切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
1.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理
对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）
4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段
1
定理 图形 已知 结论 证法
相交弦定⊙O中，AB、CD为弦，交PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：
理 于P. △APC∽△DPB.
相交弦定⊙O中，AB为直径，CD⊥ABPC2＝PA·PB. 用相交弦定理.
理的推论 于P.
切割线定⊙O中，PT切⊙O于T，PT2＝PA·PB 连结TA、TB，证：
理 割线PB交⊙O于A △PTB∽△PAT
切割线定PB、PD为⊙O的两条割线，PA·PB＝PC·PD 过P作PT切⊙O于T，用
理推论 交⊙O于A、C 两次切割线定理
一、选择题
1.已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（ ）
A. B. C. 5 D. 8
2.下列图形一定有内切圆的是（ ）
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.梯形
3.已知：如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（ ）
图1
A. 50° B. 40° C. 60° D. 55°
4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（ ）
A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm
2
5.在△ABC中，D是BC边上的点，AD
那么DE长等于（ ）
A. ，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点， B.
C. D.
6. PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（ ）
A. 20 B. 10 C. 5 D.
二、填空题
7. AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝_____________度。
8.已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。
9.若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，，则PC的长为_____________。
10.正△ABC内接于⊙O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交⊙O于点D，连结BD交AC于P，则_____________。
三、解答题
11.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。
图2
3
12.如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：CB平分∠DCP。
图3
13.如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB
求⊙O的半径。
，
图4
4
【试题答案】 一、选择题
1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A
二、填空题
7. 90 8. 1 9. 30 10.
三、解答题：
11.由切线长定理得△BDE周长为4，由△BDE∽△BAC，得DE＝1cm
12.证明：连结AC，则AC⊥CB
∵CD⊥AB，∴△ACB∽△CDB，∴∠A＝∠1
∵PC为⊙O的切线，∴∠A＝∠2，又∠1＝∠2，
∴BC平分∠DCP
13.设BM＝MN＝NC＝xcm
又∵
∴
又∵OA是过切点A的半径，∴OA⊥AB即AC⊥AB
在Rt△ABC中，由勾股定理，得， 由割线定理：，又∵
∴
∴半径为。
5
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
1.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理
对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）
4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段
1
定理 图形 已知 结论 证法
相交弦定⊙O中，AB、CD为弦，交PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：
理 于P. △APC∽△DPB.
相交弦定⊙O中，AB为直径，CD⊥ABPC2＝PA·PB. 用相交弦定理.
理的推论 于P.
切割线定⊙O中，PT切⊙O于T，PT2＝PA·PB 连结TA、TB，证：
理 割线PB交⊙O于A △PTB∽△PAT
切割线定PB、PD为⊙O的两条割线，PA·PB＝PC·PD 过P作PT切⊙O于T，用
理推论 交⊙O于A、C 两次切割线定理
一、选择题
1.已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（ ）
A. B. C. 5 D. 8
2.下列图形一定有内切圆的是（ ）
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.梯形
3.已知：如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（ ）
图1
A. 50° B. 40° C. 60° D. 55°
4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（ ）
A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm
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5.在△ABC中，D是BC边上的点，AD
那么DE长等于（ ）
A. ，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点， B.
C. D.
6. PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（ ）
A. 20 B. 10 C. 5 D.
二、填空题
7. AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝_____________度。
8.已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。
9.若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，，则PC的长为_____________。
10.正△ABC内接于⊙O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交⊙O于点D，连结BD交AC于P，则_____________。
三、解答题
11.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。
图2
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12.如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：CB平分∠DCP。
图3
13.如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB
求⊙O的半径。
，
图4
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【试题答案】 一、选择题
1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A
二、填空题
7. 90 8. 1 9. 30 10.
三、解答题：
11.由切线长定理得△BDE周长为4，由△BDE∽△BAC，得DE＝1cm
12.证明：连结AC，则AC⊥CB
∵CD⊥AB，∴△ACB∽△CDB，∴∠A＝∠1
∵PC为⊙O的切线，∴∠A＝∠2，又∠1＝∠2，
∴BC平分∠DCP
13.设BM＝MN＝NC＝xcm
又∵
∴
又∵OA是过切点A的半径，∴OA⊥AB即AC⊥AB
在Rt△ABC中，由勾股定理，得， 由割线定理：，又∵
∴
∴半径为。
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