数学高一专题 二次函数
一、概念： 二、定义域： 三、表示： 一般式 顶点式 交点式 四、图像图像： 1.图像的画法 2.图像的性质 3.图像的平移
4.零点与一元二次方程的根 5.对称轴及顶点 五、性质：
系数a 、b 、c 单调性 奇偶性 对称性
六、解题思路： 二次函数常用解题方法总结
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数y =ax 2+bx +c 中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
题型一：基础练习
1. 下列各式中, y 是x 的二次函数的是 ( )
A ．xy +x 2=1 B ． x 2+y -2=0 C ． y 2-ax =-2 D ．x 2-y 2+1=0 2．在同一坐标系中，作y =2x 2、y =-2x 2、y =
12
x 的图象，它们共同特点是 ( ) 2
A . 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点
变式练习
3．抛物线y =x -mx -m +1的图象过原点，则m 为（ ）
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．±1
2
2
4．把二次函数y =x 2-2x -1配方成为（ ）
A ．y =(x -1) 2 B ． y =(x -1) 2-2 C ．y =(x +1) 2+1
2
D ．y =(x +1) 2-2
5．已知原点是抛物线y =(m +1) x 的最高点，则m 的范围是( )
A ． m -1 D ． m >-2 6、函数y =2x 2-x -1的图象经过点( )
A 、（－1，1） B 、（1 ，1） C 、（0 , 1） D 、(1 , 0 )
7、抛物线y =3x 向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) A 、y =3(x -1) 2-2 B 、y =3(x +1) 2-2C 、y =3(x +1) 2+2 D 、y =3(x -1) 2+2 8、已知h 关于t 的函数关系式h =( )
t t t A B C D
9、下列四个函数中, 图象的顶点在y 轴上的函数是（ ）
A 、y =x -3x +2 B 、y =5-x C 、y =-x +2x D 、y =x -4x +4
22
12
gt （ g 为正常数，t 为时间）如图，则函数图象为 2
222
10、已知二次函数y =ax 2+bx +c ，若a 0，那么它的图象大致是（ ）
题型二：能力提高
1、二次函数y =-3x 2-6x +5的图象的顶点坐标是（ ）
A ．(-18) ， B ．(18)，
C ．(-1，2)
D ．(1，-4)
2、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ A ．y 1
B ．y 1=y 2
）
C ．y 1>y 2
D ．不能确定
0) 、(x 1，3、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点(-2，0) ，且1
③2a +c >0；④2a -b +1>0．其中正确结论的个数是 个． 变式练习
4、二次函数y =(x +1) +2的最小值是（ ）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ．
2
2
3
O
5、（2013丽水市）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0) 的图象如图所示，给出以下结论： ①a ＞0.
②该函数的图象关于直线x =1对称. ③当x =-1或x =3时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ）
A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
6、图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A ．y =-2x 2 B ．y =2x 2 C ．y =-
1212x D ．y =x 2 2
图6（1） 图6（2）
7、将函数y =x 2+x 的图象向右平移a (a >0) 个单位，得到函数y =x 2-3x +2的图象，则a 的值为 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8、抛物线y =-2x 2+8x -1的顶点坐标为
（A ）（-2，7） （B ）（-2，-25） （C ）（2，7） （D ）（2，-9）
9、已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y =ax 与y =ax 2的图象有可能是（ ）
A ．
2
2
10、若把代数式x -2x -3化为(x -m )+k 的形式，其中m , k 为常数，则m +k 11、已知二次函数的图象经过原点及点（-，-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 ．
12、将抛物线y =x -2向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ．
2
1
214
课后练习
1、二次函数y =(x -1) 2-2的图象上最低点的坐标是
A ．(-1，-2) B ．(1，-2) C ．(-1，2)
D ．(1，2)
2、（2014年济宁市）小强从如图所示的二次函数y =ax 2+bx +c 的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）a 1；（3）b >0；（4） a +b +c >0； （5）
a -b +c >0. 你认为其中正确信息的个数有
A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
3、（20014年广西钦州）将抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ）
A ．y ＝2x 2＋3 C ．y ＝2（x ＋3）2
B ．y ＝2x 2－3 D ．y ＝2（x －3）2
4、(2013宁夏) 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象如图所示，对称轴是直线x =1，则下列四个结论错误的是（ ）D ．．A ．c >0 B ．2a +b =0 C ．b -4ac >0 D ．a -b +c >0
2
5、在同一直角坐标系中，函数y =mx +m 和函数y =-mx 2+2x +2（m 是常数，且m ≠0）的图象可能是 ．．
6、（2015年遂宁）把二次函数y =-1x 2-x +3用配方法化成y =a (x -h )2+k 的形式
4A. y =-1(x -2)2+2 B. y =1(x -2)2+4
4411⎫C. y =-1(x +2)2+4 D. y =⎛ x -⎪+3 42⎭⎝2
2
7、（2015年新疆乌鲁木齐市）要得到二次函数y =-x +2x -2的图象，需将y =-
x 的图
22
象（ ）．
A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
8、（2013年贵州省黔东南州）二次函数y =x 2-2x -3的图象关于原点O （0, 0）对称的图象的解析式是_________________。
9、把抛物线y ＝ax +bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x －3x+5，则a+b+c=__________。
22
0) 、(x 1，10、（2012年包头）已知二次函数y =ax +bx +c 的图象与x 轴交于点(-2，0) ，且2) 的下方．下列结论：①4a -2b +c =0；1
②a 0；④2a -b +1>0．其中正确结论的个数是 个．
11、（2012年莆田）出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出(6-x )个，则当x = 元时，一天出售该种文具盒的总利润y 最大．
12、（2014年黄石市）已知关于x 的函数y =ax +x +1（a 为常数） （1）若函数的图象与x 轴恰有一个交点，求a 的值；
（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x 轴上方，求a 的取值范围．
2
2
数学高一专题 二次函数
一、概念： 二、定义域： 三、表示： 一般式 顶点式 交点式 四、图像图像： 1.图像的画法 2.图像的性质 3.图像的平移
4.零点与一元二次方程的根 5.对称轴及顶点 五、性质：
系数a 、b 、c 单调性 奇偶性 对称性
六、解题思路： 二次函数常用解题方法总结
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数y =ax 2+bx +c 中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
题型一：基础练习
1. 下列各式中, y 是x 的二次函数的是 ( )
A ．xy +x 2=1 B ． x 2+y -2=0 C ． y 2-ax =-2 D ．x 2-y 2+1=0 2．在同一坐标系中，作y =2x 2、y =-2x 2、y =
12
x 的图象，它们共同特点是 ( ) 2
A . 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点
变式练习
3．抛物线y =x -mx -m +1的图象过原点，则m 为（ ）
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．±1
2
2
4．把二次函数y =x 2-2x -1配方成为（ ）
A ．y =(x -1) 2 B ． y =(x -1) 2-2 C ．y =(x +1) 2+1
2
D ．y =(x +1) 2-2
5．已知原点是抛物线y =(m +1) x 的最高点，则m 的范围是( )
A ． m -1 D ． m >-2 6、函数y =2x 2-x -1的图象经过点( )
A 、（－1，1） B 、（1 ，1） C 、（0 , 1） D 、(1 , 0 )
7、抛物线y =3x 向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) A 、y =3(x -1) 2-2 B 、y =3(x +1) 2-2C 、y =3(x +1) 2+2 D 、y =3(x -1) 2+2 8、已知h 关于t 的函数关系式h =( )
t t t A B C D
9、下列四个函数中, 图象的顶点在y 轴上的函数是（ ）
A 、y =x -3x +2 B 、y =5-x C 、y =-x +2x D 、y =x -4x +4
22
12
gt （ g 为正常数，t 为时间）如图，则函数图象为 2
222
10、已知二次函数y =ax 2+bx +c ，若a 0，那么它的图象大致是（ ）
题型二：能力提高
1、二次函数y =-3x 2-6x +5的图象的顶点坐标是（ ）
A ．(-18) ， B ．(18)，
C ．(-1，2)
D ．(1，-4)
2、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ A ．y 1
B ．y 1=y 2
）
C ．y 1>y 2
D ．不能确定
0) 、(x 1，3、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点(-2，0) ，且1
③2a +c >0；④2a -b +1>0．其中正确结论的个数是 个． 变式练习
4、二次函数y =(x +1) +2的最小值是（ ）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ．
2
2
3
O
5、（2013丽水市）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0) 的图象如图所示，给出以下结论： ①a ＞0.
②该函数的图象关于直线x =1对称. ③当x =-1或x =3时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ）
A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
6、图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A ．y =-2x 2 B ．y =2x 2 C ．y =-
1212x D ．y =x 2 2
图6（1） 图6（2）
7、将函数y =x 2+x 的图象向右平移a (a >0) 个单位，得到函数y =x 2-3x +2的图象，则a 的值为 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8、抛物线y =-2x 2+8x -1的顶点坐标为
（A ）（-2，7） （B ）（-2，-25） （C ）（2，7） （D ）（2，-9）
9、已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y =ax 与y =ax 2的图象有可能是（ ）
A ．
2
2
10、若把代数式x -2x -3化为(x -m )+k 的形式，其中m , k 为常数，则m +k 11、已知二次函数的图象经过原点及点（-，-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 ．
12、将抛物线y =x -2向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ．
2
1
214
课后练习
1、二次函数y =(x -1) 2-2的图象上最低点的坐标是
A ．(-1，-2) B ．(1，-2) C ．(-1，2)
D ．(1，2)
2、（2014年济宁市）小强从如图所示的二次函数y =ax 2+bx +c 的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）a 1；（3）b >0；（4） a +b +c >0； （5）
a -b +c >0. 你认为其中正确信息的个数有
A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
3、（20014年广西钦州）将抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ）
A ．y ＝2x 2＋3 C ．y ＝2（x ＋3）2
B ．y ＝2x 2－3 D ．y ＝2（x －3）2
4、(2013宁夏) 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象如图所示，对称轴是直线x =1，则下列四个结论错误的是（ ）D ．．A ．c >0 B ．2a +b =0 C ．b -4ac >0 D ．a -b +c >0
2
5、在同一直角坐标系中，函数y =mx +m 和函数y =-mx 2+2x +2（m 是常数，且m ≠0）的图象可能是 ．．
6、（2015年遂宁）把二次函数y =-1x 2-x +3用配方法化成y =a (x -h )2+k 的形式
4A. y =-1(x -2)2+2 B. y =1(x -2)2+4
4411⎫C. y =-1(x +2)2+4 D. y =⎛ x -⎪+3 42⎭⎝2
2
7、（2015年新疆乌鲁木齐市）要得到二次函数y =-x +2x -2的图象，需将y =-
x 的图
22
象（ ）．
A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
8、（2013年贵州省黔东南州）二次函数y =x 2-2x -3的图象关于原点O （0, 0）对称的图象的解析式是_________________。
9、把抛物线y ＝ax +bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x －3x+5，则a+b+c=__________。
22
0) 、(x 1，10、（2012年包头）已知二次函数y =ax +bx +c 的图象与x 轴交于点(-2，0) ，且2) 的下方．下列结论：①4a -2b +c =0；1
②a 0；④2a -b +1>0．其中正确结论的个数是 个．
11、（2012年莆田）出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出(6-x )个，则当x = 元时，一天出售该种文具盒的总利润y 最大．
12、（2014年黄石市）已知关于x 的函数y =ax +x +1（a 为常数） （1）若函数的图象与x 轴恰有一个交点，求a 的值；
（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x 轴上方，求a 的取值范围．
2
2