(导数的概念及其应用)

导数的基本知识点归纳

1yf(x)在xx0处附近有定义，如果x0时，y与x的

比

yy（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫xx

/xx0

做函数yf(x)在xx0处的导数，记作ym，即f(x0)li

/

x0

f(x0x)f(x0)

x

yf(x)上点（x0,f(x0)yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为

yf(x0)f/(x0)(xx03(导数):如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一

个x(a,b)，都对应着一个确定的导数f(x)，从而构成了一个新的函数f(x), 称这个

/

函数f(x)为函数yf(x)在开区间内的导函数，简称导数，

//

4: 如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数yf(x)在开

区间(a,b)5可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续，

函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件6yf(x)的导数的一般方法：

（1）求函数的改变量yf(xx)f(x)

（2）求平均变化率

yy/

3）取极限，得导数y＝f(x)lim x0xx7常见函数的导数公式：

常见基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则：

C'0（C 为常数）；(xn)'nxn1,nQ*; (sinx)'cosx; (cosx)'sinx;

11

(a0,a1). (ex)'ex;(ax)'axlna(a0,a1); (lnx)'; (logax)'

xxlna

法则1：[u(x)v(x)]'u'(x)v'(x); 法则2：[u(x)v(x)]u'(x)v(x)u(x)v'(x);

法则3：

u(x)u'(x)v(x)u(x)v'(x)

'(v(x)0). 2

v(x)v(x)

单调性及其应用

1（1）求f（x）（2）确定f（x）在（a，b）内符号

（3）若f（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若f（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；

f（x）

1 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有

f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x02f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)

＞f(x0)就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0 3.判别f(x0)是极大、极小值的方法:若x0满足f(x0)0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0) 4..求函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区

间，并列成表格f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处

取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)5:在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与

最小值．⑴在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数

f(x)在闭区间a,b上连续，是f(x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非

必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不7利用导数求函数的最值步骤:⑴求f(x)在(a,b)内的极值；⑵将f(x)的各极值与

f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在a,b上的最值

导数定义

x2

例1．yf(x)

axbx2

思路：yf(x)

axb

x1

x1

在x1处可导，则abx1

x1

在x1处可导，必连续limf(x)1 

x1x1

x0

limf(x)ab f(1)1 ∴ ab1 lim



yy2 lima

x0xx

∴ a2 b1

利用导数证明不等式

例4．求证下列不等式

x2x2

（1）x x(0,)（相减） ln(1x)x

22(1x)

（2）sinx

2x



x(0,



2

)（相除）

1x2

1xx^20 ) f(0)0 f(x)证：（1）f(x)ln(1x)(x

1x1x2

∴ yf(x)为(0,)上 ∴ x(0,) f(x)0 恒成立

x2x2

∴ ln(1x)x g(x)xln(1x) g(0)0

22(1x)

4x24x2x212x2

g(x)10 22

1x4(1x)4(1x)

x2

∴ g(x)在(0,)上 ∴ x(0,) xln(1x)0恒成立

2(1x)

利用导数求和

例6．利用导数求和： （1）（2）

； 。

n

n1

分析：这两个问题可通过错位相减法来解决。转换思维角度，由求导公式(x)'nx联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。 解：（1）当x=1时，

；

当x≠1时，

，可

，

两边都是关于x的函数，求导得

即

（2）∵

两边都是关于x的函数，求导得令x=1得

，即

，

。

。

单调区间讨论

例7． 已知函数f(x)x

2

a(2lnx),(a0)，讨论f(x)的单调性

. x

① 当a8

0，即a

2

方程g(x)

0有两个不同的实根x1

x2,0x1x2.

x

f(x) f(x)

(0,x1)

+ 单调递增

x1

0 极大

(x1,x2)

_ 单调递减

x2

0 极小

(x2,)

+ 单调递增

aa上单调递增,

在(此时f(x

)在是上单调递减,

22a)上单调递增. 在(

2

分离常数

例10.已知函数f(x)xlnx（.Ⅰ）求f(x)的最小值；（Ⅱ）若对所有x1都有f(x)ax1，求实数a的取值范围.

解：f(x)的定义域为(0，+)， f(x)的导数f(x)1lnx. 令f(x)0，解得

1111

x；令f(x)0，解得0x.从而f(x)在0单调递减，在，+单调递

eeee

11

增.所以，当x时，f(x)取得最小值.

ee

（Ⅱ）令g(x)f(x)(ax1)，则g(x)f(x)a1alnx，

错误！未找到引用源。 若a1，当x1时，g(x)1alnx1a0，

ax1.，+)上为增函数，故g(x)在(1所以，x1时，g(x)g(1)1a0，即f(x)

错误！未找到引用源。 若a1，方程g(x)0的根为 x0ea1，此时，若x(1，x0)，则g(x)0，故g(x)在该区间为减函数.所以x(1，x0)时，g(x)g(1)1a0，即

f(x)ax1，与题设f(x)ax1相矛盾. 综上，满足条件的a的取值范围是(，1].

求取值范围

例13设函数f(x)x

3

92

x6xa．（1）对于任意实数x，f(x)m恒成立，求m2

的最大值；（2）若方程f(x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

解析 (1) f(x)3x9x63(x1)(x2), 因为x(,),f(x)m, 即

'

2

'

3

3x29x(6m)0恒成立, 所以 8112(6m)0, 得m，即m的最大值

4

3为

4

'''

(2) 因为 当x1时, f(x)0;当1x2时, f(x)0;当x2时, f(x)0;

所以 当x1时,f(x)取极大值 f(1)

5

a;2

当x2时,f(x)取极小值

f(2)2a;

故当f(2)0 或f(1)0时, 方程f(x)0仅有一个实根. 解得 a2或a

5. 2

导数与数列

例已知数列{an}的通项an=8xx,nN+,求数列{an}的最大项

2

3

解：构造辅助函数f(x)=8x2x3(x>0),则0

f'x=16x-3x2 显然，当

161616

时，f'x>0,当x>时，f'(x)

1616

在区间（,+）上是减函数，所以当x=时，函数取最大值。

33对于nN+,f(n)=8n2n3,f(5)=75,f(6)=72,所以f(n)的最大值是75，即数列{an}的最大项为a5=75.

导数与解析几何

例15.已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb (a,bR)．

（I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值； （II）若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围． ．．．

解析 （Ⅰ）由题意得f(x)3x2(1a)xa(a2)

2

f(0)b0

又 ，解得b0，a3或a1

f(0)a(a2)3

（Ⅱ）函数f(x)在区间(1,1)不单调，等价于

导函数f(x)在(1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数f(x)在(1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有

f(1)f(1)0， 即：[32(1a)a(a2)][32(1a)a(a2)]0

2

整理得：(a5)(a1)(a1)0，解得5a1

导数经典习题

一、选择题：

1．已知物体做自由落体运动的方程为ss(t)

12

gt,若t无限趋近于0时， 2

s(1t)s(1)

无限趋近于9.8m/s，那么正确的说法是（ ）

t

A．9.8m/s是在0～1s这一段时间内的平均速度 B．9.8m/s是在1～（1+t）s这段时间内的速度

C．9.8m/s是物体从1s到（1+t）s这段时间内的平均速度 D．9.8m/s是物体在t1s这一时刻的瞬时速度.

2．一个物体的运动方程为s1tt2其中s的单位是米，t的单位是秒，

那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）

A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米

/秒

3. 若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是（ ）

B

x x

A

C D

4．函数yf(x)在一点的导数值为0是函数yf(

x)在这点取极值的（

） A．充分条件 B．必要条件

C．充要条件 D．必要非充分条件

5．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x),g(x)满足f'(x)g'(x),则

f(x)与g(x)满足（ ）

A．f(x)g(x) B．f(x)g(x)为常数函数 C．f(x)g(x)0 D．f(x)g(x)为常数函数 6.. 若f(x)sincosx,则f'()等于（ ） A．sin B．cos C．sincos

D．2sin

7. 已知函数f(x)x3ax2x1在(,)上是单调函数,则实数a的 取值范围是（ ）

A．(,][3,) B．[,]

C．(,)(,) D．(,)

8. 对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f'(x)0，则必有（ ） A． f(0)f(2)2f(1) B. f(0)f(2)2f(1) C. f(0)f(2)2f(1) D. f(0)f(2)2f(1)

二、填空题：

1．若f/(1)2012，则lim

f(1x)f(1)f(1x)f(1)

lim，

x0x0xx

f(1)f(1x)f(12x)f(1)lim lim。 x0x04xx

2．函数y=e- x的导数为1

3. 若函数f(x)满足，f(x)x3f(1)x2x,则f(1)的值

3

4．若f(x)x3,f'(x0)3，则x0的值为________________；

5．曲线yx34x在点(1,3) 处的切线倾斜角为__________；

6．函数yx3x25x5的单调递增区间是__________________________。 7. 已知函数f(x)ln(x1)ax

1a

， x1

若曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线与直线l:y2x1平行，则 a的值 8. 函数f(x)3的图像在x1处的切线在x轴上的截距为x4x5________________。

9．若f(x)ax3bx2cxd(a0)在R增函数，则a,b,c的关系式为是 。

10. 若函数f(x)=x(x-c)在x2处有极大值，则常数c的值为_________；

三、解答题

1．求垂直于直线2x6y10并且与曲线yx33x25相切的直线方程。 2．求函数y(xa)(xb)(xc)的导数。 3．求函数y(1cos2x)3的导数。

2

参考答案

选择题: 1.D 2.C 3.A 4.D 5.B 6.A 7.B 8.C 6. A f'(x)sinx,f'()sin

7. B f'(x)3x22ax10在(

,)恒成立，

4a2120a8.C 当x1时，f'(x)0，函数f(x)在(1,)上是增函数；当x1时，

f'(x)0，f(x)在(,1)上是减函数

故f(x)当x1时取得最小值，即有f(0)f(1),f(2)f(1),得f(0)f(2)2f(1) 填空题:

1. 2012,-2012,-503,4024;

f(1x)f(1)

提示: lim=f/(1)2012;

x0x2. -e-x

3. 0 提示：f(1)为常数，f’ (x)=x2－2f(1)x－１，1

f'(x0)3x023,x01

33 y'3x24,ky'|x11,tan1, 44

55

5. (,),(1,) 令y'3x22x50,得x,或x1

33

4.

7. 3 提示：f’ (x)＝

1a

-a＋，∵yf(x)在点(1,f(1))处的切2

x1(x1)

线与直线l:y2x1平行，而直线l:y2x1的斜率为－２，∴f’ (１)＝－２f’ (１)＝

1a

-a＋＝－２，解得 a=10/3 11(11)2

33

8.  f'(x)3x24,f'(1)7,f(1)10,y107(x1),y0时,x

779. a0,且b23ac

2

10. 2 f'(x)3xc=64cx2c,'f(2)2c8c120c或,，2,时取极小值，6舍去

解答题

1. 3x+y+6=0

设切点为P(a,b)，函数yx33x25的导数为y'3x26x 切线的斜率ky'|xa3a26a3，得a1，代入到yx33x25 得b3，即P(1,3)，y33(x1),3xy60。

2. 法一：化简在求导 Y=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc

Y′=3x^2-2(a+b+c)x+(ab+ac+bc)

法二; y'(xa)'(xb)(xc)(xa)(xb)'(xc)(xa)(xb)(xc)' (xb)(xc)(xa)(xc)(xa)( xb

所以增区间为(,1),(1,)；减区间为(1,1)。

3. 解：y(1cos2x)3(2cos2x)38cos6x

y'48cos5x(cosx)'48cos5x(sinx)

48sinxcos5x。

导数的基本知识点归纳

1yf(x)在xx0处附近有定义，如果x0时，y与x的

比

yy（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫xx

/xx0

做函数yf(x)在xx0处的导数，记作ym，即f(x0)li

/

x0

f(x0x)f(x0)

x

yf(x)上点（x0,f(x0)yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为

yf(x0)f/(x0)(xx03(导数):如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一

个x(a,b)，都对应着一个确定的导数f(x)，从而构成了一个新的函数f(x), 称这个

/

函数f(x)为函数yf(x)在开区间内的导函数，简称导数，

//

4: 如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数yf(x)在开

区间(a,b)5可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续，

函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件6yf(x)的导数的一般方法：

（1）求函数的改变量yf(xx)f(x)

（2）求平均变化率

yy/

3）取极限，得导数y＝f(x)lim x0xx7常见函数的导数公式：

常见基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则：

C'0（C 为常数）；(xn)'nxn1,nQ*; (sinx)'cosx; (cosx)'sinx;

11

(a0,a1). (ex)'ex;(ax)'axlna(a0,a1); (lnx)'; (logax)'

xxlna

法则1：[u(x)v(x)]'u'(x)v'(x); 法则2：[u(x)v(x)]u'(x)v(x)u(x)v'(x);

法则3：

u(x)u'(x)v(x)u(x)v'(x)

'(v(x)0). 2

v(x)v(x)

单调性及其应用

1（1）求f（x）（2）确定f（x）在（a，b）内符号

（3）若f（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若f（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；

f（x）

1 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有

f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x02f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)

＞f(x0)就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0 3.判别f(x0)是极大、极小值的方法:若x0满足f(x0)0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0) 4..求函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区

间，并列成表格f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处

取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)5:在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与

最小值．⑴在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数

f(x)在闭区间a,b上连续，是f(x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非

必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不7利用导数求函数的最值步骤:⑴求f(x)在(a,b)内的极值；⑵将f(x)的各极值与

f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在a,b上的最值

导数定义

x2

例1．yf(x)

axbx2

思路：yf(x)

axb

x1

x1

在x1处可导，则abx1

x1

在x1处可导，必连续limf(x)1 

x1x1

x0

limf(x)ab f(1)1 ∴ ab1 lim



yy2 lima

x0xx

∴ a2 b1

利用导数证明不等式

例4．求证下列不等式

x2x2

（1）x x(0,)（相减） ln(1x)x

22(1x)

（2）sinx

2x



x(0,



2

)（相除）

1x2

1xx^20 ) f(0)0 f(x)证：（1）f(x)ln(1x)(x

1x1x2

∴ yf(x)为(0,)上 ∴ x(0,) f(x)0 恒成立

x2x2

∴ ln(1x)x g(x)xln(1x) g(0)0

22(1x)

4x24x2x212x2

g(x)10 22

1x4(1x)4(1x)

x2

∴ g(x)在(0,)上 ∴ x(0,) xln(1x)0恒成立

2(1x)

利用导数求和

例6．利用导数求和： （1）（2）

； 。

n

n1

分析：这两个问题可通过错位相减法来解决。转换思维角度，由求导公式(x)'nx联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。 解：（1）当x=1时，

；

当x≠1时，

，可

，

两边都是关于x的函数，求导得

即

（2）∵

两边都是关于x的函数，求导得令x=1得

，即

，

。

。

单调区间讨论

例7． 已知函数f(x)x

2

a(2lnx),(a0)，讨论f(x)的单调性

. x

① 当a8

0，即a

2

方程g(x)

0有两个不同的实根x1

x2,0x1x2.

x

f(x) f(x)

(0,x1)

+ 单调递增

x1

0 极大

(x1,x2)

_ 单调递减

x2

0 极小

(x2,)

+ 单调递增

aa上单调递增,

在(此时f(x

)在是上单调递减,

22a)上单调递增. 在(

2

分离常数

例10.已知函数f(x)xlnx（.Ⅰ）求f(x)的最小值；（Ⅱ）若对所有x1都有f(x)ax1，求实数a的取值范围.

解：f(x)的定义域为(0，+)， f(x)的导数f(x)1lnx. 令f(x)0，解得

1111

x；令f(x)0，解得0x.从而f(x)在0单调递减，在，+单调递

eeee

11

增.所以，当x时，f(x)取得最小值.

ee

（Ⅱ）令g(x)f(x)(ax1)，则g(x)f(x)a1alnx，

错误！未找到引用源。 若a1，当x1时，g(x)1alnx1a0，

ax1.，+)上为增函数，故g(x)在(1所以，x1时，g(x)g(1)1a0，即f(x)

错误！未找到引用源。 若a1，方程g(x)0的根为 x0ea1，此时，若x(1，x0)，则g(x)0，故g(x)在该区间为减函数.所以x(1，x0)时，g(x)g(1)1a0，即

f(x)ax1，与题设f(x)ax1相矛盾. 综上，满足条件的a的取值范围是(，1].

求取值范围

例13设函数f(x)x

3

92

x6xa．（1）对于任意实数x，f(x)m恒成立，求m2

的最大值；（2）若方程f(x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

解析 (1) f(x)3x9x63(x1)(x2), 因为x(,),f(x)m, 即

'

2

'

3

3x29x(6m)0恒成立, 所以 8112(6m)0, 得m，即m的最大值

4

3为

4

'''

(2) 因为 当x1时, f(x)0;当1x2时, f(x)0;当x2时, f(x)0;

所以 当x1时,f(x)取极大值 f(1)

5

a;2

当x2时,f(x)取极小值

f(2)2a;

故当f(2)0 或f(1)0时, 方程f(x)0仅有一个实根. 解得 a2或a

5. 2

导数与数列

例已知数列{an}的通项an=8xx,nN+,求数列{an}的最大项

2

3

解：构造辅助函数f(x)=8x2x3(x>0),则0

f'x=16x-3x2 显然，当

161616

时，f'x>0,当x>时，f'(x)

1616

在区间（,+）上是减函数，所以当x=时，函数取最大值。

33对于nN+,f(n)=8n2n3,f(5)=75,f(6)=72,所以f(n)的最大值是75，即数列{an}的最大项为a5=75.

导数与解析几何

例15.已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb (a,bR)．

（I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值； （II）若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围． ．．．

解析 （Ⅰ）由题意得f(x)3x2(1a)xa(a2)

2

f(0)b0

又 ，解得b0，a3或a1

f(0)a(a2)3

（Ⅱ）函数f(x)在区间(1,1)不单调，等价于

导函数f(x)在(1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数f(x)在(1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有

f(1)f(1)0， 即：[32(1a)a(a2)][32(1a)a(a2)]0

2

整理得：(a5)(a1)(a1)0，解得5a1

导数经典习题

一、选择题：

1．已知物体做自由落体运动的方程为ss(t)

12

gt,若t无限趋近于0时， 2

s(1t)s(1)

无限趋近于9.8m/s，那么正确的说法是（ ）

t

A．9.8m/s是在0～1s这一段时间内的平均速度 B．9.8m/s是在1～（1+t）s这段时间内的速度

C．9.8m/s是物体从1s到（1+t）s这段时间内的平均速度 D．9.8m/s是物体在t1s这一时刻的瞬时速度.

2．一个物体的运动方程为s1tt2其中s的单位是米，t的单位是秒，

那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）

A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米

/秒

3. 若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是（ ）

B

x x

A

C D

4．函数yf(x)在一点的导数值为0是函数yf(

x)在这点取极值的（

） A．充分条件 B．必要条件

C．充要条件 D．必要非充分条件

5．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x),g(x)满足f'(x)g'(x),则

f(x)与g(x)满足（ ）

A．f(x)g(x) B．f(x)g(x)为常数函数 C．f(x)g(x)0 D．f(x)g(x)为常数函数 6.. 若f(x)sincosx,则f'()等于（ ） A．sin B．cos C．sincos

D．2sin

7. 已知函数f(x)x3ax2x1在(,)上是单调函数,则实数a的 取值范围是（ ）

A．(,][3,) B．[,]

C．(,)(,) D．(,)

8. 对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f'(x)0，则必有（ ） A． f(0)f(2)2f(1) B. f(0)f(2)2f(1) C. f(0)f(2)2f(1) D. f(0)f(2)2f(1)

二、填空题：

1．若f/(1)2012，则lim

f(1x)f(1)f(1x)f(1)

lim，

x0x0xx

f(1)f(1x)f(12x)f(1)lim lim。 x0x04xx

2．函数y=e- x的导数为1

3. 若函数f(x)满足，f(x)x3f(1)x2x,则f(1)的值

3

4．若f(x)x3,f'(x0)3，则x0的值为________________；

5．曲线yx34x在点(1,3) 处的切线倾斜角为__________；

6．函数yx3x25x5的单调递增区间是__________________________。 7. 已知函数f(x)ln(x1)ax

1a

， x1

若曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线与直线l:y2x1平行，则 a的值 8. 函数f(x)3的图像在x1处的切线在x轴上的截距为x4x5________________。

9．若f(x)ax3bx2cxd(a0)在R增函数，则a,b,c的关系式为是 。

10. 若函数f(x)=x(x-c)在x2处有极大值，则常数c的值为_________；

三、解答题

1．求垂直于直线2x6y10并且与曲线yx33x25相切的直线方程。 2．求函数y(xa)(xb)(xc)的导数。 3．求函数y(1cos2x)3的导数。

2

参考答案

选择题: 1.D 2.C 3.A 4.D 5.B 6.A 7.B 8.C 6. A f'(x)sinx,f'()sin

7. B f'(x)3x22ax10在(

,)恒成立，

4a2120a8.C 当x1时，f'(x)0，函数f(x)在(1,)上是增函数；当x1时，

f'(x)0，f(x)在(,1)上是减函数

故f(x)当x1时取得最小值，即有f(0)f(1),f(2)f(1),得f(0)f(2)2f(1) 填空题:

1. 2012,-2012,-503,4024;

f(1x)f(1)

提示: lim=f/(1)2012;

x0x2. -e-x

3. 0 提示：f(1)为常数，f’ (x)=x2－2f(1)x－１，1

f'(x0)3x023,x01

33 y'3x24,ky'|x11,tan1, 44

55

5. (,),(1,) 令y'3x22x50,得x,或x1

33

4.

7. 3 提示：f’ (x)＝

1a

-a＋，∵yf(x)在点(1,f(1))处的切2

x1(x1)

线与直线l:y2x1平行，而直线l:y2x1的斜率为－２，∴f’ (１)＝－２f’ (１)＝

1a

-a＋＝－２，解得 a=10/3 11(11)2

33

8.  f'(x)3x24,f'(1)7,f(1)10,y107(x1),y0时,x

779. a0,且b23ac

2

10. 2 f'(x)3xc=64cx2c,'f(2)2c8c120c或,，2,时取极小值，6舍去

解答题

1. 3x+y+6=0

设切点为P(a,b)，函数yx33x25的导数为y'3x26x 切线的斜率ky'|xa3a26a3，得a1，代入到yx33x25 得b3，即P(1,3)，y33(x1),3xy60。

2. 法一：化简在求导 Y=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc

Y′=3x^2-2(a+b+c)x+(ab+ac+bc)

法二; y'(xa)'(xb)(xc)(xa)(xb)'(xc)(xa)(xb)(xc)' (xb)(xc)(xa)(xc)(xa)( xb

所以增区间为(,1),(1,)；减区间为(1,1)。

3. 解：y(1cos2x)3(2cos2x)38cos6x

y'48cos5x(cosx)'48cos5x(sinx)

48sinxcos5x。