第8章空间计量交互模型处理及现实研究拓展

空间计量经济学导论（詹姆斯.勒沙杰）课件

范巧 [email protected] 重庆科技学院经济系

小范经济工作室在经济学的边缘上

拟讲授的主要内容

 流量矩阵及传统引力模型设定  空间自回归交互模型设定及参数性质

 空间自回归交互模型参数的极大似然估计  基于MCMC方法的空间自回归交互模型异方差处理

 空间自回归交互模型参数和效应估计案例分析  现实研究中空间计量交互模型的特殊问题处理

1.1 来源地-目的地流量矩阵

 区域之间来源地和目的地的流量关系及流量矩阵：

来源地1 目的地1 目的地2 …

o1  d1

o1  d 2

来源地2

o2  d1 o2  d 2

… … … …

来源地n

on  d1 on  d2

Ynn

…

o1  d n

…

o2  d n

…

on  dn

目的地n

…

1  与流量矩阵相关的两个重要矩阵： n Yn ，按列加总的流量均值，即 n1Y Tn ，按行加总的流量从所有来源地流向某一目的地的流量均值；

均值，即从某一来源地流向所有目的地的流量均值；

1.2 基于来源地或目的地的流量矩阵排序

 基于来源地或目的地对流量矩阵进行排序，可得到 N 1 阶的向量，其中， N =n2 ；

基于来源地的流量矩阵排序

(o) 序号 l

基于目的地的流量矩阵排序取值

(d ) 序号 l

来源地序号 1 1 1 …

n n n

目的地序号 1 … n …

1 … n

来源地序号 1 … n …

1 … n

目的地序号 1 1 1 …

n n n

取值

1 … n …

N-n+1 … N

o1  d1 o1  di

o1  d n

…

1 … n …

N-n+1 … N

o1  d1 oi  d1

on  d1

…

on  d1 on  di on  dn

o1  d n oi  d n on  dn

1.3

vec算子及流量矩阵两种排序向量的关系

以来源地为中心的排序： y ( o )  Y11 ,, Y1i ,, Y1n ,, Yn1 ,, Yni ,, Ynn  T 以目的地为中心的排序： y ( d )  Y11 ,, Yi1 ,, Yn1 ,, Y1n ,, Y2n ,, Ynn 

 流量矩阵的两种排序向量：

 vec 算子的作用→将流量矩阵通过连续堆积处理变成以来源地为中心

的列向量；

y ( o )  vec(Y ); y ( d )  vec(Y T )

 通过置换矩阵P，可以找到两种排序列向量的内在关系；

设Py (o )  y ( d ) , 则可得y ( o)  P-1 y ( d ) =PT y ( d )

1.4 传统引力模型的基本设定

(0)  传统引力模型： y  N  X o o  X d d   g  

(1) y (0)为以来源地为中心的被解释变量堆积向量； (2) N 为N 1阶元素均为1的向量， 为常数项的参数； (3) X o、X d 分别为以来源地、目的地为中心的解释变量堆积向量； X o  X  n , X d  n  X ,  o、 d 分别为解释变量X o、X d的参数； X 为n  k阶矩阵，代表n个地区的k 种属性； (4) G为n  n阶来源地与目的地之间的距离矩阵； g  vec(G )为G以来源地为中心

的堆积向量； 为距离变量参数； (5)  N 1 ~ N (0,  2 I N )，Cov( i ,  j )  0, i  j；

 传统引力模型中设定原则：考虑到了地区规模相似性的影响；未考虑

邻近地区规模的空间影响特性；

2.1 空间自回归交互模型的动因及设定

 由于标准引力模型未考虑近邻地区对来源地和目的地流量的影LesaGe

& Pace (2008) 拓展了标准引力模型，设定了空间自回归交互模型。

( I N  dWd )( I N  oWo ) y  N  X o o  X d d   g  

其中，Wd 代表基于目的地的空间依赖；Wd  vec(W T )  I n  W Wo 代表基于来源地的空间依赖，Wo  vec(W )  W  I n；

W 0n  0n   w11I n 0 W  0  w I n n  ;W   21 n Wd   o          0 0  W n  n   wn1 I n

w12 I n w22 I n  wn 2 I n

 w1n I n   w2 n I n  ;      wnn I n 

2.2 空间自回归交互模型中X、W矩阵排序的转化

 空间自回归交互模型中，解释变量X、权重矩阵W均可以按照来源地或

目的地为中心进行排序，且可以通过向量置换矩阵P实现转化。

 解释变量X矩阵的排序转化：

(d ) 设X d 是以目的地为中心的解释变量排序矩阵，X d 是以来源地为 (d ) 中心的目的地协变量，则:PT X d P  PT (n  X ) P  X  n  X d

 权重矩阵W的排序转化：

设Wd( d )是以目的地为中心的目的地权重矩阵，Wd 是基于目的地的空间权重矩阵，则: PTWd P  PT (n  W ) P  W n  Wd( d )

2.3 空间自回归交互模型中权重矩阵的性质

 性质1.空间自回归交互模型的空间权重设定，将模型的空间依赖划分

为了基于目的地的空间依赖、基于来源地的空间依赖，以及来源地到目的地的依赖。 ( I N  dWd )( I N  oWo )  I N  dWd  oWo  d oWdWo  I N   dWd  oWo   d o ( I N  W )(W  I N )  I N   d Wd  o Wo   d o W W   

基于目的地的依赖基于来源地的依赖来源地到目的地的依赖

 性质2. 空间自回归交互模型中基于目的地和来源地空间依赖的权重

设定等式可以互换。 ( I N  oWo )( I N  dWd ) I N  oWo  dWd  o d (W  I N )( I N  W )  I N  oWo  dWd  o dW  W  ( I N  dWd )( I N  oWo )

2.4 空间自回归交互模型的一般设定与参数性质

 空间自回归交互模型的一般设定：

y  dWd y  oWo y  wWw y  N  X d d  X o o   g  

其中，Wd、Wo分别表示基于目的地和来源地的空间依赖； Ww表示来源地到目的地的空

间依赖，d、o、w为相应参数；

 空间自回归交互模型参数的性质：  d =o =w时，为传统非空间标准引力模型；  d、o  0，w =0时，来源地近邻对目的地近邻的影响不存在；

 w =-d o时，包含三种空间依赖关系的连续滤波模型；  d、o、w无约束条件，则可产生其他空间自回归交互模型；

3.1 克罗内克积的运算法则（*）

 克内罗克积的相关运算法则：

1. A  ( B  C )  A  B  A  C 2. A  ( B  C)  ( A  B)  C

3. A  B  PT ( B  A) P 4.( A  B)1  A1  B1 5.( A  B)T  AT  BT 6.(CT  A)vec( B)  vec( ABC )

7.(kA)  B  A  (kB)  k ( A  B) 8.tr ( A  B)  tr ( A)  tr ( B) 9.( A  B)(C  D)  AC  BD

10. Ann  Bmm  A  I mm  B  I nn

3.2 基于

vec 算子的空间自回归交互模型转化

 空间自回归交互模型： y  dWd y  oWo y  wWw y  N  X d d  X o o   g  

 空间自回归交互模型转化中的相关设定： T Z  N X d X o g    d o   ;   vec( E ) y  vec(Y ) T Wd y  ( I n W )vec(Y )  vec(WYI n )  vec(WY )

Wo y  (W  I n )vec(Y )  vec( I nYW T )  vec(YW T ) Ww y  (W W )vec(Y )  vec(WYW T )

 空间自回归交互模型的 vec 算子转化结果：

vec(Y )  d vec(WY )  o vec(YW T )  wvec(WYW T )  Z  vec( E)

3.3 空间自回归交互模型的参数估计表达式

 基于空间自回归交互模型的转化式，可得其参数和随机误差项方差估

计表达式如下：

ˆ  (Z T Z )1 Z T vec(Y )   vec(WY )   vec(YW T )   vec(WYW T )   d o w  

ˆ 2  N 1 T  d , o , w    d , o , w  

其中，Z T Z   N

g N

g

 N 0k  T T 0 nX X k   T  0k 0T k 0k T T T n Gn n G X 

0k 0T k 0k XT X

T n GX

T n Gn   X T Gn  X T G T n 

 tr (G 2 )  

蓝色为书上计算错误部分。

0k 为1 k阶元素全为0的向量；

3.4 空间自回归交互模型参数估计的似然函数简化式

 基于空间自回归交互模型的一般设定，可得似然函数简化式如下：

ln L    ln I N  dWd  oWo  wWw  N 2ln  S ( d , o , w )

其中，S (  d , o ,  w )= T (  d , o ,  w )Q (  d , o ,  w )  (  d , o ,  w )  1   d Q=tr [ E (i ) ]T E ( j )  , i、j  1, 2, 3, 4 叉乘矩阵 

E

(i )

 o

 w 

F (i ) (Y )  Y WY

T ˆ (i ) T     ˆ (i )  X T  ˆ (i )G ˆ ( i )nn  F (Y )    X d n n  o  (i )

（表达式证明如后）

YW T

WYW T  , i  1, 2,3, 4；

整体剩余矩阵:E  E (1)   d E (2)  o E (3)   w E (4)

3.5 随机误差项简化式 E (i ) 的表达式证明（*）

T  E (i ) 的证明过程相对较为复杂，需要用到 vec( k1 )  vec( k 1 )   k 1

证明过程如下：

T T    vec Y   d vec WY   o vec  YW   vec WYW w    

Z ( (1)  d  (2)  o (3)   w (4) )  vec( E (1)   d E (2)  o E (3)   w E (4) )

(i ) (i ) (i ) (i ) ˆ (i )  X  ˆ (i )  ˆ (i ) g  vec( E (i ) ) ˆ  vec  F ( Y )  Z   ve c ( E )     X  N d d o o   T ˆ (i )   ( X   )vec   ˆ (i )  ˆ (i )nn  vec( )  (n  X )vec   d n    o  (i ) (i )  vec  ˆ G    vec( E )





T ˆ (i ) T   vec    ˆ (i )  X T  vec ˆ (i )G   vec( E (i ) ) ˆ (i )nn  vec( )  vec  X  d n  n  o    





则，E

(i )

T T ˆ (i ) T     ˆ (i )  ˆ (i )nn ˆ (i )  F (Y )    X d n n  o  X  G (i )

3.6 空间自回归交互模型的参数估计结果

ˆd ,  ˆo ,  ˆw 。  基于PPT3.4中的似然函数简化式，可以估计出  ˆd ,  ˆo ,  ˆ w ，可以得到空间自回归模型的参数估计值和随机误差  利用 

项方差估计值以及方差-协方差矩阵估计值；

ˆ (i )  ( Z T Z )1 Z T vec  F (i ) (Y )  令   其中，F (i ) (Y )  Y WY YW T WYW T  , i  1, 2,3, 4；则:

ˆ  ˆ (1)   ˆ (2)   ˆ(3)   ˆ(4) ˆd ˆo ˆ w  参数估计值为： ˆd ,  ˆo ,  ˆw ) ˆ 2  N 1S (   随机误差项方差估计值为：  方差-协方差矩阵估计值为：

1 2 T ˆ ˆ dWd   ˆ oWo   ˆ wWw ] [ I N   ˆ dWd   ˆ oWo   ˆ wWw ] ˆ [ I N    

4.1 空间自回归交互模型的异方差设定

 空间自回归交互模型的异方差性：

y  dWd y  oWo y  wWw y  N  X d d  X o o   g  

 ), V  为N  N 阶矩阵其中，  N (0， 2V 的主对角线元素由N  1阶矩阵V 的所有元素构成， V   V ，i  1, 2, , N 其余元素为零，即V ii i 矩阵V 是矩阵R的堆积序列，V  vec( R);

R为n  n阶矩阵；  11  12   22 21  R       n1  n 2   1n    2n         nn 

4.2 异方差空间自回归交互模型的参数先验概率设定

2   、  、  、 B 、  、V  异方差空间交互模型的待估参数： d o w  基于目的地、来源地、两地交互的空间依赖参数：d、o、w；  解释变量系数：B   d o  ； ；  随机误差项的同方差设定和异方差特征： 2、V

 待估参数的先验概率设定：  空间依赖参数服从均匀分布且取值有约束条件：

  

解释变量参数服从多元正态分布： ( B) ~ N (C, T ) 随机误差项同方差服从逆伽马分布： ( 2 | B) ~ IG(a, b)  服从独立同分布的卡方分布： (  ) ~ iid  2 ( ) V

 ( i ) ~ U (1,1), 且  1   i  1, 其中，i  d , o, w

4.3 解释变量参数B的贝叶斯后验概率

 异方差空间交互模型的解释变量参数的贝叶斯后验概率：  )  N ( B,  2 D) p( B |  ,  ,  ,  2 , V

d o w

 1Z ) 1 ; B  B (1)   B (2)   B (3)   B (4) ; 其中，D  ( Z TV d o w  1Z ) 1 Z TV  1vec  F (i ) (Y )  , i  1, 2,3, 4 B (i )  ( Z TV   F (i ) (Y )  Y WY YW T WYW T  ;

)  B 的表达式证明（*）： ~ N (0,  2V  1 2 vec(Y )   vec(WY )   vec(YW T )   vec(WYW T )  V  1 2 ZB  V  1 2 V d o w

 1 2 Z ]T V  1 2 F (.)  [V  1 2 Z ]T V  1 2 ZB 则： [V ˆ  [V  1 2 Z ]T V  1 2 Z B





1

1 1 2 T  1 2 T  1 T  1   [V Z ] V F (.)=  Z V Z Z V F (.)  

4.4 随机误差项同方差设定

2

的贝叶斯后验概率

 异方差空间交互模型的随机误差项同方差设定形式的贝叶斯后验概率：

T  N  ˆ ,V  )  IG[a  , b  Q ] p( | d , o ,  w , B 2 2 2

T (i )     E ( j ) ] ; i, j  1, 2,3, 4  其中， Qij  tr  R  E [ R   1 2 1 2  11  12  1 2 1 2   T 21 22    w  ; R     1 2 1 2  n1  n 2  T n n T





  1   d

 o

  1n1 2  1 2   2 n     1 2    nn  

E

(i )

B (i )

T ˆ (i ) T     ˆ (i )  ˆ    X ˆ (i )G  F (Y )   d n n  o  X  1 (i ) (i ) (i ) (i ) T  1 ˆ ˆ  1vec  F ( i ) (Y )  ˆ ˆ      d o 

  Z V Z  Z TV   (i ) (i )





4.5 异方差空间自回归交互模型其他参数的后验概率

 的贝叶斯  异方差空间交互模型中表征随机误差项异方差性质参数 V

后验概率：

2 Eij 

vij

| d , o ,  w , B,  2 )   2 (  1)

其中，E  E (1)  d E (2)  o E (3)  w E (4)

 异方差空间交互模型空间依赖参数的贝叶斯后验概率：

)  I   W   W   W p (  i |   i , B,  2 , V N d d o o w w  1  (  ,  ,  )  ; i  d , o, w exp  2  T (  d , o ,  w )Q d o w   2 

4.6 异方差空间自回归交互模型参数的MCMC估计

 异方差空间自回归交互模型参数估计中抽样方法：

 M  H 抽样： 、 、 Gibbs抽样：B、 2、V d o w

 异方差空间自回归交互模型参数估计MCMC方法的重点：在采用M-H抽样方法抽样 d、o、w 时，应代入其他两个空间依赖参数的现值。

 )  I   W   ( c )W p (  i |   i , B,  2 , V N i i i i  1 (c)  (c)  exp  2  T ( i ,  ) Q  (  ,  i i i )   2 

其中，i  d , o, w; i表示其他两个空间依赖参数；

 

* i

) p( i* |  i , B,  2 , V  c  N (0,1), 接受概率为 1 (c) 2  p (  i |   i , B,  , V )

5.1 人口流动模型：分析目的和模型设定

 分析目的：阐释1995-2000年美国最大的50个都会区人口流动的动因；

( I N  dWd )( I N  oWo ) y  N  ci  X d d  X o o  X i i   g    模型设定：

(1) y为解释变量，代表1995-2000年人口迁移流量的对数值； (2) X 为n  k阶解释变量，每个地区包含3个特征：人口数量对数值，县级收入的人口加权平均水平对数值，以及1990年仍居住在5年前房屋内的居民比例对数值； (3) X d、X o 基于流量矩阵X 主对角线设定为0时的堆积序列：vec( X )； X i 是流量矩阵仅抽取主对角线元素、其他元素设定为0时的堆积序列； (4)  d、o、-o  d 表示基于目的地、来源地和来源地-目的地的依赖参数； (5)  d、 o、i 表示目的地、来源地、区域内部相关解释变量的影响； (6) c  vec( I n );

T N  vec(nn );

g  vec(G );

y  vec(Y );

5.2 人口流动模型的参数及效应估计结果

 参数估计结果表达式：

设Z  N c Xd Xo Xi g  ;   i

d

o

i   , 则：

ˆ  ( Z T Z )1

Z T ( I   ˆ dWd )( I N   ˆ oWo ) y  N

T T ˆ d vec WY    ˆ o vec  ˆ ˆ     ( Z T Z )1 Z T vec Y  - YW    vec WYW d o    





 参数效应估计结果：

设Z X   X d Xo Xi g ;  X   d

o

i   , 则：

( I N   dWd )( I N  oWo ) y  N   cai  Z X  X  

T 参数效应为： M total  N 1N S r (W )N ; M direct  N 1tr Sr (W ) ;

M indirect  M total  M direct； ˆ dWd )( I N   ˆ oWo ) I N  X 其中，Sr (W )   ( I N  

1

T T Z Z 、 Z y 5.3 人口流动模型的参数估计中的

 参数估计结果表达式：

设Z  N c Xd Xo Xi g  ;   i

d

o

i   , 则：

 N   n  0T T k Z Z  T  0k  0T  T kT n G n 

n n 0T k 0T k 0T k 0

0k 0k nX T X 0T k 0k XTX T T n G X

0k 0k 0T k 0k nX T X XTX T n GX

0k 0k XTX XT X XTX 0k

 0  X T G T n   X T G T n   0T k  2 tr (G )  

T T

T n Gn 

蓝色为书上计算错误部分。

T g T X d   vec(G ) (n  X )   (   X ) vec(G )  n  

T T T T T     (   X ) vec ( G )  vec ( X G  )   G X n n n    

T ZT y    n  Yn

tr (Y )

X T Yn

X T Y Tn

X T diag (Y ) tr (GY )  

5.4 人口流动模型的参数估计结果及模型比较

A. 参数估计结果

B. 模型比较结果。

似然比为对数似然值差的两倍。

5.5 人口流动模型的参数效应估计结果

结论： 间接效应大于直接效应，约占总效应的2/3;  目的地人口数量和人均收入的效应大于来源地，说明大都会区收入和人口规模对人口流动有正向吸引；目的地房屋不变比例的效应大于来源地且为负，表明大都会区人口居住稳定对人口流动有负向影响； 区域内部人口、人均收入和房屋不变比例的效应都大于目的地和来源地；  空间距离对对于人口流动产生副的影响，总效应约为-0.4730.

6.1 空间权重矩阵的先验信息修正

 空间权重矩阵一般依赖空间中的近邻加以设定，但现实研究中譬如铁

路、公路、航线等基础设施会影响空间权重矩阵的有效性。

 空间权重矩阵的先验信息修正：基于高速公路、铁路可达性等。

目的地及近邻地区



Z  x

 s, u, v, x  基于目的地Wd y：  传统设定 基于来源地Wo y：  c, e, f , h    c, e, f , h, s, u, v, x  来源地-目的地Ww y：  s, x  基于目的地Wd y：  先验信息修正 基于来源地Wo y：  c, h    c, h

, s, x  来源地-目的地Ww y：

高速公路沿线

来源地及近邻地区

A h

6.2 被解释变量矩阵中零流量问题的处理

 在分析贸易等流量问题时，可能遇到两个地区不存在流量的零流量问

题，这需要对被解释变量y进行特殊处理；

 被解释变量矩阵零流量问题的传统处理： ln( y  1) 。但这种处理方法

将导致不为零流量的地区流量中被无故加上1个单位，影响估计结果。

 零流量问题的特殊处理：将两地之间的贸易流量转换成两地的贸易潜在值和冰山运输成本对贸易影响值的和。 ( Ranjan & Tobias, 2007)

 模型转换： ln y  ln( y*  N )  Z  

其中，y*代表贸易潜在值； 为冰山运输成本对贸易的影响参数；

* *  数据处理：当yi +  0时,则yi  0转化为yi =yi  N

6.3 贸易壁垒效应[价格差异效应]问题的处理

 在分析贸易壁垒时，一般需借助价格差异（到岸价-离岸价）进行分

析。但价格信息往往较为缺乏，需要另辟蹊径。

 贸易壁垒效应问题的传统处理：  Ranjan & Tobias, 2007 

y  N  X d d  X o o  dd  oo  

1，当地区i为目的地时其中，  d 为N  n矩阵， d ,ij =  0，其他 1，当地区i为来源地时  o为N  n矩阵， o ,ij =  0，其他

 传统处理方法的贡献：以目的地、来源地的固定效应考察了贸易壁垒

效应（价格差异效应）。但该固定效应模型并未考虑空间异质性。

6.3 贸易壁垒效应[价格差异效应]问题的处理（续）

 考虑贸易壁垒空间异质性，LeSage & Llano(2007) 拓展了固定效应模型： y  N  X d d  X o o  dd  oo   ,  d  dWd  d ,o  oW o  o

2 2 其中，d ~ N (0， d I n );o ~ N (0， o I n );d  I n n ;o  n  I n ;

 拓展模型中贸易壁垒效应参数  d、o 的先验概率：

2 2  ( d | d ,  d )   d  n2 2 T T  Bd exp   1 2     d d Bd Bd d ;Bd  I n   dW  2 T T  ;Bo  I n  oW Bo exp   1 2   Bo Boo    o o 

 (o | o ,  )  

2 o

2 n2 o



 空间计量交互模型的改进： 当 d  o  0 时，转化为固定效应模型；

 将空间权重作为外生变量纳入，增加了样本信息。

6.4 解释变量的稀有流量问题处理

 在研究专利引用问题时，如果将其他地区对本地区专利的引用作为创

新和知识的流量矩阵时，会遇到稀有流

量问题（仅少量元素不为0）。

 稀有流量问题传统处理

  Schnatter &Wagner , 2006  ：以 yij  1  Fruhwirth

形式将稀有流量中的非零元素和零元素进行单独抽样，形成两个战略性序列；并基于被解释变量的泊松分布和所有参数的Gibbs抽样进行 MCMC估计。

 传统处理方法的贡献和缺陷： 战略性序列设定将加大观测值样本容

量以准确抽样； 其贡献在于基于泊松分布的设定将可以直接采用 Gibbs抽样。（参见第10章对效用值y*的抽样过程）。 e   k 泊松分布概率函数：p( X  k )  , 期望和方差均为

6.4 解释变量的稀有流量问题处理（续）

( LeSage、Fischer & Scherngell , 2007)  稀有流量问题的传统模型的改进：

y  N  X d d  X o o  dd  oo   ;d  dWd  d ,o  oWo  o

 改进模型中的相关先验概率设定：  ( yi ) ~ Possion(i ),i  exp(Zi  d ,id  o,io )

其中，Z  N Xd X o  ;   

d

o  ; i表示对应矩阵的第i行；

 改进模型中的相关后验概率分布：设V 为参数，为战略性序列

p(V |  , y ) 

  p( y | V )   i

i 1

p( y | V ,  ) p(V )  p( y | V ) p(V | ) p( y |  )

yi !

exp  i  , 其中，i  exp( Zi   d ,i d  o ,io )

空间计量经济学导论（詹姆斯.勒沙杰）课件

范巧 [email protected] 重庆科技学院经济系

小范经济工作室在经济学的边缘上

拟讲授的主要内容

 流量矩阵及传统引力模型设定  空间自回归交互模型设定及参数性质

 空间自回归交互模型参数的极大似然估计  基于MCMC方法的空间自回归交互模型异方差处理

 空间自回归交互模型参数和效应估计案例分析  现实研究中空间计量交互模型的特殊问题处理

1.1 来源地-目的地流量矩阵

 区域之间来源地和目的地的流量关系及流量矩阵：

来源地1 目的地1 目的地2 …

o1  d1

o1  d 2

来源地2

o2  d1 o2  d 2

… … … …

来源地n

on  d1 on  d2

Ynn

…

o1  d n

…

o2  d n

…

on  dn

目的地n

…

1  与流量矩阵相关的两个重要矩阵： n Yn ，按列加总的流量均值，即 n1Y Tn ，按行加总的流量从所有来源地流向某一目的地的流量均值；

均值，即从某一来源地流向所有目的地的流量均值；

1.2 基于来源地或目的地的流量矩阵排序

 基于来源地或目的地对流量矩阵进行排序，可得到 N 1 阶的向量，其中， N =n2 ；

基于来源地的流量矩阵排序

(o) 序号 l

基于目的地的流量矩阵排序取值

(d ) 序号 l

来源地序号 1 1 1 …

n n n

目的地序号 1 … n …

1 … n

来源地序号 1 … n …

1 … n

目的地序号 1 1 1 …

n n n

取值

1 … n …

N-n+1 … N

o1  d1 o1  di

o1  d n

…

1 … n …

N-n+1 … N

o1  d1 oi  d1

on  d1

…

on  d1 on  di on  dn

o1  d n oi  d n on  dn

1.3

vec算子及流量矩阵两种排序向量的关系

 流量矩阵的两种排序向量：

 vec 算子的作用→将流量矩阵通过连续堆积处理变成以来源地为中心

的列向量；

y ( o )  vec(Y ); y ( d )  vec(Y T )

 通过置换矩阵P，可以找到两种排序列向量的内在关系；

设Py (o )  y ( d ) , 则可得y ( o)  P-1 y ( d ) =PT y ( d )

1.4 传统引力模型的基本设定

(0)  传统引力模型： y  N  X o o  X d d   g  

的堆积向量； 为距离变量参数； (5)  N 1 ~ N (0,  2 I N )，Cov( i ,  j )  0, i  j；

 传统引力模型中设定原则：考虑到了地区规模相似性的影响；未考虑

邻近地区规模的空间影响特性；

2.1 空间自回归交互模型的动因及设定

 由于标准引力模型未考虑近邻地区对来源地和目的地流量的影LesaGe

& Pace (2008) 拓展了标准引力模型，设定了空间自回归交互模型。

( I N  dWd )( I N  oWo ) y  N  X o o  X d d   g  

其中，Wd 代表基于目的地的空间依赖；Wd  vec(W T )  I n  W Wo 代表基于来源地的空间依赖，Wo  vec(W )  W  I n；

W 0n  0n   w11I n 0 W  0  w I n n  ;W   21 n Wd   o          0 0  W n  n   wn1 I n

w12 I n w22 I n  wn 2 I n

 w1n I n   w2 n I n  ;      wnn I n 

2.2 空间自回归交互模型中X、W矩阵排序的转化

 空间自回归交互模型中，解释变量X、权重矩阵W均可以按照来源地或

目的地为中心进行排序，且可以通过向量置换矩阵P实现转化。

 解释变量X矩阵的排序转化：

(d ) 设X d 是以目的地为中心的解释变量排序矩阵，X d 是以来源地为 (d ) 中心的目的地协变量，则:PT X d P  PT (n  X ) P  X  n  X d

 权重矩阵W的排序转化：

设Wd( d )是以目的地为中心的目的地权重矩阵，Wd 是基于目的地的空间权重矩阵，则: PTWd P  PT (n  W ) P  W n  Wd( d )

2.3 空间自回归交互模型中权重矩阵的性质

 性质1.空间自回归交互模型的空间权重设定，将模型的空间依赖划分

基于目的地的依赖基于来源地的依赖来源地到目的地的依赖

 性质2. 空间自回归交互模型中基于目的地和来源地空间依赖的权重

2.4 空间自回归交互模型的一般设定与参数性质

 空间自回归交互模型的一般设定：

y  dWd y  oWo y  wWw y  N  X d d  X o o   g  

其中，Wd、Wo分别表示基于目的地和来源地的空间依赖； Ww表示来源地到目的地的空

间依赖，d、o、w为相应参数；

 w =-d o时，包含三种空间依赖关系的连续滤波模型；  d、o、w无约束条件，则可产生其他空间自回归交互模型；

3.1 克罗内克积的运算法则（*）

 克内罗克积的相关运算法则：

1. A  ( B  C )  A  B  A  C 2. A  ( B  C)  ( A  B)  C

3. A  B  PT ( B  A) P 4.( A  B)1  A1  B1 5.( A  B)T  AT  BT 6.(CT  A)vec( B)  vec( ABC )

7.(kA)  B  A  (kB)  k ( A  B) 8.tr ( A  B)  tr ( A)  tr ( B) 9.( A  B)(C  D)  AC  BD

10. Ann  Bmm  A  I mm  B  I nn

3.2 基于

vec 算子的空间自回归交互模型转化

 空间自回归交互模型： y  dWd y  oWo y  wWw y  N  X d d  X o o   g  

Wo y  (W  I n )vec(Y )  vec( I nYW T )  vec(YW T ) Ww y  (W W )vec(Y )  vec(WYW T )

 空间自回归交互模型的 vec 算子转化结果：

vec(Y )  d vec(WY )  o vec(YW T )  wvec(WYW T )  Z  vec( E)

3.3 空间自回归交互模型的参数估计表达式

 基于空间自回归交互模型的转化式，可得其参数和随机误差项方差估

计表达式如下：

ˆ  (Z T Z )1 Z T vec(Y )   vec(WY )   vec(YW T )   vec(WYW T )   d o w  

ˆ 2  N 1 T  d , o , w    d , o , w  

其中，Z T Z   N

g N

g

 N 0k  T T 0 nX X k   T  0k 0T k 0k T T T n Gn n G X 

0k 0T k 0k XT X

T n GX

T n Gn   X T Gn  X T G T n 

 tr (G 2 )  

蓝色为书上计算错误部分。

0k 为1 k阶元素全为0的向量；

3.4 空间自回归交互模型参数估计的似然函数简化式

 基于空间自回归交互模型的一般设定，可得似然函数简化式如下：

ln L    ln I N  dWd  oWo  wWw  N 2ln  S ( d , o , w )

E

(i )

 o

 w 

F (i ) (Y )  Y WY

T ˆ (i ) T     ˆ (i )  X T  ˆ (i )G ˆ ( i )nn  F (Y )    X d n n  o  (i )

（表达式证明如后）

YW T

WYW T  , i  1, 2,3, 4；

整体剩余矩阵:E  E (1)   d E (2)  o E (3)   w E (4)

3.5 随机误差项简化式 E (i ) 的表达式证明（*）

T  E (i ) 的证明过程相对较为复杂，需要用到 vec( k1 )  vec( k 1 )   k 1

证明过程如下：

T T    vec Y   d vec WY   o vec  YW   vec WYW w    

Z ( (1)  d  (2)  o (3)   w (4) )  vec( E (1)   d E (2)  o E (3)   w E (4) )









则，E

(i )

T T ˆ (i ) T     ˆ (i )  ˆ (i )nn ˆ (i )  F (Y )    X d n n  o  X  G (i )

3.6 空间自回归交互模型的参数估计结果

项方差估计值以及方差-协方差矩阵估计值；

ˆ (i )  ( Z T Z )1 Z T vec  F (i ) (Y )  令   其中，F (i ) (Y )  Y WY YW T WYW T  , i  1, 2,3, 4；则:

1 2 T ˆ ˆ dWd   ˆ oWo   ˆ wWw ] [ I N   ˆ dWd   ˆ oWo   ˆ wWw ] ˆ [ I N    

4.1 空间自回归交互模型的异方差设定

 空间自回归交互模型的异方差性：

y  dWd y  oWo y  wWw y  N  X d d  X o o   g  

4.2 异方差空间自回归交互模型的参数先验概率设定

 待估参数的先验概率设定：  空间依赖参数服从均匀分布且取值有约束条件：

  

 ( i ) ~ U (1,1), 且  1   i  1, 其中，i  d , o, w

4.3 解释变量参数B的贝叶斯后验概率

 异方差空间交互模型的解释变量参数的贝叶斯后验概率：  )  N ( B,  2 D) p( B |  ,  ,  ,  2 , V

d o w

)  B 的表达式证明（*）： ~ N (0,  2V  1 2 vec(Y )   vec(WY )   vec(YW T )   vec(WYW T )  V  1 2 ZB  V  1 2 V d o w

 1 2 Z ]T V  1 2 F (.)  [V  1 2 Z ]T V  1 2 ZB 则： [V ˆ  [V  1 2 Z ]T V  1 2 Z B





1

1 1 2 T  1 2 T  1 T  1   [V Z ] V F (.)=  Z V Z Z V F (.)  

4.4 随机误差项同方差设定

2

的贝叶斯后验概率

 异方差空间交互模型的随机误差项同方差设定形式的贝叶斯后验概率：

T  N  ˆ ,V  )  IG[a  , b  Q ] p( | d , o ,  w , B 2 2 2





  1   d

 o

  1n1 2  1 2   2 n     1 2    nn  

E

(i )

B (i )

  Z V Z  Z TV   (i ) (i )





4.5 异方差空间自回归交互模型其他参数的后验概率

 的贝叶斯  异方差空间交互模型中表征随机误差项异方差性质参数 V

后验概率：

2 Eij 

vij

| d , o ,  w , B,  2 )   2 (  1)

其中，E  E (1)  d E (2)  o E (3)  w E (4)

 异方差空间交互模型空间依赖参数的贝叶斯后验概率：

4.6 异方差空间自回归交互模型参数的MCMC估计

 异方差空间自回归交互模型参数估计中抽样方法：

 M  H 抽样： 、 、 Gibbs抽样：B、 2、V d o w

 异方差空间自回归交互模型参数估计MCMC方法的重点：在采用M-H抽样方法抽样 d、o、w 时，应代入其他两个空间依赖参数的现值。

其中，i  d , o, w; i表示其他两个空间依赖参数；

 

* i

) p( i* |  i , B,  2 , V  c  N (0,1), 接受概率为 1 (c) 2  p (  i |   i , B,  , V )

5.1 人口流动模型：分析目的和模型设定

 分析目的：阐释1995-2000年美国最大的50个都会区人口流动的动因；

( I N  dWd )( I N  oWo ) y  N  ci  X d d  X o o  X i i   g    模型设定：

T N  vec(nn );

g  vec(G );

y  vec(Y );

5.2 人口流动模型的参数及效应估计结果

 参数估计结果表达式：

设Z  N c Xd Xo Xi g  ;   i

d

o

i   , 则：

ˆ  ( Z T Z )1

Z T ( I   ˆ dWd )( I N   ˆ oWo ) y  N

T T ˆ d vec WY    ˆ o vec  ˆ ˆ     ( Z T Z )1 Z T vec Y  - YW    vec WYW d o    





 参数效应估计结果：

设Z X   X d Xo Xi g ;  X   d

o

i   , 则：

( I N   dWd )( I N  oWo ) y  N   cai  Z X  X  

T 参数效应为： M total  N 1N S r (W )N ; M direct  N 1tr Sr (W ) ;

M indirect  M total  M direct； ˆ dWd )( I N   ˆ oWo ) I N  X 其中，Sr (W )   ( I N  

1

T T Z Z 、 Z y 5.3 人口流动模型的参数估计中的

 参数估计结果表达式：

设Z  N c Xd Xo Xi g  ;   i

d

o

i   , 则：

 N   n  0T T k Z Z  T  0k  0T  T kT n G n 

n n 0T k 0T k 0T k 0

0k 0k nX T X 0T k 0k XTX T T n G X

0k 0k 0T k 0k nX T X XTX T n GX

0k 0k XTX XT X XTX 0k

 0  X T G T n   X T G T n   0T k  2 tr (G )  

T T

T n Gn 

蓝色为书上计算错误部分。

T g T X d   vec(G ) (n  X )   (   X ) vec(G )  n  

T T T T T     (   X ) vec ( G )  vec ( X G  )   G X n n n    

T ZT y    n  Yn

tr (Y )

X T Yn

X T Y Tn

X T diag (Y ) tr (GY )  

5.4 人口流动模型的参数估计结果及模型比较

A. 参数估计结果

B. 模型比较结果。

似然比为对数似然值差的两倍。

5.5 人口流动模型的参数效应估计结果

6.1 空间权重矩阵的先验信息修正

 空间权重矩阵一般依赖空间中的近邻加以设定，但现实研究中譬如铁

路、公路、航线等基础设施会影响空间权重矩阵的有效性。

 空间权重矩阵的先验信息修正：基于高速公路、铁路可达性等。

目的地及近邻地区



Z  x

, s, x  来源地-目的地Ww y：

高速公路沿线

来源地及近邻地区

A h

6.2 被解释变量矩阵中零流量问题的处理

 在分析贸易等流量问题时，可能遇到两个地区不存在流量的零流量问

题，这需要对被解释变量y进行特殊处理；

 被解释变量矩阵零流量问题的传统处理： ln( y  1) 。但这种处理方法

将导致不为零流量的地区流量中被无故加上1个单位，影响估计结果。

 零流量问题的特殊处理：将两地之间的贸易流量转换成两地的贸易潜在值和冰山运输成本对贸易影响值的和。 ( Ranjan & Tobias, 2007)

 模型转换： ln y  ln( y*  N )  Z  

其中，y*代表贸易潜在值； 为冰山运输成本对贸易的影响参数；

* *  数据处理：当yi +  0时,则yi  0转化为yi =yi  N

6.3 贸易壁垒效应[价格差异效应]问题的处理

 在分析贸易壁垒时，一般需借助价格差异（到岸价-离岸价）进行分

析。但价格信息往往较为缺乏，需要另辟蹊径。

 贸易壁垒效应问题的传统处理：  Ranjan & Tobias, 2007 

y  N  X d d  X o o  dd  oo  

 传统处理方法的贡献：以目的地、来源地的固定效应考察了贸易壁垒

效应（价格差异效应）。但该固定效应模型并未考虑空间异质性。

6.3 贸易壁垒效应[价格差异效应]问题的处理（续）

2 2 其中，d ~ N (0， d I n );o ~ N (0， o I n );d  I n n ;o  n  I n ;

 拓展模型中贸易壁垒效应参数  d、o 的先验概率：

 (o | o ,  )  

2 o

2 n2 o



 空间计量交互模型的改进： 当 d  o  0 时，转化为固定效应模型；

 将空间权重作为外生变量纳入，增加了样本信息。

6.4 解释变量的稀有流量问题处理

 在研究专利引用问题时，如果将其他地区对本地区专利的引用作为创

新和知识的流量矩阵时，会遇到稀有流

量问题（仅少量元素不为0）。

 稀有流量问题传统处理

  Schnatter &Wagner , 2006  ：以 yij  1  Fruhwirth

形式将稀有流量中的非零元素和零元素进行单独抽样，形成两个战略性序列；并基于被解释变量的泊松分布和所有参数的Gibbs抽样进行 MCMC估计。

 传统处理方法的贡献和缺陷： 战略性序列设定将加大观测值样本容

6.4 解释变量的稀有流量问题处理（续）

( LeSage、Fischer & Scherngell , 2007)  稀有流量问题的传统模型的改进：

y  N  X d d  X o o  dd  oo   ;d  dWd  d ,o  oWo  o

 改进模型中的相关先验概率设定：  ( yi ) ~ Possion(i ),i  exp(Zi  d ,id  o,io )

其中，Z  N Xd X o  ;   

d

o  ; i表示对应矩阵的第i行；

 改进模型中的相关后验概率分布：设V 为参数，为战略性序列

p(V |  , y ) 

  p( y | V )   i

i 1

p( y | V ,  ) p(V )  p( y | V ) p(V | ) p( y |  )

yi !

exp  i  , 其中，i  exp( Zi   d ,i d  o ,io )

第8章空间计量交互模型处理及现实研究拓展

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