利用双曲线系求双曲线方程
一、与双曲线共渐近线的双曲线系
x2y2x2y2
与－1有共同渐近线的双曲线方程为－＝(≠0)或写成b2x2－a2y2＝k(k≠abab0).
x2y2例1 求与双曲线1有共同的渐近线，且焦距为12的双曲线方程． 54
x2y2解：设所求双曲线为λ(λ≠0)． 54
当λ＞0时，a2＝5λ，b2＝4λ，c2＝a＋b＝9λ，则6λ＝12，解得λ＝4．
x2y2＝1. 2016
当λ＜0时，a2＝－4λ，b2＝－5λ，c2a＋b＝－9λ，则6－λ＝12，解得λ＝－4．
y2x2＝1. 1620
二、定直线为渐近线的双曲线系方程Ax＋By
以已知直线Ax±By＝0为渐近线的双曲线系方程为(Ax＋By)(Ax－By)＝λ(λ≠0)，即A2x2－B2y2＝λ(λ≠0)
例2 已知双曲线的一条渐近线方程x－2y＝0且过点P(4，3)，求双曲线的标准方程. 解：根据双曲线的对称性知双曲线的两条条渐近线x±2y＝0，
因此，设双曲线方程为x2－4y2＝k(k∈R且k≠0).
∵P(4，3)在双曲线上，∴42－4×32＝k，即k＝－20.
y2x2即1为所求的双曲线方程. 520
三、与双曲线共焦点的双曲线系
x2y2x2y2
与已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线系标准方程＝1(－aba＋λb－λa2＜λ＜b2).
y2x2例2 求与双曲线－＝1有共同焦点，且过点(27，62)的双曲线方程. 3925
分析：根据已知双曲线方程设出所求方程，然后代入已知点求得参数，进而求得双曲线方程.
y2x2
解：＝1(－39＜λ＜25)，则 39＋λ25－λ
(62)2(27)2
将点2，7)代入上述方程，得－＝1，解得λ＝－3或89(舍去)， 39＋λ25－λ
y2x2
故所求双曲线方程为－1. 3628
点评：根据已知方程求双曲线的方程时，一定注意双曲线系方程中的参数范围，否则会造成多解.
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利用双曲线系求双曲线方程
一、与双曲线共渐近线的双曲线系
x2y2x2y2
与－1有共同渐近线的双曲线方程为－＝(≠0)或写成b2x2－a2y2＝k(k≠abab0).
x2y2例1 求与双曲线1有共同的渐近线，且焦距为12的双曲线方程． 54
x2y2解：设所求双曲线为λ(λ≠0)． 54
当λ＞0时，a2＝5λ，b2＝4λ，c2＝a＋b＝9λ，则6λ＝12，解得λ＝4．
x2y2＝1. 2016
当λ＜0时，a2＝－4λ，b2＝－5λ，c2a＋b＝－9λ，则6－λ＝12，解得λ＝－4．
y2x2＝1. 1620
二、定直线为渐近线的双曲线系方程Ax＋By
以已知直线Ax±By＝0为渐近线的双曲线系方程为(Ax＋By)(Ax－By)＝λ(λ≠0)，即A2x2－B2y2＝λ(λ≠0)
例2 已知双曲线的一条渐近线方程x－2y＝0且过点P(4，3)，求双曲线的标准方程. 解：根据双曲线的对称性知双曲线的两条条渐近线x±2y＝0，
因此，设双曲线方程为x2－4y2＝k(k∈R且k≠0).
∵P(4，3)在双曲线上，∴42－4×32＝k，即k＝－20.
y2x2即1为所求的双曲线方程. 520
三、与双曲线共焦点的双曲线系
x2y2x2y2
与已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线系标准方程＝1(－aba＋λb－λa2＜λ＜b2).
y2x2例2 求与双曲线－＝1有共同焦点，且过点(27，62)的双曲线方程. 3925
分析：根据已知双曲线方程设出所求方程，然后代入已知点求得参数，进而求得双曲线方程.
y2x2
解：＝1(－39＜λ＜25)，则 39＋λ25－λ
(62)2(27)2
将点2，7)代入上述方程，得－＝1，解得λ＝－3或89(舍去)， 39＋λ25－λ
y2x2
故所求双曲线方程为－1. 3628
点评：根据已知方程求双曲线的方程时，一定注意双曲线系方程中的参数范围，否则会造成多解.
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