等腰三角形练习
知识梳理
说明：①本定理的证明用的是作底边上的高，还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。
②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义 2、利用定理。
知识点4：等腰三角形的推论
1. 推论：推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 知识点5： 等腰三角形中常用的辅助线
等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 一、知识点回顾 等腰三角形的性质：
△ABC中，AB=AC．点D在BC边上
（1）∵AB=AC， ∴∠_____=∠______；（即性质1）
（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；（即性质2） （3）∵AB=AC，AD是中线，∴∠______=∠______；________⊥________；（即性质2）
（4）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．（即性质2） 等腰三角形的判定：△ABC中，∵∠B=∠C ∴_____=_____． 二、基础题
第1题. 已知等腰三角形的一个内角为80°，则它的另两角为________________．
第2题. 在△ABC中， ∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（ ） A．2
B．3
C．4
D．5
第3题. 如图1，△MNP中， ∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（ ）
B
知识点1：等腰三角形的性质定理1
（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） （2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C （3）证明：取BC的中点D，连接AD 在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。 知识点2：等腰三角形性质定理2
（1） 文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线， 底边上的高，互相重合（简称“三线合一”） （2）符号语言：
∵AB=AC，∠1=∠2 ∵AB=AC，AD⊥BC ∵AB=AC，BD=DC ∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2，BD=DC ∴∠1=∠2，AD⊥BC （3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。
说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相
重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。 知识3：等腰三角形的判定定理
（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对
等边”）
（2）符号语言：在△ABC中,∵∠B=∠C ∴AB=AC （3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。 在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD （AAS） ∴AB=AC
（4）定理的作用：等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
M
A
Q B Q P 图图2
C
B D E C 图3 图4
G N
A．
8+2
a
B
．8+a C．6+a D．6+2a
第4题. 如图2，O是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E点，若
BC=10cm，那么△ODE的周长为（ ）
A．8cm
B．9cm
C．10cm
D．11cm
第5题. 如图3，已知: P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数． 第6题. 等腰三角形底边中点与一腰的距离为6，则腰上的高为______．
第7题. 如图4，DE是线段BC垂直平分线上两点，连DB、DC、EB、EC，则∠DBC与∠DCB的关系是________，∠DBE与∠DCE的关系是________．
第8题. 等腰三角形底角的外角比顶角的外角大30°，则这个三角形各内角度数是________． 第9题. 等腰三角形有一个角是50°，那么其他两个角的度数是____________． 第10题. 如图5，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=______． A
A
F 图E 图6
B D
C
B
D C 第11题. 如图6，,ABC是等腰三角形，D为BC上一点，DE∥AB且交AC于E，请判断△EDC是什么三角形?
并说明理由．
第12题. 如图7，已知AE平分∠DAC，AE
∥BC，那么AB=AC吗?请简要说明理由．
A
P E 图图P 图9
B C
B
C
M Q N
第13题. 如图8，PQ为Rt△MPN斜边上的高， ∠M=45°，则图中等腰三角形的个数是（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
第14题. 等腰三角形的两边长为3和6，则这个三角形的周长为（ ）
A．9
B．12 C．15 D．12或1
第15题. 如图9，在△ABC中，AB=AC， ∠A=50°，P是△ABC内一点， ∠PCB=∠PCA，且∠PBC=∠PBA，则∠BPC度数为（ ） A．115°
B．100°
C．130° D．140°
第16题. 下列命题正确的个数是（ ）
①如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边;②如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段，那么延长线段的两个端点与顶点距离相等;③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等;④等腰三角形高上一点到底边的两端点距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第17题. 等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ） A．42° B．60° C． 36°
D． 46°
第18题. 等边三角形两条角平分线所夹锐角的度数是（ ） A．120°
B． 150° C．60° D．90°
第19题. 如图10，∠ABC中，AD⊥BC，AB=AC， ∠BAD=30°，且AD=AE，则∠EDC等于（ ） A．10° B．12．5° C．15° D． 20°
A
图10
图11
图12
E B
C
B
D
C
第20题. 如图11，△ABC中，点D在AC上，且AB=AD， ∠ABC=∠C+30°，则∠CBD等于（ ）
A．15° B． 18° C． 20° D． 22.5°
第21题. 已知:如图12，AB=AC，BD⊥AC，请探索∠DBC与∠A的关系并说明理由．
第22题. 如果一个三角形的一条边上的中点到其他两边的距离相等，那么它一定是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形
D．不等腰钝角三角形
第23题. 如下图，在△ABC中，AB=AC， ∠A=36°，BD、CE分别 E
是∠ABC、∠ACB的平分线，则图中等腰三角形的个数为（ ） A．12 B．10 C．9
D．8
B 第24题. 一个等腰三角形的一个内角为90°，那么这个等腰三角形的一个底角为（C
）
A．90° B． 45° C． 50° D． 22.5°
第25题. 等腰三角形的两条边长分别为15cm和7cm，则它的周长为（ ） A．37cm
B．29cm
C．37cm或29cm
D．无法确定 第26题. △ABC中，∠ACB=90°，DE是AB的
垂直平分线，且∠BAD∶∠CAB=1∶3，则∠B等于_______度． 第27题. 已知Rt△ABC是轴对称图形，且∠C＝90°， 那么∠B＝_____度，∠A＝______度；点A的对应点是______， 点C的对应点是_______．
A E
B
第28题. 在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P，则第29题. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是BC且满足AD＝AE=BD=CE，则图中与∠B相等的角有________个角，
分别是________________________． 图中全等的三角形有________________________________
第30题. 已知线段a，b（a>2b），以a、b为边作等腰三角形，则（ ） A．只能作以a为底边的等腰三角形
B．只能作以b为底边的等腰三角形 C．可以作分别以a、b为底的等腰三角形 D．不能作符合条件的等腰三角形 AD
B第31题. 如图，在△ABC中，BC=5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥
AC，则△PDE的周长是___________ cm.
第32题如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状
二、解答题
1．如图，已知AB=AC，E、D分别在AB、AC上，BD与CE交于点F，•且∠ABD=•∠ACE，
求证：BF=CF．
A
ED
F
B
D2．如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC 于F交BC于E，•
B
求证：△DBE是等腰三角形． E
A
FC
3. 如图, 已知：点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证：BD=CE
4. 如图：△ABC中,AB=AC,PB=PC．求证：AD⊥BC
5. 已知：如图,BE和CF是△ABC的高线,BE=CF,H是CF、BE的交点．求证：HB=HC
6．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC•于点D，•求证：•BC=3AD. A
7．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE•都是等边三角形．BDBE交AC于FC，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH•的形状并说明理由．
A
B
D
8.已知:如图，△BDE是等边三角形，A在BE延长线上，C在BD的延长线上，且AD=AC。求证：DE+DC=AE。
9. 如图,△ABC中,D在BC延长线上,且AC=CD,CE是△ACD的中线,CF平分∠ACB,交AB于F,求证:(1)CE⊥CF;(2)CF∥AD.
三、探究题
A
1．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D 满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：连接CE）
D
B
2．如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE∥AC•交AB于E， 求证：AE=BE．
EB
3．如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2 ，试说明：AB=AC+CD ．
4. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。
E
等腰三角形练习
知识梳理
说明：①本定理的证明用的是作底边上的高，还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。
②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义 2、利用定理。
知识点4：等腰三角形的推论
1. 推论：推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 知识点5： 等腰三角形中常用的辅助线
等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 一、知识点回顾 等腰三角形的性质：
△ABC中，AB=AC．点D在BC边上
（1）∵AB=AC， ∴∠_____=∠______；（即性质1）
（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；（即性质2） （3）∵AB=AC，AD是中线，∴∠______=∠______；________⊥________；（即性质2）
（4）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．（即性质2） 等腰三角形的判定：△ABC中，∵∠B=∠C ∴_____=_____． 二、基础题
第1题. 已知等腰三角形的一个内角为80°，则它的另两角为________________．
第2题. 在△ABC中， ∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（ ） A．2
B．3
C．4
D．5
第3题. 如图1，△MNP中， ∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（ ）
B
知识点1：等腰三角形的性质定理1
（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） （2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C （3）证明：取BC的中点D，连接AD 在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。 知识点2：等腰三角形性质定理2
（1） 文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线， 底边上的高，互相重合（简称“三线合一”） （2）符号语言：
∵AB=AC，∠1=∠2 ∵AB=AC，AD⊥BC ∵AB=AC，BD=DC ∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2，BD=DC ∴∠1=∠2，AD⊥BC （3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。
说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相
重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。 知识3：等腰三角形的判定定理
（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对
等边”）
（2）符号语言：在△ABC中,∵∠B=∠C ∴AB=AC （3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。 在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD （AAS） ∴AB=AC
（4）定理的作用：等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
M
A
Q B Q P 图图2
C
B D E C 图3 图4
G N
A．
8+2
a
B
．8+a C．6+a D．6+2a
第4题. 如图2，O是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E点，若
BC=10cm，那么△ODE的周长为（ ）
A．8cm
B．9cm
C．10cm
D．11cm
第5题. 如图3，已知: P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数． 第6题. 等腰三角形底边中点与一腰的距离为6，则腰上的高为______．
第7题. 如图4，DE是线段BC垂直平分线上两点，连DB、DC、EB、EC，则∠DBC与∠DCB的关系是________，∠DBE与∠DCE的关系是________．
第8题. 等腰三角形底角的外角比顶角的外角大30°，则这个三角形各内角度数是________． 第9题. 等腰三角形有一个角是50°，那么其他两个角的度数是____________． 第10题. 如图5，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=______． A
A
F 图E 图6
B D
C
B
D C 第11题. 如图6，,ABC是等腰三角形，D为BC上一点，DE∥AB且交AC于E，请判断△EDC是什么三角形?
并说明理由．
第12题. 如图7，已知AE平分∠DAC，AE
∥BC，那么AB=AC吗?请简要说明理由．
A
P E 图图P 图9
B C
B
C
M Q N
第13题. 如图8，PQ为Rt△MPN斜边上的高， ∠M=45°，则图中等腰三角形的个数是（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
第14题. 等腰三角形的两边长为3和6，则这个三角形的周长为（ ）
A．9
B．12 C．15 D．12或1
第15题. 如图9，在△ABC中，AB=AC， ∠A=50°，P是△ABC内一点， ∠PCB=∠PCA，且∠PBC=∠PBA，则∠BPC度数为（ ） A．115°
B．100°
C．130° D．140°
第16题. 下列命题正确的个数是（ ）
①如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边;②如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段，那么延长线段的两个端点与顶点距离相等;③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等;④等腰三角形高上一点到底边的两端点距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第17题. 等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ） A．42° B．60° C． 36°
D． 46°
第18题. 等边三角形两条角平分线所夹锐角的度数是（ ） A．120°
B． 150° C．60° D．90°
第19题. 如图10，∠ABC中，AD⊥BC，AB=AC， ∠BAD=30°，且AD=AE，则∠EDC等于（ ） A．10° B．12．5° C．15° D． 20°
A
图10
图11
图12
E B
C
B
D
C
第20题. 如图11，△ABC中，点D在AC上，且AB=AD， ∠ABC=∠C+30°，则∠CBD等于（ ）
A．15° B． 18° C． 20° D． 22.5°
第21题. 已知:如图12，AB=AC，BD⊥AC，请探索∠DBC与∠A的关系并说明理由．
第22题. 如果一个三角形的一条边上的中点到其他两边的距离相等，那么它一定是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形
D．不等腰钝角三角形
第23题. 如下图，在△ABC中，AB=AC， ∠A=36°，BD、CE分别 E
是∠ABC、∠ACB的平分线，则图中等腰三角形的个数为（ ） A．12 B．10 C．9
D．8
B 第24题. 一个等腰三角形的一个内角为90°，那么这个等腰三角形的一个底角为（C
）
A．90° B． 45° C． 50° D． 22.5°
第25题. 等腰三角形的两条边长分别为15cm和7cm，则它的周长为（ ） A．37cm
B．29cm
C．37cm或29cm
D．无法确定 第26题. △ABC中，∠ACB=90°，DE是AB的
垂直平分线，且∠BAD∶∠CAB=1∶3，则∠B等于_______度． 第27题. 已知Rt△ABC是轴对称图形，且∠C＝90°， 那么∠B＝_____度，∠A＝______度；点A的对应点是______， 点C的对应点是_______．
A E
B
第28题. 在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P，则第29题. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是BC且满足AD＝AE=BD=CE，则图中与∠B相等的角有________个角，
分别是________________________． 图中全等的三角形有________________________________
第30题. 已知线段a，b（a>2b），以a、b为边作等腰三角形，则（ ） A．只能作以a为底边的等腰三角形
B．只能作以b为底边的等腰三角形 C．可以作分别以a、b为底的等腰三角形 D．不能作符合条件的等腰三角形 AD
B第31题. 如图，在△ABC中，BC=5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥
AC，则△PDE的周长是___________ cm.
第32题如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状
二、解答题
1．如图，已知AB=AC，E、D分别在AB、AC上，BD与CE交于点F，•且∠ABD=•∠ACE，
求证：BF=CF．
A
ED
F
B
D2．如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC 于F交BC于E，•
B
求证：△DBE是等腰三角形． E
A
FC
3. 如图, 已知：点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证：BD=CE
4. 如图：△ABC中,AB=AC,PB=PC．求证：AD⊥BC
5. 已知：如图,BE和CF是△ABC的高线,BE=CF,H是CF、BE的交点．求证：HB=HC
6．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC•于点D，•求证：•BC=3AD. A
7．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE•都是等边三角形．BDBE交AC于FC，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH•的形状并说明理由．
A
B
D
8.已知:如图，△BDE是等边三角形，A在BE延长线上，C在BD的延长线上，且AD=AC。求证：DE+DC=AE。
9. 如图,△ABC中,D在BC延长线上,且AC=CD,CE是△ACD的中线,CF平分∠ACB,交AB于F,求证:(1)CE⊥CF;(2)CF∥AD.
三、探究题
A
1．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D 满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：连接CE）
D
B
2．如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE∥AC•交AB于E， 求证：AE=BE．
EB
3．如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2 ，试说明：AB=AC+CD ．
4. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。
E