2.因式分解教案

第二讲因式分解

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式

运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法、求根公式法、配方法等等．

一、公式法(立方和、立方差公式)

a3b3(ab)(a2abb2) a3b3(ab)(a2abb2)

这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．

运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．【例1】因式分解： .

说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如(1) 8x3

(2) 0.12527b3

解：

8a3b3(2ab)3，这里逆用了法则(ab)nanbn；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．

【例2】因式分解： (1) 3a3b81b4 解：

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(2) a7ab6

二、分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如mambnanb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．

【例3】把2ax10ay5bybx分解因式．

解：2ax10ay5bybx2a(x5y)b(x5y)(x5y)(2ab).

说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．

【例4】把ab(c2d2)(a2b2)cd分解因式．解：

【例5】把2x24xy2y28z2分解因式．解： .

三、十字相乘法

1．x2(pq)xpq型的因式分解

(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．

x2(pq)xpqx2pxqxpqx(xp)q(xp)(xp)(xq). 因此，x2(pq)xpq(xp)(xq). 【例6】因式分解： .

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(1) x27x6

(2) x213x36

解：

(1) x2xy6y2

(2) (x2x)28(x2x)12

解：(1) x2xy6y2x2yx62(x3y)(x2y).

(2) (x2x)28(x2x)12(x2x6)(x2x2)(x3)(x2)(x2)(x1). 2．一般二次三项式ax2bxc型的因式分解

大家知道，(a1xc1)(a2xc2)a1a2x2(a1c2a2c1)xc1c2．反过来，就得到：a1a2x2(a1c2a2c1)xc1c2(a1xc1)(a2xc2)

我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2写成a1c1，这

就c可以分解成里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2a2c1，那么ax2bx

(a1xc1)(a2xc2)．

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

【例8】因式分解：

(1) 12x25x2

(2) 5x26xy8y2

解：(1) 12x5x2(3x2)(4x1).

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(2) 5x26xy8y2(x2y)(5x4y).

324 1 1 254



(1) (x22x)7(x22x)8 (2)x22x15ax5a

分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项可以三、二组合.

解：

四、配方法

【例10】因式分解 (1) x26x16 （2）x24xy4y2 解：(1)x26x16(x3)252(x8)(x2). (2)x24xy4y2(x24xy4y2)

8y2

(x2y)28y2(x2y)(x2y).

说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．

五、拆(添)项法

【例11】因式分解x33x24 解： x33x24(x31)(3x23)

(x1)(x2x1)3(x1)(x1)(x1)[(x2x1)3(x1)] (x1)(x24x4)(x1)(x2)2.

说明：一般地，把一个多项式因式分解，可按下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；

(2) 如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组分解法或其它方法(如十字相乘法)来分解；

(3)因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．

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