。．２０１０年４月第４期（总１３９）
铁道工程学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＲＡＩＬＷＡＹＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧＳＯＣＩＥＴＹ
Ａｐｒ
２０１０
ＮＯ．４（Ｓｅｒ．１３９）
文章编号：１００６—２１０６（２０１０）０４—００４９—０４
基于非线性规划实现钢桁连续梁预拱度・
胡步毛¨
艾宗良
袁
明
戴胜勇
（中铁二院工程集团有限责４－＊－＆＋－＇Ｊ，成都６１００３１）
摘要：研究目的：大跨钢桁连续梁结构复杂，预拱度较大，影响预拱度计算结果因素较多。本文通过运用非线性规划理论建立数学模型，利用ＭＡＴＬＡＢ软件，达到准确快速求解桁式方案复杂、拱度值较大的钢桁连续梁桥预拱度曲线的目的，为大型钢桁连续梁桥预拱度曲线实现方法提供参考。
研究结论：求解桁式复杂的钢桁连续梁桥预拱度，应采用升降温计算方法实现结构预拱度；非线性规划理论优化目标明确，约束方程灵活，可方便快捷地得到结构的预拱度曲线，不失为一种求解桥梁预拱度曲线的普遍方法；本方法仅改变上弦杆的长度，可使设计工作大大简化。关键词：非线性规划；钢桁连续梁；预拱度；ＭＡＴＬＡＢ中图分类号：Ｕ４４８．３６
文献标识码：Ａ
ＵｓｅＮｏｎｌｉｎｅａｒＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｔｏＡｃｈｉｅｖｅＣａｍｂｅｒｏｆＳｔｅｅｌＴｒｕｓｓＣｏｎｔｉｎｕｏｕｓＢｒｉｄｇｅ
ＨＵＢｕ—ｍａｏ，ＡｉＺｏｎｇ—ｌｉａｎｇ，ＹｕａｎＭｉｎｇ，ＤａｉＳｈｅｎｇ—ｙｏｎｇ
（Ｃｈｉｎａ
ＲａｉｌｗａｙＥｒｙｕａｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＧｒｏｕｐＣｏ．Ｌｔｄ，Ｃｈｅｎｇｄｕ，Ｓｉｃｈｕａｎ
ａｒｅ
６１００３１，Ｃｈｉｎａ）
ｐａｐｅｒ，ｔｈｅｃａｍｂｅｒ
ｏｆ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｒｅｓｅａｒｃｈｐｕｒｐｏｓｅｓ：Ｔｈｅｒｅ
ｔｒｕｓｓ
ｍａｎｙ
ｆａｃｔｏｒｓｔｏａｆｆｅｃｔｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓｏｆｃａｍｂｅｒ．ｂｅｃａｕｓｅｌｏｎｇ—ｓｐａｎｓｔｅｅｌ—
ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ
ｇｉｒｄｅｒ
ｈａｓ
ａ
ａ
ｃｏｍｐｌｅｘ
ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ
ａｎｄ
ｈｉｇｈｃａｍｂｅｒ．Ｉｎｔｈｉｓ
ｓｏｌｖｅｄｑｕｉｃｋｌｙ
ｃｕｒｖｅ
ｓｔｅｅｌｔｒｕｓｓ
ｕｐ
ｔｈｅ
ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｂｒｉｄｇｅｗｉｔｈｃｏｍｐｌｅｘｔｒｕｓｓａｎｄｈｉｓｈ
ｃａｍｂｅｒｉｓ
ａｎｄ
ａｃｃｕｒａｔｅｌｙｔｈｒｏｕｇｈｓｅｔｔｉｎｇ
ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｗｉｔｈｎｏｎｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｔｈｅｏｒｙａｎｄＭＡＴＬＡＢｓｏｆｔｗａｒｅｔｏｐｒｏｖｉｄｅｔｈｅｒｅｆｅｒｅｎｃｅｔｏａｃｈｉｅｖｉｎｇｔｈｅｃａｍｂｅｒ
ｃｕｒｖｅ
ｏｆｌａｒｇｅ—ｓｉｚｅｄｓｔｅｅｌｔｒｕｓｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｂｒｉｄｇｅ．
Ｒｅｓｅａｒｃｈｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ：Ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｈｏｕｌｄ
ｂｅ
ｕｓｅｄｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｃａｍｂｅｒｏｆｓｔｅｅｌｔｒｕｓｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｂｒｉｄｇｅｉｎ
ｏｒｄｅｒｔｏａｃｈｉｅｖｅｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｃａｍｂｅｒｃｕｒｖｅ．Ｔｈｅｏｐｔｉｍｉｚｅｄｆｌｅｘｉｂｌｅａｎｄｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｃａｍｂｅｒｃｏｍｍｏｎ
ｃｕｒｖｅ
ｃａｎ
ｏｂｊｅｃｔ
ｃａｎ
ｂｅ
ｍａｄｅｃｌｅａｒ，ｔｈｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｅｑｕａｔｉｏｎｓ
ｃａｎ
ｂｅ
ａ
ｂｅｇｏｔｅａｓｉｌｙａｎｄｑｕｉｃｋｌｙｗｉｔｈｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．Ｉｔ＇ｓｏｆｇｉｒｄｅｒ．Ｗｉｔｈｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄ，ｉｔｏｎｌｙｎｅｅｄｓ
ｍｅｔｈｏｄ
ｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｃａｍｂｅｒ
ｃｕｒｖｅ
ｃｈａｎｇｉｎｇｔｈｅｌｅｎｇｔｈｏｆｕｐｐｅｒ
ｃｈｏｒｄ，ＳＯｔｈｅｄｅｓｉｇｎｗｏｒｋ．ｃａｌｌｂｅｍｕｃｈｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ；ｓｔｅｅｌ—ｔｒｕｓｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ
ｇｉｒｄｅｒ；ｃａｍｂｅｒ；ＭＡＴＬＡＢ
产生的挠度曲线形状基本相同，但方向相反…。在钢桁梁的设计中，预拱度的设置相当重要，直接影响到结构系统线的形状，对节点设计、杆件长度均有非常大的影响。预拱度设置的不妥，不仅会影响到桥梁的使用功能，在超静定结构中，还会产生不利的附加反力和杆
ｌ概述
为使列车过桥时线路平顺，旅客舒适，提高线路的
运行质量，《铁路桥梁钢结构设计规范》规定：桥跨结构应预设上拱度，上拱度曲线应与恒载和半个静活载
・收稿日期：２００９—０７—２１
・・作者简介：胡步毛，１９８３年出生，男，助理工程师。
万方数据
ｄ）１（
５０
铁道工程学报２０１０年４月
件的附加应力。不少学者针对此问题开展了大量研究，但研究成果主要集中在对理论预拱度曲线的推导、简支钢梁的预拱度设置方法以及施工中对线形的监控等口“】，对于桁式结构复杂的大跨钢桁连续梁预拱度的设置方法探讨不多。大跨钢桁连续梁结构复杂，预拱度值较大，影响预拱度计算结果因素较多，寻找一种能准确快速求解桁式方案复杂、拱度值较大的钢桁连
续梁桥预拱度曲线，在钢桁梁的设计工作中具有重要
意义。
２预拱度实现基本方法
为简化制造和安装工作，下承式钢桁梁设计时，下弦杆和腹杆的实际长度通常保持不变，而仅仅让上弦杆的理论长度伸长或缩短，通过这种方法实现钢梁的预拱度。预拱度值的确定，对于简支钢桁梁，一般可采
用几何法；对于连续钢桁梁一般采用升降温方法计算
弦杆变形量来确定¨Ｊ。２．１几何法
在铁路下承式栓焊梁标准设计中，为了简化制造
和安装工作，并照顾到不同跨度的桁架桥需设的理论预拱度值，设计时让下弦杆和腹杆实际长度均保持不变，而上弦杆的理论长度每２个节长２ｄ均伸长２Ａ（见图１）。由几何关系可知∽Ｊ：
．／＼／＼／＼／‘＼．
△ｄ
ｄ△
．／’＼／＼／＼／‘＼？
Ｉ—
Ｌ虹。
Ｒ。
ｉ玉一”
丘ｆ
图１简支钢桁梁预拱度
旦：喾
ｄ＋△
”７
Ｒ：—ｄｘ广Ｈ、’
△
（２）
以往简支钢桁梁为了适应工厂模具，节间距ｄ取为８ｍ，伸长值△取为８ｍｍ。在确定了半径尺值之后，不同桁架桥跨中的实设预拱度为：
１２
厂５最
（３）
下弦任意一节点ｍ的预拱度为：
厶＝，一（Ｒ一撕ｉ【≯）
（４）改变上弦节间理论长度的具体方法是，不改变上
万方数据
弦杆的长度，而是让上弦节点板第一排螺栓孔轴线至竖杆中心线的距离较未设预拱度时的距离增大△。也即设置预拱度后，斜杆中线不再交于理论交点。２．２升降温计算弦杆变形量法
钢桁连续梁几何关系相对复杂，且往往为内部超静定结构，使用几何法求解上弦杆长度变化值较为困难。为求得预拱度曲线，一般可使用升降温计算弦杆变形量确定上弦杆的长度变化。具体方法为对钢桁梁
上弦杆施加温度荷载（升温或降温），使其在特定的温
度荷载工况下产生和预拱度曲线基本相同的变形，然后根据施加的温度变化求解上弦杆的长度变化值。
此方法仅改变上弦杆长度，而腹杆和下弦杆长度保持不变，且腹杆均交于理论交点，桥面系以及横联尺寸均不受影响，优点显著。但有一点需要注意，由于钢桁连续梁为超静定结构，温度荷载会产生附加反力，而此附加反力又会使杆件产生附加内力，所以在调整的过程中，必须保证此附加反力不能太大，否则对结构受力非常不利。传统的做法是依靠设计经验，反复试算，工作量较大，对于复杂的桁式结构往往不容易求得吻合度较高的预拱度曲线。
３应用非线性规划理论计算预拱度
非线性规划是运筹学的重要分支，是线性规划理论的延伸和拓展，已广泛应用于最优设计、管理科学及系统控制等许多领域。非线性规范往往由目标函数与约束条件两部分组成，在目标函数及约束条件中含有关于未知条件的非线性表达式。由于有非线性表达式的存在，所以求解此类问题比较困难，而且，也不像线
性规划有单纯形法等通用方法，其用到的计算方法都
有自己的特定使用范围。常用的计算方法有下降迭代算法、梯度法、变尺度法、步长加速法等，具体可参见文献［９］。
使用升降温计算弦杆变形量法实现预拱度需要解决两方面的问题，一为附加反力不能太大，二为各下弦
节点位移值和理论预拱度值尽量接近。上述两个问题
都与上弦杆温度荷载相关，并且相互影响。通过分析，
可以把上述问题转化为求最优解问题，目标函数为附加反力最小，约束条件可为各下弦节点的位移，未知量即为各上弦杆的温度荷载值。由于最优问题只能求最小值，而我们要求的是附加反力绝对值的最小值，为了实现这个目标，可以把目标函数转化为求附加反力平方的最小值。由于目标函数为非线性函数，所以此优化问题为非线性规划。
根据预拱度计算的要求，优化模型以支座反力平方值最小为目标，以下弦节点位移为约束方程。为了
第４期胡步毛艾宗良袁明等：基于非线性规划实现钢桁连续梁预拱度
５１
建立上弦杆温度荷载与支座反力和下弦节点位移的关系，需先建立平面桁架有限元模型，对各上弦杆施加单位温度荷载，求得支座反力和下弦节点位移与上弦温度荷载之间的函数关系…１，优化模型如下：
ｍ——上弦杆总数；ｎ——下弦节点总数。
第ｉ个下弦节点竖向位移的上限△ｉ和下限△：需
人为设定，即人为限定下弦节点的竖向位移取值范围，应使其与理论预拱度值尽量接近。
目标函数：ｍｉｎＲ＝三∽ｔ）２
１
约束方程：△：≤茎三岛ｔ≤△ｉＪ
式中尺——支座反力；
。：‘｝
（５）４
背景工程与预拱度计算
新建铁路向浦线（南昌向塘到福建莆田）东新赣
Ｚ——第ｉ根上弦杆施加单位温度荷载产生的
支点反力；
江特大桥主桥为（１２６＋１９６＋１２６）ｍ四线双桁钢桁连续梁，为向莆线客运专线与规划杭南长高速铁路四线合建桥，采用上弦加劲的Ｎ形桁式结构，桁高１９—
３５
６ｉ——第ｉ个下弦节点在第＿『根上弦杆施加单
位温度荷载产生的竖向位移；
ｍ、节间距１４ｍ，该桥桁式方案如图２所示。该桁梁
ｍｉｌｌ。
Ｚ——待求的第ｉ根上弦杆的温度荷载；△ｉ，△：——第ｉ个下弦节点竖向位移的上限和
下限；
理论预拱度值如表ｌ所示，最大预拱度值达２８７时，仅凭设计经验反复试算实现难度较大。
该桥桁式复杂，使用升降温计算方法计算弦杆变形量
。，Ａ：。，Ａ４
ＡＬ二一《春
Ｂ５
Ｂ６
Ｂ７
■／、、誓
Ａ９
／多—弓堡型３川Ａ１５
１ｌ
０
．／‘＼＼＼＼＼＼．／。＼．影＼／／／／／
Ｂ１
Ｂ２
Ｂ３
Ｂ４
１／８．朋Ｂ１０
Ｂ１１Ｂ１２Ｂ１３Ｂ４Ｂ１５
９×１４０００＝１２６０００１４／２ｘ１４０００＝－９８００（
图２东新赣江大桥钢桁连续梁立面布置图（单位：ｍ）
表１理论预拱度值
节点恒载１／２活载理论预拱度
Ｂ００ＯＯ
Ｂ１—３ｌ一８４ｌ
Ｂ２一５７—１４７ｌ
Ｂ３—７２—２０９２
Ｂ４—７２—２２９４
Ｂ５—５８—２ｌ７９
Ｂ６—４１—１７５８
Ｂ７—２１一ｌｌ３２
Ｂ８—７一６１３
Ｂ９０ＯＯ
曰１０—３６一８４４
Ｂ１１—７８一１７９５
曰１２—１２８—２６１５４
曰１３—１７３—３４２０７
Ｂ１４—２１０—４１２５１
（单位：ｍｉｌｌ）
日１５—２３３—４４２７７
Ｂ１６—２４１—４６２８７
在求解此非线性规划模型时，应用了ＭＡＴＬＡＢ软件，该软件提供的库函数能快速求解非线性规划问题。具体计算时，约束方程可逐渐增多，可先以中跨跨中下弦节点和边跨跨中下弦节点的竖向位移为约束方程，根据计算结果与理论预拱度值进行比较，将不符合要求的节点位移增加为约束方程，逐次逼近最优预拱度曲线。
移为约束方程。经过两次计算，得到了东新赣江特大桥钢桁连续梁预拱度曲线，下弦各节点的位移及于理论预拱度的比较如表２和图３所示。通过图３可以看出，计算预拱度与理论预拱度两者吻合度相当高，起拱效果非常明显。通过表２可以看出，边跨跨中节点和中跨跨中节点计算预拱度和理论预拱度基本相同，与理论预拱度值相比，计算预拱度最大绝对差值为
９
笔者第一次以烈、Ｂ６、Ｂ１２、Ｂ１６节点位移为约束方程，根据计算结果，第二次增加毖、所、召１１节点位
舵
７ｌ７２ｌｌ
ｍｍ，绝大多数节点的相对差值在５％以内。而此
时，支座反力仅为３．８Ｎ，显然是符合要求的。
“
表２计算预拱度值
节点理论预拱度计算预拱度绝对差值相对差值／％
Ｂ００ＯＯ０
Ｂ１４１３６一５ｌｌ
Ｂ３９２９ｌ—ｌ１
Ｂ４９４９４ＯＯ
Ｂ５７９８０ｌ２
Ｂ６５８５８００
Ｂ７３２３２一ｌ２
Ｂ８１３１５２１４
Ｂ９０Ｏ０Ｏ
曰１０４４４６２５
曰ｌｌ９５９４—１ｌ
Ｂ１２１５４１５５ｌｌ
Ｂ１３２０７２１２５２
Ｂ１４２５ｌ２５８７３
（单位：咖）
Ｂ１５２７７２８６９３
曰１６２８７２８７Ｏ０
万方数据
５２
铁道工程学报
２０１０年４月
３５０３００
ｌ
２５０
理２００
辩
５０Ｏ
麒Ｊ
占Ｚ上珥
肋
占８占ｌＯＢ１２占１４Ｂ１６
节点
图３理论预拱度与计算预拱度比较
５
结论
（１）求解桁式复杂的钢桁连续梁桥预拱度，几何
法不太适用，应采用升降温计算弦杆变形量法求解结构上拱后的系统线实现结构预拱度。
（２）使用升降温计算弦杆变形量时，利用非线性规划理论可方便快捷地得到结构的预拱度曲线，而且此方法目标明确，约束方程比较灵活，计算速度快，有其独特的优点，具有一定的通用性。
（３）本方法仅改变上弦杆的长度，不改变下弦杆和腹杆的长度，也不改变腹杆的交点，不影响桥面系与横联尺寸，使设计工作大大简化。
参考文献：
［１］ＴＢ
ＴＢｌ０００２．２—伽５．Ｃｏｄｅ１０００２．２喇５，铁路桥梁钢结构设计规范［Ｓ］．
ｆｏｒＤｅｓｉｇｎ
ＯＨ
ＳｔｅｅｌＳｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆ
Ｒａｉｌｗａｙ
Ｂｒｉｄｇｅ［Ｓ］．
［２］李堪以．合理设置铁路钢梁的上拱度［Ｊ］．铁道建筑，１９９４
（１）：２６—２８．
Ｌｉ
ｌＯｎｙｉ．Ｒａｔｉｏｎａｌ
Ｉｎｓｔａｌｌ
ＣａｍｂｅｒｏｆＲａｉｌｗａｙＳｔｅｅｌ
Ｇｉｒｄｅｒ［Ｊ］．ＲａｉｌｗａｙＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９９４（１）：２６－２８．［３］侯俊明，黄苏才．桥梁结构预留拱度值初探［Ｊ］．青海交通
科技，２００２（１）：２４—２５．
Ｈｏｕ
Ｊｕｎｍｉｎｇ，ＨｕａｎｇＳｕｃａｉ．ＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＢｒｉｄｇｅＣａｍｂｅｒ
［Ｊ］．ＱｉｎｇｈａｉＪｍｏｍｎｇ
Ｓｃｉｅｎｃｅａｎｄ
Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００２
（１）：２４—２５．
万方数据
［４］
陈朝辉．预拱度分析［Ｊ］．山西建筑，２００８（９）：３２９—３３０．
Ｃｈｅｎ
Ｚｈａｏｈｎｉ．ＴｈｅＡｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅＣａｍｂｅｒ［Ｊ］．Ｓｈａｎｘｉ
Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ，２００８（９）：３２９—３如．［５］
安旭刚．大跨度钢梁的上拱度设置［Ｊ］．科技情报开发与经济，２００９（２３）：２２７—２２８．
Ａｎ
Ｘｕｇａｎｇ．Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ
Ｏｌｌ
ｔｈｅ
Ｓｅｔｔｉｎｇ—ｕｐ
ｏｆ
ｔｈｅ
Ｃａｍｂｅｒ
ｏｆ
Ｌｏｎｇ—ｓｐａｎＳｔｅｅｌＢｅａｍ［Ｊ］．Ｓｃｉ—ｔｅｃｈ
ＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ＆Ｅｃｏｎｏｍｙ，２００９（２３）：２２７—
２２８．
［６］
武芳文，薛成凤，赵雷．连续刚构桥梁悬臂施工线形控制分析［Ｊ］．铁道工程学报，２００６（７）：２９－３３．Ｗｕ
Ｆａｎｇｗｅｎ，Ｘｕｅ
Ｃｈｅｎｇｆｅｎｇ，Ｚｈａｏ
Ｌｅｉ．Ｔｈｅ
ＡｌｉｇｎｍｅｎｔＣｏｎｔｒｏｌＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＣａｎｔｉｌｅｖｅｒＣｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ
ｆｏｒ
Ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ
Ｒｉｇｉｄ
Ｆｒａｍｅ
Ｂｒｉｄｇｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆ
ＲａｉｌｗａｙＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＳｏｃｉｅｔｙ，２００６（７）：２９—３３．
［７］铁道部大桥工程局．九江长江大桥技术总结［Ｍ］．武汉：
武汉测绘科技大学出版社，１９９６．
ＣｈｉｎａＺｈｏｎｇｔｉｅ
Ｍａｊｏｒ
ＢｒｉｄｇｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＧｒｏｕｐ
Ｃｏ．，
Ｌｔｄ．ＳｍｍｎａｒｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
ｆｏｒ
ＪｉｕｊＬａｎＹａｎｇｔｚｅＲｉｖｅｒ
Ｂｒｉｄｇｅ［Ｍ］．Ｗｕｈａｎ：ＷｕｈａｎＴｅｃｈｎｉｃａｌ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
ｏｆ
Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ＆ＭａｐｐｉｎｇＰｒｅｓｓ．１９９６．
［８］吴冲主．现代钢桥［Ｍ］．北京：人民交通出版社，２００６．
ＷｕＣｈｏｎｇｚｈｕ．Ｍｏｄｅｒｎ
Ｓｔｅｅｌ
Ｂｒｉｄｇｅｓ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：
Ｃｈｉｎａ
ＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓＰｒｅｓｓ，２００６．
［９］《运筹学》教材编写组．运筹学［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００９．
Ｔｈｅ
ＧｒｏｕｐｏｆＣｏｍｐｉｌｅＯｐｅｒａｔｉｏｎａｌＲｅｓｅａｒｃｈＴｅａｃｈｉｎｇ
Ｍａｔｅｒｉａｌｓ．ＯｐｅｒａｔｉｏｎａｌＲｅｓｅａｒｃｈ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＴｓｉｎｇｈｕａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，２００９．
［１０］薛长虹，于凯．大学数学实验——ＭＡＴＬＡＢ应用篇［Ｍ］．
成都：西南交通大学出版社，２００３．
Ｘｕ
Ｃｈａｎｇｈｏｎｇ，Ｙｕ
Ｋａｉ．
Ｃｏｌｌｅｇｅ
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ—ＭＡＴＬＡＢＰｒａｃｔｉｃｅ［Ｍ］．Ｃｈｅｎｇｄｕ：
ＳｏｕｔｈｗｅｓｔＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，２００３．
（编辑赵立兰）
。．２０１０年４月第４期（总１３９）
铁道工程学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＲＡＩＬＷＡＹＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧＳＯＣＩＥＴＹ
Ａｐｒ
２０１０
ＮＯ．４（Ｓｅｒ．１３９）
文章编号：１００６—２１０６（２０１０）０４—００４９—０４
基于非线性规划实现钢桁连续梁预拱度・
胡步毛¨
艾宗良
袁
明
戴胜勇
（中铁二院工程集团有限责４－＊－＆＋－＇Ｊ，成都６１００３１）
摘要：研究目的：大跨钢桁连续梁结构复杂，预拱度较大，影响预拱度计算结果因素较多。本文通过运用非线性规划理论建立数学模型，利用ＭＡＴＬＡＢ软件，达到准确快速求解桁式方案复杂、拱度值较大的钢桁连续梁桥预拱度曲线的目的，为大型钢桁连续梁桥预拱度曲线实现方法提供参考。
研究结论：求解桁式复杂的钢桁连续梁桥预拱度，应采用升降温计算方法实现结构预拱度；非线性规划理论优化目标明确，约束方程灵活，可方便快捷地得到结构的预拱度曲线，不失为一种求解桥梁预拱度曲线的普遍方法；本方法仅改变上弦杆的长度，可使设计工作大大简化。关键词：非线性规划；钢桁连续梁；预拱度；ＭＡＴＬＡＢ中图分类号：Ｕ４４８．３６
文献标识码：Ａ
ＵｓｅＮｏｎｌｉｎｅａｒＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｔｏＡｃｈｉｅｖｅＣａｍｂｅｒｏｆＳｔｅｅｌＴｒｕｓｓＣｏｎｔｉｎｕｏｕｓＢｒｉｄｇｅ
ＨＵＢｕ—ｍａｏ，ＡｉＺｏｎｇ—ｌｉａｎｇ，ＹｕａｎＭｉｎｇ，ＤａｉＳｈｅｎｇ—ｙｏｎｇ
（Ｃｈｉｎａ
ＲａｉｌｗａｙＥｒｙｕａｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＧｒｏｕｐＣｏ．Ｌｔｄ，Ｃｈｅｎｇｄｕ，Ｓｉｃｈｕａｎ
ａｒｅ
６１００３１，Ｃｈｉｎａ）
ｐａｐｅｒ，ｔｈｅｃａｍｂｅｒ
ｏｆ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｒｅｓｅａｒｃｈｐｕｒｐｏｓｅｓ：Ｔｈｅｒｅ
ｔｒｕｓｓ
ｍａｎｙ
ｆａｃｔｏｒｓｔｏａｆｆｅｃｔｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓｏｆｃａｍｂｅｒ．ｂｅｃａｕｓｅｌｏｎｇ—ｓｐａｎｓｔｅｅｌ—
ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ
ｇｉｒｄｅｒ
ｈａｓ
ａ
ａ
ｃｏｍｐｌｅｘ
ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ
ａｎｄ
ｈｉｇｈｃａｍｂｅｒ．Ｉｎｔｈｉｓ
ｓｏｌｖｅｄｑｕｉｃｋｌｙ
ｃｕｒｖｅ
ｓｔｅｅｌｔｒｕｓｓ
ｕｐ
ｔｈｅ
ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｂｒｉｄｇｅｗｉｔｈｃｏｍｐｌｅｘｔｒｕｓｓａｎｄｈｉｓｈ
ｃａｍｂｅｒｉｓ
ａｎｄ
ａｃｃｕｒａｔｅｌｙｔｈｒｏｕｇｈｓｅｔｔｉｎｇ
ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｗｉｔｈｎｏｎｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｔｈｅｏｒｙａｎｄＭＡＴＬＡＢｓｏｆｔｗａｒｅｔｏｐｒｏｖｉｄｅｔｈｅｒｅｆｅｒｅｎｃｅｔｏａｃｈｉｅｖｉｎｇｔｈｅｃａｍｂｅｒ
ｃｕｒｖｅ
ｏｆｌａｒｇｅ—ｓｉｚｅｄｓｔｅｅｌｔｒｕｓｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｂｒｉｄｇｅ．
Ｒｅｓｅａｒｃｈｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ：Ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｈｏｕｌｄ
ｂｅ
ｕｓｅｄｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｃａｍｂｅｒｏｆｓｔｅｅｌｔｒｕｓｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｂｒｉｄｇｅｉｎ
ｏｒｄｅｒｔｏａｃｈｉｅｖｅｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｃａｍｂｅｒｃｕｒｖｅ．Ｔｈｅｏｐｔｉｍｉｚｅｄｆｌｅｘｉｂｌｅａｎｄｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｃａｍｂｅｒｃｏｍｍｏｎ
ｃｕｒｖｅ
ｃａｎ
ｏｂｊｅｃｔ
ｃａｎ
ｂｅ
ｍａｄｅｃｌｅａｒ，ｔｈｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｅｑｕａｔｉｏｎｓ
ｃａｎ
ｂｅ
ａ
ｂｅｇｏｔｅａｓｉｌｙａｎｄｑｕｉｃｋｌｙｗｉｔｈｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．Ｉｔ＇ｓｏｆｇｉｒｄｅｒ．Ｗｉｔｈｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄ，ｉｔｏｎｌｙｎｅｅｄｓ
ｍｅｔｈｏｄ
ｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｃａｍｂｅｒ
ｃｕｒｖｅ
ｃｈａｎｇｉｎｇｔｈｅｌｅｎｇｔｈｏｆｕｐｐｅｒ
ｃｈｏｒｄ，ＳＯｔｈｅｄｅｓｉｇｎｗｏｒｋ．ｃａｌｌｂｅｍｕｃｈｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ；ｓｔｅｅｌ—ｔｒｕｓｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ
ｇｉｒｄｅｒ；ｃａｍｂｅｒ；ＭＡＴＬＡＢ
产生的挠度曲线形状基本相同，但方向相反…。在钢桁梁的设计中，预拱度的设置相当重要，直接影响到结构系统线的形状，对节点设计、杆件长度均有非常大的影响。预拱度设置的不妥，不仅会影响到桥梁的使用功能，在超静定结构中，还会产生不利的附加反力和杆
ｌ概述
为使列车过桥时线路平顺，旅客舒适，提高线路的
运行质量，《铁路桥梁钢结构设计规范》规定：桥跨结构应预设上拱度，上拱度曲线应与恒载和半个静活载
・收稿日期：２００９—０７—２１
・・作者简介：胡步毛，１９８３年出生，男，助理工程师。
万方数据
ｄ）１（
５０
铁道工程学报２０１０年４月
件的附加应力。不少学者针对此问题开展了大量研究，但研究成果主要集中在对理论预拱度曲线的推导、简支钢梁的预拱度设置方法以及施工中对线形的监控等口“】，对于桁式结构复杂的大跨钢桁连续梁预拱度的设置方法探讨不多。大跨钢桁连续梁结构复杂，预拱度值较大，影响预拱度计算结果因素较多，寻找一种能准确快速求解桁式方案复杂、拱度值较大的钢桁连
续梁桥预拱度曲线，在钢桁梁的设计工作中具有重要
意义。
２预拱度实现基本方法
为简化制造和安装工作，下承式钢桁梁设计时，下弦杆和腹杆的实际长度通常保持不变，而仅仅让上弦杆的理论长度伸长或缩短，通过这种方法实现钢梁的预拱度。预拱度值的确定，对于简支钢桁梁，一般可采
用几何法；对于连续钢桁梁一般采用升降温方法计算
弦杆变形量来确定¨Ｊ。２．１几何法
在铁路下承式栓焊梁标准设计中，为了简化制造
和安装工作，并照顾到不同跨度的桁架桥需设的理论预拱度值，设计时让下弦杆和腹杆实际长度均保持不变，而上弦杆的理论长度每２个节长２ｄ均伸长２Ａ（见图１）。由几何关系可知∽Ｊ：
．／＼／＼／＼／‘＼．
△ｄ
ｄ△
．／’＼／＼／＼／‘＼？
Ｉ—
Ｌ虹。
Ｒ。
ｉ玉一”
丘ｆ
图１简支钢桁梁预拱度
旦：喾
ｄ＋△
”７
Ｒ：—ｄｘ广Ｈ、’
△
（２）
以往简支钢桁梁为了适应工厂模具，节间距ｄ取为８ｍ，伸长值△取为８ｍｍ。在确定了半径尺值之后，不同桁架桥跨中的实设预拱度为：
１２
厂５最
（３）
下弦任意一节点ｍ的预拱度为：
厶＝，一（Ｒ一撕ｉ【≯）
（４）改变上弦节间理论长度的具体方法是，不改变上
万方数据
弦杆的长度，而是让上弦节点板第一排螺栓孔轴线至竖杆中心线的距离较未设预拱度时的距离增大△。也即设置预拱度后，斜杆中线不再交于理论交点。２．２升降温计算弦杆变形量法
钢桁连续梁几何关系相对复杂，且往往为内部超静定结构，使用几何法求解上弦杆长度变化值较为困难。为求得预拱度曲线，一般可使用升降温计算弦杆变形量确定上弦杆的长度变化。具体方法为对钢桁梁
上弦杆施加温度荷载（升温或降温），使其在特定的温
度荷载工况下产生和预拱度曲线基本相同的变形，然后根据施加的温度变化求解上弦杆的长度变化值。
此方法仅改变上弦杆长度，而腹杆和下弦杆长度保持不变，且腹杆均交于理论交点，桥面系以及横联尺寸均不受影响，优点显著。但有一点需要注意，由于钢桁连续梁为超静定结构，温度荷载会产生附加反力，而此附加反力又会使杆件产生附加内力，所以在调整的过程中，必须保证此附加反力不能太大，否则对结构受力非常不利。传统的做法是依靠设计经验，反复试算，工作量较大，对于复杂的桁式结构往往不容易求得吻合度较高的预拱度曲线。
３应用非线性规划理论计算预拱度
非线性规划是运筹学的重要分支，是线性规划理论的延伸和拓展，已广泛应用于最优设计、管理科学及系统控制等许多领域。非线性规范往往由目标函数与约束条件两部分组成，在目标函数及约束条件中含有关于未知条件的非线性表达式。由于有非线性表达式的存在，所以求解此类问题比较困难，而且，也不像线
性规划有单纯形法等通用方法，其用到的计算方法都
有自己的特定使用范围。常用的计算方法有下降迭代算法、梯度法、变尺度法、步长加速法等，具体可参见文献［９］。
使用升降温计算弦杆变形量法实现预拱度需要解决两方面的问题，一为附加反力不能太大，二为各下弦
节点位移值和理论预拱度值尽量接近。上述两个问题
都与上弦杆温度荷载相关，并且相互影响。通过分析，
可以把上述问题转化为求最优解问题，目标函数为附加反力最小，约束条件可为各下弦节点的位移，未知量即为各上弦杆的温度荷载值。由于最优问题只能求最小值，而我们要求的是附加反力绝对值的最小值，为了实现这个目标，可以把目标函数转化为求附加反力平方的最小值。由于目标函数为非线性函数，所以此优化问题为非线性规划。
根据预拱度计算的要求，优化模型以支座反力平方值最小为目标，以下弦节点位移为约束方程。为了
第４期胡步毛艾宗良袁明等：基于非线性规划实现钢桁连续梁预拱度
５１
建立上弦杆温度荷载与支座反力和下弦节点位移的关系，需先建立平面桁架有限元模型，对各上弦杆施加单位温度荷载，求得支座反力和下弦节点位移与上弦温度荷载之间的函数关系…１，优化模型如下：
ｍ——上弦杆总数；ｎ——下弦节点总数。
第ｉ个下弦节点竖向位移的上限△ｉ和下限△：需
人为设定，即人为限定下弦节点的竖向位移取值范围，应使其与理论预拱度值尽量接近。
目标函数：ｍｉｎＲ＝三∽ｔ）２
１
约束方程：△：≤茎三岛ｔ≤△ｉＪ
式中尺——支座反力；
。：‘｝
（５）４
背景工程与预拱度计算
新建铁路向浦线（南昌向塘到福建莆田）东新赣
Ｚ——第ｉ根上弦杆施加单位温度荷载产生的
支点反力；
江特大桥主桥为（１２６＋１９６＋１２６）ｍ四线双桁钢桁连续梁，为向莆线客运专线与规划杭南长高速铁路四线合建桥，采用上弦加劲的Ｎ形桁式结构，桁高１９—
３５
６ｉ——第ｉ个下弦节点在第＿『根上弦杆施加单
位温度荷载产生的竖向位移；
ｍ、节间距１４ｍ，该桥桁式方案如图２所示。该桁梁
ｍｉｌｌ。
Ｚ——待求的第ｉ根上弦杆的温度荷载；△ｉ，△：——第ｉ个下弦节点竖向位移的上限和
下限；
理论预拱度值如表ｌ所示，最大预拱度值达２８７时，仅凭设计经验反复试算实现难度较大。
该桥桁式复杂，使用升降温计算方法计算弦杆变形量
。，Ａ：。，Ａ４
ＡＬ二一《春
Ｂ５
Ｂ６
Ｂ７
■／、、誓
Ａ９
／多—弓堡型３川Ａ１５
１ｌ
０
．／‘＼＼＼＼＼＼．／。＼．影＼／／／／／
Ｂ１
Ｂ２
Ｂ３
Ｂ４
１／８．朋Ｂ１０
Ｂ１１Ｂ１２Ｂ１３Ｂ４Ｂ１５
９×１４０００＝１２６０００１４／２ｘ１４０００＝－９８００（
图２东新赣江大桥钢桁连续梁立面布置图（单位：ｍ）
表１理论预拱度值
节点恒载１／２活载理论预拱度
Ｂ００ＯＯ
Ｂ１—３ｌ一８４ｌ
Ｂ２一５７—１４７ｌ
Ｂ３—７２—２０９２
Ｂ４—７２—２２９４
Ｂ５—５８—２ｌ７９
Ｂ６—４１—１７５８
Ｂ７—２１一ｌｌ３２
Ｂ８—７一６１３
Ｂ９０ＯＯ
曰１０—３６一８４４
Ｂ１１—７８一１７９５
曰１２—１２８—２６１５４
曰１３—１７３—３４２０７
Ｂ１４—２１０—４１２５１
（单位：ｍｉｌｌ）
日１５—２３３—４４２７７
Ｂ１６—２４１—４６２８７
在求解此非线性规划模型时，应用了ＭＡＴＬＡＢ软件，该软件提供的库函数能快速求解非线性规划问题。具体计算时，约束方程可逐渐增多，可先以中跨跨中下弦节点和边跨跨中下弦节点的竖向位移为约束方程，根据计算结果与理论预拱度值进行比较，将不符合要求的节点位移增加为约束方程，逐次逼近最优预拱度曲线。
移为约束方程。经过两次计算，得到了东新赣江特大桥钢桁连续梁预拱度曲线，下弦各节点的位移及于理论预拱度的比较如表２和图３所示。通过图３可以看出，计算预拱度与理论预拱度两者吻合度相当高，起拱效果非常明显。通过表２可以看出，边跨跨中节点和中跨跨中节点计算预拱度和理论预拱度基本相同，与理论预拱度值相比，计算预拱度最大绝对差值为
９
笔者第一次以烈、Ｂ６、Ｂ１２、Ｂ１６节点位移为约束方程，根据计算结果，第二次增加毖、所、召１１节点位
舵
７ｌ７２ｌｌ
ｍｍ，绝大多数节点的相对差值在５％以内。而此
时，支座反力仅为３．８Ｎ，显然是符合要求的。
“
表２计算预拱度值
节点理论预拱度计算预拱度绝对差值相对差值／％
Ｂ００ＯＯ０
Ｂ１４１３６一５ｌｌ
Ｂ３９２９ｌ—ｌ１
Ｂ４９４９４ＯＯ
Ｂ５７９８０ｌ２
Ｂ６５８５８００
Ｂ７３２３２一ｌ２
Ｂ８１３１５２１４
Ｂ９０Ｏ０Ｏ
曰１０４４４６２５
曰ｌｌ９５９４—１ｌ
Ｂ１２１５４１５５ｌｌ
Ｂ１３２０７２１２５２
Ｂ１４２５ｌ２５８７３
（单位：咖）
Ｂ１５２７７２８６９３
曰１６２８７２８７Ｏ０
万方数据
５２
铁道工程学报
２０１０年４月
３５０３００
ｌ
２５０
理２００
辩
５０Ｏ
麒Ｊ
占Ｚ上珥
肋
占８占ｌＯＢ１２占１４Ｂ１６
节点
图３理论预拱度与计算预拱度比较
５
结论
（１）求解桁式复杂的钢桁连续梁桥预拱度，几何
法不太适用，应采用升降温计算弦杆变形量法求解结构上拱后的系统线实现结构预拱度。
（２）使用升降温计算弦杆变形量时，利用非线性规划理论可方便快捷地得到结构的预拱度曲线，而且此方法目标明确，约束方程比较灵活，计算速度快，有其独特的优点，具有一定的通用性。
（３）本方法仅改变上弦杆的长度，不改变下弦杆和腹杆的长度，也不改变腹杆的交点，不影响桥面系与横联尺寸，使设计工作大大简化。
参考文献：
［１］ＴＢ
ＴＢｌ０００２．２—伽５．Ｃｏｄｅ１０００２．２喇５，铁路桥梁钢结构设计规范［Ｓ］．
ｆｏｒＤｅｓｉｇｎ
ＯＨ
ＳｔｅｅｌＳｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆ
Ｒａｉｌｗａｙ
Ｂｒｉｄｇｅ［Ｓ］．
［２］李堪以．合理设置铁路钢梁的上拱度［Ｊ］．铁道建筑，１９９４
（１）：２６—２８．
Ｌｉ
ｌＯｎｙｉ．Ｒａｔｉｏｎａｌ
Ｉｎｓｔａｌｌ
ＣａｍｂｅｒｏｆＲａｉｌｗａｙＳｔｅｅｌ
Ｇｉｒｄｅｒ［Ｊ］．ＲａｉｌｗａｙＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９９４（１）：２６－２８．［３］侯俊明，黄苏才．桥梁结构预留拱度值初探［Ｊ］．青海交通
科技，２００２（１）：２４—２５．
Ｈｏｕ
Ｊｕｎｍｉｎｇ，ＨｕａｎｇＳｕｃａｉ．ＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＢｒｉｄｇｅＣａｍｂｅｒ
［Ｊ］．ＱｉｎｇｈａｉＪｍｏｍｎｇ
Ｓｃｉｅｎｃｅａｎｄ
Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００２
（１）：２４—２５．
万方数据
［４］
陈朝辉．预拱度分析［Ｊ］．山西建筑，２００８（９）：３２９—３３０．
Ｃｈｅｎ
Ｚｈａｏｈｎｉ．ＴｈｅＡｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅＣａｍｂｅｒ［Ｊ］．Ｓｈａｎｘｉ
Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ，２００８（９）：３２９—３如．［５］
安旭刚．大跨度钢梁的上拱度设置［Ｊ］．科技情报开发与经济，２００９（２３）：２２７—２２８．
Ａｎ
Ｘｕｇａｎｇ．Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ
Ｏｌｌ
ｔｈｅ
Ｓｅｔｔｉｎｇ—ｕｐ
ｏｆ
ｔｈｅ
Ｃａｍｂｅｒ
ｏｆ
Ｌｏｎｇ—ｓｐａｎＳｔｅｅｌＢｅａｍ［Ｊ］．Ｓｃｉ—ｔｅｃｈ
ＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ＆Ｅｃｏｎｏｍｙ，２００９（２３）：２２７—
２２８．
［６］
武芳文，薛成凤，赵雷．连续刚构桥梁悬臂施工线形控制分析［Ｊ］．铁道工程学报，２００６（７）：２９－３３．Ｗｕ
Ｆａｎｇｗｅｎ，Ｘｕｅ
Ｃｈｅｎｇｆｅｎｇ，Ｚｈａｏ
Ｌｅｉ．Ｔｈｅ
ＡｌｉｇｎｍｅｎｔＣｏｎｔｒｏｌＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＣａｎｔｉｌｅｖｅｒＣｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ
ｆｏｒ
Ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ
Ｒｉｇｉｄ
Ｆｒａｍｅ
Ｂｒｉｄｇｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆ
ＲａｉｌｗａｙＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＳｏｃｉｅｔｙ，２００６（７）：２９—３３．
［７］铁道部大桥工程局．九江长江大桥技术总结［Ｍ］．武汉：
武汉测绘科技大学出版社，１９９６．
ＣｈｉｎａＺｈｏｎｇｔｉｅ
Ｍａｊｏｒ
ＢｒｉｄｇｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＧｒｏｕｐ
Ｃｏ．，
Ｌｔｄ．ＳｍｍｎａｒｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
ｆｏｒ
ＪｉｕｊＬａｎＹａｎｇｔｚｅＲｉｖｅｒ
Ｂｒｉｄｇｅ［Ｍ］．Ｗｕｈａｎ：ＷｕｈａｎＴｅｃｈｎｉｃａｌ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
ｏｆ
Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ＆ＭａｐｐｉｎｇＰｒｅｓｓ．１９９６．
［８］吴冲主．现代钢桥［Ｍ］．北京：人民交通出版社，２００６．
ＷｕＣｈｏｎｇｚｈｕ．Ｍｏｄｅｒｎ
Ｓｔｅｅｌ
Ｂｒｉｄｇｅｓ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：
Ｃｈｉｎａ
ＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓＰｒｅｓｓ，２００６．
［９］《运筹学》教材编写组．运筹学［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００９．
Ｔｈｅ
ＧｒｏｕｐｏｆＣｏｍｐｉｌｅＯｐｅｒａｔｉｏｎａｌＲｅｓｅａｒｃｈＴｅａｃｈｉｎｇ
Ｍａｔｅｒｉａｌｓ．ＯｐｅｒａｔｉｏｎａｌＲｅｓｅａｒｃｈ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＴｓｉｎｇｈｕａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，２００９．
［１０］薛长虹，于凯．大学数学实验——ＭＡＴＬＡＢ应用篇［Ｍ］．
成都：西南交通大学出版社，２００３．
Ｘｕ
Ｃｈａｎｇｈｏｎｇ，Ｙｕ
Ｋａｉ．
Ｃｏｌｌｅｇｅ
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ—ＭＡＴＬＡＢＰｒａｃｔｉｃｅ［Ｍ］．Ｃｈｅｎｇｄｕ：
ＳｏｕｔｈｗｅｓｔＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，２００３．
（编辑赵立兰）