梁的极限荷载
梁在横向力作用下，除了产生弯矩外，通常还产生剪力。一般来说，剪力对梁的极限荷载影响很小，可忽略不计。故，考虑梁的极限荷载前面的分析结果仍然有效。
一、静定梁的极限荷载
图（a ）
图（b ）
图（c ）
L/2 L/2
图示矩形等截面简支梁，跨中受由零逐渐增加的集中荷载P 作用。在加载初期，梁的各截面均处于弹性阶段，随着荷载的增加，跨中截面的最外侧纤维先达到屈服极限σy ，该截面的弯矩达到M y ，弹性阶段结束。此时的荷载称为弹性极限荷载P y 。 由静力平衡条件可得：
M y =P y L
4 ，于是，P y =4M y
L
当荷载继续增加时，中间截面的塑性范围逐渐加大，最后达到极限弯矩M u ，形成塑性铰而使结构成为机构。此时，位移可任意增大，而承载力却不能增大，即，荷载达到极限P u 而使结构处于极限状态。
由静力平衡条件，
M u =P u L 4M u ，于是，P u = 如图（b ）所示。 4L
极限荷载P u 与弹性极限荷载（屈服极限）P y 的比值：
P u M u ==α=1. 5 P y M y
二、超静定梁的极限荷载
超静定梁有多余约束，故在出现多个塑性铰后才丧失承载力。
例1．
图示两端固定的等截面梁AB ，其正、负弯矩的极限值都是M u ，均布荷载q 逐渐增加。求极限荷载q u ，并分析荷载q 与跨中截面C 的竖向位移ΔCV 之间的关系。
q
图（a ）
L/2 L/2
①当梁处于弹性状态时的弯矩图如下
2/12 qL 2/12
图（b ）
②当q 逐渐增大时，A 、B 两处的弯矩先同时达到极限M u ，此时，A 、B 、C 三处的弯矩关系仍然保持。
u u
图（c ）
M u /2
③当q 逐渐增大至q 1时，A 、B 两处的弯矩同时达到极限M u ，A 、B 截面已成为塑性铰， M u 不变，梁已经变为简支。此时刻梁的受力认为是两端作用M u ，承受均布荷载q 1 的简支梁，如下图。
u
q 1L/8
图（d ）
M q 1L 2
由于②、③两个弯矩图是一致的，故，中点的弯矩为-M u =u ， 28
从而得：q 1=12M u L 2
由于此时刻的梁已可看作简支梁，故，求中点C 的竖向位移，可作如下的图
图（e ）
图（d ）和图（e ）图乘就是要求的ΔCV
M u L 21⎛23M u L 5L L 1L ⎫ ΔCV = ⨯⨯⨯-M u ⨯⨯⨯⎪⨯2= ⨯32EI EI ⎝32284224⎭
④当荷载继续增加时，C 截面的弯矩不断增大，直至达到M u ，设此时的荷载为q 2 。梁A 、
B 、C 三截面均已是塑性铰，梁变为机构。q 2=qu
M u
图（f ）
q 2L 2
由平衡条件，中点的弯矩为-M u =M u 8
从而得：q 2=16M u L 2
CV 图（f ）与图（e ）图乘得Δ
M u L 21⎛2L 5L L L ⎫ ΔCV = ⨯2M u ⨯⨯⨯-M u ⨯⨯⎪⨯2=12EI EI ⎝328428⎭
q
16 (Mu /L2 ) 截面C 出现塑性铰
12 截面A 、B 出现塑性铰
ΔCV
u
q 与ΔCV 之间的非线性关系
例2．
图示一端固定、一端铰支的等截面梁AB ，其正、负弯矩的极限值都是M u ，均布荷载q 逐渐增加。求极限荷载q u 。
解：①当荷载q ≤q y 时，梁处于弹性阶段，作出如下的弯矩图，并求得最大正弯矩发生在离
3L qL 2
B 端处，M max = 814. 22
②随着荷载的增加，A 截面首先出现塑性铰。若荷载的继续增加，梁变为简支梁。增加的荷载由简支梁承担。
③由于增加的荷载由简支梁承担，最大正弯矩的位置将发生变化。设第二个塑性铰的位置距离B 端x 处
A
由平衡条件可得：M x =Mu =q u L M 1x -u x -q u x 2 ----------------------（1） 2L 2
由于塑性铰首先在最大弯矩处发生，故，由
dM x q L M 2M u =u -u -q u x =0 得：q u = -------------------（2） 2L dx L L -2x 把（2）式代入（1）式，
M u =q u L M M u x M u 112M u x -u x -q u x 2=-x -x 2 2L 2L -2x L 2L L -2x 22整理得：x +2Lx -L =0
解得：x =2-1L =0. 4142L
11. 66M u L 2)把x 代入（2）式得：q u =
1）只要预先判定超静定梁的破坏机构，就可根据该破坏机构应用静力平衡条件确定
极限荷载，而不必考虑梁的弹塑性变形的发展过程。----------称为极限平衡法
（2）温度变化、支座移动等因素对超静定梁的极限荷载没有影响。因为超静定梁变为
机构之前，先变为静定结构。
例3．
′求图示变截面梁的极限荷载P u 。已知，AB 段截面的极限弯矩为M u ，BC 段截面的极限弯
矩为M u 。
a b c
解：对变截面梁来讲，由于AB 、BC 段截面的极限弯矩不同，塑性铰不仅可能出现在A 、D 处，也可能出现在变截面B 处。 M A ①截面B 、D 出现塑性铰
破坏机构如下图。设D 处的竖向位移为ΔD
机构图 弯矩图
B 和D 处的弯矩都是M u ，截面A 的弯矩M A 易用比例关系求得：
M A = ⎛2a ⎫+1⎪M u b ⎝⎭
⎛2a ⎫+1⎪M u ，否则A 截面产发生塑性铰，上述机构不成立。 ⎝b ⎭'≥ 条件是M u
由虚功原理：P u ⋅∆D =M u ⋅θB +M u ⋅θD
其中，θB =∆D ∆∆ ，θD =D +D 代入上式得： b b c
P u =
⎛b +2c ⎫⎪⋅M u ⎝bc ⎭
②截面A 和D 处出现塑性铰
画出机构图和弯矩图如下
′
M
u
机构图 弯矩图
由弯矩图易由比例关系算得截面B 的弯矩M B ='-aM u b M u a +b
'-aM u b M u 2a +b '≤⋅M u 条件是：M u ≥M B = ，或M u b a +b
'⋅θA +M u ⋅θD 由虚功原理：P u ⋅∆D =M u
其中，θA =∆D ∆∆D +D 代入上式得： ，θD =a +b a +b c
P u ='⎛1M u 1⎫+ +⎪⋅M u a +b ⎝a +b c ⎭
例4．如图所示等截面梁的极限弯矩M u ，荷载P 由零逐渐增加到极限荷载P u ，然后再由P u 逐渐卸载到零，试求极限荷载P u 及残余弯矩图。
P
L/3 2L/3
解：1. 作极限弯矩图，求极限荷载
M u
P u
图（a ）
u
由平衡条件：
2P u L 9M u ⋅-M u =M u 得：P u = 33L
2．作卸载时的弯矩图
荷载由P u 逐渐卸载到零时，相当于在B 点向上施加静力荷载P u ，并且，卸载时为线弹性，故，可按线弹性理论计算弯矩图。
8 Pu
C
P u u L/ 81
12 P
u L/ 81
9M u Pab 2Pa 2b M A =，M =，a=L/3，b=2L/3 。把P =代入得： B u L L 2L 2
8M u
图（b ）
6M u /9
12M u /9
3．残余弯矩图
图（a ）与图（b ）叠加就是残余弯矩图
u /3
M u /3
例5．多跨连续梁的破坏机构有其独特性。
假设连续梁各跨截面可不相同，但每跨度内是等截面，并假设各跨梁受到的荷载方向相同，按比例增加。这样，只可能在各跨独立形成破坏机构，因为当各荷载均为向下作用时，每跨内的负弯矩在跨端为最大，负弯矩产生的塑性铰也只能在跨端出现，从而形成各跨独立的破坏机构。
因此，计算多跨连续梁的极限荷载，只需分别求出每跨破坏时的破坏荷载，选择最小的一个便是多跨连续梁的极限荷载。
L/2 L/2 L/2 L
解：①弹性时的弯矩图形状
②各跨的破坏机构图
A
③由虚功原理，
第一跨：q u L ⋅∆1+q u L ⋅∆1=2M u ⋅θA +2M u (θA +θB -)+M u ⋅θB - 2
式中，θA =∆1∆12∆1= ，θB -= 表示B 截面左侧转角。代入后整理得： L 0. 5L L
q u =20M u ---------------------------（1） 3L 2
第二跨：2⨯⎰L
2
0q u dx 2∆2x =M u θB ++M u θC -+M u (θB ++θC -) L
式中，θB +=2∆2=θC - ，θB +表示B 截面右侧转角；θC -表示C 截面左侧转角。 L
得：q u =16M u ---------------------------（2） 2L
第三跨：2q u L ∆3=M u θC ++M u (θC ++θD )
式中，θC +=θD =2∆3，θC +表示B 截面右侧转角。 L
得：q u =3M u ---------------------------（3） 2L
比较（1）、（2）、（3），取最小的一个得：
q u =3M u L 2
（2）屈服条件：M ≤M u
（3）单向机构条件：结构出现塑性铰后成为机构能沿荷载方向作单向运动。
梁的极限荷载
梁在横向力作用下，除了产生弯矩外，通常还产生剪力。一般来说，剪力对梁的极限荷载影响很小，可忽略不计。故，考虑梁的极限荷载前面的分析结果仍然有效。
一、静定梁的极限荷载
图（a ）
图（b ）
图（c ）
L/2 L/2
图示矩形等截面简支梁，跨中受由零逐渐增加的集中荷载P 作用。在加载初期，梁的各截面均处于弹性阶段，随着荷载的增加，跨中截面的最外侧纤维先达到屈服极限σy ，该截面的弯矩达到M y ，弹性阶段结束。此时的荷载称为弹性极限荷载P y 。 由静力平衡条件可得：
M y =P y L
4 ，于是，P y =4M y
L
当荷载继续增加时，中间截面的塑性范围逐渐加大，最后达到极限弯矩M u ，形成塑性铰而使结构成为机构。此时，位移可任意增大，而承载力却不能增大，即，荷载达到极限P u 而使结构处于极限状态。
由静力平衡条件，
M u =P u L 4M u ，于是，P u = 如图（b ）所示。 4L
极限荷载P u 与弹性极限荷载（屈服极限）P y 的比值：
P u M u ==α=1. 5 P y M y
二、超静定梁的极限荷载
超静定梁有多余约束，故在出现多个塑性铰后才丧失承载力。
例1．
图示两端固定的等截面梁AB ，其正、负弯矩的极限值都是M u ，均布荷载q 逐渐增加。求极限荷载q u ，并分析荷载q 与跨中截面C 的竖向位移ΔCV 之间的关系。
q
图（a ）
L/2 L/2
①当梁处于弹性状态时的弯矩图如下
2/12 qL 2/12
图（b ）
②当q 逐渐增大时，A 、B 两处的弯矩先同时达到极限M u ，此时，A 、B 、C 三处的弯矩关系仍然保持。
u u
图（c ）
M u /2
③当q 逐渐增大至q 1时，A 、B 两处的弯矩同时达到极限M u ，A 、B 截面已成为塑性铰， M u 不变，梁已经变为简支。此时刻梁的受力认为是两端作用M u ，承受均布荷载q 1 的简支梁，如下图。
u
q 1L/8
图（d ）
M q 1L 2
由于②、③两个弯矩图是一致的，故，中点的弯矩为-M u =u ， 28
从而得：q 1=12M u L 2
由于此时刻的梁已可看作简支梁，故，求中点C 的竖向位移，可作如下的图
图（e ）
图（d ）和图（e ）图乘就是要求的ΔCV
M u L 21⎛23M u L 5L L 1L ⎫ ΔCV = ⨯⨯⨯-M u ⨯⨯⨯⎪⨯2= ⨯32EI EI ⎝32284224⎭
④当荷载继续增加时，C 截面的弯矩不断增大，直至达到M u ，设此时的荷载为q 2 。梁A 、
B 、C 三截面均已是塑性铰，梁变为机构。q 2=qu
M u
图（f ）
q 2L 2
由平衡条件，中点的弯矩为-M u =M u 8
从而得：q 2=16M u L 2
CV 图（f ）与图（e ）图乘得Δ
M u L 21⎛2L 5L L L ⎫ ΔCV = ⨯2M u ⨯⨯⨯-M u ⨯⨯⎪⨯2=12EI EI ⎝328428⎭
q
16 (Mu /L2 ) 截面C 出现塑性铰
12 截面A 、B 出现塑性铰
ΔCV
u
q 与ΔCV 之间的非线性关系
例2．
图示一端固定、一端铰支的等截面梁AB ，其正、负弯矩的极限值都是M u ，均布荷载q 逐渐增加。求极限荷载q u 。
解：①当荷载q ≤q y 时，梁处于弹性阶段，作出如下的弯矩图，并求得最大正弯矩发生在离
3L qL 2
B 端处，M max = 814. 22
②随着荷载的增加，A 截面首先出现塑性铰。若荷载的继续增加，梁变为简支梁。增加的荷载由简支梁承担。
③由于增加的荷载由简支梁承担，最大正弯矩的位置将发生变化。设第二个塑性铰的位置距离B 端x 处
A
由平衡条件可得：M x =Mu =q u L M 1x -u x -q u x 2 ----------------------（1） 2L 2
由于塑性铰首先在最大弯矩处发生，故，由
dM x q L M 2M u =u -u -q u x =0 得：q u = -------------------（2） 2L dx L L -2x 把（2）式代入（1）式，
M u =q u L M M u x M u 112M u x -u x -q u x 2=-x -x 2 2L 2L -2x L 2L L -2x 22整理得：x +2Lx -L =0
解得：x =2-1L =0. 4142L
11. 66M u L 2)把x 代入（2）式得：q u =
1）只要预先判定超静定梁的破坏机构，就可根据该破坏机构应用静力平衡条件确定
极限荷载，而不必考虑梁的弹塑性变形的发展过程。----------称为极限平衡法
（2）温度变化、支座移动等因素对超静定梁的极限荷载没有影响。因为超静定梁变为
机构之前，先变为静定结构。
例3．
′求图示变截面梁的极限荷载P u 。已知，AB 段截面的极限弯矩为M u ，BC 段截面的极限弯
矩为M u 。
a b c
解：对变截面梁来讲，由于AB 、BC 段截面的极限弯矩不同，塑性铰不仅可能出现在A 、D 处，也可能出现在变截面B 处。 M A ①截面B 、D 出现塑性铰
破坏机构如下图。设D 处的竖向位移为ΔD
机构图 弯矩图
B 和D 处的弯矩都是M u ，截面A 的弯矩M A 易用比例关系求得：
M A = ⎛2a ⎫+1⎪M u b ⎝⎭
⎛2a ⎫+1⎪M u ，否则A 截面产发生塑性铰，上述机构不成立。 ⎝b ⎭'≥ 条件是M u
由虚功原理：P u ⋅∆D =M u ⋅θB +M u ⋅θD
其中，θB =∆D ∆∆ ，θD =D +D 代入上式得： b b c
P u =
⎛b +2c ⎫⎪⋅M u ⎝bc ⎭
②截面A 和D 处出现塑性铰
画出机构图和弯矩图如下
′
M
u
机构图 弯矩图
由弯矩图易由比例关系算得截面B 的弯矩M B ='-aM u b M u a +b
'-aM u b M u 2a +b '≤⋅M u 条件是：M u ≥M B = ，或M u b a +b
'⋅θA +M u ⋅θD 由虚功原理：P u ⋅∆D =M u
其中，θA =∆D ∆∆D +D 代入上式得： ，θD =a +b a +b c
P u ='⎛1M u 1⎫+ +⎪⋅M u a +b ⎝a +b c ⎭
例4．如图所示等截面梁的极限弯矩M u ，荷载P 由零逐渐增加到极限荷载P u ，然后再由P u 逐渐卸载到零，试求极限荷载P u 及残余弯矩图。
P
L/3 2L/3
解：1. 作极限弯矩图，求极限荷载
M u
P u
图（a ）
u
由平衡条件：
2P u L 9M u ⋅-M u =M u 得：P u = 33L
2．作卸载时的弯矩图
荷载由P u 逐渐卸载到零时，相当于在B 点向上施加静力荷载P u ，并且，卸载时为线弹性，故，可按线弹性理论计算弯矩图。
8 Pu
C
P u u L/ 81
12 P
u L/ 81
9M u Pab 2Pa 2b M A =，M =，a=L/3，b=2L/3 。把P =代入得： B u L L 2L 2
8M u
图（b ）
6M u /9
12M u /9
3．残余弯矩图
图（a ）与图（b ）叠加就是残余弯矩图
u /3
M u /3
例5．多跨连续梁的破坏机构有其独特性。
假设连续梁各跨截面可不相同，但每跨度内是等截面，并假设各跨梁受到的荷载方向相同，按比例增加。这样，只可能在各跨独立形成破坏机构，因为当各荷载均为向下作用时，每跨内的负弯矩在跨端为最大，负弯矩产生的塑性铰也只能在跨端出现，从而形成各跨独立的破坏机构。
因此，计算多跨连续梁的极限荷载，只需分别求出每跨破坏时的破坏荷载，选择最小的一个便是多跨连续梁的极限荷载。
L/2 L/2 L/2 L
解：①弹性时的弯矩图形状
②各跨的破坏机构图
A
③由虚功原理，
第一跨：q u L ⋅∆1+q u L ⋅∆1=2M u ⋅θA +2M u (θA +θB -)+M u ⋅θB - 2
式中，θA =∆1∆12∆1= ，θB -= 表示B 截面左侧转角。代入后整理得： L 0. 5L L
q u =20M u ---------------------------（1） 3L 2
第二跨：2⨯⎰L
2
0q u dx 2∆2x =M u θB ++M u θC -+M u (θB ++θC -) L
式中，θB +=2∆2=θC - ，θB +表示B 截面右侧转角；θC -表示C 截面左侧转角。 L
得：q u =16M u ---------------------------（2） 2L
第三跨：2q u L ∆3=M u θC ++M u (θC ++θD )
式中，θC +=θD =2∆3，θC +表示B 截面右侧转角。 L
得：q u =3M u ---------------------------（3） 2L
比较（1）、（2）、（3），取最小的一个得：
q u =3M u L 2
（2）屈服条件：M ≤M u
（3）单向机构条件：结构出现塑性铰后成为机构能沿荷载方向作单向运动。