二次函数与动点问题

题型一：（1）

1．如图，等腰Rt △ABC （∠ACB ＝90º）的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE 在同一直线上，

开始时点C 与点D 重合，让△ABC 沿这条直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止．设CD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（）

2．如图，在∆ABC 中，∠B =90，AB =12mm ，BC =24mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以

（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm /s 的速度移动（不与点C 2mm /s 的速度移动

重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过_____________秒，四边形APQC 的面积最小．

3．如图、梯形ABCD 中，AB ∥DC , ∠ABC =90°, ∠A =45°，AB =30,BC =x ，其中15＜x ＜30。作DE ⊥AB 于点E ，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在F 处，DF 交BC 于点G 。（1）用含有x 的代数式表示BF 的长。

(2)设四边形DEBG 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式。（3）当x 为何值时，S 有最大值，并求出这个最大值。

4. 如图, 在矩形ABCD 中，AB ＝6厘米，BC ＝12厘米，点P 从点A 出发，沿边AB 向点B 以1厘米／秒的速度移动, 同时, Q 点从B 点出发沿边BC 向点C 以2厘米／秒的速度移动，如果P 、Q 两点分别到达B 、C 两点后就停止移动. 据此解答下列问题：

(1)运动开始第几秒后，△PBQ 的面积等于8平方厘米？

(2)设运动开始后第t 秒时，五边形APQCD 的面积为S 平方厘米，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围;

(3)求出S 的最小值及t 的对应值. A P

5. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠D =90o ，AC ⊥BC ，AB =10cm,BC =6cm，F 点以2cm ／秒的速度在线段AB 上由A 向B 匀速运动，E 点同时以1cm ／秒的速度在线段BC 上由B 向C 匀速运动，设运动时间为t 秒(0

（1）求证：△ACD ∽△BAC ；（2）求DC 的长；

（3）设四边形AFEC 的面积为y ，求y 关于t 的函数关系式，并求出y 的最小值．

6. 如图，直角∆ABC

中，∠C =90︒

，AB =sin B =交AC 于点D ，连结AP ．（1）求AC 、BC 的长；

，点P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 5

（2）设PC 的长为x ，∆ADP 的面积为y ．当x 为何值时，y 最大，并求出最大值．

P C

7. 正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直.

（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；

（2）设BM =x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积； D

B M C

（2）

8. 如图，在锐角三角形ABC 中，BC 12，△ABC 的面积为48，D ，E 分别是边AB ，AC 上的两个动点（D 不与A ，B 重合），且保持DE ∥BC ，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG . （1）当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，求正方形DEFG 的边长；

（2）设DE = x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，写出x 的取值范围，并求出y 的最大值.

A D

G F

（第24题图）

C （备用图（1））

（备用图（2））

9. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，BC ＝6，AD ＝3，∠DCB ＝30°. 点E 、F 同时从B 点出发，沿射线BC 向右匀速移动. 已知F 点移动速度是E 点移动速度的2倍，以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG ．设E 点移动距离为x （x ＞0）.

⑴△EFG 的边长是____（用含有x 的代数式表示），当x ＝2时，点G 的位置在_______； ⑵若△EFG 与梯形ABCD 重叠部分面积是y ，求 ①当0＜x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式； ②当2＜x ≤6时，y 与x 之间的函数关系式；

⑶探求⑵中得到的函数y 在x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值.

A D

10. 如图11，在△ABC 中，∠C =90°，BC =8，AC =6，另有一直角梯形DEFH （HF ∥DE ，∠HDE =90°）的底边DE 落在CB 上，腰DH 落在CA 上，且DE =4，∠DEF =∠CBA ，AH ∶AC =2∶3 （1）延长HF 交AB 于G ，求△AHG 的面积.

（2）操作：固定△ABC ，将直角梯形DEFH 以每秒1个单位的速度沿CB 方向向右移动，直到点D 与点B 重合时停止，设运动的时间为t 秒，运动后的直角梯形为DEFH ′（如图12）.

探究1：在运动中，四边形CDH ′H 能否为正方形？若能，请求出此时t 的值；若不能，请说明理由. 探究2：在运动过程中，△ABC 与直角梯形DEFH ′重叠部分的面积为y ，求y 与t 的函数关系. 、

11. 如图，把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG （其直角边长均为4）叠放在一起，使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合（如图①）. 现将三角板EFG 绕O 点按顺时针方向旋转（旋转角

α满足条件：0＜α＜90），四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）. （1）在上述过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系？证明你发现的结论； (2)连接HK ，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH 的面积为y, ①求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

②当△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的，求此时BH 的长.

图①

12. 如图11，在梯形ABCD 中，AB //CD ,AB=2，DC=10，AD=BC=5，点M 、N 分别在边AD 、BC 上运动，并保持MN //AB ，ME ⊥DC ，NF ⊥DC ，垂足分别为E 、F 。 (1) 求梯形ABCD 的面积

(2) 探究一：四边形MNFE 的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由；探究二：四边形MNFE 能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由.

13．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线

与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求线段AD 的长；

（2）若EF ⊥AB ，当点E 在线段AB 上移动时，

①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围） ②当x 取何值时，y 有最大值？并求其最大值；

（3）若F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 两点均不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问：是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．

A D C

A D 备用图

14．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP=AQ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点， HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ．

（1）求证：△DHQ ∽△ABC ；

（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值；（3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？

15. 如图，在矩形ABCD 中，AB =m （m 是大于0的常数），BC =8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE =x ，BF =y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；

（2）若m =8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若y =A 12

，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？ m

16．△ABC 中，∠C =90，∠A =60，AC =2cm ．长为1cm 的线段MN 在△ABC 的边AB 上沿AB 方向以1cm/s的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M ，N 分别作AB 的垂线交直角边于

P ，Q 两点，线段MN 运动的时间为t s ．

（1）若△AMP 的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）；

（2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由；

17. 已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在△ABC 的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M 、N 分别作AB 边的垂线，与△ABC 的其它边交于P 、Q 两点，线段MN 运动的时间为t 秒．

（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；

（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形mnqp 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．

C C

N A M

题型二：

1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边分别交于点

M 、N ，直线m 运动的时间为t （秒）．

（1）点A 的坐标是__________，点C 的坐标是__________；（2）设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；

（3）探求（2）中得到的函数S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．

2. 如图，直线y=

和x 轴、y 轴的交点分别为B ，C 。点A 的坐标是（－2,0）

（1）试说明△ABC 是等腰三角形；

（2）动点M 从点A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度，当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动，设点运动t 秒时，△MON 的面积为s 。

① 求s 与t 的函数关系式；

② 当点M 在线段OB 上运动时，是否存在s=4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在，说明理由； ③ 在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值。

已知：如图，直线y =+x 轴相交于点A

，与直线y =相交于点P ．（1）求点P 的坐标．

（2）请判断∆OPA 的形状并说明理由．

（3）动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿着O →P →A 的路线向点A 匀速运动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，EB ⊥y 轴于B ．设运动t 秒时，矩形EBOF 与△OP A 重叠部分的面积为S ．

求：① S 与t 之间的函数关系式． ② 当t 为何值时，S 最大，并求S 的最大值．

4. 如图12，直线y =-x +4与两坐标轴分别相交于A 、B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A 、B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ．

（1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为a （0

5. 如图，直线y =-

图12

x +6分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，直线y =x 与AB 交于点C ，与过点A 且

平行于y 轴的直线交于点D ．点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴向左运动．过点E 作x 轴的垂线，分别交直线AB 、OD 于P 、Q 两点，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，设正方形PQMN 与

．点E 的运动时间为t （秒）． △ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为S （平方单位）

（1）求点C 的坐标．（1分）

（2）当0

⎛9⎫

（4）当t >0时，直接写出点 4⎪在正方形PQMN 内部时t 的取值范围．（3分）

⎝2⎭

6．如图19-1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA =5，OC =4．

（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D ，E 两点的坐标；（2）如图19-2，若AE 上有一动点P （不与A ，E 重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（0

（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A ，M ，E 为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻

点M 的坐标．

7．如图，直角梯形OABC 中，AB ∥OC , O 为坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点C 在x 轴正半轴上，点B 坐标为（2，2），∠BCO = 60°，OH ⊥BC 于点H . 动点P 从点H 出发，沿线段HO 向点O 运动，动点Q 从点O 出发，沿线段OA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度. 设点P 运动的时间为t 秒. (1)求OH 的长；

(2)若∆OPQ 的面积为S （平方单位）. 求S 与t 之间的函数关系式. 并求t 为何值时，∆OPQ 的面积最大，最大值是多少？ (3)设PQ 与OB 交于点M .

①当△OPM 为等腰三角形时，求（2）中S 的值. ②探究线段OM 长度的最大值是多少，直接写出结论.

8. 某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v （米/秒）与时间t （秒）的关系如图a ，A （10，5），B （130，

5），C （135，0）.

（1）求该同学骑自行车上学途中的速度v 与时间t 的函数关系式；

（2）计算该同学从家到学校的路程（提示：在OA 和BC 段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程＝平均速度×时间）；（3）如图b ，直线x ＝t （0≤t ≤135），与图a 的图象相交于P 、Q ，用字母S 表示图中阴影部分面积，试求S 与t 的函数关系式；（4）由（2）（3），直接猜出在t 时刻，该同学离开家所超过的路程与此时S 的数量关系

图a 图b

9. 已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图，C ，D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P , Q 分别从A , C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒. (1)填空：菱形ABCD 的边长是高BE 的长是 (2)探究下列问题：

①若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度为每秒2个单位. 当点Q 在线段BA 上时，求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式，以及S 的最大值；

②若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度变为每秒k 个单位，在运动过程中, 任何时刻都有相应的k 值，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形. 请探究当t =4秒时的情形，并求出k 的值.

y E O

(第24

题型三：

1．二次函数y =125x -x +6的图象与x 轴从左到右两个交点依次为A 、B ，与y 轴交于点C ， 42

（1）求A 、B 、C 三点的坐标；

（2）如果P(x，y) 是抛物线AC 之间的动点，O 为坐标原点，试求△POA 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）是否存在这样的点P ，使得PO=PA，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

2．已知y =ax 2+bx +c 与y 轴交于点A (0，3) ，与x 轴分别交于B (1，0) 、C (5，0) 两点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；

（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点(设为点E ) ，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F ) ，最后运动到点A . 求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长.

3. 如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8厘米，点D 在AC 上，CD ＝3厘米．点P 、Q 分别由A 、C 两点同时出发，点P 沿AC 方向向点C 匀速移动，速度为每秒k 厘米，行完AC 全程用时8秒；点Q 沿

＜x＜8)，△DCQ 的面积为y 1平方CB 方向向点B 匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x 秒(0

厘米，△PCQ 的面积为y 2平方厘米．

⑴求y 1与x 的函数关系，并在图2中画出y 1的图象；

⑵如图2，y 2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P 的速度及AC 的长；

⑶在图2中，点G 是x 轴正半轴上一点（0＜OG ＜6＝，过G 作EF 垂直于x 轴，分别交y 1、y 2于点E 、F ． ①说出线段EF 的长在图1中所表示的实际意义；

②当0＜x ＜６时，求线段EF 长的最大值．

解：

图1

4．已知：如图14，抛物线y =-

直线y =-323x +3与x 轴交于点A ，点B ，与直线y =-x +b 相交于点B ，点C ，443x +b 与y 轴交于点E ． 4

（1）写出直线BC 的解析式．

（2）求△ABC 的面积．

（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A ，B 重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出△MNB 的面积S

与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，△MNB

的面积最大，最大面积是多少？

5. 如图，Rt△ABO的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的

52坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y =x 2+bx +c 经过B 点，且顶点在直线x =上． 23

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．

6. 如图1，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一点E ，顶点M 的坐标为 (2,4)；矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3.

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动，设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物．．．．．

线的交点为N （如图2所示）.

5① 当t=时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由； 2

② 设以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为S ，试问S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线y =a (x -1)2+a ≠0) 经过点A (-2，0) ，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM ∥AD ．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为t (s ) ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若OC =OB ，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t (s ) ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．

8. 定义一种变换：平移抛物线F 1得到抛物线F 2，使F 2经过F 1的顶点A ．设F 2的对称轴分别交F 1，F 2于点D ，B ，点C 是点A 关于直线BD 的对称点．

20) ，则①b 的值等（1）如图1，若F 1：y =x ，经过变换后，得到F 2：y =x +bx ，点C 的坐标为(2，2

于______________；

②四边形ABCD 为（）

A ．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

（2）如图2，若F 1：y =ax +c ，经过变换后，点B 的坐标为(2，c -1) ，求△ABD 的面积； 2

1227x -x +

，经过变换后，AC =P 是直线AC 上的动点，求点P 333

到点D 的距离和到直线AD 的距离之和的最小值．

（3）如图3，若F 1：y =

9. 已知：抛物线y=ax2+bx+c(a＞0) 的图象经过点B(12,0)和C(0，-6），对称轴为x=2.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点D 在线段AB 上且AD=AC，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由；

(3)在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在请说明理由.

二次函数与动点问题

题型一：（1）

1．如图，等腰Rt △ABC （∠ACB ＝90º）的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE 在同一直线上，

2．如图，在∆ABC 中，∠B =90，AB =12mm ，BC =24mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以

（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm /s 的速度移动（不与点C 2mm /s 的速度移动

重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过_____________秒，四边形APQC 的面积最小．

(2)设四边形DEBG 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式。（3）当x 为何值时，S 有最大值，并求出这个最大值。

(1)运动开始第几秒后，△PBQ 的面积等于8平方厘米？

(2)设运动开始后第t 秒时，五边形APQCD 的面积为S 平方厘米，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围;

(3)求出S 的最小值及t 的对应值. A P

（1）求证：△ACD ∽△BAC ；（2）求DC 的长；

（3）设四边形AFEC 的面积为y ，求y 关于t 的函数关系式，并求出y 的最小值．

6. 如图，直角∆ABC

中，∠C =90︒

，AB =sin B =交AC 于点D ，连结AP ．（1）求AC 、BC 的长；

，点P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 5

（2）设PC 的长为x ，∆ADP 的面积为y ．当x 为何值时，y 最大，并求出最大值．

P C

7. 正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直.

（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；

（2）设BM =x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积； D

B M C

（2）

（2）设DE = x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，写出x 的取值范围，并求出y 的最大值.

A D

G F

（第24题图）

C （备用图（1））

（备用图（2））

⑶探求⑵中得到的函数y 在x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值.

A D

②当△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的，求此时BH 的长.

图①

13．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线

与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求线段AD 的长；

（2）若EF ⊥AB ，当点E 在线段AB 上移动时，

①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围） ②当x 取何值时，y 有最大值？并求其最大值；

A D C

A D 备用图

（1）求证：△DHQ ∽△ABC ；

（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值；（3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？

（2）若m =8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若y =A 12

，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？ m

P ，Q 两点，线段MN 运动的时间为t s ．

（1）若△AMP 的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）；

（2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由；

（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；

C C

N A M

题型二：

M 、N ，直线m 运动的时间为t （秒）．

（1）点A 的坐标是__________，点C 的坐标是__________；（2）设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；

（3）探求（2）中得到的函数S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．

2. 如图，直线y=

和x 轴、y 轴的交点分别为B ，C 。点A 的坐标是（－2,0）

（1）试说明△ABC 是等腰三角形；

① 求s 与t 的函数关系式；

已知：如图，直线y =+x 轴相交于点A

，与直线y =相交于点P ．（1）求点P 的坐标．

（2）请判断∆OPA 的形状并说明理由．

求：① S 与t 之间的函数关系式． ② 当t 为何值时，S 最大，并求S 的最大值．

4. 如图12，直线y =-x +4与两坐标轴分别相交于A 、B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A 、B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ．

5. 如图，直线y =-

图12

x +6分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，直线y =x 与AB 交于点C ，与过点A 且

．点E 的运动时间为t （秒）． △ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为S （平方单位）

（1）求点C 的坐标．（1分）

（2）当0

⎛9⎫

（4）当t >0时，直接写出点 4⎪在正方形PQMN 内部时t 的取值范围．（3分）

⎝2⎭

6．如图19-1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA =5，OC =4．

（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A ，M ，E 为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻

点M 的坐标．

(2)若∆OPQ 的面积为S （平方单位）. 求S 与t 之间的函数关系式. 并求t 为何值时，∆OPQ 的面积最大，最大值是多少？ (3)设PQ 与OB 交于点M .

①当△OPM 为等腰三角形时，求（2）中S 的值. ②探究线段OM 长度的最大值是多少，直接写出结论.

8. 某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v （米/秒）与时间t （秒）的关系如图a ，A （10，5），B （130，

5），C （135，0）.

（1）求该同学骑自行车上学途中的速度v 与时间t 的函数关系式；

图a 图b

①若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度为每秒2个单位. 当点Q 在线段BA 上时，求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式，以及S 的最大值；

y E O

(第24

题型三：

1．二次函数y =125x -x +6的图象与x 轴从左到右两个交点依次为A 、B ，与y 轴交于点C ， 42

（1）求A 、B 、C 三点的坐标；

（2）如果P(x，y) 是抛物线AC 之间的动点，O 为坐标原点，试求△POA 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）是否存在这样的点P ，使得PO=PA，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

2．已知y =ax 2+bx +c 与y 轴交于点A (0，3) ，与x 轴分别交于B (1，0) 、C (5，0) 两点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；

＜x＜8)，△DCQ 的面积为y 1平方CB 方向向点B 匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x 秒(0

厘米，△PCQ 的面积为y 2平方厘米．

⑴求y 1与x 的函数关系，并在图2中画出y 1的图象；

⑵如图2，y 2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P 的速度及AC 的长；

⑶在图2中，点G 是x 轴正半轴上一点（0＜OG ＜6＝，过G 作EF 垂直于x 轴，分别交y 1、y 2于点E 、F ． ①说出线段EF 的长在图1中所表示的实际意义；

②当0＜x ＜６时，求线段EF 长的最大值．

解：

图1

4．已知：如图14，抛物线y =-

直线y =-323x +3与x 轴交于点A ，点B ，与直线y =-x +b 相交于点B ，点C ，443x +b 与y 轴交于点E ． 4

（1）写出直线BC 的解析式．

（2）求△ABC 的面积．

与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，△MNB

的面积最大，最大面积是多少？

5. 如图，Rt△ABO的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的

52坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y =x 2+bx +c 经过B 点，且顶点在直线x =上． 23

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；

6. 如图1，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一点E ，顶点M 的坐标为 (2,4)；矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3.

（1）求该抛物线的函数关系式；

线的交点为N （如图2所示）.

5① 当t=时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由； 2

② 设以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为S ，试问S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

（1）求该抛物线的解析式；

8. 定义一种变换：平移抛物线F 1得到抛物线F 2，使F 2经过F 1的顶点A ．设F 2的对称轴分别交F 1，F 2于点D ，B ，点C 是点A 关于直线BD 的对称点．

20) ，则①b 的值等（1）如图1，若F 1：y =x ，经过变换后，得到F 2：y =x +bx ，点C 的坐标为(2，2

于______________；

②四边形ABCD 为（）

A ．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

（2）如图2，若F 1：y =ax +c ，经过变换后，点B 的坐标为(2，c -1) ，求△ABD 的面积； 2

1227x -x +

，经过变换后，AC =P 是直线AC 上的动点，求点P 333

到点D 的距离和到直线AD 的距离之和的最小值．

（3）如图3，若F 1：y =

9. 已知：抛物线y=ax2+bx+c(a＞0) 的图象经过点B(12,0)和C(0，-6），对称轴为x=2.

(1)求该抛物线的解析式；

(3)在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在请说明理由.

二次函数与动点问题

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