应用勾股定理，渗透数学思想
勾股定理是一个重要的定理，在解题中有着广泛的应用. 在应用勾股定理解题的过程当
中，若能根据不同的题型，恰当地把数学思想渗透到运算中，则可取得化难为易，化繁为简
的效果.
一、方程思想
例1 如图1,OA ⊥OB,OA=45cm,OB=15cm,一机器人在点B 处发现有一个小球自A 点出发
沿着AO 方向匀速直线运动, 机器人自BC 方向以与小球同样的速度前进拦截小球, 在点C 处截住了小球, 求机器人行走的路程BC.
分析:要求BC 的长, 因为△OBC 是直角三角形, 所以需要
借助勾股定理解决. 而借助够勾股定理时, 需要知道OC 的
长,OC 的长等于OA-AC, 由于机器人和小球的运动速度相同,
运动的时间也相同, 所以二者的路程也相同, 即BC=AC.可设
BC=x,借助勾股定理构造方程解决.
解:设BC=AC=x,则OC=OA-AC=45-x,
在Rt △OBC 中,152+(45-x)2=x2, 解得x=25,
所以BC=25cm. 图1
所以机器人行走的路程BC 为25cm.
评注:利用勾股定理解决实际问题, 其基本思想是从实际问题中建立直角三角形, 找到三角形边与边的数量关系, 通过设未知数, 借助勾股定理构造方程, 通过解方程解决问题.
二、分类思想
例2小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ．请你帮小强计算这块菜地的面积（结果保留根号）．
分析：本题没有明确说明三角形是锐角三角形，还是钝角三角形，根据已知条件可以判
断该三角形不可能是直角三角形，所以需要分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论解决。 解：如图2, 当△ABC 是锐角三角形时, 在Rt △ACD 中,AC=50cm,AD=30cm,根据勾股定
理可得CD=40cm,在Rt △ABD 中,AB=40cm,AD=30cm,根据勾股定理可能,BD=10cm, 所以这块地的面积为112(BD+CD) ·AD=(40+10) ⨯30=(600+157)cm ; 22
2如图3，当△ABC 为钝角三角形, 可求得(600-157)cm .
图2 图3
评注：在已知条件下可能存在不止一种结论时, 需要分类讨论, 这样可避免出现漏解情况的发生.
三、转化思想
例3 如图4，正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从M 点沿正方体的表面爬到D 1点，蚂蚁爬行的最短距离是多少?
分析：由于蚂蚁是沿正方体的表面爬行的, 解决问题时可将正方体的表面展开, 将立体图形
问题转化为平面图形问题解决.
解:将正方体展开成平面图形, 因为两点之间线段最短, 所以爬行的路程应是线段MD 1的
长度. 根据M 点的位置, 展开后有下列两种情况:
（1）如图5, 由勾股定理，得MD 1=2+42=；
（2）如图6, 由勾股定理, 得MD 1=2+22=.
比较（1）、（2）中的结果知，蚂蚁爬行的最短距离为 .
图4 图6 图5
友情提示:利用转化思想, 将空间图形转化为平面图形, 是解决问题的一种重要的思想方
法. 应注意这种思想方法的灵活使用.
应用勾股定理，渗透数学思想
勾股定理是一个重要的定理，在解题中有着广泛的应用. 在应用勾股定理解题的过程当
中，若能根据不同的题型，恰当地把数学思想渗透到运算中，则可取得化难为易，化繁为简
的效果.
一、方程思想
例1 如图1,OA ⊥OB,OA=45cm,OB=15cm,一机器人在点B 处发现有一个小球自A 点出发
沿着AO 方向匀速直线运动, 机器人自BC 方向以与小球同样的速度前进拦截小球, 在点C 处截住了小球, 求机器人行走的路程BC.
分析:要求BC 的长, 因为△OBC 是直角三角形, 所以需要
借助勾股定理解决. 而借助够勾股定理时, 需要知道OC 的
长,OC 的长等于OA-AC, 由于机器人和小球的运动速度相同,
运动的时间也相同, 所以二者的路程也相同, 即BC=AC.可设
BC=x,借助勾股定理构造方程解决.
解:设BC=AC=x,则OC=OA-AC=45-x,
在Rt △OBC 中,152+(45-x)2=x2, 解得x=25,
所以BC=25cm. 图1
所以机器人行走的路程BC 为25cm.
评注:利用勾股定理解决实际问题, 其基本思想是从实际问题中建立直角三角形, 找到三角形边与边的数量关系, 通过设未知数, 借助勾股定理构造方程, 通过解方程解决问题.
二、分类思想
例2小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ．请你帮小强计算这块菜地的面积（结果保留根号）．
分析：本题没有明确说明三角形是锐角三角形，还是钝角三角形，根据已知条件可以判
断该三角形不可能是直角三角形，所以需要分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论解决。 解：如图2, 当△ABC 是锐角三角形时, 在Rt △ACD 中,AC=50cm,AD=30cm,根据勾股定
理可得CD=40cm,在Rt △ABD 中,AB=40cm,AD=30cm,根据勾股定理可能,BD=10cm, 所以这块地的面积为112(BD+CD) ·AD=(40+10) ⨯30=(600+157)cm ; 22
2如图3，当△ABC 为钝角三角形, 可求得(600-157)cm .
图2 图3
评注：在已知条件下可能存在不止一种结论时, 需要分类讨论, 这样可避免出现漏解情况的发生.
三、转化思想
例3 如图4，正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从M 点沿正方体的表面爬到D 1点，蚂蚁爬行的最短距离是多少?
分析：由于蚂蚁是沿正方体的表面爬行的, 解决问题时可将正方体的表面展开, 将立体图形
问题转化为平面图形问题解决.
解:将正方体展开成平面图形, 因为两点之间线段最短, 所以爬行的路程应是线段MD 1的
长度. 根据M 点的位置, 展开后有下列两种情况:
（1）如图5, 由勾股定理，得MD 1=2+42=；
（2）如图6, 由勾股定理, 得MD 1=2+22=.
比较（1）、（2）中的结果知，蚂蚁爬行的最短距离为 .
图4 图6 图5
友情提示:利用转化思想, 将空间图形转化为平面图形, 是解决问题的一种重要的思想方
法. 应注意这种思想方法的灵活使用.