标，将1995-2001年生均成本作为y轴。进行回归拟合分析，作出回归拟合曲线图，并利用残差正态性进行检验最终得出回归拟合方程为：
G1(x)=-0.001x2+7.2833x-
39.8385
图6- 8学费-生均成本拟合曲线 图6- 9学费-生均成本数据残差图
6.3.4模型Ⅱ-Ⅳ——层次分析法模型
根据层次关系图5-1结合现阶段培养质量与公平性的公认关系，建立出培养质量与公平性的比较矩阵m0=量ω0=[0.60.4]。
⎡
⎢1⎢
另外，方案层对培养质量的比较矩阵m1=⎢3
⎢1⎢⎣3
1⎤
3⎥3
⎥
17⎥，据此可以算出权重向
⎥11⎥7⎦
⎡
⎢1⎢⎢2⎢⎣3
3⎤⎥2⎥⎥1⎥⎦
，通过MATLAB软件可以容易的算出其权重向
量ω1=[0.24260.66940.0879]，其他相关参数为：
CI1=
λ1-n
n-1
=0.0035，CR1=
CI1
=0.0068
1⎤⎡13⎢3⎥⎢⎥11⎥，求解出其权重向量为1同理，方案层对公平性的比较矩阵为m2=⎢⎢37⎥⎢⎥371⎢⎥⎢⎥⎣⎦
ω2=[0.24260.08790.6694]，其他相关参数为：
CI1=
λ1-n
n-1
=0.0035，CR1=
CI1
=0.0068
⎡0.24260.66940.0879⎤T
3，W
1为 综合可得，ω3=[ω1ω2]=⎢。由W1=ω0ω⎥
⎣0.24260.08790.6694⎦
用层次分析法得出的最终权向量，W1=[0.24260.43680.3205]。 6.3.5模型Ⅱ-Ⅴ——合理度最优解模型
1. 模型建立：
本文通过三个决策因素对最合理学费产生的相关函数和层次分析法分析各因素对合理度的影响而得出的权重关系，将最合理学费转化为合理度的最优解。从而得到本文的合理度的优化模型：
目标函数：MaxT(x)=W⨯[Qb1(x),Qb2(x),Qb3(x)]T
⎧T(x)≤1
⎪@gin(x),x属于整数⎪
⎪G1(x)=-0.001x2+7.2833x-39.8385⎪
约束条件：⎨G2(x)=2.6x+2990.3
⎪2G3(x)=-0.005x+1.3845x+202.6949⎪⎪Gi(x)-Mii
,(i=1,2,3)⎪Qbi(x)=
Mai-Mii⎩
由于合理度最大值为100%，因此T(x)≤1。另外结合实际情况，本文的学费限制为整数。通过Lingo9.0软件对合理度模型的求解。求得最优解即最大合理
度为：0.7167，使得存在最大合理度的平均学费为3218元/年。
6.4模型检验——学费预测模型与合理度最优解模型结果对比分析
通过学费预测模型得到的2001年阶段的学费为4316.0元/年，与合理度最优解模型得到的理想学费3218元/年，两者相差比较明显。当2001阶段的学费定位3218元/年，人们的满意度为0.7167。由此可以看出国家需要这一方面加强对教育的投资经费，另一方面也说明拓宽筹措经费的方法。
七、问题三
7.1模型优化——不同专业对学费的影响 7.1.1数据分析：
比较几年来各专业的招生人数，不难发现，随着社会需求和政策的变更，各专业的招生人数，也有稳定的增长或下降趋势，鉴于本文之前利用层次分析法以最大满意度为目标求出的最佳学费利用的是1995-2001年段的各项数据，即反映的是该时间段的最佳学费标准，所以各专业的招生数应也以这时期为标准，计算得到各专业人数占总招生人数的占比如下：
表7- 1各专业所占人数比值
7.1.2模型建立
根据定量性原则、权威性原则、简便性原则建立如下模型：
其中α为专业人数占总人数的百分比；β为以工农专业学费为标准，得到的各专业的学费比较值；x为各专业的学费。利用lingo可求出1995-2001段各专业最佳学费如下：
表7- 2 各专业的最佳学费
x=∑αiβixi,(i=1,2,3,4)
i=1
n
7.2学校层次对学费影响的探究
本文对各个层次的部分学校学费进行了研究【数据见《目录》】，发现对于国立学校（重点本科院校和普通本科院校），学费标准绝大部分分部在4600-5200区间内，学费随学校本身的学费制度波动，与学校层次（是否为重点高校）没有固定的函数关系,散点图如下：
图7- 1学费-学校拟合曲线
因此优化中不再对于学校层次给予考虑。
八、模型的评价与推广
8.1模型的评价
8.1.1优点：
（1） 利用Excel软件对数据进行处理并作出各种平面图，简便，直观，快捷； （2） 本文建立的模型与实际紧密联系，不仅给出了未来学费的预测，同时通
过人均GDP,生均教育成本，居民家庭收入的约束给出了学费与人民满意度的关系，并给出理想的学费标准，从而使模型更贴近实际，通用性强； （3） 通过各专业之间的学费比例关系，通过求出的理想学费标准，巧妙合理
的给除了各专业的理想学费标准。
8.1.2缺点：
（1） 搜集到的数据较少，拟合的曲线不能精确地说明问题。
（2） 在学费预测模型中，本文仅给出了未来学费预测的一个公式，并未对其
波动的区间进行分析。
（3） 在合理度最优解模型中，本文仅找到1995到2001年的相关数据，给出
的居民学费也仅仅只是2001年那一阶段的理想学费。
8.2模型的推广
学费预测模型给出了未来学费的变化趋势，给考生提供了参考，有助于考生根据自己的经济情况，偏好状况进行专业选择。
合理度最优解模型给出了家庭满意度与学费的相关关系，从不同的专业，不同年份分别进行考虑，具有现实意义，对国家在高等教育收费方面具有指导意义。
九、参考文献
[1] 高正，《高等教育学费标准的实证研究 ——以江苏省为例》，出版地：南京
师范大学，2012 [2] 杨龙，《高等教育学费制定的数学仿真》，出版地：东莞理工学院，2010 [3] 黄璜，《高等学校生均教育成本计量研究》，出版地：湖南大学，2011 [4] 薛长虹、于凯，《MATLAB数学实验室》，出版地：成都，出版社：西南交通大学出版
社，2013 [5] 张潇凌，《我国高等教育学费收取标准》，出版地：中央财经大学，2012
十、附录
附录1：
农村城市人均收入及教育投入
年份
生均学费 农村平均 城镇平均 农投入 城投入 均分 1995 1001 1577.7 4283 425.979 1627.54 1146.916 1996 1315 1926.1 4838.9 520.047 1838.782 1311.288 1997 1589 2090.1 5160.3 564.327 1960.914 1402.279 1998 1974 1999 2769 2000 3550 2001 3895 2162 5425.1 583.74 2210.3 5854 596.781 2253.4 6280 608.418 2366.4 6859.6 638.928
全国高等教育生均成本
年份 生均成本 1990 3583 1991 3721 1992 4839 1993 5029 1994 6022 1995 6541 1996 7372 1997 8350 1998 11020 1999 11854 2000 12815 2001 12390
2061.538 2224.52 2386.4 2606.648 1470.419 1573.424 1675.207 1819.56
各专业每年招生人数以及学费
2005年部分高等院校收费标准
学校 所在地区 一般专业学费标准 学费均值 重点高校
清华大学 北京大学 复旦大学 上海理工大学 天津大学 南开大学 东南大学 中国科技大学 武汉大学 吉林大学 北京师范大学 太原理工大学 辽宁大学 大连理工大学 上海财经大学 四川农业大学 南昌大学 普通高校
首都医科大学 北京外交学校 南京工业大学 南京邮电大学 南京信息工程学院东北财经大学 深圳大学 北京 5000 北京 4800-5300 上海 5000-6500 上海 5000 天津 4300-5000 天津 4300-5000 江苏 4600 安徽 4800 湖北 4500-5500 吉林 4100-5100 北京 4800-5300 山西 5000 辽宁 3800-5200 辽宁 4600-5300 上海 5000-5600 四川 4440-4920 江西 4440-6200 北京 4500-5100 北京 5000 南京 4500-5400 南京 4200-5500 南京 5000 东北 4800 广东 5500 5000
5100 5750 5000 4600 4600 4600 4800 5000 4600 5100 5000 4500 5000 5300 4680 5320 5500
5000 4950 4850 5000 4800 5500
附录2： 5.1 M-函数
function xuefeix= qiuxuefei(,t) %UNTITLED ´Ë´¦ÏÔʾÓйش˺¯ÊýµÄÕªÒª % ´Ë´¦ÏÔʾÏêϸ˵Ã÷
xuefeix=pxx(1)./(1+((pxx(1)./1001)-1).*exp(-pxx(2).*t));
end
拟合
xi3=0:0.01:20; biao=1:11; px=[3000,0.3]
biaozhun=lsqcurvefit('qiuxuefei',px,biao,xuefei) biaozhun= 1.0e+0.3*
5.5426 0.0004
pxx= pxx(1)./(1+((pxx(1)./1001)-1).*exp(-pxx(2).*xi3)); plot(biao,xuefei,’*’); hold on;
plot(xi3,pxx,’-r’) 5.3
拟合
p=polyfit(xuefei,shouru,2); xi2=1000:10:4000; z1=polyval(p,xi2); plot(xuefei,shouru,’*’); hold on;
plot(xi2,z1,’-r’); 层次分析法:
M-函数：
function [ w ] = cengcifenxi( A ) %层次分析法计算权重
disp('请输入判断矩阵A(n阶)'); A=input('A='); [n,n]=size(A); x=ones(n,100); y=ones(n,100); m=zeros(1,100); m(1)=max(x(:,1)); y(:,1)=x(:,1);
x(:,2)=A*y(:,1);
m(2)=max(x(:,2));
y(:,2)=x(:,2)/m(2);
p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
while k>p
i=i+1;
x(:,i)=A*y(:,i-1);
m(i)=max(x(:,i));
y(:,i)=x(:,i)/m(i);
k=abs(m(i)-m(i-1));
end
a=sum(y(:,i));
w=y(:,i)/a;
t=m(i);
disp('权向量');disp(w);
disp('最大特征值');disp(t);
%以下是一致性检验
CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.CR=CI/RI(n);
if CR
disp('此矩阵的一致性可以接受!');
disp('CI=');disp(CI);
disp('CR=');disp(CR);
else
disp('此矩阵的一致性不可以接受!');
end
lingo求解部分:
max=G1（x）+G2(x)+G3(x)
@gin(x);
高等教育学费标准探讨
摘要
近几年来：我国高等教育收费逐年攀升，如何制定一个合理的收费标准受到了越来越多人的关注。题目要求搜集相关数据，按专业对高等教育收费的标准进行定量分析。本文综合分析了有关学费的各种标准，提出具体的三个问题，并分别建立模型。
问题一：预测未来学费的变化趋势。
针对问题一：根据原始数据，结合现实因素，跟随时间的变化，建立学费预测模型，对未来学费的变化趋势进行预测分析。运用MATLA进行非线性曲线拟合，并预测出未来学费变化趋势为：2000年以后高校的平均学费在5369元附近波动。 问题二：探究家庭满意度与高等教育学费的相关关系，在人均GDP,生均教育成本，居民家庭收入的约束下给出人家庭满意度与高等教育收费标准之间的相关关系。
针对问题二：分别建立学费与决策因素——家庭收入、人均GDP、家庭收入之间的非线性回归方程。利用层次分析法、极差归一法，结合培养质量与社会公平性的权重，建立合理度最优解目标函数，从而转化为合理度的最优解问题。求出合理度最优解即可得到最合理的学费。因收集到的数据为1995到2001，故最后理想的2001年阶段理想的高等教育收费为3218元/年，人民的满意度为71.67%。说明国家需要强对教育的投资经费，另一方面也说明拓宽筹措经费的方法，来降低高等教育收费。
问题三：各专业理想的高等教育收费标准。
针对问题三：通过查阅各专业学费标准，找出各专业之间学费比例关系，在上文得出的2001阶段理想的高等教育收费标准，巧妙的运用各专业学费和总的人均学费，以及各专业的人数与总人数的关系，构造出相关函数，得出各个专业的理想收费。
关键词：层次分析法、线性规划、拟合、阻滞增长、 Matlab、Lingo
一、问题重述
高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强以及谐社会建设的大局。因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。由于培养质量是高等教育的一个核心指标，所以不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障。高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。
学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高的学费会使很多学生无力支付，而过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。学费问题近来也在各种媒体上引起了热烈的讨论。
根据以上所述，针对下列四个问题，建立数学模型，对几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。 1） 根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据。 2） 根据收集到的数据进行分析，建立数学模型，得出明确，有说服力的结论。 3） 在已得出的模型基础上，考虑不同地区对学费标准的影响并建立新模型。 4） 根据建模分析的结果，给有关部门写一份报告，提出具体建议。
二、问题分析
高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强以及谐社会建设的大局。而高等教育学费标准更是关乎社会的公平性和高等教育的培养质量。如何确定学费与家庭收入、国家生均拨款、学校创收自筹，生均成本等影响因素之间的关系则显得尤为关键。
问题一：预测未来学费的变化趋势。
问题二：探究人民满意度与高等教育收费的相关关系，在人均GDP,生均教育成本，居民家庭教育收入的约束给出人民满意度与理想的高等教育收费标准。
问题三：各专业理想的高等教育收费标准。
三、模型假设
1. 收集到的数据经过分析，均为满足要求的有效数据，据此得出的结论有效。 2. 1993年以后高等教育事业平稳发展，国家教育政策基本稳定。
3. 与学费相关的各因素之间的如相关性不会对分析结果产生较大影响。
四、符号说明
五、问题一
5.1求解思路
通过机理分析的方法，发现数年来的学费随时间的推移呈现出一定规律，所以本文利用非线性曲线拟合函数Lsqcurefit建立数学模型，得到学费的整体变化趋势曲线。
5.2建模理论
1. 最小二乘法拟合：
最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a和b。显然，关键是如何求出最佳的a和b。 (1)求回归直线
设直线方程的表达式为：
y=a+bx
要根据测量数据求出最佳的a和b。对满足线性关系的一组等精度测量数据（xi，yi），假定自变量xi的误差可以忽略，则在同一xi下，测量点yi和直线上的点a+bxi的偏差di如下：
d1=y1-a-bx1
d2=y2-a-bx2
dn=yn-a-bxn
显然最好测量点都在直线上（即d1=d2=„„=dn=0），求出的a和b是最理想的，但测量点不可能都在直线上，这样只有考虑d1、d2、„„、dn为最小，也就是考虑d1+d2+„„+dn为最小，但因d1、d2、„„、dn有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d1|+ |d2|+„„+ |dn|又不好解方程，因而不可行。现在采取一种等效方法：当d12+d22+„„+dn2对a和b为最小时，d1、d2、„„、dn也为最小。取（d12+d22+„„+dn2）为最小值，求a和b的方法叫最小二乘法。 令 D=∑d＝D=∑d=∑[yi-a-bi]2
2i
2i
i=1
i=1
i=1
n
n
n
D对a和b分别求一阶偏导数为：
nn
∂D
=-2[∑yi-na-b∑xi] ∂ai=1i=1nnn∂D2
=-2[∑xiyi-a∑xi-b∑xi] ∂bi=1i=1i=1
再求二阶偏导数为：
n∂2D∂2D2
=2n； =2x∑i22
∂a∂bi=1
n
∂2D∂2D
显然： 2=2n≥0； 2=2∑xi2≥0
∂a∂bi=1
满足最小值条件，令一阶偏导数为零：
∑y
i=1n
i
n
i
-na-b∑xi=0
i=1
n
∑xy
i=1
i
-a∑xi-b∑xi=0
2
i=1
i=1
nn
1n1n
引入平均值：=∑xi； =∑yi；
ni=1ni=1
1n21n
x=∑xi； xy=∑xiyi
ni=1ni=1
2
则： -a-b=0
xy-ax-bx2=0
解得：a=-b（2-6-5）
b=
xy-xyx-x
2
2
将a、b值带入线性方程y=a+bx，即得到回归直线方程。
(2)y、a、b的标准差
在最小二乘法中，假定自变量误差可以忽略不计，是为了方便推导回归方程。操作中函数的误差大于自变量的误差即可认为满足假定。实际上两者均是变量，都有误差，从而导致结果y、a、b的标准差(n≥6)如下：
σy=
∑d
i=1
n
2i
n-2
=
∑(y
i=1
n
i
-bxi-a)2n-2
(根式的分母为n-2,是因为有两个变量)
σa=
∑x
i=1ni=1
n
2in
n∑xi2-(∑xi)2
i=1
y=
x2n(x-x)
2
2
y
σb=
n
n∑xi2-(∑xi)2
i=1
i=1
n
n
y=
1n(x-x)
2
2
y
(3)相关系数
相关系数是衡量一组测量数据xi、yi线性相关程度的参量，其定义为：
r=
xy-xy(x2-x)(y2-y)
2
2
r值在0
表5- 1相关系数起码值r0
在进行一元线性回归之前应先求出r值，再与r0比较，若|r|>r0，则x和y具有线性关系，可求回归直线；否则反之。
5.3模型Ⅰ——学费预测模型
5.3.1原理背景：
1989-1996年这段时间内学费维持在低增长的水平，且增长率较小；从1996年高效学费开始快速增高，直到2001年,2002年教育部发布通知之前高等学费都维持在高速增长的水平。在教育部国家计委财政部发出通知之后，高效收费进入了低水平的增长阶段，可以肯定在这一阶段学费增长率始终处在一个较小值附近。所以建立学费阻滞增长模型，对未来的变化趋势空间进行预测。 5.3.2阻滞增长模型的原理：
人数阻滞增长模型是在考虑到自然资源，环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修正后得到。我们将人口阻滞增长模型部分改进，建立学费阻滞增长模型。阻滞作用体现在国家政策等实现条件对学费增长率r的影响上，使得r随着学费x的增加而下降。若将r表示为x的函数r(x),则它是减函数。于是有：
dx
=r(x)x [x(0)=x0] （1） dt
对r(x)的一个最简单的设定是，设r(x)为x的线性函数，即
r(x)=r-sx (r>0,s>0) （2）
设现实生活中人们所能接受的最高学费为xm,当x=xm时学费不再增长，即
r
,于是式（2）为： xm
x
r(x)=r(1-)（3）
xm
将式（3）代入方程（1）得：
将增长率r(xm)=0代入式（2）得s=
解方程（4）可得：
x⎧dx
=rx(1-)⎪
xm （4） ⎨dt
⎪⎩x(0)=x0
（8） xm
1+(-1)e-rt
x0
5.3.3模型的建立和求解：
将1995年看成初始时刻即t=0,则1996年为t=1，以此类推，以2006年t=11作为最终时刻。用函数式（4）对1995到2006年得数据进行非线性拟合，用Matlab编程得到相关参数： xm= 5369 ,r= 0.4
代入式（4）得到中国各年份平均学费预测趋势的拟合曲线方程：
5369
x(t)=
5369-0.4t1+(-1)e
1000
拟合曲线如图所示： 图5- 1平均学费拟合曲线图
5.4模型的检验：
x(t)=
xm
用可决系数R2来衡量拟合的精度，且
)
∑(x-x
in
2
R2=1-
∑(x-x)
i
i=1
i=1n
2
为方程拟合值，x为原始数据平均值。一般来说R2∈(0,1)，R2越大
，拟其中x
合精度越高，拟合曲线的可决系数R2=0.9812,所以拟合效果非常好。
5.5结果分析：
检验的结果说明：最小二乘法拟合的结果应有较大的可信度，即拟合结果较好的体现了高效学费在未来几年的发展趋势。从图中可以看出2000之后高效的下平均学费在固定值5369的附近波动。
六、问题二
6.1求解思路
目前阶段，我国高等教育学费标准的制定是依据美国教育学家布鲁斯 约翰斯通（D.Bruce Johnstone）于1986年提出的高等教育的成本分担原理。按“谁受益谁承担”的原则，可以将高等教育的成本花费为四部分，分别由政府（纳税人）、学生家长、学生本人、私人或社会事业捐赠者承担。 因此，在层次分析法中，依据成本分担原理选择决策因素时，应从实际出发，依从定量性原则、权威性原则、有效性原则、简便性原则等来选取。综上所述，本文将家庭收入、人均GDP、生均成本确定为方案层的三个决策因素。
图5- 1层次分析法对各个影响因素的分析图
接着，根据收集到的数据结合机理分析法和非线性曲线拟合法，利用
MATLAB软件分别构建出各个决策因素与学费x之间的关系模型
Gi x 。利用极差归一法将各个决策因素与学费x之间的关系模型Gi x 转化为：
Gi(x)-Mii
Qbi(x)=,(i=1,2,3)
Mai-Mii
最后定义：
MaxT(x)=W⨯[Qb1(x),Qb2(x),Qb3(x)]T
为合理度最优解模型的目标函数，其W为层次分析法得出的最终权向量。从而将最合理学费问题转化为求解合理度最优解问题。
最后结合学费预测模型和合理性最优解模型的分析检验求解结果。
6.2建模理论
层次分析法是美国运筹学家萨蒂在20世纪70年代提出的一种实用的定性和定量相结合的多准则决策方法。它是把复杂的决策按照目标层、准则层、子准则层、方案层的顺序表示为一个有序的递阶层次结构，通过人们的比较判断，计算各种决策方案在不同准则及总目标之下的相对重要性权重，从而把难以量化的各种方案定量化，以得到各种方案的相对优劣的排序值，并据此做出最后的决策。 层次分析法的基本步骤： 第一步：根据问题的性质和要求，提出一个总目标。将目标逐层分解为几个层次，建立层次结构模型。 第二步：对同一层次的各元素关于上一层次某一准则的重要性进行两两比较并赋权值，构造成对比较矩阵。
设某层有n个因素x={X1, ,Xn}，要比较它们对上一层某一准则(或目标)的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。上述比较是两两因素之间的比较，比较时取1~9尺度。用
aij
表示第i个因素相对于第j个因素的比较结果， 则
A=(aij)n⨯n
⎛a11 a1n⎫
⎪= ⎪A
，称为成对比较矩阵。
a a⎪
nn⎭⎝n1
比较尺度：(1~9尺度的含义)
表6- 1比例尺度
第三步：针对某一准则，计算各方案的相对权重，即层次单排序，并进行一致性检验。 定义一致性指标
CI=
λ-n
n-1
其中λ为最大特征根，n为矩阵阶数。
随机一致性指标RI的数据如下：
表6- 2随机一致性指标数据
当一致性比率CR=CI
第四步：计算各层元素对总目标的合成权重，即层次总排序。
Z的排序为a1,a2, ,am，B层n个因素对 设A层m个因素A1,A2, ,Am，对总目标
上层A中因素为Aj的层次单排序为b1j,b2j, ,bnj，j=1,2, ,n B层的层次总排序为：
B1： a1b11+a2b12+ +amb1m B2： a1b21+a2b22+ +amb2m
Bn： a1bn1+a2bn2+ +ambnm
即B层第i个因素对总目标的权值为
∑ab
j=1
m
jij
。
表6- 3决策因素对总目标的权值
6.3模建立
型的与求
解
6.3.1模型Ⅱ-Ⅰ——家庭收入决策模型
1. 数据分析：
社会收入分配差距在社会经济增长初期不可避免的总要随着经济的增长而有所扩大。普遍提高劳动者个人的受教育程度，尤其是低收入家庭子女，是尽快实现这种收入分配格局的扭转，缩短经济增长中收入分配不公的持续过程的有效手段。然而，教育对收入分配有二重性，教育的平等可以会促进收入分配的平等，相反，教育的不平等也会深化收入分配上的不平等，而这种不平等反过来又会进一步恶化教育上的不平等，如此循环，贫困家庭就会一直陷在贫困陷讲之中。因此，以学生家庭经济承受值为衡量指标，测算高等教育学费占家庭收入比例的最大值是制定合理学费标准的重要依据之一，以江苏省为例。
[1]
图6- 1江苏省城乡家庭收入各级所占比例
为促进高等教育机会公平，在依靠助学贷款及助学金补充下，至少应保证困难生比例稳定在当前水平。将城镇居民家庭收入5等分，其中城镇中等偏下及城镇低收入家庭的平均收入与农村居民家庭可支配收入相当。可见，高校困难生主要集中在这个群体。高校在校生中农村与城镇学生的比例约为4：6（由南京某综合性院校近3年招生生源比例测算），按照16%的困难生比例可估算高校困难生中城镇与农村学生的比例约为3：5，从而进一步得出城镇与农村学生中困难生比例分别为10%和25%，假设居民家庭收入线性变化，即可计算得出学费占居民经济承受能力的最大比例，即：
城镇：a1=0.46/(2.42/2)=38%
农村：a2=0.46/(3.36*2*25%)=27% [1]
根据上述原理，本文利用收集到的数据，进一步整理出全国历年的家庭收入【见《附录》】。 2. 模型建立：
本文利用MATLAB软件将1995-2001的学费作为x轴坐标，将1995-2001年家庭收入中将于方面的支出作为y轴。进行回归拟合分析，作出回归拟合曲线图1，如图6-2所示，回归拟合方程为：
G3(x)=-0.005x2+1.4775x+144.766
图6- 2 学费-家庭收入拟合曲线1 图6- 3学费-家庭收入数据残差图
3. 模型的检验：
利用MATLAB进行残差正态性检验。残差是否符合正态分布同样可以来衡量
，其中x为原始数据，x 为方程拟合值。 拟合效果的指标，且残差ω=x-x
采用t检验来检验残差是否服从正态分布：[h,sig,ci,states]=ttest(e1,alpha,
tail),其中e1为残差。
检验数据e1服从正态分布的假设是否成立，其中alpha显著性水平，且默认
tail的默认值为0，h=1表示可以拒绝原假设，值为0.05，返回值为一个布尔值，
h=0表示接受原假设，sig为假设成立的概率，ci为1-alpha的置信区间，
states为统计量的值。运用MATLAB编程，作出残差图，如图5-4所示。得出：h=1，sig=0.719。残差未通过正态性检验，说明拟合效果不好。
根据检验结果去掉异常数据，利用MATLAB对剩余数据重新回归拟合，作出回归
拟合曲线图2，如图6-4所示，回归拟合方程为：
G3(x)=-0.005x2+1.3845x+202.6949
图6- 4 学费-家庭收入拟合曲线2图6- 5 学费-家庭收入数据残差图
运用MATLAB编程，进行残差正态分布检验，作出残差图，如图5-6所示。得出结果：h=1，sig=0.8976。残差通过正态性检验，说明拟合效果较好。 6.3.2模型Ⅱ-Ⅱ——个人GDP决策模型
根据上述求家庭收入决策模型的算法，利用收集到的数据【见《附录》】，结合MATLAB软件将1995-2001的学费作为x轴坐标，将1995-2001年个人GDP作为y轴。进行回归拟合分析，作出回归拟合曲线图，并利用残差正态性进行检验
最终得出回归拟合方程为： G2(x)=2.6x+2990.3
图6- 6学费-个人GDP拟合曲线图6- 7学费-个人GDP数据残差图
6.3.3模型Ⅱ-Ⅲ——生均成本决策模型
同理，根据上述求家庭收入决策模型的算法，利用收集到的数据【见《附录》】，结合MATLAB软件将1995-2001的学费作为x轴坐标，将1995-2001年生均成本作为y轴。进行回归拟合分析，作出回归拟合曲线图，并利用残差正态性进行检验最终得出回归拟合方程为：
G1(x)=-0.001x2+7.2833x-
39.8385
图6- 8学费-生均成本拟合曲线 图6- 9学费-生均成本数据残差图
6.3.4模型Ⅱ-Ⅳ——层次分析法模型
根据层次关系图5-1结合现阶段培养质量与公平性的公认关系，建立出培养质量与公平性的比较矩阵m0=量ω0=[0.60.4]。
⎡
⎢1⎢
另外，方案层对培养质量的比较矩阵m1=⎢3
⎢1⎢⎣3
1⎤
3⎥3
⎥
17⎥，据此可以算出权重向
⎥11⎥7⎦
⎡
⎢1⎢⎢2⎢⎣3
3⎤⎥2⎥⎥1⎥⎦
，通过MATLAB软件可以容易的算出其权重向
量ω1=[0.24260.66940.0879]，其他相关参数为：
CI1=
λ1-n
n-1
=0.0035，CR1=
CI1
=0.0068
1⎤⎡13⎢3⎥⎢⎥11⎥，求解出其权重向量为1同理，方案层对公平性的比较矩阵为m2=⎢⎢37⎥⎢⎥371⎢⎥⎢⎥⎣⎦
ω2=[0.24260.08790.6694]，其他相关参数为：
CI1=
λ1-n
n-1
=0.0035，CR1=
CI1
=0.0068
⎡0.24260.66940.0879⎤T
3，W
1为 综合可得，ω3=[ω1ω2]=⎢。由W1=ω0ω⎥
⎣0.24260.08790.6694⎦
用层次分析法得出的最终权向量，W1=[0.24260.43680.3205]。 6.3.5模型Ⅱ-Ⅴ——合理度最优解模型
1. 模型建立：
本文通过三个决策因素对最合理学费产生的相关函数和层次分析法分析各因素对合理度的影响而得出的权重关系，将最合理学费转化为合理度的最优解。从而得到本文的合理度的优化模型：
目标函数：MaxT(x)=W⨯[Qb1(x),Qb2(x),Qb3(x)]T
⎧T(x)≤1
⎪@gin(x),x属于整数⎪
⎪G1(x)=-0.001x2+7.2833x-39.8385⎪
约束条件：⎨G2(x)=2.6x+2990.3
⎪2G3(x)=-0.005x+1.3845x+202.6949⎪⎪Gi(x)-Mii
,(i=1,2,3)⎪Qbi(x)=
Mai-Mii⎩
由于合理度最大值为100%，因此T(x)≤1。另外结合实际情况，本文的学费限制为整数。通过Lingo9.0软件对合理度模型的求解。求得最优解即最大合理
度为：0.7167，使得存在最大合理度的平均学费为3218元/年。
6.4模型检验——学费预测模型与合理度最优解模型结果对比分析
通过学费预测模型得到的2001年阶段的学费为4316.0元/年，与合理度最优解模型得到的理想学费3218元/年，两者相差比较明显。当2001阶段的学费定位3218元/年，人们的满意度为0.7167。由此可以看出国家需要这一方面加强对教育的投资经费，另一方面也说明拓宽筹措经费的方法。
七、问题三
7.1模型优化——不同专业对学费的影响 7.1.1数据分析：
比较几年来各专业的招生人数，不难发现，随着社会需求和政策的变更，各专业的招生人数，也有稳定的增长或下降趋势，鉴于本文之前利用层次分析法以最大满意度为目标求出的最佳学费利用的是1995-2001年段的各项数据，即反映的是该时间段的最佳学费标准，所以各专业的招生数应也以这时期为标准，计算得到各专业人数占总招生人数的占比如下：
表7- 1各专业所占人数比值
7.1.2模型建立
根据定量性原则、权威性原则、简便性原则建立如下模型：
其中α为专业人数占总人数的百分比；β为以工农专业学费为标准，得到的各专业的学费比较值；x为各专业的学费。利用lingo可求出1995-2001段各专业最佳学费如下：
表7- 2 各专业的最佳学费
x=∑αiβixi,(i=1,2,3,4)
i=1
n
7.2学校层次对学费影响的探究
本文对各个层次的部分学校学费进行了研究【数据见《目录》】，发现对于国立学校（重点本科院校和普通本科院校），学费标准绝大部分分部在4600-5200区间内，学费随学校本身的学费制度波动，与学校层次（是否为重点高校）没有固定的函数关系,散点图如下：
图7- 1学费-学校拟合曲线
因此优化中不再对于学校层次给予考虑。
八、模型的评价与推广
8.1模型的评价
8.1.1优点：
（1） 利用Excel软件对数据进行处理并作出各种平面图，简便，直观，快捷； （2） 本文建立的模型与实际紧密联系，不仅给出了未来学费的预测，同时通
过人均GDP,生均教育成本，居民家庭收入的约束给出了学费与人民满意度的关系，并给出理想的学费标准，从而使模型更贴近实际，通用性强； （3） 通过各专业之间的学费比例关系，通过求出的理想学费标准，巧妙合理
的给除了各专业的理想学费标准。
8.1.2缺点：
（1） 搜集到的数据较少，拟合的曲线不能精确地说明问题。
（2） 在学费预测模型中，本文仅给出了未来学费预测的一个公式，并未对其
波动的区间进行分析。
（3） 在合理度最优解模型中，本文仅找到1995到2001年的相关数据，给出
的居民学费也仅仅只是2001年那一阶段的理想学费。
8.2模型的推广
学费预测模型给出了未来学费的变化趋势，给考生提供了参考，有助于考生根据自己的经济情况，偏好状况进行专业选择。
合理度最优解模型给出了家庭满意度与学费的相关关系，从不同的专业，不同年份分别进行考虑，具有现实意义，对国家在高等教育收费方面具有指导意义。
九、参考文献
[1] 高正，《高等教育学费标准的实证研究 ——以江苏省为例》，出版地：南京
师范大学，2012 [2] 杨龙，《高等教育学费制定的数学仿真》，出版地：东莞理工学院，2010 [3] 黄璜，《高等学校生均教育成本计量研究》，出版地：湖南大学，2011 [4] 薛长虹、于凯，《MATLAB数学实验室》，出版地：成都，出版社：西南交通大学出版
社，2013 [5] 张潇凌，《我国高等教育学费收取标准》，出版地：中央财经大学，2012
十、附录
附录1：
农村城市人均收入及教育投入
年份
生均学费 农村平均 城镇平均 农投入 城投入 均分 1995 1001 1577.7 4283 425.979 1627.54 1146.916 1996 1315 1926.1 4838.9 520.047 1838.782 1311.288 1997 1589 2090.1 5160.3 564.327 1960.914 1402.279 1998 1974 1999 2769 2000 3550 2001 3895 2162 5425.1 583.74 2210.3 5854 596.781 2253.4 6280 608.418 2366.4 6859.6 638.928
全国高等教育生均成本
年份 生均成本 1990 3583 1991 3721 1992 4839 1993 5029 1994 6022 1995 6541 1996 7372 1997 8350 1998 11020 1999 11854 2000 12815 2001 12390
2061.538 2224.52 2386.4 2606.648 1470.419 1573.424 1675.207 1819.56
各专业每年招生人数以及学费
2005年部分高等院校收费标准
学校 所在地区 一般专业学费标准 学费均值 重点高校
清华大学 北京大学 复旦大学 上海理工大学 天津大学 南开大学 东南大学 中国科技大学 武汉大学 吉林大学 北京师范大学 太原理工大学 辽宁大学 大连理工大学 上海财经大学 四川农业大学 南昌大学 普通高校
首都医科大学 北京外交学校 南京工业大学 南京邮电大学 南京信息工程学院东北财经大学 深圳大学 北京 5000 北京 4800-5300 上海 5000-6500 上海 5000 天津 4300-5000 天津 4300-5000 江苏 4600 安徽 4800 湖北 4500-5500 吉林 4100-5100 北京 4800-5300 山西 5000 辽宁 3800-5200 辽宁 4600-5300 上海 5000-5600 四川 4440-4920 江西 4440-6200 北京 4500-5100 北京 5000 南京 4500-5400 南京 4200-5500 南京 5000 东北 4800 广东 5500 5000
5100 5750 5000 4600 4600 4600 4800 5000 4600 5100 5000 4500 5000 5300 4680 5320 5500
5000 4950 4850 5000 4800 5500
附录2： 5.1 M-函数
function xuefeix= qiuxuefei(,t) %UNTITLED ´Ë´¦ÏÔʾÓйش˺¯ÊýµÄÕªÒª % ´Ë´¦ÏÔʾÏêϸ˵Ã÷
xuefeix=pxx(1)./(1+((pxx(1)./1001)-1).*exp(-pxx(2).*t));
end
拟合
xi3=0:0.01:20; biao=1:11; px=[3000,0.3]
biaozhun=lsqcurvefit('qiuxuefei',px,biao,xuefei) biaozhun= 1.0e+0.3*
5.5426 0.0004
pxx= pxx(1)./(1+((pxx(1)./1001)-1).*exp(-pxx(2).*xi3)); plot(biao,xuefei,’*’); hold on;
plot(xi3,pxx,’-r’) 5.3
拟合
p=polyfit(xuefei,shouru,2); xi2=1000:10:4000; z1=polyval(p,xi2); plot(xuefei,shouru,’*’); hold on;
plot(xi2,z1,’-r’); 层次分析法:
M-函数：
function [ w ] = cengcifenxi( A ) %层次分析法计算权重
disp('请输入判断矩阵A(n阶)'); A=input('A='); [n,n]=size(A); x=ones(n,100); y=ones(n,100); m=zeros(1,100); m(1)=max(x(:,1)); y(:,1)=x(:,1);
x(:,2)=A*y(:,1);
m(2)=max(x(:,2));
y(:,2)=x(:,2)/m(2);
p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
while k>p
i=i+1;
x(:,i)=A*y(:,i-1);
m(i)=max(x(:,i));
y(:,i)=x(:,i)/m(i);
k=abs(m(i)-m(i-1));
end
a=sum(y(:,i));
w=y(:,i)/a;
t=m(i);
disp('权向量');disp(w);
disp('最大特征值');disp(t);
%以下是一致性检验
CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.CR=CI/RI(n);
if CR
disp('此矩阵的一致性可以接受!');
disp('CI=');disp(CI);
disp('CR=');disp(CR);
else
disp('此矩阵的一致性不可以接受!');
end
lingo求解部分:
max=G1（x）+G2(x)+G3(x)
@gin(x);