基于建筑物变形的数学模型
摘 要 论文编号：
本文根据其所有者的多次观测，通过适当的数学建模，给出了确定此类建筑物各层中心位置的通用方法， 分析了该建筑物倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，并对其变形趋势进行了预测。为了计算的精度，我们首先对各变形量进行了合理的数学定义，并对奇异数据进行合理的处理。
针对问题一，我们采取最小二乘法模型，以到各观测点距离的平方和最小的点作为建筑物该层的中心点，运用MATLAB进行最优化处理得到了每次观测建筑物各层中心坐标的通用方法及各层的中心点坐标。
针对问题二，我们对建筑物的倾斜、弯曲和扭曲等变形情况，分别进行适当建模。对于倾斜变形，我们定义了倾斜角，即建筑物顶层与底层中心的水平距离与建筑物高的比值的反正切；对于弯曲变形，我们定义了曲率K，首先，运用二次拟合将x、y拟合成关于z的参数方程，运用曲率公式借助MATLAB求解曲率。对于扭曲变形，我们定义了扭曲度α，首先任意选定一个向量，再由每次每层的一个测量点和问题一求得的对应中心点确定另一个向量，利用内积借助MATLAB实现扭曲度的求解。针对建筑物的变形趋势，由于数据信息相对较少，灰色模型在数据较少时预测结果依然比较准确，我们建立灰色预测模型分析这三种变形的变化趋势，利用MATLAB得到了倾斜角、弯曲率以及扭曲度的预测函数并对建筑物的变形趋势进行预测。
通过对数据的处理与分析及有关模型的建立，了解到建筑物的变形情况，找出了建筑物的中心，给出了建筑物各层中心位置的通用方法；计算出了目前建筑物倾斜、弯曲以及扭曲情况；在灰色预测模型的基础上对建筑物的变形趋势进行了合理预测，具有较好的实用性和可推广性，对建筑物的保护起到一定的参考价值。
关键词： 最小二乘法 最优化处理 空间曲线拟合 灰色预测
1 问题重述
C题 建筑物的变形问题
高楼大厦、烟囱等由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受一些震动等的影响，建筑物会产生下沉及各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为及时掌握建筑物的变形情况，其所有者进行了多次观测，观测数据见文件：C题—数据.xls。
请根据文件提供的4次观测数据，讨论以下问题：
1. 给出确定此类建筑物各层中心位置的通用方法，并对题中的建筑物算出其各层中心的具体坐标。
2. 分析该建筑物倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，并对其变形趋势进行研究。
2 问题分析
问题一要求确定此类建筑物各层中心位置的通用方法，我们采用最小二乘法模型，以到各观测点距离的平方和最小的点作为建筑物该层的中心点，运用MATLAB的fminsearch函数进行无约束条件的最优化处理得到了每次观测建筑物各层中心坐标的通用方法及各层的中心点坐标。
问题二要求分析该建筑物倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，并对其变形趋势进行研究，我们对建筑物的倾斜、弯曲和扭曲等变形情况，分别进行适当建模处理。对于倾斜变形，我们运用建筑物顶层与底层中心的水平距离与建筑物高比值的反正切值为倾斜角，借助MATLAB编程求解；对于弯曲变形，我们运用二次拟合将x、y拟合成关于z的参数方程，然后运用曲率公式借助MATLAB拟合曲线并求解曲率。对于扭曲变形，我们先任意选定一个向量a(1,0,0)，再由每次每层的一个测量点和问题一求得的对应中心点确定另一个向量b，利用内积借助MATLAB的相应函数实现扭曲度。针对建筑物的变形趋势，由于数据较少，我们建立灰色预测模型分析这三种变形的变化趋势，并利用MATLAB得到了倾斜角、弯曲率以及扭曲度的预测函数并对建筑物的变形趋势进行预测。
3 模型假设
4 符号说明
3.1模型假设
1. 假设建筑物每次的测量点选取是固定的。 2. 假设测量数据都是准确可靠的。 3. 假设倾斜、弯曲和扭曲定义合理。
4. 假设空间曲线拟合、灰色预测数据合理，模型恰当。
5. 假设建筑物的变形只由倾斜、弯曲和扭曲变形造成，不考虑其他因素。
4 符号说明
符号
(
基于建筑物变形的数学模型
摘 要 论文编号：
本文根据其所有者的多次观测，通过适当的数学建模，给出了确定此类建筑物各层中心位置的通用方法， 分析了该建筑物倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，并对其变形趋势进行了预测。为了计算的精度，我们首先对各变形量进行了合理的数学定义，并对奇异数据进行合理的处理。
针对问题一，我们采取最小二乘法模型，以到各观测点距离的平方和最小的点作为建筑物该层的中心点，运用MATLAB进行最优化处理得到了每次观测建筑物各层中心坐标的通用方法及各层的中心点坐标。
针对问题二，我们对建筑物的倾斜、弯曲和扭曲等变形情况，分别进行适当建模。对于倾斜变形，我们定义了倾斜角，即建筑物顶层与底层中心的水平距离与建筑物高的比值的反正切；对于弯曲变形，我们定义了曲率K，首先，运用二次拟合将x、y拟合成关于z的参数方程，运用曲率公式借助MATLAB求解曲率。对于扭曲变形，我们定义了扭曲度α，首先任意选定一个向量，再由每次每层的一个测量点和问题一求得的对应中心点确定另一个向量，利用内积借助MATLAB实现扭曲度的求解。针对建筑物的变形趋势，由于数据信息相对较少，灰色模型在数据较少时预测结果依然比较准确，我们建立灰色预测模型分析这三种变形的变化趋势，利用MATLAB得到了倾斜角、弯曲率以及扭曲度的预测函数并对建筑物的变形趋势进行预测。
通过对数据的处理与分析及有关模型的建立，了解到建筑物的变形情况，找出了建筑物的中心，给出了建筑物各层中心位置的通用方法；计算出了目前建筑物倾斜、弯曲以及扭曲情况；在灰色预测模型的基础上对建筑物的变形趋势进行了合理预测，具有较好的实用性和可推广性，对建筑物的保护起到一定的参考价值。
关键词： 最小二乘法 最优化处理 空间曲线拟合 灰色预测
1 问题重述
C题 建筑物的变形问题
高楼大厦、烟囱等由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受一些震动等的影响，建筑物会产生下沉及各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为及时掌握建筑物的变形情况，其所有者进行了多次观测，观测数据见文件：C题—数据.xls。
请根据文件提供的4次观测数据，讨论以下问题：
1. 给出确定此类建筑物各层中心位置的通用方法，并对题中的建筑物算出其各层中心的具体坐标。
2. 分析该建筑物倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，并对其变形趋势进行研究。
2 问题分析
问题一要求确定此类建筑物各层中心位置的通用方法，我们采用最小二乘法模型，以到各观测点距离的平方和最小的点作为建筑物该层的中心点，运用MATLAB的fminsearch函数进行无约束条件的最优化处理得到了每次观测建筑物各层中心坐标的通用方法及各层的中心点坐标。
问题二要求分析该建筑物倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，并对其变形趋势进行研究，我们对建筑物的倾斜、弯曲和扭曲等变形情况，分别进行适当建模处理。对于倾斜变形，我们运用建筑物顶层与底层中心的水平距离与建筑物高比值的反正切值为倾斜角，借助MATLAB编程求解；对于弯曲变形，我们运用二次拟合将x、y拟合成关于z的参数方程，然后运用曲率公式借助MATLAB拟合曲线并求解曲率。对于扭曲变形，我们先任意选定一个向量a(1,0,0)，再由每次每层的一个测量点和问题一求得的对应中心点确定另一个向量b，利用内积借助MATLAB的相应函数实现扭曲度。针对建筑物的变形趋势，由于数据较少，我们建立灰色预测模型分析这三种变形的变化趋势，并利用MATLAB得到了倾斜角、弯曲率以及扭曲度的预测函数并对建筑物的变形趋势进行预测。
3 模型假设
4 符号说明
3.1模型假设
1. 假设建筑物每次的测量点选取是固定的。 2. 假设测量数据都是准确可靠的。 3. 假设倾斜、弯曲和扭曲定义合理。
4. 假设空间曲线拟合、灰色预测数据合理，模型恰当。
5. 假设建筑物的变形只由倾斜、弯曲和扭曲变形造成，不考虑其他因素。
4 符号说明
符号
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