课程名：称 随过程机（ B）类考试 班 学级 号卷说试明：
程课在学院所 理：学 姓院
名
成绩
1 本.考次为闭试卷试考本试。卷计共4 ，共 页 大四分部，请勿答； 漏2 .试时间为考1 20分钟 ，掌请好握答时题间； . 答题3之前请，将试和卷答纸题上考的班试、学号级姓名填、清楚； 4写 .试本卷部全答案在试写上； 5. 卷题完毕答，将试请和卷答纸正题向面对叠交回，外得不带出场； 6. 考试中考心提示请你遵守考场纪律，：诚信考、公试竞平争 ！．一空题填（空每2 ，共分 02 分 1．设）机变量 随X服 参数为
从
λ 的泊 松分 布， 则 X 的特 征 函 数 eλ为(e
i
t
-1)
。
2设．机随过 程Xt(=)Aocs(ωt+Φ ,-∞
3．度为λ的泊松过强的点间程距间相互独立是的机随量，且服变均值从
1为(s inω( +t1-s)iω t)n。 21
λ
的一同数指分。布
4设 {．nW ,n≥ 1}是与泊松 程过 X({),t t≥ 0 }对应一个等的时待序间，列则 Wn 从服Γ 布。分5． 中放有袋一个球白两，个红，每球单位时隔间从袋任中取球一，取后回放，每对一个定确 的
⎧t t ⎪, 对应 随 机 变 量 X( t =) ⎨ t ⎪3⎩e
,如果时t取红得球如 t时果得取球白
，
这 个 则 随 过 机程的 状 态 空间
⎧1 2
⎫ 2⎨t, t ,;,ee ⎬。⎩ 33
⎭．6设 氏马链的一步转移率概阵 矩=(pPji ) ， n 步转移矩 阵
Pn)(( n n )者二间之的关系为 P = P 。 (=(pn i) )j，
7
． 设{Xn , n≥ 0 为}氏链马状，态间空I ，始概初 pi =率 P( 0 Xi)= ，绝对率 p概 (nj) =P {X n = j}
(n)，n 步转移 概率p( n )j i，三之者的关间系为p j (n = ∑ ) p ⋅ip j i 。i∈I
．8在马链氏{X n n ,≥ 0} 中记 f i，j= P Xv ≠j,1 ≤ ≤vn-1,X n =j X 0 = i n, ≥1
(,n
)
{
}
1
f
ij ∑= fi(j) ，n f若i i
=1
n∞
9
非周．期正常返的态状称为遍历态。 01状．态 i返的常要充条为
件
p∑
n0
=
∞
(n) ii
=
。
∞二．证明题（每题
6 ，共分24 分 1.设 A）,B,C 为个随机事件，证明条三件概率乘的公法式： (PC A B=)PB( )PAC AB() 。
证明左边：
=P(
BAC) P(ABC) P(AB) = P(=C A)P(B BA =右边 P())A P(BA )P()A
2.
{X设t)(t,0³}独是立量增过, 程且 X(0=0, 证明){(Xt)t,³0是一}马尔科个过夫程 证明。： 当 0
P(
(Xt ≤ ) Xx(1 t=)x1 X,t 2( =x) 2 , Xt n ()x= )n= (XPt)(X-(tn )≤ x-x n (X1t)- (0X=)1x, (tX 2 )X(0-=x) 2 X,t( n) X(-0=)x n ) =P X(t(-X()t ) n x-≤xn ) 又，因为P (X()t≤ xXt(n )=x n ) P=(X()-Xtt n( )≤ -xxn X (t )=n x n) =(PXt)-X((tn ) ≤ x- nx )故 P(，X()t ≤ Xx(t 1)x1=, (X t 2=)x 2, X t (n) =x ) n P(X(=t
)≤ Xx( t n)x=n
)3.设 X n {, ≥n0 为马尔科夫链，}态空间状 为I， 对则任整意数n ≥0,1 ≤l
n)
(
p l ∑
kpI∈
(
) (-n )li kkj
称此式，切为曼—普科莫尔哥洛方夫，程明证说明并其义。
证意：明 ijP= P X ()=jn (0X=) =i ⎨PX(n )=j
,n()
{
}
⎩
⎧
= ∑P{ X()n=,j(l)=kXX(0 )=} i (Xl)= k(X0)i =⎬⎭
∈k
kII ∈l) ((-nl ik) kj
⎫
=
∑ {P(l)=XkX( )=i0} {PXn)(=j (Xl=k,)X0)=(i} ∑= P
k∈
I
P，其义为 n 意转步概率可以
移用较
步数低的转移率来表示。概4.设 N{t)(,t≥ 0} 是 度强 λ为的泊 过松， 程{kY, k 1,=2,} 一列是独同分立布机随变，且量与
{(tN,)t ≥}0 立，令独 (Xt=)∑ k Y,t 0 ≥证，明：若E(Y1
k。1=
N
()t
2
明：证条件由期望的质 性E X[()t] =EE ⎡ ⎣ X ()tN ()t ⎤ ⎦ ， E ⎡而 X⎣(t) (tN) =n ⎤⎦ =E
⎢{
}
⎡Nt)( ⎣i=1
∑Y
i
N⎤t() =n ⎥ ⎦
E⎢
⎡=
∑ Y⎣
=i
n1
i
⎤
n⎡ ⎤Nt) ( =n ⎥ E =⎢∑ i Y =⎥n (YE1 )， 所 E 以[Xt)(] = tE {λY} 1。 ⎣i 1=⎦ ⎦ ⎧cosπ t H ⎩tT1
2
，三计算．题每（题1 0分， 共 05 分）1.抛掷 枚硬币的试一验， 义一随定过程机X(t)= ：⎨, t ∈-(,∞∞ )+ 设 p(H，)p=(T=)
（
2一维分布）函数F( ;x)0F(,;x1)。 求（） {X(1t,) ∈t( − ,∞+∞ })的样 函本集合；数 ：解 （）样1函数集本为合 co{s t,π}t ,t∈ (- ,∞+) ∞；（ 2）当t= 0，时 P X{()=00 }=P {X 0()=1 =}
1 ，
2
⎧0 ⎧0 x0
顾设客每分钟 2 人以速的率到达顾客流，为松泊流，在 求 分钟2内达到顾客不超的 3过人的概率。 解：设 {N(t) t ≥,0} 是 顾到达数的客松泊程过， λ= 2 ，故 P {N( 2)=k}=
(4)k -4 e ，则 k!
3 -4 27 -41e = e 33
P {
(N)2≤ 3} = P N(2)=0}+{P {N2)=(}1+P N({2)2=+P} N{2)=3} ( =e4- + e44 -+8e- 4+
.设明3天是否有雨仅与今天天的有关，而气与去过的气天关无又。设今天下而雨明也下雨天的 率为概 α而，天无今明雨天有雨概的为率β 规；定雨天有为状态 气0无，天气为雨态状1。设
α =07., β= 0.4，求,今 有雨且天四天仍第有的雨率。概解
由：题设件，条得步转移一概率矩为阵 = ⎢
P
⎡0p ⎣0 10p
01 p ⎡0⎤. 703. ⎤⎢ =⎥， 是于 p1 ⎥1⎦ 0⎣4.0.6⎦
⎡
0 .61 .039 ⎡ ⎤057.4 0.4251⎤9 ()4 (2 )(2)，四 转步移率概阵为矩= = (2) P P=P= ⎢P P P⎢ 0.5 68 6.0343 2⎥ ，而从得今 ⎥到⎣ .5020.48 ⎣⎦
⎦有天且第雨四仍天有雨的概率为 P0 0= 05.749。
4)(
3
4
一.点在 1,2质, 三3点个上随作机动，游1和 是3个反两壁，当射质处于 2 时，点一下时刻于处1,2,3 是等能可的写出一步。转概率移矩阵，断判此是链否有具
遍历性若，，有出求限极布。分
⎡ 0⎢ 1：解一步转概移率矩 阵P= ⎢ ⎢3⎢ ⎣
01 1 3
1
0⎤1⎥ ， 3⎥⎥0 ⎥
⎦
(P)2
⎡
13 2 ⎢ 1 P= = ⎢9 ⎢1 3
⎣13 7 9 1 3
⎤⎥ ,⎥ 3⎥ 1⎦
1 3 1
9
p(由)2 ij>0 知，链有此历遍； 性极限设布分 =π( π1, π 2 ,π 3 ，
)⎡
1 ⎢2 1⎢ .5有设个四态状 I={0 ，，1， 2 3} 马氏链的，它的步转移概一矩阵率P= ⎢ 2 ⎢ 1 ⎢ 4⎢ 0
⎣（）画出１状态移图； （２转对状态进行）分； 类（３）对状空态间 I进行 分解。 解 （：1）图略；
⎧
π 1 = π⎧1 = 1 3 π 2 ⎪⎪ ⇒ 1⎨π 2 方程组=⎨ π 3= 3 π 2⎪π π ++ π= 1 ⎪ = π23 ⎩ 1⎩ 3
1
5 351 5
1 11
2
2
00 41
0
40
0⎤ ⎥ ⎥0⎥ 1 4⎥⎥ ⎥1⎦
（2） 3p3= 1,而 30，pp1，p323 均零，为所状以态 3 构一成闭个集它是，吸收态，记C =1 {}3 0；， 1两个状态互 通，它且们不能达到它其状态，它构们成个一闭，记 C2集 ={0， 1} 且，们都是它正常返非周期 状态；由于态状2 可 达1，C C 中2的态，而 C1状C 2 ，的状中态可不达到能，故它态 状2为非 常态，返记 = {2} 。 （D）3状空态间 可I分解为 ：E=D ∪C1 ∪C2 四简.题（答 6分简）述指数布的无记分忆性马与尔科链夫无后效性的关系。 答的 （：）略
4
课程名：称 随过程机（ B）类考试 班 学级 号卷说试明：
程课在学院所 理：学 姓院
名
成绩
1 本.考次为闭试卷试考本试。卷计共4 ，共 页 大四分部，请勿答； 漏2 .试时间为考1 20分钟 ，掌请好握答时题间； . 答题3之前请，将试和卷答纸题上考的班试、学号级姓名填、清楚； 4写 .试本卷部全答案在试写上； 5. 卷题完毕答，将试请和卷答纸正题向面对叠交回，外得不带出场； 6. 考试中考心提示请你遵守考场纪律，：诚信考、公试竞平争 ！．一空题填（空每2 ，共分 02 分 1．设）机变量 随X服 参数为
从
λ 的泊 松分 布， 则 X 的特 征 函 数 eλ为(e
i
t
-1)
。
2设．机随过 程Xt(=)Aocs(ωt+Φ ,-∞
3．度为λ的泊松过强的点间程距间相互独立是的机随量，且服变均值从
1为(s inω( +t1-s)iω t)n。 21
λ
的一同数指分。布
4设 {．nW ,n≥ 1}是与泊松 程过 X({),t t≥ 0 }对应一个等的时待序间，列则 Wn 从服Γ 布。分5． 中放有袋一个球白两，个红，每球单位时隔间从袋任中取球一，取后回放，每对一个定确 的
⎧t t ⎪, 对应 随 机 变 量 X( t =) ⎨ t ⎪3⎩e
,如果时t取红得球如 t时果得取球白
，
这 个 则 随 过 机程的 状 态 空间
⎧1 2
⎫ 2⎨t, t ,;,ee ⎬。⎩ 33
⎭．6设 氏马链的一步转移率概阵 矩=(pPji ) ， n 步转移矩 阵
Pn)(( n n )者二间之的关系为 P = P 。 (=(pn i) )j，
7
． 设{Xn , n≥ 0 为}氏链马状，态间空I ，始概初 pi =率 P( 0 Xi)= ，绝对率 p概 (nj) =P {X n = j}
(n)，n 步转移 概率p( n )j i，三之者的关间系为p j (n = ∑ ) p ⋅ip j i 。i∈I
．8在马链氏{X n n ,≥ 0} 中记 f i，j= P Xv ≠j,1 ≤ ≤vn-1,X n =j X 0 = i n, ≥1
(,n
)
{
}
1
f
ij ∑= fi(j) ，n f若i i
=1
n∞
9
非周．期正常返的态状称为遍历态。 01状．态 i返的常要充条为
件
p∑
n0
=
∞
(n) ii
=
。
∞二．证明题（每题
6 ，共分24 分 1.设 A）,B,C 为个随机事件，证明条三件概率乘的公法式： (PC A B=)PB( )PAC AB() 。
证明左边：
=P(
BAC) P(ABC) P(AB) = P(=C A)P(B BA =右边 P())A P(BA )P()A
2.
{X设t)(t,0³}独是立量增过, 程且 X(0=0, 证明){(Xt)t,³0是一}马尔科个过夫程 证明。： 当 0
P(
(Xt ≤ ) Xx(1 t=)x1 X,t 2( =x) 2 , Xt n ()x= )n= (XPt)(X-(tn )≤ x-x n (X1t)- (0X=)1x, (tX 2 )X(0-=x) 2 X,t( n) X(-0=)x n ) =P X(t(-X()t ) n x-≤xn ) 又，因为P (X()t≤ xXt(n )=x n ) P=(X()-Xtt n( )≤ -xxn X (t )=n x n) =(PXt)-X((tn ) ≤ x- nx )故 P(，X()t ≤ Xx(t 1)x1=, (X t 2=)x 2, X t (n) =x ) n P(X(=t
)≤ Xx( t n)x=n
)3.设 X n {, ≥n0 为马尔科夫链，}态空间状 为I， 对则任整意数n ≥0,1 ≤l
n)
(
p l ∑
kpI∈
(
) (-n )li kkj
称此式，切为曼—普科莫尔哥洛方夫，程明证说明并其义。
证意：明 ijP= P X ()=jn (0X=) =i ⎨PX(n )=j
,n()
{
}
⎩
⎧
= ∑P{ X()n=,j(l)=kXX(0 )=} i (Xl)= k(X0)i =⎬⎭
∈k
kII ∈l) ((-nl ik) kj
⎫
=
∑ {P(l)=XkX( )=i0} {PXn)(=j (Xl=k,)X0)=(i} ∑= P
k∈
I
P，其义为 n 意转步概率可以
移用较
步数低的转移率来表示。概4.设 N{t)(,t≥ 0} 是 度强 λ为的泊 过松， 程{kY, k 1,=2,} 一列是独同分立布机随变，且量与
{(tN,)t ≥}0 立，令独 (Xt=)∑ k Y,t 0 ≥证，明：若E(Y1
k。1=
N
()t
2
明：证条件由期望的质 性E X[()t] =EE ⎡ ⎣ X ()tN ()t ⎤ ⎦ ， E ⎡而 X⎣(t) (tN) =n ⎤⎦ =E
⎢{
}
⎡Nt)( ⎣i=1
∑Y
i
N⎤t() =n ⎥ ⎦
E⎢
⎡=
∑ Y⎣
=i
n1
i
⎤
n⎡ ⎤Nt) ( =n ⎥ E =⎢∑ i Y =⎥n (YE1 )， 所 E 以[Xt)(] = tE {λY} 1。 ⎣i 1=⎦ ⎦ ⎧cosπ t H ⎩tT1
2
，三计算．题每（题1 0分， 共 05 分）1.抛掷 枚硬币的试一验， 义一随定过程机X(t)= ：⎨, t ∈-(,∞∞ )+ 设 p(H，)p=(T=)
（
2一维分布）函数F( ;x)0F(,;x1)。 求（） {X(1t,) ∈t( − ,∞+∞ })的样 函本集合；数 ：解 （）样1函数集本为合 co{s t,π}t ,t∈ (- ,∞+) ∞；（ 2）当t= 0，时 P X{()=00 }=P {X 0()=1 =}
1 ，
2
⎧0 ⎧0 x0
顾设客每分钟 2 人以速的率到达顾客流，为松泊流，在 求 分钟2内达到顾客不超的 3过人的概率。 解：设 {N(t) t ≥,0} 是 顾到达数的客松泊程过， λ= 2 ，故 P {N( 2)=k}=
(4)k -4 e ，则 k!
3 -4 27 -41e = e 33
P {
(N)2≤ 3} = P N(2)=0}+{P {N2)=(}1+P N({2)2=+P} N{2)=3} ( =e4- + e44 -+8e- 4+
.设明3天是否有雨仅与今天天的有关，而气与去过的气天关无又。设今天下而雨明也下雨天的 率为概 α而，天无今明雨天有雨概的为率β 规；定雨天有为状态 气0无，天气为雨态状1。设
α =07., β= 0.4，求,今 有雨且天四天仍第有的雨率。概解
由：题设件，条得步转移一概率矩为阵 = ⎢
P
⎡0p ⎣0 10p
01 p ⎡0⎤. 703. ⎤⎢ =⎥， 是于 p1 ⎥1⎦ 0⎣4.0.6⎦
⎡
0 .61 .039 ⎡ ⎤057.4 0.4251⎤9 ()4 (2 )(2)，四 转步移率概阵为矩= = (2) P P=P= ⎢P P P⎢ 0.5 68 6.0343 2⎥ ，而从得今 ⎥到⎣ .5020.48 ⎣⎦
⎦有天且第雨四仍天有雨的概率为 P0 0= 05.749。
4)(
3
4
一.点在 1,2质, 三3点个上随作机动，游1和 是3个反两壁，当射质处于 2 时，点一下时刻于处1,2,3 是等能可的写出一步。转概率移矩阵，断判此是链否有具
遍历性若，，有出求限极布。分
⎡ 0⎢ 1：解一步转概移率矩 阵P= ⎢ ⎢3⎢ ⎣
01 1 3
1
0⎤1⎥ ， 3⎥⎥0 ⎥
⎦
(P)2
⎡
13 2 ⎢ 1 P= = ⎢9 ⎢1 3
⎣13 7 9 1 3
⎤⎥ ,⎥ 3⎥ 1⎦
1 3 1
9
p(由)2 ij>0 知，链有此历遍； 性极限设布分 =π( π1, π 2 ,π 3 ，
)⎡
1 ⎢2 1⎢ .5有设个四态状 I={0 ，，1， 2 3} 马氏链的，它的步转移概一矩阵率P= ⎢ 2 ⎢ 1 ⎢ 4⎢ 0
⎣（）画出１状态移图； （２转对状态进行）分； 类（３）对状空态间 I进行 分解。 解 （：1）图略；
⎧
π 1 = π⎧1 = 1 3 π 2 ⎪⎪ ⇒ 1⎨π 2 方程组=⎨ π 3= 3 π 2⎪π π ++ π= 1 ⎪ = π23 ⎩ 1⎩ 3
1
5 351 5
1 11
2
2
00 41
0
40
0⎤ ⎥ ⎥0⎥ 1 4⎥⎥ ⎥1⎦
（2） 3p3= 1,而 30，pp1，p323 均零，为所状以态 3 构一成闭个集它是，吸收态，记C =1 {}3 0；， 1两个状态互 通，它且们不能达到它其状态，它构们成个一闭，记 C2集 ={0， 1} 且，们都是它正常返非周期 状态；由于态状2 可 达1，C C 中2的态，而 C1状C 2 ，的状中态可不达到能，故它态 状2为非 常态，返记 = {2} 。 （D）3状空态间 可I分解为 ：E=D ∪C1 ∪C2 四简.题（答 6分简）述指数布的无记分忆性马与尔科链夫无后效性的关系。 答的 （：）略
4